Сделаем прежде всего предположение, что при построении рассматриваемой аналогии нужно считать введенную выше волновую систему синусоидальной волной. Хотя это предположение является простейшим и естественным, однако вследствие его основного значения нужно подчеркнуть некоторую вносимую им произвольность. Таким образом, время может входить в волновую функцию лишь посредством множителя $\sin (\ldots)$, аргумент которого также линейно зависит от $W$. Поскольку функция $W$ является действием, а фаза синуса безразмерна, то коэффициент перед $W$ должен иметь размерность, обратную размерности действия. Мы примем, что этот коэффициент носит универсальный характер, т. е. не зависит не только от $E$, но и от природы механической системы; обозначим его сразу через $\frac{2}{h}$. Таким образом получаем зависящий от времени множитель в виде
\[
\sin \left(\frac{2 \pi W}{h}+\text { const }\right)=\sin \left(-\frac{2 \pi E t}{h}+\frac{2 \pi S\left(q_{k}\right)}{h}+\text { const }\right) .
\]

Отсюда для частоты $v$ волны вытекает соотношение
\[

u=\frac{E}{h} .
\]

Таким образом, без введения каких-либо искусственных гипотез получается, что частота волны в $q$-пространстве пропорциональна энергии системы**). Это утверждение, конечно, имеет смысл только лишь, если энергия $E$ определена не как в классической механике, с точностью до аддитивной постоянной, а абсолютно. От этой аддитивной постоянной не зависит согласно формулам (6) и (11) длина волны
\[
\lambda=\frac{u}{v}=\frac{h}{\sqrt{2(E-V)}},
\]

поскольку подкоренное выражение является удвоенной кинетической энергией. При предварительном грубом сравнении этой длины волны с размерами траектории электрона в атоме водорода, полученными с помощью классической механики, следует обратить внимание на то, что вследствие формулы (3) \”расстояние» в нашем $q$-пространстве имеет размерность не длины, а длины, умноженной на корень из массы. Такую же размерность имеет $\lambda$. Как легко видеть, при подобном сравнении мы должны делить $\lambda$ на размер траектории (равный а сантиметрам), умноженный на корень из массы электрона $m$. Получающееся отношение имеет порядок величины
\[
\frac{h}{m v a},
\]

где $v$-мгновенная скорость электрона (см/сек). Знаменатель $m v a$ имеет здесь порядок величины механического момента количества движения. То, что эта величина в случае кеплеровых траекторий атомных размеров имеет по меньшей мере порядок $10^{-27}$, следует без всякой квантовой теории из значений массы и заряда электрона. Таким образом, мы действительно получим для границы приблшженной справедливости классической механики правильный порядок величины, если будем идентифицировать нашу постоянную $h$ с планковским квантом действия. Все это имеет смысл лишь предварительной ориентировки.
Если выразить в формуле (6) $E$ согласно (11) через $v$, то получается, что
\[
u=\frac{h v}{\sqrt{2(h v-V)}} .
\]

Зависимость волновой скорости от энергии системы переходит таким образом в своеобразную зависимость от частоты, т. е. получается закон дисперсии волн. Этот закон представляет чрезвычайный интерес. Мы указывали в § 1 , что движение волновых поверхностей слабо связано с движением системы точек, поскольку скорости этих движений не равны и не могут быть равны. Однако согласно формулам (9), (11) и (6′) скорость движения системы $v$ имеет и для волн очень қонкретный смысл. Как легко показать, имеет место равенство
\[
v=\frac{d v}{d\left(\frac{v}{u}\right)},
\]
т. е. скорость движения системы точек равна скорости группы волн, мало отличающихся по частотам (скорости распространения сигнала). Мы вновь получили закон, выведенный де Бройлем в его прекрасном исследовании*) для «фазовых волн» электрона в непосредственной связи с теорией относительности. Этому исследованию в значительной мере обязано появление моей работы. Очевидно, что в данном случае дело идет об имеющей большую общность теореме, которая не является простым следствием теории относительности, а верна также и для любой консервативной системы, подчиняющейся обычно механике.

Приведенные обстоятельства позволяют значительно теснее, чем это можно было до сих пор, связать изображение движения точки с распространением волн. Можно попытаться построить волновую группу, имеющую во всех направлениях относительно малые размеры. Подобная волновая группа

будет, по-видимому, двигаться по тем же законам, что и отдельная изображающая механическую систему точка. При этом получается, так сказать, суррогат изображающей точки до тех пор, пока протяженность нашей волновой группы пренебрежимо мала по отношению к траектории системы и ее можно считать точечной. Это будет во всяком случае иметь место лишь тогда, когда размеры и в особенности радиус кривизны траектории очень велики по сравнению с длиной волны. Дело в том, что из аналогии с обычной оптикой непосредственно ясно, что протяженность волновой группы не может быть в нашем случае меньше длины волны, а должна, наоборот, составлять во всех измерениях значителыное число длин волн для того, чтобы составляющие группы волны могли оставаться приблшженно монохроматическими. Мы вынуждены требовать выполнения этого условия, так как волновая группа в целом должна распространяться с определенной групповой скоростью и соответствовать механической системе с определенной энергией (см. равенство (11)).

По-моему, подобные волновые группы можно построить, причем таким же способом, каким Дебай*) и фон Лауэ**) решили задачу обычной оптики о нахождении точного аналитического представления для светового конуса или светового пучка. При этом появляется еще крайне интересная связь с не рассмотренной в § 1 частью теории Якоби-Гамильтона, а именно с известным способом получения интегралов уравнений движения посредством дифференцирования полного интеграла уравнения Гамильтона по постоянным интегрирования. Как мы сейчас увидим, упомянутый только что метод получения интегралов движения Якоби равносилен в нашем случае следующему полюжению : изображающая механическую систему точка совпадает длительный период с той точкой, где встречается определенный континуум волн в равной фазе.

Строгое волновое представление «пучка лучей», исходящих из некоторого источника, с \”резко» ограниченным конечным поперечным сечением, получается в оптике, по Дебаю, следующим образом: берется суперпозиция континуума плоских волн, каждая из которых заполняет все пространство, при этом нормали к входящим в суперпозицию волновым поверхностям изменяются в пределах заданного угла. Вне определенного двойного конуса волны в результіте интерференции почти совершенно уничтожают друг друга, так что с ограничениями, связанными с дифракцией, получается волиовое представление ограничениого светового пучка. Подобным же образом можно представить и бесконечно узкий лучевой конус, изменяя лишь волновую нормаль совокупности плоских волн внутри бесконечно малого телесного угла. Этим обстоятельством воспользовался фон Лауэ в своей знаменитой работе о степенях свободы лучевых пучков***). Наконец, вместо того чтобы использовать, как это до сих пор молчаливо предполагалось, только чисто монохроматические волны, можно варьировать частоту внутри некоторого бесконечно малого интервала и посредством соответствующего подбора амплитуд и фаз ограничить возмущение областью, которая будет сравнительно мала также и в продольном направлении. Таким образом может быть получено аналитическое дредставление «өнергетического пакета сравнительно небольших размеров; этот пакет будет передвигаться со скоростью света или в случае дисперсии с групповой скоростью. При этом мгновенное положение энергетического пакета (если не касаться его структуры) опре,елястся естественны образом, как та точка пространства, где

все участвующие в суперпозиции плоские волны встречаются в точно одинаковой фазе $\left[{ }^{229}\right]$.

Применим теперь приведеные рассуждения к волиам в $у$-шростанстие. Выберем в $q$-пространстве для некоторого момента времени определенную точку $P$, через которую в момент времени $t$ должен пройти в заданном направлении волновой пакет. Пусть также заданы средняя частота $v$ или среднее значение $E$ для этого пакета. Подобные’условия сбответствуют зданию в случае механической системы исходной конфигурации и компонентов скорости в начальный момент. (Задание энергии и направления движения равносильно заданию значений компонентов скорости.)

Чтобы произвести оптическое построение, используем прежде всего некоторое семейство волновых поверхностей, соответствующее нужной нам частоте, т. е. возьмем некоторое решение уравнения Гамильтона (1′) с определенным значением $E$; это решение, которое мы обозначим буквой $W$, должно обладать также следующим свойством: нормаль к поверхности постояниог уровня, проходяцей в момент $t$ через точку $P$, папример к поверхности
\[
W=W_{0},
\]

должна быть направлена в точке $P$ в некотором за, даном нанравлении $R$. Этого, однако, еще недостаточно. Мы также должны иметь возможность бесконечно мало варьировать волновую поверхность, и притом $n$ способами ( $n$ – число степеней свободы в $q$-пространстве), так, чтобы нормали к этим поверхностям в точке $P$ заполняли ( $n-1$ )-мерный бесконечно малый угол и частота $\frac{E}{h}$ изменялась на бесконечно малом одномерном интервале, причем также необходимо, чтобы все плоскости из получиннегося бесконечно малого $n$-мерного континуума в момент $t$ встречались в точке $P$ со строго одинаковой фазой. Затем следует определить, где лежит в какой-нибудь другой момент времени точка, в которой вновь выполняется условие равенства всех фаз сходящихся к ней волн.

Для того чтобы это можно было сделать, достаточно иметь некоторое решение $W$ уравнения Гамильтона, содержащее, кроме константы $E$, которую мы временно будем обозначать $\alpha_{1}$, еще $n-1$ существенных постоянных $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \ldots, \alpha_{n}$. Дело в том, что тогда мы сможем, во-первых, придать постоянной $\alpha_{1}$ заданное зачение $E$ и, во-вторых, будем иметь возмо)ность определить постоянные $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{n}$ таким образом, чтобы проходящая через точку $P$ поверхность семейства имела в этой точке заданное направление нормали $R$. Пусть в дальнейшем постоянные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ имеют как раз такие значения и пусть формула (14) определяет проходящую через точку $P$ в момент $t$ поверхность рассматриваемого семейства. Рассмотрим затем континуум семейств поверхностей, принадлежащих ограниченному бесконечно малому интервалу изменения величин $\alpha_{1 .}$. Oдин из членов этого континуума, т. е. одно семейство поверхностей, определяется посрелством уравнения
\[
W+\frac{\partial W}{\partial a_{1}} d \alpha_{1}+\frac{\partial W}{\partial a_{2}} d a_{2}+\ldots+\frac{\partial W}{\partial a_{n}} d a_{n}=\text { const }
\]

при заданных значениях $d \alpha_{1}, d a_{2}, \ldots, d \alpha_{n}$ и заданной варьируемой величине const. Та отдельная поверхность из эпого семейства, которая во время $t$
\[
W+\frac{\partial W}{\partial a_{1}} d a_{1}+\ldots+\frac{\partial W}{\partial \alpha_{n}} d a_{n}=W_{0}+\left(\frac{\partial W}{\partial a_{1}}\right) d a_{1}+\ldots+\left(\frac{\partial W}{\partial a_{n}}\right)_{0} d a_{n},
\]

где через $\left(\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}\right)_{0}$ и т. д. обозначены постоянные, которые получаются после подстановки в соответствующие производные координат точки $P$ и времени $t$ (последнее фактически входит, впрочем, лишь в $\frac{\partial W}{\partial a_{1}}$ ).

Плоскости (15′), соответствующие всем возможным совокупностям значений $d \alpha_{1}, d \alpha_{2}, \ldots, d \alpha_{n}$, образуют в свою очередь некоторое семейство. В момент $t$ все эти плоскости проходят через точку $P$, их нормали заполняют малый ( $n-1$ )-мерный пространственный угол, кроме того, параметр $E$ изменяется у них в некоторой малой области. Это семейство (15′) составлено таким образом, что каждая из входящих в него поверхностей является также членом какого-нибудь семейства (15), причем именно тем членом, который в момент $t$ проходит через точку $P$.

Примем теперь, что фазовые углы волновых функций, принадлежащих семействам (15), совпадают с фазовыми углами, соответствующими поверхностям, входящим одновременно в (15′), т. е. совпадают в момент $t$ в точке $P$.

Зададим теперь вопрос: найдется ли при любом значении времени такая точка, в которой будут пересекаться все поверхности семейства (15) и в которой вследствие этого все волновые,функции, соответствующие семействам (15), будут совпадать по фазе? Ответ будет следующий : такая точка, в которой совпадают фазы, найдется, однако эта точка не будет общей точкой пересечения поверхностей семейства (15′), так как такой точки в каждый момент времени больше не существует. Более того, точки с одинаковой фазой оказываются такими, что с изменением времени те поверхности семейства (15), которые входят одновременно в это семейство, непрерывно меняются.

Это можно устаповить следующим образом. В общей точке пересечения всех составляющих семейства (15′) в некоторый момент времени должны одновременно иметь место равенства
\[
W=W_{0}, \frac{\partial W}{\partial a_{1}}=\left(\frac{\partial W}{\partial a_{1}}\right)_{0}, \frac{\partial W}{\partial \alpha_{2}}=\left(\frac{\partial W}{\partial \alpha_{2}}\right)_{0}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial \alpha_{n}}=\left(\frac{\partial W}{\partial a_{n}}\right)_{0},
\]

так как величины $d \alpha_{1}$ внутри некоторой малой области произвольны. В этих $n+1$ равенствах правые части являются постоянными, а левые функциями $n+1$ величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$. Равенства (16) удовлетворяются системой начальных значений, т. е. координатами точки $P$ в исходный момент времени $t$. При любом другом значении $t$ эта система окажется переопределенной.

Можно, однако, поступить следующим образом. Откинув сначала первое равенство $W=W_{0}$, определим с помощью $n$ остальных равенств координаты $q_{k}$ как функции времени и постоянных. Точку с этими координатами обозначим $Q$. В ней первое равенство, очевидно, не будем выполнено, наоборот, певая сторона этого равенства будет отличаться от правой на некоторую величину. Если вспомнить происхождение соотношений (16) из условия (15′), то из сказанного становится очевидным, что $Q$ представляет собой 0бщую точку не системы поверхностей (15′), а некоторой другой системы, получающейся после изменения правой стороны (15′) на одну и ту же для всех поверхностей величину. Обозначим полученную таким образом систему поверхностей (15′). Для нее точка $Q$ будет общей точкой. Как это было ранее отмечено, в (15′) войдут из семейства (15) уже не те поверхности, которые входили в (15′). Эта замена поверхностей в (15′) происходит вследствие изменения постоянной const в равенстве (15) на одинаковую величину для всех составляющих. Таким образом, фаза у всех составляющих также изменяется на одну и ту же величину. Поэтому члены нового семейства,

которое мы обозначили (15\”), будут, пересекаясь в точке $Q$, так же как и члены семейства (15′), совпадать по фазе. Это означает также, что точка $Q$, определенная с помощью $n$ уравнений
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}=\left(\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}\right)_{0}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial \alpha_{n}}=\left(\frac{\partial W}{\partial \alpha_{n}}\right)_{0}
\]

как функция времени, будет всегда оставаться точкой одинаковой фазы всего семейства волновых поверхностей (15).

Из $n$ поверхностей, пересечение которых определяет согласно (17) точку $Q$, все, кроме первой, закреплены (только первое из равенств (17) содержит время). Линия пересечения $n-1$ закрепленных поверхностей определяет траекторию точки $Q$. Как нетрудно показать, эта линия пересечения является ортогональной траекторией семейства поверхностей $W=$ const. Функция $W$, по исходному предположению, удовлетворяет уравнению Гамильтона (1′) тождественно по $a_{1}, a_{2}, \ldots, \alpha_{n}$. Если продифференцировать теперь уравнение Гамильтона по $\alpha_{k}(k=2,3, \ldots, n)$, то станет видно, что нормаль к поверхности $\frac{\partial W}{\partial a_{k}}=$ const перпендикулярна в каждой точке поверхности к нормали, проходящей через ту же точку поверхности $W=$ const, т. е. каждая из этих двух поверхностей содержит нормаль другой поверхности. Если линия пересечения $n-1$ неподвижных поверхностей (17) не разветвляется, что наверняка имеет место в общем случае, то каждый линейный элемент этой линии должен совпадать как единственный общий элемент всех $n-1$ поверхностей, с нормалью к проходящей через данную точку $W$-поверхности, т. е. эта линия пересечения действительно будет ортогональной траекторией семейства наших $W$-поверхностей, что и требовалось доказать.

Довольно длинные рассуждения, приведшие нас к равенствам (17), могут быть высказаны кратко, так сказать, стенографически, следующим образом: с точностью до универсальной константы $\frac{1}{h}$ функция $W$ означает фазу волновой функции. Если теперь имеется не одна, а целое непрерывное многообразие волновых систем, соответствующих различным непрерывно изменяющимся значениям параметра $\alpha_{i}$, то уравнения $\frac{\partial W}{\partial a_{1}}=$ const являются выражением того, что все бесконечно мало отличающиеся члены этого многообразия (волновые системы) имеют совпадающие значения фазы. Эти сравнения определяют, таким образом, геометрическое место точек одинаковой фазы. Если число уравнений достаточно велико, то это геометрическое место сжимается в точку: положение этой точки одинаковой фазы определяется уравнениями как функция времени.

Поскольку система (17) совпадает с известной второй системой равенств Якоби, то мы показали, таким образом, что точка совпадаюших фаз некоторого п-па раметрического инфинитезимального многообразия волновых систем двигается по тем же законам, что и точка, изображающая механическую систему.

Я считаю, далее, даже при специальном выборе амплитуд и формы волновых поверхностей очень сложной задачей строгое доказательство того, что суперпозиция этих волновых систем приводит к наличию заметного возмущения лишь в сравнительно малой окрестности точки совпадающих фаз, в то время как во всех остальных точках интерференция приводит к отсутствию заметных возмущений. Я лишь выставлю соответствующую физическую гипотезу, не занимаясь только что поставленной задачей, которую имеет смысл решать лишь после того, как эта гипотеза будет оправдана и ее применения потребуют тщательного анализа.

ную иллюстрацию. Итак, представим себе группу волн с описанными выше свойствами, движущуюся по какому-либо малому и, например, замкнутому «пути», размеры которого сравнимы с длиной волны и, тем самым, меньше размеров рассматриваемой группы волн. Как очевидно, «путь системы», в смысле классической механики являющийся траекторией точки совпадающих фаз, не будет при этом как-либо выделен, поскольку вокруг такой точки имеется еще целый континуум точек, в которых также имеет место почти полное совпадение фаз и которые описывают совершенно другие «пути». Иначе говоря: волновая группа заполняет сразу не только всю траекторию, но и достаточно большую часть соседнего с этой траекторией пространства.

В этом смысле я истолковываю «фазовые волны», сопровождающие согласно де Бройлю движущийся электрон; в этом же смысле не имеет какоголибо особого значения, во всяком случае в атоме, траектория электрона и тем более его положение на этой траектории. Подобным же образом я истолковываю получающее все большее и большее признание утверждение о том, что, во-первых, фаза движущегося в атоме электрона не имеет реального смысла; что, во-вторых, никогда нельзя приписывать электрону в некоторый определенный момент времени положения на определенной, выделенңой квантовыми условиями квантовой траектории; что, в-третьшх, истинные законы квантовой механики состоят не в предписывании правил для отдельных траекторий, а что эти законы связывают в действительности с помощью уравнений все многообразие траекторий некоторой системы, так что, очевидно, между различными траекториями существует известное взаимодействие *).

Понятно, что тщательный анализ экспериментов должен подтвердить подобные утверждения, если только на экспериментальные данные действительно влияет, как мы это считаем, указанная структура движения. Из приведенных нами утверждений следует невозможность последовательного истолкования понятий: «положение электрона» и «траектория электрона»; если все же попытаться сохранить эти понятия, то они неизбежно окажутся противоречивыми. Это противоречие настолько резко, что возникает сомнение, может ли вообще быть понята сущность движения в атоме с помощью пространственно-временно́й формы мышления. С философской точки зрения, я считаю решение вопроса в подобном духе равносильным полному поражению, так как мы в действительности не можем изменить своих методов мышления и все, что не познаваемо с помощью этих методов, не может быть понято вообще. Подобные случаи, возможно, существуют, но я не верю в то, что к ним относится и проблема структуры атома. С нашей точки зрения, нет никаких оснований для подобных сомнений, хотя, или лучше сказать потому, что их причина вполне понятна. Подобным образом мог бы также потерпеть крушение сторонник геометрической оптики, подходя в своих опытах к явлениям дифракции и используя понятие луча, оправданное макроскопической оптикой ; этот оптик мог бы в конце концов тоже прийти к мысли, что законы геометрии неприменимы к явлениям дифракции, поскольку считаемые им прямыми и независимыми друг от друга световые лучи при этих явлениях каждый раз замечательным образом закручиваются в однородіной среде и заметно влияют друг на друга. Я считаю, что здесь имеет место очень тесная аналогия. Даже для необъяснимых закручиваний в атоме эта аналогия сохраняет силу – вспомним 0 «внемеханическом принуждении», придуманном для объяснения аномального эффекта Зеемана.

Как действовать при волновом построении механики в тех случаях, когда резко проявляется волновой характер процессов? Следует исходить не из основных уравнений механики, а из волнового уравнения в $q$-пространстве и затем рассматривать многообразие определяемых этим уравнением процессов. В этом сообщении волновое уравнение не было до сих пор явно использовано, даже его вид еще не установлен. Некоторые данные для установления волнового уравнения дает содержащаяся в формулах (6) и (6′) зависимость волновой скорости от параметра механической энергии или частоты, но, очевидно, что только с помощью этих данных нельзя однозначно установить вид волнового уравнения. Для простоты будем сначала считать, хотя это вообще не очевидно, что наше уравнение второго порядка. Полагаем затем, что для волновой функции $\psi$ имеет место уравнение
\[
\operatorname{div} \operatorname{grad} \psi-\frac{1}{u^{2}} \ddot{\psi}=0,
\]

выполняющееся для процессов, зависимость которых от врємени определяется множителем $e^{2 \pi i v t}$. Это означает также, что вследствие формул (6), (6′) и (11) имеет место уравнение
\[
\operatorname{div} \operatorname{grad} \psi+\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}}(h
u-V) \psi=0,
\]

или
\[
\operatorname{div} \operatorname{grad} \psi+\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}}(E-V) \psi=0
\]

Дифференциальные операции следует здесь, разумеется, понимать в связи с определением линейного элемента (3). Однако даже при предположении, что должен иметь место второй порядок, приведенное уравнение не является единственным совместным с формулой (6); возможны обобщения, в которых div grad $\varphi$ заменяется выражением
\[
f\left(q_{k}\right) \operatorname{div}\left(\frac{1}{f\left(q_{k}\right)} \operatorname{grad} \psi\right),
\]

где $f$ может быть любой функцией $q_{k}$, зависящей также приемлемым образом от $E$, от $V\left(q_{k}\right)$ и от коэффициентов линейного элемента (3) (можно, например, представить себе, что $f=u$ ). Мы снова здесь руководствовались только стремлением к простоте; при этом не исключено, что были сделаны ошибочные выводы *).

Переход к использованию дифференциального уравнения в частных производных вместо основных уравнений динамики в случае атомных проблем кажется сначала чрезвычайно неприятным из-за огромного количества решений, которыми обладает это уравнение. Уже классическая механика приводила не к одному решению уравнений, а к целому обширному множеству решений, составляющему непрерывное семейство, в то время как, согласно опыту, в действительности может реализоваться лишь прерывное множество этих решений. Задача квантовой теории по господствующему сейчас мнению заключается как раз в том, чтобы с помощью некоторых «квантовых условий» выделить из непрерывного семейства решений класси-

ческой механики дискретное семейство траекторий, соответствующих действительно возможным движениям. Кажется бесполезным искать выход из создавшегося положения в указанном нами направлении, поскольку сначала при подобном подходе мощность множества решений не только не уменьшается, но даже увеличивается.

Однако ведь и задачи классической динамики могут быть сведены к дифференциальному уравнению в частных производных, а именно к уравнению Гамильтона. При этом множество решений подобной задачи вовсе не соответствует множеству решений у. Г. Любой «полный» интеграл у. Г. уже полностью решает механическую проблему, каждый другой полный интеграл приводит к тем же траекториям, множество которых лишь поиному составлено.

Что касается опасений, возникающих в связи с выбором уравнения (18) в качестве основного положения атомной механики, то ведь я нигде не утверждал, что к этому уравнению не должны быть добавлены еще и другие дополнительные положения. Однако эти дополнительные условия будут, по-видимому, обладать не столь неожиданным и непонятным характером, как теперешние «квантовые правила»; даже, наоборот, их вид типичен для физических задач, пользующихся уравнениями в частных производных (имеются в виду начальные и граничные условия). Эти условия не будут ни в какой мере аналогичны квантовым правилам, так как квантовые условия во всех случаях классической динамики, которые я до сих пор исследовал, заключаются в самом уравнении (18). Данное уравнение само выделяет в известных случаях, причем как раз тогда, когда это также следует из опыта, некоторые определенные частоты или уровни энергии, как единственно возможные при стационарных процессах; при этом не предъявляются никакие дополнительные требования, кроме того, физически почти очевидного условия, что функция $\psi$ должна быть в конфигурационном пространстве однозначной, ограниченной и непрерывной.

Высказанное опасение, таким образом, не оправдывается, по крайней мере в случае уровней энергии или, осторожней говоря, в случае частот (так как нельзя забывать, что остается неясным, как следует истолковывать «энергию колебаний», поскольку лишь в случае одного тела можно говорить о чем-то, что поддается истолкованию как колебания в действительном трехмерном пространстве). Определение квантовых уровней не разбивается больше на два, по существу различных, этапа, а именно: 1) на нахождение всех динамически возможных траекторий и 2) на отбрасывание большинства полученных на первом этапе решений с выделением некоторых немногих, удовлетворяющих специальным требованиям; напротив, квантовые уровни определяются теперь сразу как собственные значения уравнения (18), при которых выполняются введенные выше естественные граничные условия.

Пока я с достоверностью не могу судить о том, получится ли подобным образом аналитическое объяснение и более сложных случаев. Я могу это только предполагать. Большинству исследователей, конечно, кажется, что при описанном выше делящемся на этапы методе первый этап дает решение более сложной проблемы, чем это собственно требуется для получения окончательного результата: получения выражения для энергии, имеющего обычно вид очень простой рациональной функции от квантовых чисел. Уже применение метода Гамильтона-Якоби приводит, как известно, к большим упрощениям [230], причем отпадает необходимость в фактическом решении механических уравнений. Вместо того чтобы брать интегралы, представляющие импульсы с переменным верхним пределом, достаточно их интегрировать по замкнутому в комплексной плоскости пути, что представляет значительно меньше труда. Кроме того, если действительно известен полный