Для квантования динамической системы необходимо ввести систему линейных операторов, соответствующих динамическим переменным $q$ и $p$ и их функциям. Классическим переменным – скоростям и переменным, содержащим $\tau$, не могут быть поставлены в соответствие операторы. Операторы действуют на векторы $\psi$ в гильбертовом пространстве, причем их представители в любом представлении (волновые функции) задают состояния квантовой системы. Вещественные классические переменные соответствуют эрмитовым операторам. Соответствие между классическими и квантовыми величинами основано на двух принципах, которые, обозначая соответствующие классические и квантовые величины одинаковыми буквами, сформулируем следующим образом:
I) Скобка Пуассона для классических переменных соответствует коммутатору
\[
[\xi, \eta] \rightarrow 2 \pi(\xi \eta-\eta \xi) / i \hbar
\]
II) Слабые уравнения, связывающие классические ве личины, ссответ ствуют линейным условиям, наложенным на $\psi$ :
\[
\chi(q, p)=0 \rightarrow \chi \psi=0 .
\]

Процесс перехода от классической к квантовой механике нельзя считать математически строго сформулированным, так как в каждом случае, когда классическая величина включает произведение двух величин, скобка Пуассона которых не равна нулю, возникает неоднозначность в определении последовательности, в которой эти сомножители войдут в соответственное квантовое выражение. Практически в простых примерах такой вопрос не возникает. В более же сложных выражениях бывает невозможно выбрать последовательность сомножителей так, чтобы не нарушалась совместность квантовых уравнений. В настоящее время методы квантования представляют собой набор практических рецептов, применение которых диктуется главным образом соображениями простоты. Существуют обстоятельства, на которые следует обращать внимание при переходе к квантовой механике, чтобы не нарушить совместность квантовых соотношений. В классической теории мы имеем ряд $\Phi$-уравнений ( $\chi$-уравнения также считаются за $\Phi$-уравнения), используемых в квантовой теории в соответствии с принципом II). При

преобразовании $\Phi$, аналогичном преобразованию классических величин (27), коэффициенты $\gamma$ должны всегда стоять слева от $\Phi$. Общее выражение для $\Phi$ в квантовой теории является линейной функцией от данных $\Phi$ с коэффициентом $\gamma$ слева от $\Phi$.
Из двух квантовых уравнений, полученных из $\Phi$-уравнений согласно II,
\[
\Phi_{1} \psi=0, \quad \Phi_{2} \psi=0,
\]

получим
\[
\Phi_{2} \Phi_{1} \psi=0, \quad \Phi_{1} \Phi_{2} \psi=0 .
\]

Отсюда по принципу I найдем
\[
\left[\Phi_{1}, \Phi_{2}\right] \psi=0,
\]

что соответствует классическому слабому уравнению
\[
\left[\Phi_{1}, \Phi_{2}\right]=0 .
\]

Заключаем отсюда, что если переход к квантовой теории возможен, все $\Phi$ должны быть первого класса.

Классическую теорию с $\Phi$ второго класса можно проквантовать, применяя преобразования, примененные в п. 8, переводящие все $\Phi_{\beta}$-уравнения в сильные равенства. Сильные уравнения соответствуют в квантовой теории уравнениям, выражающим одни операторы через другие.

Квантовые уравнения $\Phi_{\psi=0}$, полученные применением принципа II к $\Phi$-уравнениям первого класса, являются волновыми уравнениями Шредингера.

Обычная классическая динамика с одним $\Phi$ первого класса приводит к одному уравнению Шредингера. В обобщенной теории каждому классическому свободному движению ставится в соответствие уравнение Шредингера. Операторы, входящие в эти уравнения; соответствуют классическим динамическим переменным для некоторого значения $\tau$.

Операторы, соответствующие разным $\tau$, принадлежат к разным алгебраическим системам. По-видимому, квантовая теория не содержит какоголибо аналога зависимости от классических переменных. Однако зависимость классических величин от $t$, описанная уравнением (48), имеет квантовый аналог в случае, если классические С. П. $\left[t_{a}, t_{a^{\prime}}\right]=0$ при $a=a^{\prime}$ и, следовательно, соответствующие операторы квантовой теории могут принимать одновременно численные значения [237]. Этому требованию удовлетворяет ряд систем $t$, введенных в различных формах релятивистской динамики, рассмотренных в п. 10. Уравнения (48) нельзя непосредственно проквантовать, потому что, как легко проверить, соответствующие квантовые уравнения не будут инвариантны относительно общих преобразований (27). Приведем уравнение (48) к стандартному виду. Преобразование (27) вводит новую систему $\Phi$, именно $\Phi_{a}$, находящуюся в однозначном соответствии с системой $t_{a}$, таким образом, что
\[
\left[t_{a}, \Phi_{a^{\prime}}\right]=\delta_{a a^{\prime}} .
\]

При этом уравнение (48) приводится к виду
\[
\left[g, \Phi_{a}\right]=\frac{\partial g}{\partial t_{a}} .
\]

Проквантовав эти уравнения, мы получим квантовые уравнения в представлении Гейзенберга для обобщенной динамики.