1. Математикам хорошо известно, что дифференциальные уравнения движения любой системы свободных точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, в зависимости от какой-либо функции их расстояний, и не возмущенных какой-либо внешней силой, могут быть выражены следующей формулой :
\[
\text { 乞’ } m\left(x^{\prime \prime} \delta x+y^{\prime \prime} \delta y+z^{\prime \prime} \delta z\right)=\delta U,
\]

причем знак суммы $\Sigma$ распространяется на все точки системы ; $m$ является для всякой такой точки постоянной, называемой ее массой ; $x, y, z$ являются ее прямоугольными координатами, $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$ представляют собой ускорения или вторые производные по времени, $\delta x, \delta y, \delta z$ – любые произвольные бесконечно малые вариации этих координат, а $U$ – некоторая силовая функция, введенная в динамику Јагранжем, включающая массы и взаимные расстояния нескольких точек системы. Если число этих точек равно $n$, то формула (1) может быть разложена на $3 n$ обычных дифференциальных уравнения второго порядка между координатами и временем
\[
m_{i} x_{i}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta x_{i}} ; \quad m_{i} y_{i}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta y_{i}} ; \quad m_{i} z_{i}^{\mu}=\frac{\delta U}{\delta z_{i}} .
\]

Интегрирование этих дифференциальных уравнений движения притягивающейся или отталкивающейся системы, или некоторое преобразование их, представляет собой главную и возможно единственную проблему математической динамики.
2. Для того чтобы облегчить и обобщить решение этой проблемы, полезно предварительно выразить $3 n$ прямоугольных координат $x, y, z$ как функции $3 n$ других более общих отметок положения $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}$; тогда дифференциальные уравнения движения принимают следующую, более общую форму, открытую Лагранжем :
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta T}{\delta \eta_{i}^{\prime}}-\frac{\delta T}{\delta \eta_{i}}=\frac{\delta U}{\delta \eta_{i}},
\]

где
\[
T=\frac{1}{2}
u^{\prime} m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right) .
\]

В самом деле, из уравнений (2) или (1) следует уравнение
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta U}{\delta \eta_{i}} & =\Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime \prime} \frac{\delta x}{\delta \eta_{i}}+y^{\prime \prime} \frac{\delta y}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime \prime} \frac{\delta z}{\delta \eta_{i}}\right)= \\
& =\frac{d}{d t} \Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime} \frac{\delta x}{\delta \eta_{i}}+y^{\prime} \frac{\delta y}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime} \frac{\delta z}{\delta \eta_{i}}\right)- \\
& -\Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\delta x}{\delta \eta_{i}}+y^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\delta y}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\delta z}{\delta \eta_{i}}\right),
\end{aligned}
\]

в котором
\[
\Sigma m\left(x^{\prime} \frac{\delta x}{\delta \eta_{i}}+y^{\prime} \frac{\delta y}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime} \frac{\delta z}{\delta \eta_{i}}\right)=\Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime} \frac{\delta x^{\prime}}{\delta \eta_{i}^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\delta y^{\prime}}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime} \frac{\delta z^{\prime}}{\delta \eta_{i}^{\prime}}\right)=\frac{\delta T}{\delta \eta_{i}^{\prime}}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\searrow m\left(x^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\delta x}{\delta \eta_{i}}+y^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\delta y}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\delta z}{\delta \eta_{i}}\right)= \\
=\geq m\left(x^{\prime} \frac{\delta x^{\prime}}{\delta \eta_{i}}+y^{\prime} \frac{\delta y^{\prime}}{\delta \eta_{i}}+z^{\prime} \frac{\delta z^{\prime}}{\delta \eta_{i}}\right)=\frac{\delta T}{\delta \eta_{i}},
\end{array}
\]

при этом $T$ рассматривается здесь как функция $6 n$ величин $\eta^{\prime}$ и $\eta$, полученных путем введения в ее определение (4) значений
\[
x^{\prime}=\eta_{1}^{\prime} \frac{\delta x}{\delta \eta_{1}}+\eta_{2}^{\prime} \frac{\delta x}{\delta \eta_{2}}+\ldots+\eta_{3 n}^{\prime} \frac{\delta x}{\delta \eta_{3} n} \text { и т. д. }
\]

Иное ‘доказательство этого важного преобразования дано в Mécanique Analytique.

3. Поскольку $T$ является однородной функцией второй степени относительно $\eta^{\prime}$, она должна удовлетворять условию
\[
2 T=\Sigma \eta^{\prime} \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}},
\]

а поскольку вариация той же функции $T$, очевидно, может быть выражена следующим образом :
\[
\delta T=\mathcal{y}\left(\frac{\delta T}{\delta \eta} \delta \eta^{\prime}+\frac{\delta T}{\delta \eta} \delta \eta\right),
\]

то эта вариация может быть также выражена следующим образом :
\[
\delta T=
u\left(\eta^{\prime} \delta \frac{\delta T}{\delta \eta^{\prime}}-\frac{\delta T}{\delta \eta} \delta \eta\right) .
\]

Тогда, если мы для краткости положим
\[
\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}=\widetilde{\omega}_{1}, \ldots, \quad, \frac{\delta T}{\delta \eta_{3 n}^{\prime}}=\bar{\omega}_{3 n}
\]

и будем рассматривать $T$ (как мы это вправе сделать) как функцию следующего вида:
\[
T=F\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right),
\]

то увидим, что
\[
\frac{\delta F}{\partial \bar{\omega}_{1}}=\eta_{1}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta F}{\delta \bar{\omega}_{3 n}}=\eta_{3 n}^{\prime}
\]

и
\[
\frac{\delta F}{\partial \eta_{1}}=-\frac{\partial T}{\delta \eta_{1}}, \ldots, \quad \frac{\partial F}{\delta \eta_{3 n}}=-\frac{\partial T}{\delta \eta_{3 n}},
\]

и, следовательно, общее уравнение (3) может быть преобразовано так:
\[
\frac{d \bar{\omega}_{i}}{d t}=\frac{\delta(U-F)}{\delta \eta_{i}} .
\]

Теперь, если мы для краткости введем следующее выражение $H$ :
\[
H=F-U=F\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-U\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right),
\]

то подойдем к новому способу представления дифференциальных уравнений движения системы $n$ точек притягивающих или отталкивающих одна другую $\left[{ }^{98}\right]$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d \eta_{1}}{d t}=\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{1}} ; \quad \frac{d \bar{\omega}_{1}}{d t}=-\frac{\delta H}{\delta \eta_{1}}, \\
\frac{d \eta_{2}}{d t}=\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{2}} ; \quad \frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=-\frac{\delta H}{\delta \eta_{2}} ; \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\frac{\delta \eta_{3 n}}{d t}=\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{3 n}} ; \quad \frac{\delta \bar{\omega}_{3 n}}{d t}=-\frac{\delta H}{\delta \eta_{3 n}} .
\end{array}\right\}
\]

С этой точки зрения задача математической динамики для системы $n$ точек заключается в том, чтобы проинтегрировать систему (А) $6 n$ обычных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих $6 n$ переменных $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ и время $t$, а решение этой задачи должно состоять в определении этих $6 n$ переменных как функций времени и их собственных начальных

значений, которые мы можем обозначить как $e_{i}, p_{i}$. Все эти $6 n$ функций или $6 n$ соотношений для определения этих функций могут быть выражены в совершенно общем и строгом виде методом, предложенным в предыдущей работе, или следующим упрощенным процессом.