Попытка распространения предыдущих положений на случай переменной скорости является, хотя и весьма трудной, но очень заманчивой задачей. Если движущееся тело описывает в какой-либо среде кривую траекторию, то мы говорим, что существует силовое поле; в каждой точке поля может быть подсчитана потенциальная энергия и, проходя через эту точку, тело обладает скоростью, которая определяется из условия постоянства значения его полной энергии. По-видимому, естественно предположить, что фазовая волна должна иметь в некоторой точке скорость и частоту, определяемые тем значением, которое имела бы величина $\beta$, если бы тело находилось в данной точке. Распространяясь, фазовая волна обладает постоянной частотой $v$ и непрерывно изменяющейся скоростью $v$.

Быть может, какой-либо новый электромагнетизм даст нам законы данного сложного распространения, однако окончательный результат ясен, по-видимому, заранее. Именно, лучи фазовой волны совпадают с динамически возможными траекториями. В самом деле, траектория лучей может быть здесь подсчитана с помощью принципа Ферма так же, как в средах с переменной дисперсией; в данном случае принцип Ферма может быть записан следующим образом ( $\lambda$ — длина волны, $d s$ — элемент траектории):
\[
\delta \int \frac{d s}{\lambda}=\delta \int \frac{v d s}{v}=\delta \int \frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d s=0 .
\]

По принципу наименьшего действия в форме Мопертюи динамическая \»траектория определяется уравнением
\[
\delta \int m_{0} c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-\sqrt{1-\beta^{2}}\right) d t=\delta \int \frac{m_{0} \beta^{2} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d t=\delta \int \frac{m_{0} \beta c}{\sqrt{1-\beta^{2}}} d s=0 .
\]
„анный результат оправдывает приведенное выше утверждение.
После этого настолько просто показать выполнимость теоремы о фазовом соответствии, что дальнейшие детали доказательства приводить, по-видимому, не требуется.

Настоящая теория подсказывает интересное объяснение условий устойчивости Бора. В момент времени $t=0$ электрон находится в точке $A$ своей траектории. Исходящая в этот момент из точки $A$ фазовая волна опишет всю траекторию и вновь встретится с электроном в точке $A^{\prime}$. Очевидно, необходимо, чтобы при встрече с электроном данная волна находилась с ним в одной фазе. Это можно выразить так: «Движение может быть устойчивым лишь в том случае, если длина фазовой волны соизмерима с длиной траектории». Условием соизмеримости в этом случае будет соотношение :
\[
\int \frac{d s}{\lambda}=\int_{0}^{T} \frac{m_{0} \beta^{2} c^{2}}{h \sqrt{1-\beta^{2}}} d t=n
\]
( $n$ — целое число ; $T$ — период вращения).
Мы можем в квантовой теории записывать условия устойчивости в введенной Эйнштейном общей форме, которая в квазипериодических случаях вследствие существования бесконечного количества псевдопериодов вырождается в условия Зоммерфельда. Обозначим импульсы через $p_{x}, p_{y}, p_{z}$; тогда общее условие Эйнштейна примет вид $\int\left(p_{x} d x+p_{y} d y+p_{z} d z\right)=n h$ ( $n-$ целое число) или, иначе,
\[
\int_{0}^{T} \frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) d t=\int_{0}^{T} \frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \beta^{2} c^{2} d t=n h,
\]

что в точности совпадает с полученным ранее результатом.