Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опытом, но, чтобы доказать его; он выдвинул постулат, по которому вообще необходимо было принять, что движение света в плотной среде происходит более легко и беспрепятственно, чем в редкой, что, как кажется, противоречит естественным фактам.

Итак, поскольку мы пытаемся вывести истинный закон преломления из противоположной аксиомы, а именно, что движение света происходит более легко и беспрепятственно в редкой, чем в плотной среде, мы прежде $\sigma \tau \omega \varsigma$, т. е. без ложных умозаключений, прийти прямо противоположным путем к той же истине — это пусть рассмотрят и исследуют более тонкие и строгие математики. Мы же, оставив в стороне пустые умствования, полагаем, что лучше твердо владеть самой истиной, чем вдаваться в излишние и бесполезные споры.

Наше доказательство основано на одном постулате: природа действует наиболее легкими и доступными путями [2]. Мы полагаем, что именно так нужно выражать эту мысль, а не так, как это принято обычно говорить, что природа всегда действует по кратчайшим линиям.

Подобно тому, как Галилей [3], когда рассматривал движение тяжелых тел в природе, измерял отношения этого движения не столько расстоянием, сколько временем, мы также рассматриваем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть пройдены легче, удобнее и за более короткое время.

Исходя из этого положения, представим на рисунке первом две среды различной природы. Здесь мы имеем круг $AHBM$, диаметр которого $ANB$ разделяет эти две среды : одну со стороны $M$, более редкую, другую, со стороны $H$, более плотную; от точки $M$ к $H$ преломляются прямые $MNH$, $MRH$, пересекающие диаметр в точках $N$ и $R$.

Согласно аксиоме или постулату, скорость движения вдоль $MN$ в редкой среде будет больше, чем скорость его вдоль $NH$ в плотной среде, а поскольку мы полагаем движение в каждой среде равномерным, отношение времени движения вдоль $MN$ ко времени движения вдоль $NH$ составляется, как известно, из отношения $MN$ к $NH$ и обратного отношения скорости вдоль $NH$ к скорости вдоль $MN$.

Итак, если скорость по $MN$ относится к скорости по $NH$ так, как прямая $MN$ относится к $NJ$, то время движения по $NH$ относится ко времени движения по $MN$, как прямая $JN$ относится к $NH$.

Точно так же будет доказано, что если скорость в более редкой среде относится к скорости в среде более плотной, как $MR$ к $RP$, то время

движения по $MR$ будет относиться ко времени движения по $RH$, как $PR$ относится к $RH$.

Отсюда следует, что время движения по прямым $MN$ и $NH$ относится ко времени движения по прямым $MR$ и $RH$, как сумма $JN$ и $NH$ относится к сумме $PR$ и $RH$.

Таким образом, поскольку природа направляет свет от точки $M$ к точке $H$, нужно найти точку, допустим $N$, через которую путем изгибания или преломления свет пришел бы от точки $M$ к точке $H$ за самое короткое время, ибо мы предполагаем, что природа, совершая свои действия как можно скорее, направляет свет по прямой линии. Итак, если сумма $JN$ и $NH$, которая является мерой движения по ломаной $MNH$, будет наименьшей величиной, наше предположение будет доказано. А это выводится из указанной теоремы Декарта, как это тотчас же докажет нам истинная и неприкрашенная геометрия. Декарт выдвинул положение :

Если провести луч от точки $M$ в точку $N$ и от той же точки $M$ опустить перпендикуляр $MD$, то отношение большей скорости к меньшей будет равно отношению $DN$ к $NS$, и если от точки $S$ возвести перпендикуляр $SH$ и провести луч $NH$, то свет, падающий в редкой среде в точку $N$, преломится в плотной среде в направлении к точке $H$.
Эта теорема не противоречит нашей геометрии, как это видно из следующего чисто геометрического рассуждения.
Пусть имеем круг $AHBM$, у которого диаметр $ANB$ и центр $N$. На окружности круга берем любую точку $M$, проводим радиус $MN$ и опускаем на диаметр перпендикуляр $MD$. Пусть будет также дано отношение $DN$ и $NS$ так, чтобы $DN$ было больше $NS$. Из точки $S$ восстановим перпендикуляр $SH$, встречающийся с окружностью в точке $H$, и от этой точки проведем к центру $N$ радиус $HN$. Отсюда $DN$ относится к $NS$, как радиус $MN$ относится к прямой $NJ$. Я утверждаю, что сумма прямых $JN$ и $NH$ будет наименьшей, то есть, если взять любую точку $R$ на полудиаметре $NB$ и провести прямые $MR$ и $RH$, то отношение $DN$ к $NS$ будет равно отношению $MR$ к $RP$; сумма прямых $PR$ и $RH$ будет больше суммы прямых $JN$ и $NH$. Чтобы это доказать, примем, что радиус $MN$ относится к прямой $DN$, как прямая $RN$ к прямой $NO$, и $DN$ относится к $NS$, как $NO$ к $NV$.

Из построения ясно, что прямая $NO$ меньше, чем прямая $NR$, так как прямая $DN$ меньше, чем радиус $MN$; ясно также, что прямая $NV$ меньше, чем прямая $NO$, а прямая $NS$ меньше, чем прямая $ND$.

Если это так, то, согласно Евклиду, квадрат прямой $MR$ равен квадрату радиуса $MN$ плюс квадрат прямой $NR$ плюс удвоенное произведение $DN$ на $NR\left[{}^4\right]$, но поскольку по построению $MN$ относится к $DN$, как $NR$ к $NO$, произведение $MN$ на $NO$ будет равно произведению $DN$ на $NR$, следовательно, удвоенное произведение $MN$ на $NO$ равно удвоенному произведению $DN$ на $NR$. Итак, квадрат прямой $MR$ равен квадрату $MN$ плюс квадрат $NR$ плюс удвоенное произведение $MN$ на $NO$.

Но квадрат прямой $NR$ больше квадрата прямой $NO$, поскольку прямая $NR$ больше прямой $NO$. Следовательно, квадрат прямой $MR$ больше, чем квадрат прямой $MN$ плюс квадрат прямой $NO$ плюс удвоенное произведение $MN$ на $NO$. Но сумма квадратов $MN$ и $NO$ и удвоенного произведения $MN$ на $NO$ равна квадрату единой прямой, составленной из $MN$ и NO. Следовательно, прямая $MR$ больше суммы двух прямых $MN$ и $NO$.

А поскольку из построения $DN$ относится к $NS$, как $MN$ к $NJ$ и как $NO$ к $NV$, то $DN$ будет относиться к $NS$, как сумма прямых $MN,NO$ к сумме прямых $JN$ и $NV$. и точно так же $DN$ относится к $NS$, как $MR$ к $RP$. Следовательно, сумма прямых $MN,NO$ относится к сумме прямых $JN,NV$, как прямая $MR$ относится к $RP$. Однако прямая $MR$ больше, чем сумма прямых $MN$, $NO$; следовательно, прямая $PR$ больше суммы прямых $JN,NV$.

Остается доказать, что прямая $RH$ больше, чем прямая $HV$, ибо если это так, то будет установлено, что сумма прямых $PR$ и $RH$ больше, чем сумма прямых $JN$ и $NH$.

В треугольнике $NRH$, по Евклиду, квадрат $RH$ равен сумме квадратов $NH$ и $NR$ минус удвоенное произведение $SN$ на $NR$. Но поскольку из построения радиус $MN$ (или равный ему $NH$ ) относится к $DN$ так, как относится $NR$ к $NO,DN$ относится к $NS$ так, как $NO$ к $NV$, то равным образом $HN$ будет относиться к $NS$ так, как $NR$ к $NV$.

Следовательно, произведение $HN$ на $NV$ равно произведению $NS$ на $NR$, и удвоенное произведение $HN$ на $NV$ равно удвоенному произведению $SN$ на $NR$. Поэтому квадрат $HR$ равен сумме квадратов $HN$ и $NR$ минус удвоенное произведение $HN$ на $NV$.

Однако доказано, что квадрат $NR$ больше, чем квадрат $NV$. Следовательно, квадрат $HR$ больше, чем сумма квадратов $HN$ и $NV$ минус удвоенное произведение $HN$ на $NV$. Но, по Евклиду, сумма квадратов $HN$ и $NV$ минус удвоенное произведение $HN$ на $NV$ равна квадрату прямой $HV$. Следовательно, квадрат $HR$ больше, чем квадрат $HV$, и поэтому прямая $HR$ больше, чем прямая $HV$. Что требовалось доказать.

Если же мы возьмем точку $R$ на полудиаметре $AN$ так, что прямые $MR$ и $RH$ будут продолжать друг друга и составлять одну прямую линию, как это показано на следующем рисунке, то, поскольку наше доказательство имеет место для любого случая, будет то же самое, то есть сумма прямых $PR$ и $RH$ будет больше суммы прямых $JN$ и $\mathrm{NH}$.

Пусть, как выше, радиус $MN$ относится к $DN$, как $RN$ к $NO$, и $DN$ относится к $NS$, как $NO$ к $NV$. Ясно, что прямая $RN$ больше, чем прямая $NO$, а прямая $NO$ больше, чем прямая $NV$.

Квадрат $MR$ равен сумме квадратов $MN$ и $NR$ минус удвоенное произведение $DNR$, или, согласно вышеприведенному соображению, минус удвоенное произведение $MNO$. Но поскольку квадрат $NR$ больше квадрата $NO$, то квадрат $MR$ будет больше суммы квадратов $MN$ и $NO$ минус удвоенное произведение $MNO$. Но сумма квадратов $MN$ и $NO$ минус удвоенное произведение $MNO$ равна квадрату прямой $MO$. Следовательно, квадрат прямой $MR$ больше квадрата прямой $MO$ и поэтому прямая $MR$ будет больше прямой $MO$.

Но поскольку по построению $DN$ относится к $NS$, как $MN$ к $JN$ и $NO$ к $NV$, то, следовательно, $MN$ относится к $JN$, как $NO$ к $NV$, и в свою очередь $MN$ к $NO$, как $NJ$ к $NV$; далее, $MO$ относится к $ON$, как $JV$ к $VN$, и в свою очередь $MO$ относится к $JV$, как $ON$ к $NV$, или $DN$ к $NS$ или $MR$ к $RP$. Однако доказано, что $MR$ больше, чем $MO$. Следовательно, $PR$ будет больше, чем прямая $JV$. Итак, чтобы всесторонне обосновать наше предположение, остается доказать, что прямая $RH$ больше суммы двух прямых $HN$ и $NV$, а это из вышесказанного весьма легко сделать.

Ибо квадрат $RH$ равен сумме квадратов $HN$ и $NR$ плюс удвоенное произведение $SN$ на $NR$, или, как это видно из доказанного выше, плюс удвоенное произведение $HN$ на $NV$. Но квадрат $NR$ больше квадрата $NV$, следовательно, квадрат $HR$ больше суммы квадратов $HN$ и $NV$ плюс удвоенное произведение $HN$ на $NV$. Отсюда следует, что прямая $RH$, из показанного выше, будет больше, чем сумма прямых $HN$ и $NV$.

Итак, ясно, что прямые $PR,RH$ (или, когда это имеет место, единая прямая $PRH$ ) всегда будет больше двух прямых $JN,NH$. Что и требовалось доказать.