При варьировании этого движения в основном приходится иметь дело с траекториями. Рассмотрим траекторию, соответствующую уравнению (13). Применение механических принципов требует, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, т. е. чтобы они соответствовали уравнению
\[
\varphi \delta x+\psi \delta y+\chi \delta z=0 .
\]
Так как это имеєт место для перемещений всех положений, то будет также
\[
d(\varphi \delta x+\psi \delta y+\chi \delta z)=0 .
\]
Но если мы хотим варьировать так, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тем же условиям, что и первоначальная, то уравнение (13) должно иметь силу для двух малых, соответствующих одна другой частей обеих траекторий. Вычитая полученные таким образом уравнения, получаем
\[
\delta(\varphi d x+\psi d y+\chi d z)=0 .
\]
Связь обоих выдвинутых здесь для варьирования требований станет яснее, если мы найдем такие варьирования, которые выполняют оба требования. Если уравнения (16) и (17) развернуть и вычесть одно из другого, то в результате будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left(\varphi_{2}-\psi_{1}\right)(\delta x d y-\delta y d x)+\left(\psi_{3}-\chi_{2}\right)(\delta y d z-\delta z d y)+ \\
+\left(\chi_{1}-\varphi_{3}\right)(\delta z d x-\delta x d z)=0 .
\end{array}
\]
Уравнение (15) совместно с соотношением (13), выполняемым для первоначальной траектории, дает пропорцию
\[
(\delta x d y-\delta y d x):(\delta y d z-\delta z d y):(\delta z d x-\delta x d z)=\chi: \varphi: \psi .
\]
Но эта пропорция совместима с уравнением (18) только тогда, когда либо выполняется условие интегрируемости (14), либо
\[
\delta x: \delta y: \delta z=d x: d y: d z \text {. }
\]
В последнем случае мы встречаемся с варьированием совсем особого рода, с варьированием траектории в самое себя, что соответствует варьированию, примененному в § 5. Но уравнение (15) допускает более общий вид решения. Точно так же уравнению (17), т. е.*) уравнению
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right. & \left.\delta y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \delta z\right) d x+\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \psi}{\partial y} \delta y+\frac{\partial \psi}{\partial z} \delta z\right) d y+ \\
+ & \left(\frac{\partial \chi}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \chi}{\partial y} \partial y+\frac{\partial \chi}{\partial z} \delta z\right) d z+\varphi d \delta x+\psi d \delta y+\chi d \delta z=0,
\end{aligned}
\]
можно удовлетворить вариациями, которые исчезают на концах траектории, а на протяжении траектории не удовлетворяют пропорции (19).
Поэтому, если условие интегрируемости не соблюдено, то оба требования ведут к разного рода вариациям. Эти вариации грубо можно представить в наглядной форме следующим образом. Каждой точке первоначальной траектории соответствует согласно уравнению (13) элемент поверхности, который можно рассматривать как плоский. Эти плоскости огибаются $\qquad$
некоторой развертывающейся поверхностью $\alpha$. Варьированная траектория идет все время приблизительно параллельно первоначальной, и таким образом обе вместе образуют узкую ленту. При вариациях, которые соответствуют механическим принципам, отрезок, определяемый составляющими $\delta x, \delta y, \delta z$, лежит на элементе поверхности, соответствующем согласно уравнению (13) точке ( $x, y, z$ ), а тем самым и на поверхности $\alpha$; при другого рода вариациях этого нет. Поэтому в первом случае указанную ленту можно приближенно рассматривать как вырезанную из поверхности $\alpha *$ ), тогда как во втором случае она образует вдоль первоначальной траектории конечные углы с развертывающейся поверхностью $\alpha$.
