Допустим теперь, что и конечные уравнения связей содержат явно время. Если от них освободиться, вводя координаты $q_i(i=1,2,\dots ,n)$ и полагая, таким образом, $x_h,y_h,z_h$ равными некоторым функциям переменных $t$ и $q_i$, то дифференциальные уравнения связей, даже если они до этого явно не содержат $t$ в качестве дифференциала или аргумента, принимают вид
$$\text{ ’’ }{p}_{ks}d{q}_s+p_{k}dt=0,k=1,2,\dots ,v,$$

где теперь уже $p_{ks},p_k$ суть функции $q_i,t$, так что здесь следует предполагать осуществленным этот общий случай, рассмотренный мною уже в 1884 г.*). В то же время $T$ есть функция второй степени от $q_i^{\prime \ast \ast }$ ).

Если теперь сообщить координатам $x_h,y_h,z_h$ вариации, изменяя $q_i,t$ на $\delta q_i,\delta t$, то $x_h$ изменяются на величину
$$\delta x_h=\sum \frac{\partial x_h}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial x_h}{\partial t}\delta t,$$

тогда как
$$\frac{d{x}_h}{dt}=\sum \frac{\partial x_h}{\partial q_i}{q}_i^{\prime }+\frac{\partial x_h}{\partial t}.$$

Однако, применяя принцип Д’Аламбера, мы должны пользоваться только виртуальными перемещениями ${\delta }^{\prime }{x}_h,{\delta }^{\prime }{y}_h,{\delta }^{\prime }{z}_h$. Принимая во внимание уравнение
$${\delta }^{\prime }{x}_h=\delta x_h-x_h^{\prime }\delta t=\sum \frac{\partial x_i}{\partial q_i}(\delta q_i-q_i^{\prime }\delta t),$$

мы видим теперь, что при таком воззрении ***) виртуальные перемещения ${\delta }^{\prime }$ соответствуют значениям
$${\delta }^{\prime }{q}_i=\delta q_i-q_i^{\prime }\delta t$$

так что
$${\delta }^{\prime }{x}_h=\sum \frac{\partial x_h}{\partial q_i}{\delta }^{\prime }{q}_i.$$

Если $t$ увеличить на $dt$, а $q_i$ на $d{q}_i$, то из уравнения (4) вытекает еще:
$${\delta }^{\prime }d{q}_i=\delta d{q}_i-{}^{\prime }{q}_i^{\prime }\delta dt+q_i^{\prime \prime }\delta tdt.$$

Совершенно так же, как и раньше, получаем
$$\begin{array}{l}{\int }_{t_0}^{t_1}dt\delta T+2T\delta dt={\left[\mathbf{\Sigma }\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}\delta q_i\right]}_{t_0}^{t_1}+{\int }_{t_0}^{t_1}dt\frac{\partial T}{\partial t}\delta t+\\ +{\int }_{t_0}^{t_1}\mathbf{\Sigma }(\frac{\partial T}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }})\delta q_{i}dt+{\int }_{t_0}^{t_1}(2T-\sum q_i^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }})\delta dt,\end{array}$$

или, если преобразовать последний интеграл при помощи интегрирования по частям, то предыдущее выражение оказывается равным
$${[{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }2Tdt+\sum \frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}]}_{t_0}^{t_1}+{\int }_{t_0}^i[\frac{\partial T}{\partial t}\delta t+\sum (\frac{\partial T}{\partial q_t}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }})\delta q_i-\frac{d}{dt}(2T-\sum q_i^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }})\delta t]dt\text{. }$$

Если теперь принять во внимание, что
$$\frac{d}{dt}(2T-\sum q_i^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }})=2\frac{\partial T}{\partial t}+2\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}{q}_i^{\prime }+\sum \frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}{q}_i^{\prime \prime }-\sum q_i^{\prime }\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}\right),$$

и если к обеим частям уравнения прибавить интеграл
$$\int {\delta }^{\prime }Udt=\int \mathrm{\Sigma }{Q}_i{\delta }^{\prime }{q}_{i}dt,$$

а также если опустить в правой части члены, не содержащие знака интеграла, распорядившись вариациями в начале и в конце промежутка времени, то найдем следующее уравнение:
$$\int dt\delta T+2T\delta dt+dT\delta t+{\delta }^{\prime }Udt=\int \sum (\frac{\partial T}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}+Q_i){\delta }^{\prime }{q}_{i}dt.$$

Кроме того, из уравнений (3) следует
$$\sum p_{ki}{q}_i^{\prime }+p_k=0,\sum ^{\prime }{p}_{ki}\delta q_i+p_k\delta t=0,$$

или, на основании условия (4), получаем уравнение
$$\sum p_{ki}{\delta }^{\prime }{q}_i=0,$$

представляющее собою условия, которым подчинены виртуальные перемещения. Если теперь положить $\delta t$ равным нулю, то слева опять получается гамильтоново интегральное условие, как эквивалентное уравнениям
$$\frac{\partial T}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}+Q_i=\sum _{h=1}^r{\lambda }_k{p}_{ki}.$$

Если, с другой стороны, в качестве условия, которое налагается на энергию варьированного движения, принять следующее:
$${\delta }^{\prime }Udt+dT\delta t=\delta Tdt,$$

то отсюда вытекает расширенный принцип нацменьшего действия. Условие (7) можно еще преобразовать. Мы имеем :
$$\begin{array}{l}\delta tdT=\delta t(\frac{\partial T}{\partial t}dt+\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}{q}_i^{\prime }dt+\sum \frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}{q}_i^{\prime \prime }dt),\\ dt\delta T=dt(\frac{\partial T}{\partial t}\delta t+\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}\delta q_i+\sum \frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}\frac{\delta d{q}_i-q^{\prime }\delta dt}{dt}),\end{array}$$

или на основании уравнений (7) и (5) при соответствующих обозначениях,
$${\delta }^{\prime }U=\sum (\frac{\partial T}{\partial q_i}{\delta }^{\prime }{q}_i+\frac{\partial T}{\partial q_i}{\delta }^{\prime }{q}_i^{\prime }),$$

так что и здесь при виртуальном перемещении полная энергия не изменяется, так как последнее уравнение может быть записано также в виде
$${\delta }^{\prime }(T-U)=0.$$

Таким образом, соответствующее исследование проведено и в самом общем случае.