Допустим теперь, что и конечные уравнения связей содержат явно время. Если от них освободиться, вводя координаты $q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ и полагая, таким образом, $x_{h}, y_{h}, z_{h}$ равными некоторым функциям переменных $t$ и $q_{i}$, то дифференциальные уравнения связей, даже если они до этого явно не содержат $t$ в качестве дифференциала или аргумента, принимают вид
\[
\text { ’’ } p_{k s} d q_{s}+p_{k} d t=0, \quad k=1,2, \ldots, v,
\]

где теперь уже $p_{k s}, p_{k}$ суть функции $q_{i}, t$, так что здесь следует предполагать осуществленным этот общий случай, рассмотренный мною уже в 1884 г.*). В то же время $T$ есть функция второй степени от $q_{i}^{\prime * *}$ ).

Если теперь сообщить координатам $x_{h}, y_{h}, z_{h}$ вариации, изменяя $q_{i}, t$ на $\delta q_{i}, \delta t$, то $x_{h}$ изменяются на величину
\[
\delta x_{h}=\sum \frac{\partial x_{h}}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial x_{h}}{\partial t} \delta t,
\]

тогда как
\[
\frac{d x_{h}}{d t}=\sum \frac{\partial x_{h}}{\partial q_{i}} q_{i}^{\prime}+\frac{\partial x_{h}}{\partial t} .
\]

Однако, применяя принцип Д’Аламбера, мы должны пользоваться только виртуальными перемещениями $\delta^{\prime} x_{h}, \delta^{\prime} y_{h}, \delta^{\prime} z_{h}$. Принимая во внимание уравнение
\[
\delta^{\prime} x_{h}=\delta x_{h}-x_{h}^{\prime} \delta t=\sum \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{i}}\left(\delta q_{i}-q_{i}^{\prime} \delta t\right),
\]

мы видим теперь, что при таком воззрении ***) виртуальные перемещения $\delta^{\prime}$ соответствуют значениям
\[
\delta^{\prime} q_{i}=\delta q_{i}-q_{i}^{\prime} \delta t
\]

так что
\[
\delta^{\prime} x_{h}=\sum \frac{\partial x_{h}}{\partial q_{i}} \delta^{\prime} q_{i} .
\]

Если $t$ увеличить на $d t$, а $q_{i}$ на $d q_{i}$, то из уравнения (4) вытекает еще:
\[
\delta^{\prime} d q_{i}=\delta d q_{i}-{ }^{\prime} q_{i}^{\prime} \delta d t+q_{i}^{\prime \prime} \delta t d t .
\]

Совершенно так же, как и раньше, получаем
\[
\begin{array}{l}
\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \delta T+2 T \delta d t=\left[\mathbf{\Sigma} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{i}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \frac{\partial T}{\partial t} \delta t+ \\
+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathbf{\Sigma}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta q_{i} d t+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(2 T-\sum q_{i}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta d t,
\end{array}
\]

или, если преобразовать последний интеграл при помощи интегрирования по частям, то предыдущее выражение оказывается равным
\[
\left[\Sigma^{\prime} 2 T d t+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+\int_{t_{0}}^{i}\left[\frac{\partial T}{\partial t} \delta t+\sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{t}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta q_{i}-\frac{d}{d t}\left(2 T-\sum q_{i}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) \delta t\right] d t \text {. }
\]

Если теперь принять во внимание, что
\[
\frac{d}{d t}\left(2 T-\sum q_{i}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)=2 \frac{\partial T}{\partial t}+2 \sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} q_{i}^{\prime}+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}} q_{i}^{\prime \prime}-\sum q_{i}^{\prime} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right),
\]

и если к обеим частям уравнения прибавить интеграл
\[
\int \delta^{\prime} U d t=\int \Sigma Q_{i} \delta^{\prime} q_{i} d t,
\]

а также если опустить в правой части члены, не содержащие знака интеграла, распорядившись вариациями в начале и в конце промежутка времени, то найдем следующее уравнение:
\[
\int d t \delta T+2 T \delta d t+d T \delta t+\delta^{\prime} U d t=\int \sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}+Q_{i}\right) \delta^{\prime} q_{i} d t .
\]

Кроме того, из уравнений (3) следует
\[
\sum p_{k i} q_{i}^{\prime}+p_{k}=0, \quad \sum^{\prime} p_{k i} \delta q_{i}+p_{k} \delta t=0,
\]

или, на основании условия (4), получаем уравнение
\[
\sum p_{k i} \delta^{\prime} q_{i}=0,
\]

представляющее собою условия, которым подчинены виртуальные перемещения. Если теперь положить $\delta t$ равным нулю, то слева опять получается гамильтоново интегральное условие, как эквивалентное уравнениям
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}+Q_{i}=\sum_{h=1}^{r} \lambda_{k} p_{k i} .
\]

Если, с другой стороны, в качестве условия, которое налагается на энергию варьированного движения, принять следующее:
\[
\delta^{\prime} U d t+d T \delta t=\delta T d t,
\]

то отсюда вытекает расширенный принцип нацменьшего действия. Условие (7) можно еще преобразовать. Мы имеем :
\[
\begin{array}{l}
\delta t d T=\delta t\left(\frac{\partial T}{\partial t} d t+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} q_{i}^{\prime} d t+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}} q_{i}^{\prime \prime} d t\right), \\
d t \delta T=d t\left(\frac{\partial T}{\partial t} \delta t+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}} \frac{\delta d q_{i}-q^{\prime} \delta d t}{d t}\right),
\end{array}
\]

или на основании уравнений (7) и (5) при соответствующих обозначениях,
\[
\delta^{\prime} U=\sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}} \delta^{\prime} q_{i}+\frac{\partial T}{\partial q_{i}} \delta^{\prime} q_{i}^{\prime}\right),
\]

так что и здесь при виртуальном перемещении полная энергия не изменяется, так как последнее уравнение может быть записано также в виде
\[
\delta^{\prime}(T-U)=0 .
\]

Таким образом, соответствующее исследование проведено и в самом общем случае.