Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опытом, но, чтобы доказать его; он выдвинул постулат, по которому вообще необходимо было принять, что движение света в плотной среде происходит более легко и беспрепятственно, чем в редкой, что, как кажется, противоречит естественным фактам.

Итак, поскольку мы пытаемся вывести истинный закон преломления из противоположной аксиомы, а именно, что движение света происходит более легко и беспрепятственно в редкой, чем в плотной среде, мы прежде $\sigma \tau \omega \varsigma$, т. е. без ложных умозаключений, прийти прямо противоположным путем к той же истине – это пусть рассмотрят и исследуют более тонкие и строгие математики. Мы же, оставив в стороне пустые умствования, полагаем, что лучше твердо владеть самой истиной, чем вдаваться в излишние и бесполезные споры.

Наше доказательство основано на одном постулате: природа действует наиболее легкими и доступными путями [2]. Мы полагаем, что именно так нужно выражать эту мысль, а не так, как это принято обычно говорить, что природа всегда действует по кратчайшим линиям.

Подобно тому, как Галилей [3], когда рассматривал движение тяжелых тел в природе, измерял отношения этого движения не столько расстоянием, сколько временем, мы также рассматриваем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть пройдены легче, удобнее и за более короткое время.

Исходя из этого положения, представим на рисунке первом две среды различной природы. Здесь мы имеем круг $A H B M$, диаметр которого $A N B$ разделяет эти две среды : одну со стороны $M$, более редкую, другую, со стороны $H$, более плотную; от точки $M$ к $H$ преломляются прямые $M N H$, $M R H$, пересекающие диаметр в точках $N$ и $R$.

Согласно аксиоме или постулату, скорость движения вдоль $M N$ в редкой среде будет больше, чем скорость его вдоль $N H$ в плотной среде, а поскольку мы полагаем движение в каждой среде равномерным, отношение времени движения вдоль $M N$ ко времени движения вдоль $N H$ составляется, как известно, из отношения $M N$ к $N H$ и обратного отношения скорости вдоль $N H$ к скорости вдоль $M N$.

Итак, если скорость по $M N$ относится к скорости по $N H$ так, как прямая $M N$ относится к $N J$, то время движения по $N H$ относится ко времени движения по $M N$, как прямая $J N$ относится к $N H$.

Точно так же будет доказано, что если скорость в более редкой среде относится к скорости в среде более плотной, как $M R$ к $R P$, то время

движения по $M R$ будет относиться ко времени движения по $R H$, как $P R$ относится к $R H$.

Отсюда следует, что время движения по прямым $M N$ и $N H$ относится ко времени движения по прямым $M R$ и $R H$, как сумма $J N$ и $N H$ относится к сумме $P R$ и $R H$.

Таким образом, поскольку природа направляет свет от точки $M$ к точке $H$, нужно найти точку, допустим $N$, через которую путем изгибания или преломления свет пришел бы от точки $M$ к точке $H$ за самое короткое время, ибо мы предполагаем, что природа, совершая свои действия как можно скорее, направляет свет по прямой линии. Итак, если сумма $J N$ и $N H$, которая является мерой движения по ломаной $M N H$, будет наименьшей величиной, наше предположение будет доказано. А это выводится из указанной теоремы Декарта, как это тотчас же докажет нам истинная и неприкрашенная геометрия. Декарт выдвинул положение :

Если провести луч от точки $M$ в точку $N$ и от той же точки $M$ опустить перпендикуляр $M D$, то отношение большей скорости к меньшей будет равно отношению $D N$ к $N S$, и если от точки $S$ возвести перпендикуляр $S H$ и провести луч $N H$, то свет, падающий в редкой среде в точку $N$, преломится в плотной среде в направлении к точке $H$.
Эта теорема не противоречит нашей геометрии, как это видно из следующего чисто геометрического рассуждения.
Пусть имеем круг $A H B M$, у которого диаметр $A N B$ и центр $N$. На окружности круга берем любую точку $M$, проводим радиус $M N$ и опускаем на диаметр перпендикуляр $M D$. Пусть будет также дано отношение $D N$ и $N S$ так, чтобы $D N$ было больше $N S$. Из точки $S$ восстановим перпендикуляр $S H$, встречающийся с окружностью в точке $H$, и от этой точки проведем к центру $N$ радиус $H N$. Отсюда $D N$ относится к $N S$, как радиус $M N$ относится к прямой $N J$. Я утверждаю, что сумма прямых $J N$ и $N H$ будет наименьшей, то есть, если взять любую точку $R$ на полудиаметре $N B$ и провести прямые $M R$ и $R H$, то отношение $D N$ к $N S$ будет равно отношению $M R$ к $R P$; сумма прямых $P R$ и $R H$ будет больше суммы прямых $J N$ и $N H$. Чтобы это доказать, примем, что радиус $M N$ относится к прямой $D N$, как прямая $R N$ к прямой $N O$, и $D N$ относится к $N S$, как $N O$ к $N V$.

Из построения ясно, что прямая $N O$ меньше, чем прямая $N R$, так как прямая $D N$ меньше, чем радиус $M N$; ясно также, что прямая $N V$ меньше, чем прямая $N O$, а прямая $N S$ меньше, чем прямая $N D$.

Если это так, то, согласно Евклиду, квадрат прямой $M R$ равен квадрату радиуса $M N$ плюс квадрат прямой $N R$ плюс удвоенное произведение $D N$ на $N R\left[^{4}\right]$, но поскольку по построению $M N$ относится к $D N$, как $N R$ к $N O$, произведение $M N$ на $N O$ будет равно произведению $D N$ на $N R$, следовательно, удвоенное произведение $M N$ на $N O$ равно удвоенному произведению $D N$ на $N R$. Итак, квадрат прямой $M R$ равен квадрату $M N$ плюс квадрат $N R$ плюс удвоенное произведение $M N$ на $N O$.

Но квадрат прямой $N R$ больше квадрата прямой $N O$, поскольку прямая $N R$ больше прямой $N O$. Следовательно, квадрат прямой $M R$ больше, чем квадрат прямой $M N$ плюс квадрат прямой $N O$ плюс удвоенное произведение $M N$ на $N O$. Но сумма квадратов $M N$ и $N O$ и удвоенного произведения $M N$ на $N O$ равна квадрату единой прямой, составленной из $M N$ и NO. Следовательно, прямая $M R$ больше суммы двух прямых $M N$ и $N O$.

А поскольку из построения $D N$ относится к $N S$, как $M N$ к $N J$ и как $N O$ к $N V$, то $D N$ будет относиться к $N S$, как сумма прямых $M N, N O$ к сумме прямых $J N$ и $N V$. и точно так же $D N$ относится к $N S$, как $M R$ к $R P$. Следовательно, сумма прямых $M N, N O$ относится к сумме прямых $J N, N V$, как прямая $M R$ относится к $R P$. Однако прямая $M R$ больше, чем сумма прямых $M N$, $N O$; следовательно, прямая $P R$ больше суммы прямых $J N, N V$.

Остается доказать, что прямая $R H$ больше, чем прямая $H V$, ибо если это так, то будет установлено, что сумма прямых $P R$ и $R H$ больше, чем сумма прямых $J N$ и $N H$.

В треугольнике $N R H$, по Евклиду, квадрат $R H$ равен сумме квадратов $N H$ и $N R$ минус удвоенное произведение $S N$ на $N R$. Но поскольку из построения радиус $M N$ (или равный ему $N H$ ) относится к $D N$ так, как относится $N R$ к $N O, D N$ относится к $N S$ так, как $N O$ к $N V$, то равным образом $H N$ будет относиться к $N S$ так, как $N R$ к $N V$.

Следовательно, произведение $H N$ на $N V$ равно произведению $N S$ на $N R$, и удвоенное произведение $H N$ на $N V$ равно удвоенному произведению $S N$ на $N R$. Поэтому квадрат $H R$ равен сумме квадратов $H N$ и $N R$ минус удвоенное произведение $H N$ на $N V$.

Однако доказано, что квадрат $N R$ больше, чем квадрат $N V$. Следовательно, квадрат $H R$ больше, чем сумма квадратов $H N$ и $N V$ минус удвоенное произведение $H N$ на $N V$. Но, по Евклиду, сумма квадратов $H N$ и $N V$ минус удвоенное произведение $H N$ на $N V$ равна квадрату прямой $H V$. Следовательно, квадрат $H R$ больше, чем квадрат $H V$, и поэтому прямая $H R$ больше, чем прямая $H V$. Что требовалось доказать.

Если же мы возьмем точку $R$ на полудиаметре $A N$ так, что прямые $M R$ и $R H$ будут продолжать друг друга и составлять одну прямую линию, как это показано на следующем рисунке, то, поскольку наше доказательство имеет место для любого случая, будет то же самое, то есть сумма прямых $P R$ и $R H$ будет больше суммы прямых $J N$ и $\mathrm{NH}$.

Пусть, как выше, радиус $M N$ относится к $D N$, как $R N$ к $N O$, и $D N$ относится к $N S$, как $N O$ к $N V$. Ясно, что прямая $R N$ больше, чем прямая $N O$, а прямая $N O$ больше, чем прямая $N V$.

Квадрат $M R$ равен сумме квадратов $M N$ и $N R$ минус удвоенное произведение $D N R$, или, согласно вышеприведенному соображению, минус удвоенное произведение $M N O$. Но поскольку квадрат $N R$ больше квадрата $N O$, то квадрат $M R$ будет больше суммы квадратов $M N$ и $N O$ минус удвоенное произведение $M N O$. Но сумма квадратов $M N$ и $N O$ минус удвоенное произведение $M N O$ равна квадрату прямой $M O$. Следовательно, квадрат прямой $M R$ больше квадрата прямой $M O$ и поэтому прямая $M R$ будет больше прямой $M O$.

Но поскольку по построению $D N$ относится к $N S$, как $M N$ к $J N$ и $N O$ к $N V$, то, следовательно, $M N$ относится к $J N$, как $N O$ к $N V$, и в свою очередь $M N$ к $N O$, как $N J$ к $N V$; далее, $M O$ относится к $O N$, как $J V$ к $V N$, и в свою очередь $M O$ относится к $J V$, как $O N$ к $N V$, или $D N$ к $N S$ или $M R$ к $R P$. Однако доказано, что $M R$ больше, чем $M O$. Следовательно, $P R$ будет больше, чем прямая $J V$. Итак, чтобы всесторонне обосновать наше предположение, остается доказать, что прямая $R H$ больше суммы двух прямых $H N$ и $N V$, а это из вышесказанного весьма легко сделать.

Ибо квадрат $R H$ равен сумме квадратов $H N$ и $N R$ плюс удвоенное произведение $S N$ на $N R$, или, как это видно из доказанного выше, плюс удвоенное произведение $H N$ на $N V$. Но квадрат $N R$ больше квадрата $N V$, следовательно, квадрат $H R$ больше суммы квадратов $H N$ и $N V$ плюс удвоенное произведение $H N$ на $N V$. Отсюда следует, что прямая $R H$, из показанного выше, будет больше, чем сумма прямых $H N$ и $N V$.

Итак, ясно, что прямые $P R, R H$ (или, когда это имеет место, единая прямая $P R H$ ) всегда будет больше двух прямых $J N, N H$. Что и требовалось доказать.