Изложенное целесообразно пояснить примером. Так как здесь должны быть только выяснены трудности, связанные с варьированием, то, как мне кажется, будет достаточно, если я изберу некоторое весьма простое, хотя и едва ли реализуемое движение; оно принадлежит, между прочим, к движениям, допущенным Герцем***). Пусть материальная точка, на которую
не действуют никакие силы, связана в своем движении уравнением
\[
\varphi(x, y, z) d x+\psi(x, y, z) d y+\chi(x, y, z) d z=0 .
\]
Следовательно, точка в любом положении вынуждена двигаться вдоль заданного элемента поверхности; направляющие косинусы элемента поверхности в положении $x, y, z$ относятся как
\[
\varphi(x, y, z): \psi(x, y, z): \chi(x, y, z) .
\]
Уравнение (13) в особых случаях может быть проинтегрировано в форме
\[
\omega(x, y, z)=\text { const. }
\]
В этом случае мы называем уравнение (13) интегрируемым; тогда существует такая функция $\Omega(x, y, z)$, при умножении на которую левая часть уравнения (13) обращается в полный дифференциал. Чтобы это имело место, функция $\Omega$ должна удовлетворять условиям
\[
\frac{\partial(\Omega \cdot \varphi)}{\partial y}=\frac{\partial(\Omega \cdot \psi)}{\partial x}, \frac{\partial(\Omega \cdot \psi)}{\partial z}=\frac{\partial(\Omega \cdot \chi)}{\partial y}, \frac{\partial(\Omega \cdot \chi)}{\partial x}=\frac{\partial(\Omega \cdot \varphi)}{\partial z},
\]
которым, если обозначить частные производные по $x, y, z$ соответственно индексами 1,2, 3, может быть придана форма:
\[
\begin{array}{l}
\Omega\left(\varphi_{2}-\psi_{1}\right)=\Omega_{1} \psi-\Omega_{2} \varphi, \quad \Omega\left(\psi_{3}-\chi_{2}\right)=\Omega_{2} \chi-\Omega_{3} \psi, \\
\Omega\left(\chi_{1}-\varphi_{3}\right)=\Omega_{3} \varphi-\Omega_{1} \chi . \\
\end{array}
\]
Если эти уравнения умножить соответственно на $\chi, \varphi, \psi$ и сложить, то получается
\[
\chi\left(\varphi_{2}-\psi_{1}\right)+\varphi\left(\psi_{3}-\chi_{2}\right)+\psi\left(\chi_{1}-\varphi_{3}\right)=0 .
\]
Это – условие интегрируемости, которое не всегда выполняется*). Но когда оно выполнено, материальная точка, на которую наложена вышеуказанная связь, представляет собой голономную систему.
