16. Самым естественным выбором таких элементов будет такой, при котором они будут соответствовать при невозмущенном движении начальным величинам $e_{i}, p_{i}$. Эти величины при помощи дифференциальных уравнений (H) могут быть выражены в невозмущенном движении следующим образом :
\[
e_{i}=\eta_{i}-\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{i}} d t, p_{i}=\bar{\omega}_{i}+\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{i}} d t,
\]

и если мы предположим, что они найдены путем исключения в форме
\[
\left.\begin{array}{l}
e_{i}=\eta_{i}+\Phi_{i}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right), \\
p_{i}=\bar{\omega}_{i}+\Psi_{i}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right),
\end{array}\right\}
\]

то легко видеть, что следующие уравнения должны быть строго и тождественно истинными $\left[{ }^{109}\right.$ ] для всех значений $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
0=\Phi_{i}\left(0, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right), \\
0=\Psi_{i}\left(0, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Поэтому, когда мы, переходя к возмущенному движению, устанавливаем уравнения определения
\[
\left.\begin{array}{l}
k_{i}=\eta_{i}+\Phi_{i}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right), \\
\lambda_{i}=\bar{\omega}_{i}+\Psi_{i}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}\right),
\end{array}\right\}
\]

вводя $6 n$ переменных элементов $k_{i}, \lambda_{i}$, в которых группа $\lambda_{i}$ была бы представлена в нашем недавнем обозначении как
\[
\lambda_{i}=k_{3 n+i},
\]

то мы видим, что все частные производные вида $\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{r}}, \frac{\delta k_{i}}{\delta \omega_{r}}, \frac{\delta \lambda_{i}}{\delta \eta_{r}}, \frac{\delta \lambda_{i}}{\delta \bar{\omega}_{r}}$ исчезают, когда $t=0$, за исключением следующих :
\[
\frac{\delta k_{i}}{\delta \eta_{i}}=1, \quad \frac{\delta \delta \lambda_{i}}{\delta \bar{\omega}{ }_{i}}=1 .
\]

Поэтому, когда $t=0$ в коэффициентах $a_{i, s}$ (59), все эти коэффициенты исчезают за исключением следующих :
\[
a_{r, 3 n+r}=1, \quad a_{3 n+r, r}=-1 .
\]

Однако доказано, что эти коэффициенты $a_{i, s}$, когда они выражены как функции элементов, не содержат явно времени, а предположение, что $t=0$, не устанавливает никакого соотношения между этими $6 n$ элементами $k_{i}, \lambda_{i}$, которые по-прежнему остаются независимыми. Поэтому козффициенты $a_{i, s}$ не могут приобрести значений $1,0,-1$ при предположении, что $t=0$, если только они не имели этих значений постоянно и независимо от этого предположения. Отсюда дифференциальные уравнения вида (B1) могут быть выражены для данной системы переменных элементов следующим, более простым образом:
\[
\frac{d k_{i}}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{i}} ; \quad \frac{d \lambda_{i}}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{i}} .
\]

Эти выражения легко можно проверить при помощи формулы ( $\mathrm{E}^{1}$ ), которая теперь принимает такой вид :
\[
\Sigma\left(\frac{\delta H_{2}}{\delta k} \frac{d k}{d t}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda} \frac{d \lambda}{d t}\right)=0 .
\]
17. $e_{i}, p_{i}$, очевидно, представляют собой начальные значения переменных элементов $k_{i}, \lambda_{i}$ согласно определениям (72) и тождественным уравнениям (71). Таким образом, задача строгого интегрирования уравнений возмущенного движения (G), связывающего переменные $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ и время, или задача определения этих переменных в качестве функций времени и их собственных начальных значений $e_{i}, p_{i}$, строго преобразуется в задачу интегрирования уравнений $\left(\mathrm{G}^{1}\right)$ или определения $6 n$ элементов $k_{i}, \lambda_{i}$ как функций времени и тех же самых начальных значений. Главное преимущество этого преобразования заключается в том, что при малых возмущениях новые переменные (т.е. элементы) меняются лишь незначительно, и еще в том, что поскольку новые

дифференциальные уравнения имеют тот же вид, что и старые, их можно интегрировать аналогичным способом. Следовательно, рассматривая определенный интеграл
\[
E=\int_{0}^{t}\left(\Sigma \lambda \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda}-H_{2}\right) d t
\]

как функцию времени и $6 n$ величин $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{3 n}, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}$, и заметив, что при помощи процесса, аналогичного тому, который дан в четвертом параграфе настоящей работы, можно показать, что его вариация, взятая по отношению к последним величинам, будет
\[
\delta E=\Sigma(\lambda \delta k-p \delta e),
\]

мы находим, что строгие интегралы дифференциальных уравнений ( $\left.\mathrm{G}^{1}\right)$ могут быть выражены уравнениями
\[
\lambda_{i}=\frac{\delta E}{\delta k_{i}}, \quad p_{i}=-\frac{\delta E}{\delta e_{i}},
\]

в которые входит только одна неизвестная функция элементов $E$, и проблема возмущения при помощи этого нового метода сводится к отысканию и изучению этой единственной функции.
Мы также могли положить
\[
C=\int_{0}^{t}\left(-\Sigma k \frac{\delta H_{2}}{\delta k}+H_{2}\right) d t
\]

и рассматривать этот определенный интеграл $C$ как функцию времени и $6 n$ величин $\lambda_{i}, p_{i}$ и тогда нашли бы другие формы для интегралов дифференциальных уравнений переменных элементов, а именно :
\[
k_{i}=+\frac{\delta C}{\delta \lambda}, \quad e_{i}=-\frac{\delta C}{\delta p_{i}} .
\]

При этом каждая из этих функций элементов $C$ и $E$ должна удовлетворять некоему уравнению в частных производных, аналогичному первому уравнению из каждой пары, упомянутой в шестом параграфе этой работы и выведенной на основе аналогичных принципов [110].
18. Таким образом, из формы функции $E$ и из уравнений ( $\left.\mathrm{K}^{1}\right),\left(\mathrm{G}^{1}\right)$ и (76) видно, что частная производная этой функции, взятая по времени, представляет собой
\[
\frac{\delta E}{\delta t}=\frac{d E}{d t}-\Sigma \frac{\delta E}{\delta k} \frac{d k}{d t}=-H_{2} ;
\]

следовательно, если мы разделим эту функцию $E$ на любые две части
\[
E_{1}+E_{2}=E
\]

и если для общей ясности мы напишем выражение $H_{2}$ в виде
\[
H_{2}=H_{2}\left(t, k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{3 n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{3 n}\right),
\]

то получим строго уравнение в частных производных
\[
0=\frac{\delta E_{1}}{\delta t}+\frac{\delta E_{2}}{\delta t}+H_{2}\left(t, k_{1}, \ldots, k_{3 n}, \frac{\delta E_{1}}{\delta k_{1}}+\frac{\delta E_{2}}{\delta k_{1}}, \ldots, \frac{\delta E_{1}}{\delta k_{3 n}}+\frac{\delta E_{2}}{\delta k_{3 n}}\right) \cdot\left(\mathrm{P}^{1}\right)
\]

Когда часть $E_{2}$ мала и мы пренебрегаем квадратами и произведениями ее частных производных, эти уравнения с помощью $\left(\mathrm{G}^{1}\right)$ и ( $\left.\mathrm{K}^{1}\right)$ приближенно

приводятся к следующему [111]:
\[
0=\frac{d E_{2}}{d t}+\frac{\delta E_{1}}{\delta t}+H_{2}\left(t, k_{1}, \ldots, k_{3 n}, \frac{\delta E_{1}}{\delta k_{1}}, \ldots, \frac{\delta E_{1}}{\delta k_{3 n}}\right) .
\]

Отсюда, с той же степенью приближения, видим, что если часть $E_{1}$, подобно полной функции $E$, взята такой, чтобы она исчезала со временем, то мы получим
\[
E_{2}=-\int_{0}^{t}\left\{\frac{\delta E_{1}}{\delta t}+H_{2}\left(t, k_{1}, \ldots, k_{3 n}, \frac{\delta E_{1}}{\delta k_{1}}, \ldots,-\frac{\delta E_{1}}{\delta k_{3 n}}\right)\right\} d t
\]

и, таким образом, первое приближенное выражение $E_{1}$ можно последовательно и неопределенно долго корректировать.
Посредством $\left(\mathrm{L}^{1}\right)$ и ( $\mathrm{G}^{1}$ ) и при помощи определения (77) имеем
\[
\frac{\delta C}{\delta t}=\frac{d C}{d t}-2 \frac{\delta C}{\delta \lambda} \frac{d \lambda}{d t}=H_{2},
\]

и поэтому функция $C$ должна строго удовлетворять уравнению в частных производных
\[
\frac{\delta C}{\delta t}=H_{2}\left(t, \frac{\delta C}{\delta \lambda_{1}}, \ldots, \frac{\delta C}{\delta \lambda_{3 n}} \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{3 n}\right) .
\]

Если же мы положим, что
\[
C=C_{1}+C_{2},
\]

и предположим, что часть $C_{2}$ мала, то строгое уравнение
\[
\frac{\delta C_{1}}{\delta t}+\frac{\delta C_{2}}{\delta t}=H_{2}\left(t, \frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{1}}+\frac{\delta C_{2}}{\delta \lambda_{1}}, \ldots, \frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{3 n}}+\frac{\delta C_{2}}{\delta \lambda_{3 n}}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{3 n}\right),\left(\mathrm{V}^{1}\right)
\]

если принять во внимание равенства (G) и (L1), приближенно приведется к виду
\[
\frac{d C_{2}}{d t}=-\frac{\delta C_{1}}{\delta t}+H_{2}\left(t, \frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{1}}, \ldots, \frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{3 n}}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{3 n}\right)
\]

и путем интегрирования превратится в следующее:
\[
C_{2}=\int_{0}^{t}\left\{-\frac{\delta C_{1}}{\delta t}+H_{2}\left(t, \frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{1}}, \ldots, \frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{3 n}}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{3 n}\right)\right\} d t,
\]

причем предполагается, что части $C_{1}$ и $C_{2}$ исчезают раздельно, когда $t=0$, подобно полной функции элементов $C$.

Для того же чтобы получить такое первое приближение $E_{1}$ или $C_{1}$ любой из этих двух функций элементов $E$ и $C$, мы можем заменить в определениях (76) и (77) переменные элементы $k$ и $\lambda$ их начальными значениями $е$ и $p$ и затем исключить одну группу этих начальных значений при помощи соответствующей группы следующих приближенных уравнений, выведенных из формулы ( $\left.\mathrm{G}^{1}\right)$ :
\[
k_{i}=e_{i}+\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{i}} d t
\]

и
\[
\lambda_{i}=p_{i}-\int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{i}} d t .
\]

Отсюда легко можно видеть, что эти две функции элементов $C$ и $E$ связаны друг с другом [112], а также с возмущающей функцией $S_{2}$, так что форма любой из них может быть выведена из формы любой другой в том случае, когда функция $S_{1}$ невозмущенного движения известна.