1. В основе применения и физического смысла вариационных принципов механики лежат две теоремы : теорема независимости Гильберта и теорема Эмми Нетер. Первая теорема дает математическое обоснование вариационных принципов, вторая – раскрывает их физический смысл, связывая их с центральной физической проблемой – проблемой инвариантов различных групп преобразований.

Из теоремы независимости Гильберта*) не только непосредственно следуют хорошо известные условия минимума функционала, но также и все существенные положения теории Гамильтона-Якоби.
Еще более велико значение теоремы Нетер.
В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма.

Теорема Нетер гласит, что всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон преобразования функций поля, соответствует определенный инвариант, т.е. сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных**). Так, инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета в пространстве (однородности пространства) соответствует закон сохранения количества движения; инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии ; инвариантности относительно пространственных поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения момента количества движения. Инвариантность относительно преобразований Лоренца***), т. е. вращений в плоскостях $(x, t),(y, t),(z, t)$, приводит к обобщенному закону сохранения движения центра тяжести. Таким образом, в четырехмерном пространстве времени имеем всего десять фундаментальных законов сохранения.

Собственно говоря, физический смысл принципа Гамильтона глубже и полнее всего выражается теоремой Нетер.
2. Появление электромагнитного поля в физике не только как модельного образа Фарадея, но и как системы, законы которой могут быть выражены с помощью уравнений типа уравнений Лагранжа и некоторыми

обобщенными формулировками опытных данных, привело к фундаментальным изменениям в классической физике. Оказалось, во-первых, что нельзя этот новый элемент физической картины мира свести к единому кинетическому механизму, который охватывал бы тепловые, электромагнитные и другие явления, хотя в ряде частных случаев это и удавалось сделать. Во-вторых, оказалось, что хотя и можно выразить законы электромагнитного поля в форме принципа Гамильтона, но это выражение нуждается в существенно новом и чуждом механике определении лагранжиана. Определение его вводится уже не на основании единой модели явлений, а по аналогии, которую можно установить между элементами, фигурирующими в описании электромагнитных явлений и в классической механике.

На место единой физической картины мира была поставлена объединенная картина, в которой отдельные части связывались вариационным принципом, но в каждой из этих частей требовалось как для их описания и объяснения, так и для применения вариационного принципа введение хотя и механически толкуемых, но не сводимых и не связанных между собой понятий и представлений (например, локализация энергии в электродинамике и вероятность в термодинамике). Никакое прибавление слова «динамика» к названию отдельных частей физики не могло, конечно, ничего изменить в этом смысле.

Развитие физики есть процесс неравномерный, но в целом ускоренный. Поэтому единая картина мира дольше задержалась на историко-научной сцене, чем объединенная, которая быстро в течение трети столетия отошла в прошлое, в основном под натиском бурного развития физики XX в.

Однако этот вариант механистической физики более гибок, чем классический, и потому он появился и в новой квантовой физике, особенно на первой стадии ее развития, и на историческом рубеже создания волновой и квантовой механики, и при разработке релятивистской квантовой электродинамики.
3. Вопрос об определении места вариационных принципов механики в системе физических знаний заключается, конечно, в первую очередь в форме выражения этого принципа. Однако указанный вопрос не исчерпывается этой формой. Обычное толкование принципа наименьшего действия состоит в том, что его широкое применение в физике основано на удобной форме. Ряд авторов стоит на той точке зрения, что содержание принципа Гамильтона тождественно с содержанием основных уравнений динамики. Так, например, Кирхгоф говорит: «Принцип Гамильтона, д’аламберовы и лагранжевы дифференциальные уравнения поэтому совершенно равнозначны»*). Такая точка зрения господствует в научной литературе XIX в. Тем не менее, отождествление содержания принципа Гамильтона и уравнений динамики представляет собой положение недостаточно обоснованное. Методологической основой этой концепции является непонимание соотношения между формой и содержанием вообще. Тот факт, что как в механике, так и вне ее принцип Гамильтона применяется в одной и той же форме, еще недостаточен для того, чтобы сделать вывод о том, что содержание этого принципа в том и другом случае одно и то же. Принцип Гамильтона выражает некоторое свойство неорганической природы, общее ряду форм движения, и постольку он применим к механическому движению как частному случаю.

По сравнению с принципом Д’Аламбера принцип Гамильтона имеет то преимущество, что в нем рассматривается один единственный скаляр $L$;

таким образом, отпадает необходимость отыскивать ускорение каждой частицы и определять виртуальную работу сил инерции.

Сопоставление принципа Гамильтона с принципом наименьшего действия Эйлера-Лагранжа показывает, что первый допускает более широкое обобщение. Принцип Гамильтона является наиболее общей и абстрактной формой изложения физической сущности механики. Почти для всех разделов физики можно найти вариационные принципы, которые приведут к соответствующим «уравнениям движения»; при таком построении теории этих отделов физики будут характеризоваться известной структурной аналогией, имеющей серьезную познавательную ценность.
4. Широко распространенное в литературе выражение «доказательство принципа (начала)\” безусловно является неправильным. Принципы не доказываются, они вводятся и формулируются как обобщение широкого класса опытных данных. То, что называется доказательством принципов, есть вывод из принципов уравнений движения. Такой вывод показывает лишь, что для круга опытных фактов, выражаемых уравнениями движения, тот или иной принцип (или начало) не приводит к абсурдным результатам, а действительно выражает некоторую совокупность экспериментальных данных. Будет ли этот принцип охватывать и другие явления, не описываемые уравнениями движения, или даже те же явления, но осложненные наложенными дополнительно условиями, сказать на основании такого «доказательства\” нельзя. Такое «доказательство» устанавливает лишь, что в данной области принцип и уравнения движения эквивалентны, т. е. выражают одни и те же наблюдаемые явления, хотя и в различной математической форме.
5. Принцип Гамильтона охватывает и механические и целый ряд немеханических явлений. Выводя принцип Гамильтона из уравнений динамики, мы выводим его как механический принцип. В той же математической форме он выступает и как закон немеханических явлений. На основании этого часто делалось такое заключение: раз принцип Гамильтона есть механический принцип (и притом выводимый из уравнений динамики), то из факта его применимости к немеханическим явлениям следует механическая природа этих явлений. Ошибочность этого заключения очевидна.

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это – важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт: если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким обрразом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно-

весия. Законы же процессов движения проще всего формулируются с помощью принципа Гамильтона*).
6. Заметим, что близость принципа Гамильтона и принципа наименьшего действия не исключает различия между ними.

Поясним на очень простом примере различие между принципом Гамильтона и принципом наименьшего действия.

Пусть имеется система материальных точек, которая свободно или по принуждению движется по какой-либо неизменной поверхности и на которую явно не действуют никакие силы. Тогда $U$ постоянно и для варьированного движения имеет то же постоянное значение. Так как $T+U$ должно быть постоянно и неизменно для варьированного и неварьированного движений, то $T$, а также и $v$ должны для обоих движений быть одинаковыми и постоянными.
Следовательно,
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} m v^{2} d t=m v \int d s
\]

должен иметь экстремум, Так как $m$ и $v-$ константы, то должно быть
\[
\delta \int d s=0,
\]

так что длина $\int d s$ пути от неизменного начального положения к неизменному конечному положению должна быть для действительного движения экстремальной без того, чтобы время, требуемое для варьированного и неварьированного движений, было одним и тем же.

Если же применить к этому случаю принцип Гамильтона, то окажется, что для варьированного движения скорость от точки к точке несколько различна, однако изменяется так, чтобы полное время перехода от фиксированного начального положения к фиксированному конечному положению не изменялось (т. е. не варьировалось). Следовательно, в этом случае должно быть согласно принципу Гамильтона (так как $V, t_{1}-t_{0}$ и $m$ – константы)
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} v^{2} d t=0
\]

Этот пример ясно показывает, в чем именно состоит различие между двумя принципами : Гамильтона и наименьшего действия.
7. Надо далее указать на тесную связь принципа Гамильтона с принципом инерции, лежащим в основе классической механики Галилея-Ньютона.

Если мы обратим внимание на первую аксиому механики Ньютона ( $v=$ const для изолированного от внешних воздействий тела), то легко убедиться в ее не только внешней, но и внутренней связи с принципом наименьшего действия. Во-первых, для случая отсутствия внешних сил требование экстремума для интеграла $\int v d s$ дает прямую линию или бесконечность. Последнее мы отбрасываем, так как бесконечных траекторий между двумя точками может быть бесконечно много. Таким образом, мы получаем первую аксиому Ньютона из принципа наименьшего действия (однако в самом принципе заключено значительно большее содержание, чем в первой аксиоме Ньютона). Во-вторых, с точки зрения антропоморфно

рассуждающего наблюдателя, сохранение состояния сопряжено с наименьшей затратой «действия». Существенно здесь отметить, что первая аксиома Ньютона вместе со второй представляет собой формулировку принципа причинности на языке механики, состоящую в том, что каждое изменение должно иметь обусловившую его причину. Рассмотрение этой причины как внешней относительно тела, изменяющего свое состояние, есть одна из характерных черт механистического миропонимания. Таким образом, в самой основе механики Ньютона заложен четко сформулированный на языке механики принцип причинности. В то же время эта аксиома Ньютона получается из принципа наименьшего действия, которому усиленно пытались придать телеологическое истолкование.

Однако, как было уже отмечено, экстремальный характер вариационного принципа лишает телеологическое истолкование какого-либо смысла. Особенно отчетливо это видно при рассмотрении формы, которую Якоби придал принципу наименьшего действия
Сделаем несколько дополнительных замечаний.
Из выражения, найденного Якоби для принципа наименьшего действия, видно, что если силовая функция и связи не зависят от времени, то и траектория определяется независимо от времени, что не очевидно в уравнениях Лагранжа, но ясно видно из рассмотрения канонических уравнений, которые показывают также, что если траектория известна, то время определяется квадратурой. В принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории, так как время в этот принцип не входит ни в явном, ни в неявном виде. Поэтому из этого выражения принципа можно получить уравнения движения изображающей точки только введя какойлибо параметр.

Что же касается принципа Гамильтона, то с его помощью вариационные задачи в классической механике рассматриваются двумя различными методами.

В одном из них функция действия $S$ задается на всем интервале движения и вариации координат при $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$ должны обращаться в нуль, что эквивалентно заданию начальных и конечных условий. В другом методе, связанном с теорией Гамильтона-Якоби, функция $S$ выражается неопределенным интегралом, т. е. как бы обрывается на некотором моменте времени ; в этом случае задаются только начальные условия, некоторым образом фиксирующие нижний предел интеграла действия.

В классической механике исследуются такие задачи, в которых оба метода эквивалентны.

Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там, где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти о лагранжевой функции, зависящей от некоторых «координат», их первых производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две функции $T=T(q, \dot{q})$ и $V=V(q, t)$ отнюдь не является существенной и не имеет общего значения в физике.
8. Принципы, выраженные в форме вариации каких-либо интегралов и функций, формулируют существенные экстремальные свойства законов динамики.

Ведь если задана система сил (уравнения движения) и начальные условия, то каждое последующее положение материальной точки в любой момент времени однозначно определено. Принцип Гамильтона дает уравнения движения механики и, следовательно, отнюдь не противоречит причинно-

следственному подходу, заключенному в них. Но он охватывает движение в целом интегрально, в то время как уравнения движения разбивают его на ряд последовательных элементов.

В задачах механики число степеней свободы, вообще говоря, обычно невелико, в то время как число точек системы очень велико. Как в случае системы твердых тел, так и, в особенности, в случае непрерывной среды применение обобщенных координат позволяет свести задачу к конечному числу уравнений, каково бы ни было число точек.

Использование обобщенных координат – одно из преимуществ формализма Гамильтона-Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции $t, q, \dot{q}$, и к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех $\delta$ одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При $U=0$ из принципа Гамильтона получим :
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t=0
\]

а так как $T$ существенно положительно, то естественно считать это выражение условием минимума.

Эта теорема аналогична принципу наименьшего действия, но отличается от него, так как последний не зависит от рассмотрения времени. В классической механике принцип Гамильтона выражает свойство движения, зависящее от времени, а принцип наименьшего действия (особенно отчетливо это видно в форме, приданной ему Якоби) – свойство, не зависящее от времени. В случае, когда $U=0$, имеем $T=h$, и из принципа наименьшего действия получаем:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} h d t=h\left(t_{1}-t_{0}\right)
\]

Условие того, что этот интеграл есть минимум, заключается в данном случае в том, что соптветствующее значение ( $t_{1}-t_{0}$ ) должно быть наименьшим. Таким образом, в отсутствие движущих сил среди всех движений, при которых $T$ сохраняет одно и то же данное значение, действительным движением будет то, которое переводит систему из ее начального в конечное положение в кратчайшее время.

В отличие от минимума принципа Гамильтона условие минимума, входящее в формулировку принципа наименьшего принуждения, осуществляется без каких-либо ограничений, так как здесь речь идет о минимуме положительной квадратичной формы, что не требует дальнейшего исследования.
9. Определение траектории с помощью принципа наименьшего действия в форме Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума интеграла $\int_{s_{1}}^{s_{2}} \sqrt{(T)(U+h) d s^{2}}$, т.е. к определению геодезической линии.

Время при этом исключается из рассмотрения. Этот интеграл представляет собой действие в смысле механики лишь при дополнительном условии введения гипотезы, что энергия $T+U=$ const при движении системы.

Задачи динамики могут быть формулированы языком высшей геометрии, если связать каждую динамическую проблему с соответствующей формой метрической геометрии. В общем случае – это нериманова геометрия, причем конфигурационное пространство включает время в качестве координаты, равноправной с другими переменными. Тогда траектории механического движения тел будут представлены кратчайшими или геодезическими линиями такого метрического многообразия, в то время как волновые поверхности (или поверхности действия) становятся параллельными поверхностями. Геодезические же линии могут быть построены как ортогональные траектории к этим поверхностям. Тогда динамические процессы движения корпускулярных систем совпадают с задачей распространения света в оптически неоднородной среде.

В противоположность принципу Д’Аламбера, согласно которому движение определяется начальным положением точки и ее начальной скоростью, принцип наименьшего действия определяет движение по начальному и конечному положениям точки. При всех сравниваемых бесконечно близких движениях только начальные и конечные положения остаются без изменения, тогда как скорости, даже начальные скорости, могут быть произвольно варьируемы в пределах, допустимых заданными связями.

По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первыми, ни единственными в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютопа также выделяют из всех возможных движений – точнее говоря, из всех мыслимых движений – естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона, среди которых первая аксиома является частным случаем обобщенного принципа прямейшего пути Герца. Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого небходимо сравнение возможных движений между собой. Нечто аналогичное уже имело место и в принципе возможных перемещений.

Когда мы выражаем принципы механики в интегральной форме, то, если интеграл берется по времени, поведение системы как бы рассматривается в будущий и прошедший моменты времени в отличие от принципов, выраженных в дифференциальной форме. Однако это кажущееся «предвидение будущего» и определение из будущего настоящего является действительно кажущимся; так как вариационные принципы легко могут быть преобразованы к такому виду, при котором время исключено (выражение принципа наименьшего действия, данное Якоби) или не входит совершенно (принцип Герца).
10. Однако различные формы механики имеют различное значение как в отношении решения механических, так и, в особенности, в отношении немеханических проблем. Та форма, которую придал механике Лагранж, основав ее на законах, выраженных в дифференциальной форме, оказалась чрезвычайно продуктивной для решения проблем технической механики.

Другая форма механики, основанная на интегральных принципах, которую придали механике Гамильтон и Якоби, стала основным мето,юл

для исследования ряда проблем астрономии и физики как макрокосмоса, так и микрокосмоса.

В чем же причина этого различия, которое тем более интересно, что в сфере механики налицо полная эквивалентность дифференциальных и интегральных принципов.

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея – равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца опыта Майкельсона и т.п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем.
11. Рассматриваемые в принципе наименьшего действия варьированные состояния физически невозможны. Однако это, конечно, не все возможные состояния, а только какая-либо группа их, удовлетворяющая некоторым условиям. Так, например, в интеграле Гамильтона таким условием является требование одного и того же значения времени для перехода из начального в конечное состояние. Если же вводить какое-либо условие, отличающее принимаемые во внимание варьированные состояния от не принимаемых, то возникает очевидное затруднение : «все такие состояния нельзя выразить при помощи математических форм, достаточных для описания других невозможных состояний»*).

Эддингтон остроумно замечает, что принцип наименьшего действия можно сравнить с утверждением, что «если бы законы арифметики перестали быть верными, то $2+2$ было бы больше или равно (но наверное не меньше) четыремн**). Легко видеть, что это положение может быть сформулировано, если «неправильные системы арифметики» будут иметь неправильность какого-либо определенного вида. Если взять общий случай любых «неправильных систем арифметики», то, конечно, приведенное выше утверждение не имеет смысла. Аналогично и в принципе наименьшего действия мы выделяем из всех невозможных движений, не находящихся в согласии с законами природы, определенный ограниченный класс. Значение и смысл такого выделения состоит как раз в том, что проводимое сравнение позволяет глубже и всестороннее понять свойства и особенности действительного движения.

12. Принцип Гамильтона может быть применен к неконсервативным системам. В этом случае вместо $U$ необходимо будет писать $X d x+Y d y+Z d z$. Несмотря на некоторое усложнение, принцип сохраняет свое значение. Точно так же принцип Гамильтона допускает обобщение и на неголономные системы. Принцип Гамильтона рассматривает протекание явлений во времени. Закон же сохранения энергии не включает времени; для замкнутой системы он констатирует постоянство баланса энергии при трансформации ее в течение процесса от начального к конечному состоянию. Но закон сохранения энергии не указывает на путь, которым система должна перейти из начального в конечное состояние; другими словами, закон сохранения энергии допускает сколько угодно путей из начального в конечное состояние, лишь бы соблюдалось условие постоянства величины энергии в течение процесса. Закон сохранения энергии не дает однозначного ответа на вопрос о течении процесса. Если сравнить этот закон с принципом наименьшего действия, то разница между ними прежде всего проявляется в одном интересном факте. Если взять изолированную точку, то закон сохранения энергии требует для нее постоянства скорости ( $v=$ const), но ничего не говорит о направлении движения (т. е. о характере траектории). Из принципа же наименьшего действия непосредственно следует, что траектория этой изолированной точки будет прямой линией, ибо при $v=$ const выражение $\delta \int m v d s=0$ дает $\int d s=\min$, т. е. прямую линию.

Далее, формула закона сохранения энергии может быть выведена из принципа Гамильтона, обратное же без дополнительных предположений невозможно. Таким образом, в принципе Гамильтона мы имеем более общую формулировку реальных соотношений, чем в законе сохранения энергии. Значение принципа Гамильтона резко возрастает благодаря тому, что он может быть сформулирован таким образом, что входящие в него величины будут иметь не только механическое значение. Другими словами, исходя из механической формулировки принципа, мы расширяем область его применения и на другие отделы физики. Это достигается путем введения понятия обобщенных координат, под которыми понимается совокупность любых параметров, которыми однозначно определяются состояния системы.

При этом все другие параметры, как, например, скорости, должны быть лолучены из этих обобщенных координат. Таким образом, принцип, оставаясь механическим по своему происхождению, охватывает другие области физики. Первостепенную роль в этом расширении сферы действия принципа играет аналогия, ибо хотя по содержанию обобщенные координаты могут существенно отличаться от координат механики $x, y, z$, но формы связи их между собой и скоростями их изменений совпадают с соответствующими формами механики. В сущности, значение принципа Гамильтона в классической неполевой физике сводится к весьма простому обстоятельству. Исследуется какая-либо физическая система, о которой а priori нельзя утверждать, что она удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Непосредственно подставлять значения соответствующих функций в эти уравнения не всегда можно: во-первых, часто трудно подобрать соответствующий вид функции, а во-вторых, неясно, будут ли она удовлетворять этим уравнениям. Поэтому на сцену выступает принцип Гамильтона. Если удастся параметры такой системы привести к виду функции $L$ и если эта функция обратит в нуль вариацию интеграла Гамильтона, то тогда, введя эту функцию в уравнения Лагранжа, можно динамически определить систему.

Принцип Гамильтона (так же как и другие интегральные принципы) прежде всего обобщает свойства, присущие уравнениям движения, а по-

скольку эти последние являются выражением законов механики, то также и свойства этих законов.
13. В основе законов механики лежит определенный тип каузальной связи – так называемая динамическая закономерность, смысл которсй в механике состоит в том, что если заданы начальные условия системы и действующие силы, то положение системы на траектории в любой момент времени однозначно определено. В целом можно признать, как говорит Гамель*), что в основе механики лежат следующие всеобщие аксюмы познания природы: «A – время и пространство однородны; $B$ – пространство изотропно …; $C$ (достаточного основания) – все явления должны иметь свою познаваемую причину, которой они однозначно определены; $D$ – не существует никакой исключительной длины, никакой исключительной (ausgezeichnete) скорости и никакой исключительной массы, которые имели бы значение для построения классической механики».

Вряд ли все эти «аксиомы» можно считать «всеобщими аксиомами познания», но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе – в своем содержании и математической форме – указанные «аксиомы». Изучение любой области или процессов мира, в которых пространство окажется анизотропным или в которых существует квантованная (элементарная) длина и т. п., потребует изменения – обобщения вариационных принципов. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Опи утверждают только, тто вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратнөе не имеет места. Действительный минимум интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути.

Вариационные принципы выражают дифференциальные уравнения физических явлений в виде одной компактной теоремы, в них мы имеем такой тип принципов, который объединяет законы большой части физики. Законы различных областей физики выражаются несложными дифференциальными уравнениями, широко распространенным свойством которых является то, что они могут быть сформулированы в виде вариационного принципа. Всякий же вариационный принцип эквивалентен некоторой системе дифференциальных уравнений. Таким образом, если законы каких-либо физических явлений выражаются дифференциальными уравнениями, то, исходя из чисто математических соображений, не связанных с сущностью этих явлений, возможно их приведение к вариационный форме. Это важно постольку, поскольку позволяет записать эти уравнения в форме, независимой от системы координат.

В электродинамике одна и та же функция Лагранжа служит для вывода уравнений поля и заряженных тел, что математически отнюдь не является очевидным. Это обстоятельство связано с тем, что уравнения системы полетело могут быть написаны в гамильтоновой форме, которая далее необходима

для перехода к квантовой механике. Так как действительно классические теории являются только приближениями или аналогами соответственных квантовомеханических теорий, то можно было бы ожидать, что классические принципы теории будут применимы в квантовой механике. Однако квантовомеханический эквивалент уравнения Гамильтона не сводим к вариационным принципам классической физики благодаря существенному изменению физического смысла входящих в него величин.
14. Таким образом, принцип Гамильтона, может быть в несколько парадоксальной форме, выражает существенное свойство, присущее динамической закономерности. А так как внутри механики принцип Гамильтона эквивалентен уравнениям движения, то он в той же степени связан или является конкретным определением динамической закономерности, в какой она выражается уравнениями движения.

Следовательно, везде за пределами собственно механики, где имеет место каузальная связь такого типа, должен действовать и принцип Гамильтона.

Уже классическая физика, кроме динамической, оказалась вынужденной рассматривать и так называемую статистическую закономерность. Все различные типы каузальной связи имеют общим то, что они устанавливают какое-то соотношение между двумя явлениями в пространстве и времени. Поскольку в них имеется общее, постольку формула, выражающая один из частных типов каузальной связи, в известном, ограниченном смысле может иметь место и для другого типа.

Статистическая закономерность (закономерность поведения ансамбля), хотя и является уже иным типом каузальной связи, чем динамическая, но в то же время является ближайшей к ней по своему характеру, поскольку в основе ее лежит наложение реальных движений огромного количества дискретных частиц, входящих в статистический ансамбль. ‘То, что это-иной тип каузальной связи для ансамбля, видно уже из необходимости ввести понятие о микроканоническом распределении и вероятности. То, что этот тип близок к динамическому, видно, во-первых, из того, что возможность рассмотрения такого ансамбля основана на экспериментально подтвержденном представлении о механическом однородном и независимом (на длине свободного пробега) движении каждой из частиц, входящих в ансамбль, и, во-вторых, из того, что описание поведения физических классических ансамблей осуществляется в статистической механике гамильтоновыми уравнениями с помощью тех же по форме и существу функций, которые применяются в классической механике.

Переход к новому типу каузальной связи, который условно можно было бы назвать «квантовым» и который характерен для квантовой (нерелятивистской и релятивистской) механики, где уже классические величины заменяются операторами, где вероятность состояния индивидуальной частицы и индивидуального акта взаимодействия имеет, как известно, совсем иной смысл, чем вероятность состояния ансамбля в классической статистической механике, приводит к тому, что положение и роль принципа Гамильтона оказываются в квантовой механике совершенно иными, чем в классической физике. Важная историческая роль, сыгранная принципом и оптико-механической аналогией в начальной стадии формирования волновой механики, объясняется не только тем, что существует реальная связь и предельный переход от механики атома к классической физике, но также и тем, что существуют общие черты в типах каузальной связи макро- и микрокосмоса. Но именно потому, что для энергии и времени, так же как для импульса и соответствующей координаты, в квантовой механике имеют место перестановочные соотношения, а сами они являются уже операторами, классический интеграл Гамильтона (и принцип наименьшего действия) имеет в ней не-

сколько иной физический смысл, чем тот, который он имел в физике обратимых макроскопических процессов.

Это обстоятельство отражает фундаментальное отличие квантовой теории от классической, которое состоит в том, что в квантовой теории определяется амплитуда вероятности, а не сама вероятность. В квантовой теории полей изменение смысла принципа связано с новыми условиями инвариантности, локальности и т. п.
15. В возможности образования любой волны как огибающей вторичных предшествующих волн (которая, по существу, выражает свойство группы однородных касательных преобразований) заключается существенный характер распространения посредством волн.

Так как канонические уравнения вполне определяются функцией $H(p, q)$, то отсюда следует весьма наглядное, с физической точки зрения, заключение, что явление распространения волн может быть полностью описано, если известна скорость распространения, выраженная в функции места и ориентации фронта волны.

Распространение света в какой угодно среде представляет собой процесс, определяемый однородной канонической системой с соответствующей характеристической функцией $H[p(q)]$, конечной, однородной и первой степени относительно $p$. Это и есть аналитическое выражение принципа Гюйгенса, рассматриваемого в его первоначальном, исключительно геометрическом виде.

Пусть большое количество невзаимодействующих точек выброшено с одинаковой энергией $H$ из некоторой точки на поверхности $\Sigma$. Поле сил, в котором движутся точки, считаем консервативным. Частицы описывают некоторые траектории, которые на начальном участке перпендикулярны к этой поверхности. Рассмотрим одну из частиц. Она покидает точку $O$ поверхности $\Sigma$ в момент времени $t=0$ и достигает некоторой точки $A$ на траектории в момент времени $t$. Взяв интеграл принципа наименьшего действия в форме Лагранжа от $O$ до $A$, предположив в точке $O$ действие равным нулю, мы найдем, что действие частицы в точке $A$ равно этому интегралу. Следовательно, частица на каждом участке своей траектории связана с некоторым значением действия и действие возрастает по мере того, как частица описывает траекторию. Очевидно, что мы можем определить действие в любой точке траектории независимо от того, находится там на самом деле частица или нет.

Рассмотрим теперь поток частиц. Предположим, как выше, действие равным нулю во всех точках поверхности $\Sigma$, из которых вылетают частицы. В точке $A$ любой траектории действие имеет некоторое значение. Соединив все точки с одинаковым действием, получим непрерывные поверхности поверхности равного действия. Уравнения динамики показывают, что эти поверхности пересекаются всеми траекториями под прямым углом. Так как взятая нами точка $A$ есть произвольная точка траектории, то можно заключить, что поверхности равного действия образуют простое бесконечное семейство и что траектории ортогональны к этим поверхностям.

Одной из этих поверхностей будет поверхность $\Sigma$, на которой действие равно нулю, а на всех остальных оно возрастает вдоль траектории. Надо заметить, чтобы избежать возможного недоразумения, что частицы, вышедшие с поверхности $\Sigma$ одновременно, достигают какой-либо заданной поверхности действия отнюдь не в одно и то же время.

Если взять гамильтоново действие, то поверхности равного действия в консервативном поле для частицы, движущейся из точки $O$ в точку $A$, мы получим, определив значение интеграла от $T+U(=T-V)$ по времени движения между этими точками ; допустив, что на поверхности $\Sigma$ гамиль-

тоново действие равно нулю, мы получим, тақим образом, его значение в точке $A$.

Предположим далее, что частица покидает точку $O$ в момент времени $t=0$.

В таком случае, если обозначить лагранжево действие в точке $A$ через $V$, то гамильтоново действие для той же точки будет :
\[
S=V-t H
\]

где $H$ – полная энергия, с которой частица движется, а $t$-время движения частицы от $O$ до $A$. Из (98) видно, что так как на поверхности $\Sigma$, как было уже предположено, $V=0$, то $S$ на той же поверхности будет равно нулю в начальный момент времени $t=0$.

Таким образом, гамильтоново действие связано с движущейся частицей, или, иначе говоря, оно имеет значение только в точках, через которые проходит частица. Однако гамильтоново действие имеет и более общий характер и может быть определено для каждой точки траектории и в каждый момент времени. Пусть в момент времени $t$ частица проходит через точку $A$, тогда (98) определит гамильтоново действие частицы в этой точке. Однако и после того, как частица пройдет $A$ (или раньше, чем она достигнет точки $A$ ), формула (98) определяет гамильтоново действие в этой точке для каждого момента времени $t$. Из формулы (98) видно, что с течением времени гамильтоново действие в точке $A$ убывает по величине, а в данный момент времени оно возрастает вдоль траектории.

Возьмем на различных траекториях те точки, для которых гамильтоново действие в момент времени $t$ имеет то же значение $S$, как в точке $A$. Тогда (98) показывает, что для всех этих точек лагранжево действие будет одинаково: $S+t H$. Следовательно, точки равных значений гамильтонова действия в данный момент времени будут покрывать поверхность равного лагранжева действия. Это имеет место для всех моментов времени и для всех точек на траектории.

Таким образом, поверхности равного гамильтонова действия $S$ совпадают во всякий момент времени с поверхностями равного лагранжева действия $V$.

Однако между этими поверхностями существует одно существенное и важное различие. Поверхность равного лагранжева действия есть фиксированная поверхность, которая не меняет своего положения с течением времени. Что же касается поверхности равного гамильтонова действия, то она не остается фиксированной, так как мы видели, что величина гамильтонова действия в какой-либо фиксированной точке меняется с течением времени.

Легко показать, исходя из (98), как поверхность равного гамильтонова действия должна двигаться для того, чтобы оставаться связанной с одним и тем же фиксированным значением действия. Поверхность эта должна двигаться нормально к траекториям со скоростью, определенной в каждой точке и равной $H / p$, где $p$ – величина импульса частицы в рассматриваемой точке. Эта скорость совпадает с той, которую де Бройль ввел для волновой скорости своих волн и, следовательно, для скорости их волновых фронтов, а так как волны де Бройля также перпендикулярны к их траекториям, то отсюда вытекает, что его волновые фронты движутся вдоль поверхностей равного гамильтонова действия.
16. Заметим, что из выражения, найденного Якоби для принципа наименьшего действия, видно, что если силовая функция и связи не зависят от времени, то и определение траектории выполняется независимо от времени, что не представляется очевидным в уравнениях Лагранжа, но непосредственно ясно из рассмотрения канонических уравнений, которые показывают

также, что если траектория известна, то время определяется квадратурой. Принцип наименьшего действия предполагает, что система имеет несколько степеней свободы, так как если бы имелась только одна степень свободы, то для определения движения было бы достаточно одного уравнения. Так как в этом случае движение может быть полностью определено законом живых сил, то действительное движение будет единственным, которое ему удовлетворяет, и поэтому не может быть сравниваемо с каким-либо другим движением.
17. Как известно, преобразование Лежандра переводит функцию данной группы переменных в новую функцию новой группы переменных. Старые и новые переменные относятся друг к другу, как точечное преобразование. Это преобразование обладает тем замечательным свойством, что оно совершенно симметрично в обеих системах, и то же преобразование, которое переводит старую систему в новую, переводит и, обратно, новую систему в старую.

Лежандрово преобразование может быть приложено к лагранжиану, рассматриваемому как функция переменных преобразования $\dot{q}_{i}$, а также координат положения $q_{i}$ и времени $t$. При этом скорости преобразуются в импульсы, а лагранжиан – в гамильтониан. Преобразование Лежандра при приложении его к уравнениям Лагранжа отделяет дифференцирование по времени от алгебраического процесса и приводит к каноническим уравнениям. В самом деле, определив обобщенный импульс $p_{i}$ через лагранжиан
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}},
\]

запишем уравнения Лагранжа в форме
\[
\dot{p}_{i}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}} .
\]

С помощью преобразования Лежандра определение (а) перейдет в
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},
\]

причем ни (а), ни (с) не выражают какого-либо физического закона, а являются определением обобщенного импульса через скорости и скорости через импульсы.
Так как
\[
L=\sum p_{i} \dot{q}_{i}–H,
\]

то уравнение (b) перейдет в
\[
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} .
\]

Полученные, таким образом, канонические уравнения (c) и (d) совершенно эквивалентны исходным уравнениям Лагранжа; перед последними они имеют то преимущество, что производные по $t$ находятся только в левой стороне уравнений, так как гамильтониан не содержит каких-либо производных от $q_{i}$ и $p_{i}$ по $t$.

Наиболее эффективный метод исследования и решения канонических уравнений движения есть преобразование координат, то есть переход к новой системе координат, которая лучше позволяет провести решение, чем первоначальная.

Гамильтонова функция есть инвариант по отношению к точечным преобразованиям вида
\[
q_{n}=f_{n}\left(Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right),
\]

если новая система координат покоится относительно прежней. В противном случае в гамильтониане появляются циклические координаты – жироскопические члены. Эти точечные преобразования являются подгруппой группы преобразований С.Ли, которые в случае классической механики характеризуются требованием, чтобы
\[
\Sigma\left(p_{i} \delta q_{i}-P_{i} \delta Q_{i}\right)=\delta S,
\]

где
\[
S=S\left(q_{n}, Q_{n}\right) .
\]

Функция $S$ называется производящей функцией канонического преобразования. Так как
\[
\delta S=\left(\frac{\partial S}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial S}{\partial Q_{i}} \delta Q_{i}\right)
\]

To
\[
p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}, \quad P_{i}=-\frac{\partial S}{\partial Q_{i}} .
\]

Это – общее условие канонического преобразования, причем любая функция $q_{i}$ и $Q_{i}$ может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между $q_{i}$ и $Q_{i}$ (число условий может изменяться от 1 до $n$ ). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют \”расстояние» в римановом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования.

Для классической механики основной группой преобразований являются канонические преобразования. Группу преобразований можно определить либо посредством бесконечно малых преобразований, либо посредством инвариантов этой группы. Первый способ, в котором задаются бесконечно малые изменения канонических переменных $q_{i}, p_{i}$ при бесконечно малом каноническом преобразовании, выражен уравнениями Гамильтона, второй-инвариантностью действия.

Необходимо отличать два вида канонических преобразований. В первом мы переходим от одних переменных к другим для одного и того же состояния системы, во втором же изучаем законы изменения канонических переменных, которые выражают законы изменения состояний механической системы.

Таким образом, естественно формулируется связь между аналитической механикой вариационных принципов и теорией групп преобразования. Эта связь допускает дальнейшее обобщение.
18. Благодаря рассмотренным свойствам методы Лагранжа и Гамильтона приобрели значение в физике. Это значение еще более увеличивается, если учесть тесную внутреннюю связь принципа Гамильтона и оптики связь, выраженную в оптико-механической аналогии, являющуюся одним из проявлений фундаментального синтеза полевого и корпускулярного аспектов физических процессов. Принцип Гамильтона дает общие формы

связи величин, которые, именно в силу своей общности, могут быть применены для характеристики самых разнообразных физических процессов. Но эта общая и абстрактная форма пуста без включения в нее конкретных соотношений, взятых из опыта. Именно это определило роль принципа Гамильтона в истории физики.

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются $q_{i}, p_{i}$ и $H$. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и $q_{i}$ и $p_{i}$. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции $q_{i}, p_{i}, H$ (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия – импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается ‘ гораздо менее отчетливой.

Основное различие лагранжева и гамильтонова методов в том, что в первом поведение системы описывается при помощи связанных между собою величин $q_{i}$ и $\dot{q}_{i}=\frac{d q_{i}}{d t}$ и поэтому варьирование $\delta \dot{q}_{i}$ надо\”при выводе уравнений Лагранжа выполнять через независимые вариации $\delta \dot{q}_{i}$; это осуществляется интегрированием по частям, в результате которого появляются члены вида $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)$, приводящие к уравнениям второго порядка. В то же время в обычном формализме Гамильтона $q_{i}$ и $p_{i}$ независимы и являются равноправными переменными, т. е. $p_{i}$ связаны с $q_{i}$ только уравнениями движения, а не какими-либо заранее заданными соотношениями. Разделение переменных на две независимые группы, связанные между собой почти симметричным образом посредством уравнений Гамильтона, – характерная черта гамильтонова метода. Наименование же переменных $q_{i}$ и $p_{i}$ обобщенными координатами и импульсами имеет только исторический смысл. Эта равноправность «координат» и «импульсов» дает большие возможности для выбора величин, определяющих изменение состояний физической системы.
В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных $q_{i}$, в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве $2 n$ переменных $q_{i}$ и $p_{i}$. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что $q_{i}$ и $p_{i}$ образуют прямоугольные координаты $2 n$-мерного евклидова пространства.

Удвоение числа измерений является только кажущимся усложнением, а на самом деле введение фазового пространства имеет большие преимущества перед рассмотрением задач в пространстве конфигураций.

В самом деле, во многих задачах недостаточно рассматривать только одну траекторию, отвечающую определенным начальным условиям и пред-

ставляющую собою частное решение уравнений движения, а необходимо рассмотреть всю совокупность траекторий, которая соответствует любым начальным условиям и представляет полное решение этих уравнений. Это и имеет место при рассмотрении фазового пространства гамильтоновых уравнений, так как полное решение канонических уравнений найдено, если $q_{i}$ и $p_{i}$ определены как функции времени $t$ и $2 n$ произвольных постоянных $\left(q_{i}\right)_{0}$ и $\left(p_{i}\right)_{0}$, то есть значений $q_{i}$ и $p_{i}$ при $t=0$.

Однако резкой грани между лагранжевым и гамильтоновым методами нет. Қаждый из них имеет свои преимущества, и они тесно связаны друг с другом. Қак мы уже отмечали, исходя из лагранжиана и вводя импульсы, можно, если импульсы-независимые функции скоростей, получить гамильтониан.

Подводя итоги, можно сказать, что вариационные принципы механики не только выражают в простой инвариантной форме уравнения движения и уравнения полей, но и заключают в себе синтез дискретного и континуального аспектов движения и являются выражением обобщенного принципа причинности в физике.

Прошлое науки по-иному раскрывается перед нами на каждой принципиально новой ступени ее развития.

Вариационные принципы механики связаны с таким большим количеством различных проблем, применения их так разнообразны, число посвященных им работ настолько велико, что в нашем обзоре оказалось возможным бегло коснуться лишь некоторых из этих вопросов. Изучение и анализ их с точки зрения математической, механической, физической, философской, безусловно, является одной из интереснейших тем для научного исследования.