Тулуза, август, 1657 г.

Милостивый государь.
1. Я осмелился не послушаться Вас, когда Вы, прислав мне Вашу книгу $\left[{}^{240}\right]$, написали, чтобы я ее не читал. Подарок, сделанный Вами, я принимаю как драгоценный знак дружбы, которой Вы оказываете мне честь. Но чтение книги заставило меня понять эту дружбу как благо, которое нужно беречь заботливо, почтительно и благоговейно. Чтобы доказать это Вам, я не буду говорить о других Ваших физических теориях, хотя они полны очень глубоких и очень тонких соображений; я хотел бы только остановить немного Ваше внимание на вопросе об отражении и преломлении, и это письмо лишь возместит утерянную диссертацию на эту же тему, которую я послал Вам несколько лет тому назад и которая, как мне известно, не попала в Ваши руки. Там я утверждаю, что кое в чем вступаю с Вами в союз единомышленников, и осмеливаюсь заверить Вас, что если Вы потерпите с моей стороны некоторую примесь математики к Вашей физике, то мы будем делать работу сообща и нам придется, прежде всего, защищаться от $\mathrm{\Gamma }$-на Декарта и всех его друзей.
2. Прежде всего, я признаю вместе с Вами правильность принципа, что природа действует всегда наиболее короткими путями. Из него вы прекрасно выводите равенство углов падения и отражения; возражение тех, которые говорят, что две линии, соединяющие источник света и глаз наблюдателя в вогнутом зеркале, являются очень часто самыми длинными, не существенно, если только Вы примете во внимание другой неоспоримый принцип: все то, что падает на кривую линию, какой бы природы оно ни было, должно рассматриваться так, как будто оно падает на прямую, которая касается этой кривой в точке падения. Это может быть доказано аргументом из физики, основанным в свою очередь на геометрическом положении.

Принцип физики состоит в том, что природа совершает свои движения по наиболее простым путям. Поскольку прямая линия более проста, чем круговая или какая-либо другая кривая, то следует полагать, что движение луча, который падает на кривую, происходит скорее по прямой, касательной к кривой, чем по самой кривой.

Во-первых, потому, что эта касательная прямая более проста, чем кривая ; во-вторых (и это вытекает из геометрий), потому что, согласно началам Евклида, никакая кривая не может находиться между кривой и касательной. Так что движение по прямой, которая касается кривой, будет точно такое же, как по кривой, которой она касается.

И на этом основании никогда нельзя сказать, что две прямые, по которым идет свет или луч, могут быть когда-либо самыми длинными в вогнутых зеркалах, ибо даже и в этом случае они являются более короткими из всех

тех, которые могут отражаться от прямой, касающейся кривой. Поэтому не следует предполагать, что природа в этом случае действует наоборот, или заключать, что она в каком-либо другом виде зеркал следует способу движения, отличному от того, который свойствен ей в плоских зеркалах. Таким образом, для отражения Ваш принцип оказывается полностью обоснованным.
3. Однако можем ли мы из того, что он оказался действительным для отражения, извлечь какую-нибудь пользу для преломления? Мне кажется, что эта задача нетрудная и нужно лишь немного геометрии, чтабы ее решить.

Я не стану останавливаться на опровержении доказательства г-на Декарта. Я уже однажды оспаривал его еще при жизни Декарта — как сказал бы Марциал, viventi atque sentienti [241], — но он не выступил с ответом. Использование этих сложных движений есть дело весьма тонкое, и рассматривать и излагать этот вопрос нужно с величайшей осторожностью. Я сравниваю их с некоторыми лекарствами, которые становятся ядами, если их не приготовить тщательно и надлежащим образом. Поэтому мне достаточно сказать, что г-н Декарт не доказал ничего и что я полностью присоединяюсь к Вашему мнению в том, что Вы возражали ему.

Но нужно пойти дальше и найти обоснование преломления в нашем общем принципе, то есть в том, что природа действует всегда наиболее коротким и наиболее легким путем. Сначала кажется, что сделать это невозможно и что Вы сами выдвинули против себя возражение, которое может показаться неоспоримым. Ибо на стр. 315 Вашей книги две линии $CB$ и $BA$, которые образуют угол падения и угол отражения, являются более длинными, чем прямая $ADC$, которая служит им основанием в треугольнике $ABC$, и, по идее нашего принципа, луч из $C$ в $A$ должен был бы быть единственным истинным путем природы, что, однако, противоречит опыту. Но из этого затруднения можно легко выйти, если предположить вместе с Вами и всеми другими, исследовавшими эту проблему, что сопротивление сред различно и что всегда имеется определенное соотношение или пропорция между этими двумя сопротивлениями в тех случаях, когда две среды имеют определенную консистенцию и когда они однородны.

Не удивляйтесь тому, что я говорю о сопротивлении после того, как Вы определили, что движение света совершается мгновенно и что преломление вызвано лишь естественным антагонизмом, который существует между светом и материей. Ибо, согласитесь ли Вы со мной, что движение света без всякой последовательности во времени может быть оспариваемо и что Ваше доказательство не вполне убедительно, или нужно будет принять Ваше определение и признать, что свет «убегает» от обилия враждебной ему материи, я нахожу, даже в этом последнем случае, что поскольку свет «убегает» от материи, а «убегают» лишь от того, что затрудняет и сопротивляется, то можно, не удаляясь от Вашей точки зрения, поместить сопротивление там, где Вы помещали «бегство» или «уклонение».

Пусть, например, на Вашем рисунке луч $CB$ меняет среду в точке $B$, где он преломляется, чтобы пойти в точку $A$. Если бы эти две среды были одинаковы, то сопротивление по пути луча на линии $CB$ относилось бы к сопротивлению по пути луча на линии $BA$, как линия $CB$ относится к линии $BA$. Ибо когда та и другая среды одинаковы, сопротивление по пути будет одинаково в каждой из них, следовательно, оно прямо пропорционально

пройденному расстоянию. Отсюда вытекает, что если среды различны и, следовательно, сопротивление различно, нельзя больше говорить, что сопротивление по пути луча на линии $CB$ относится к сопротивлению по пути луча на линии $BA$, как линия $CB$ к линии $BA$; но в этом случае сопротивление на линии $CB$ будет относиться к сопротивлению на линии $BA$, как $CB$ относится к другой линии, отношение которой к линии $BA$ выразит отношение двух различных сопротивлений.

Например, если сопротивление в среде $A$ в два раза больше сопротивления в среде $C$, сопротивление по $CB$ будет относиться к сопротивлению по $BA$, как линия $CB$ относится к двойной линии $BA$; и если сопротивление в среде $C$ в два раза больше, чем сопротивление в среде $A$, то сопротивление по линии $CB$ будет относиться к сопротивлению по линии $BA$, как длина линии $CB$ к половине длины линии $BA$. Так что в этих двух случаях оба сопротивления по линиям $CB$ и $BA$, взятые вместе, могут быть выражены или линией $CB$ плюс половина линии $BA$, или линией $CB$ плюс две длины $BA$.

Вы, несомненно, уже видите вывод, вытекающий из этого рассуждения. Например, даны две точки $C$ и $A$ в двух различных средах, разделенных линией $DB$ и имеющих такую природу, что сопротивление одной будет в два раза больше сопротивления другой. Нужно найти точку $B$, в которой прервется и преломится луч, идущий от $\mathcal{C}$ к $A$ или от $A$ к $C$.

Если мы предположим, что задача уже решена и что природа действует всегда наиболее коротким и наиболее легким путем, сопротивление по линии $CB$ плюс сопротивление по линии $BA$ составит сумму двух сопротивлений, и эта сумма, чтобы удовлетворить принципу, должна быть наименьшей из всех сумм, какие могут встречаться в любой точке на линии $DB$. В данном же случае эти два соединенных сопротивления представлены или линией $CB$ плюс половина $BA$, или той же линией $CB$ плюс две линии $BA$.
Вопрос, стало быть, сводится к следующей геометрической задаче.
Даны две точки $C$ и А и прямая $DB$, найти на прямой $DB$ такую точку, чтобы, если мы проведем прямые СВ и ВА, сумма линий СВ и половины ВА была бы наименьшей из всех сумм, взятых таким образом, или точно так же сумма СВ ндух ВА была бы наименышей из всех сумм, взятых таким же образом.

Точка $B$, которая будет найдена в результате решения этой задачи, и будет точкой, где произойдет преломление.

Таким образом, Вы видите, что нужно, чтобы луч прервался и преломился, поскольку среды различны. Поэтому, хотя сумма двух линий $CB$ и $BA$ будет всегда больше, чем сумма двух линий $CD$ и $DA$, тем не менее линия $CB$ плюс половина $BA$ или плюс две $BA$ может быть более короткой, чем линия $CD$ плюс половина линии $DA$ или плюс две $DA$.

Я согласен с Вами, что эта задача не из легких. Но, поскольку природа решает ее во всех преломлениях, чтобы не отклониться от своего обычного образа действий, почему мы не можем взяться за такую задачу?

Я заверяю Вас, что предложу решение этой задачи, когда это Вам будет угодно, и сделаю из него те выводы, которые смогут прочно обосновать правильность нашего мнения. Во-первых, я выведу из него, что перпендикулярный луч не преломляется; что свет, преломившись на первой поверхности, больше не изменяет принятого им направления; что преломленный луч то приближается к перпендикуляру, то удаляется от него, в зависимости от того, переходит ли он из среды более редкой в более плотную или наоборот; одним словом, эта теория точно согласуется со всеми явлениями.

Ведь если бы это было неверно, можно было бы сқазать так, қак сқазал Галилей по поводу другого случая, что природа, как нам кажется, движима per pigliarsi gioco di nostri ghiribizzi — причудами нашей фантазии.

Однако, виноват — я забыл, что предметом этого письма должно было быть только выражение благодарности. Умоляю Вас, Милостивый государь, простить мне это длинное рассуждение, — хотя оно и вызвано только интересом, который Вы питаете к этому вопросу, — и принять его в любом случае как свидетельство уважения, которое я питаю к Вашей учености, и почтения, с которым остаюсь, Милостивый государь,
Вашим покорнейшим и доброжелательным слугой
Ферма