Как ясно из предшествовавшего изложения, существует внутренняя связь между аналитической динамикой Гамильтона-Якоби и общей теорией преобразований. Однако только Софус Ли раскрыл эту связь и придал ей поразительно красивую и богатую многообразными следствиями форму.

Основное в динамике Гамильтона–Якоби – это вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования кано-

нических уравнений Гамильтона и уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса, в возможности представлять механическое движение не только в виде перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории луча с некоторой поверхностью (волновой или «действия»), выражающей взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в механике и физике.

Однако этот глубокий смысл раскрывается полностью лишь с групповой точки зрения. Предположим, что мы имеем две группы переменных величин и что для любых значений первой группы определены значения второй, и наоборот. Таким образом устанавливается соответствие между двумя группами переменных. Математическое выражение такого соответствия называется преобразованием. Если каждому значению переменных одной группы соответствует одно и только одно распределение значений второй группы и если обратное тоже имеет место, то такое соответствие между двумя группами называется одно-однозначным. Если обозначить первую группу значений через $A$, то преобразование, выражающее однооднозначное соответствие, определяет вторую группу значений переменных $A^{\prime}$.
Интересующий нас вид преобразований был развит Софусом Ли.
В замечательной работе «Die Störungstheorie und die Berührungtransformationen», опубликованной в 1877 г., Софус Ли рассмотрел связь касательного преобразования с задачей возмущенного движения. Глубокая мысль Ли состоит в том, что проблема теории возмущения по самому своему существу есть проблема преобразования.

Он указывает, что в теории возмущений рассматривается следующая задача : определить общее преобразование
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=X_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \\
p_{k}^{\prime}=P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right),
\end{array}\right\}
\]

которое одновременно преобразует систему, имеющую форму
\[
\dot{X}_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}}, \quad \dot{p}_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}},
\]

в систему той же формы между новыми переменными. Эти преобразования Ли назвал «касательными». Дело в том, что если две кривые на исходной плоскости касаются одна другой, то это означает не что иное, как то, что они имеют общий линейный элемент. Тогда и соответствующие им кривые в новой плоскости преобразования также должны иметь общий линейный элемент, т. е. общую точку с общим направлением в ней. Касание двух кривых является, следовательно, инвариантным свойством этого преобразования. На это и указывает его название.

Касательное преобразование Софуса Ли, имеющее исключительное значение в общей теории преобразования, находит применение в механике как в силу своей связи с теорией возмущений, так и из-за того, что так называемое каноническое преобразование, столь важное в динамике, является частным случаем касательного преобразования.

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют развитие механической системы, являются обобщенные координаты $q$ и обобщенные импульсы $p$. Гамильтонова функция $H(p, q)$, которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные $q$ и $p$ в новые переменные $\bar{q}$ и $\bar{p}$ посредством какого-

либо произвольного преобра̄зования, то общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований*). Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так:
\[
x^{\prime}=f\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}\right), \quad y^{\prime}=\varphi\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}\right), \quad z^{\prime}=\psi\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}\right) .
\]

В том случае, когда ни $x^{\prime}$, ни $y^{\prime}$ не зависят от $z$ и только $z^{\prime}$ зависит от этой переменной, причем $z^{\prime}$ имеет вид $z+f\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$, мы имеем каноническое преобразование.

Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Уравнения сохранили свою форму, но гамильтонова функция $H(q, p)$ превратилась в функцию $H(\bar{q}, \bar{p})$ новых переменных $\bar{q}$ и $\bar{p}$. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби показал, что если можно построить такое каноническое преобразование, которое преобразует гамильтонову функцию $H(q, p)$ в $\bar{H}(\bar{p})$, которая содержит только переменные $\bar{p}$, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена. Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение совершенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле.

Важность скобок Пуассона определяется тем, что они инвариантны по отношению к касательным преобразованиям, т.е. к таким преобразованиям канонических переменных, которые оставляют уравнения движения неизменными. В силу этого уравнения движения могут быть выражены посредством скобок Пуассона. Условия того, чтобы преобразование, преобразующее одну систему переменных в другую, было касательным, могут быть написаны с помощью скобок Пуассона следующим образом :
\[
\begin{array}{l}
\left(q_{i}, q_{j}\right)=0, \quad\left(p_{i}, p_{j}\right)=0, \quad i, j=1,2, \ldots, n, \\
\left(q_{i}, p_{j}\right)=0, \quad i, j=1,2, \ldots, n, i \gtrless j, \\
\left(q_{i}, p_{j}\right)=1, \quad i, j=1,2, \ldots, n, i=j \\
\end{array}
\]

В классической механике скобки Пуассона могут считаться определенит канонических переменных, но они имеют смысл только тогда, когда $q_{i}$ и $p_{i}$ являются функциями других переменных $q_{i}^{*}$ и $p_{i}^{*}$, о которых уже известно, что они канонические. Иначе дело обстоит в квантовой механике.

Если в классической теории понятие канонических переменных является понятием механики, то в квантовой теории это скорее алгебраическое

понятие. В квантовой механике задача состоит не только в определении уравнений движения, но и в нахождении специфических квантовых условий, которые в некотором смысле слова заменяют действующий в классической механике коммутативный закон умножения. Дирак пишет: «Известно, что в некоторых предельных случаях, например, когда массы очень велики, классическая механика удачно описывает поведение механических систем. Если же мы не имеем дела с этими предельными случаями, то можно надеяться построить теорию таких же механических систем, сделав в классических уравнениях некоторые естественные обобщения и выбрав квантовые условия таким образом, чтобы они были естественным обобщением классического закона, по которому все переменные коммутируют друг с другом. Мы увидим, что таким путем возможно построить квантовую теорию отдельных механических систем, аналогичную классической механике»). Как же построить уравнения движения для квантовой системы по аналогии с классической механикой? Для этого, по мысли Дирака, надо воспользоваться скобками Пуассона. Этим классическим скобкам соответствуют некоторые аналоги и в квантовой теории.

Дирак определяет квантовые скобки Пуассона так, чтобы и они обладали известными свойствами классических скобок Пуассона (в первую очередь линейностью и инвариантностью при касательном преобразовании). Тогда нетрудно получить для любых переменных $\vartheta$ и $\eta$ :
\[
\vartheta_{1} \eta_{1}-\eta_{1} \vartheta_{1}=i \hbar\left(\vartheta_{1} \eta_{1}\right), \quad \vartheta_{2} \eta_{2}-\eta_{2} \vartheta_{2}=i \hbar\left(\vartheta_{2} \eta_{2}\right),
\]

где $\hbar$ не зависит от $\vartheta$ и $\eta$ и является числом, и притом вещественным. Следовательно, для любых двух переменных квантовые скобки Пуассона $(\vartheta, \eta)$ определяются так:
\[
\vartheta \eta-\eta \vartheta=i \hbar(\vartheta, \eta),
\]

где $\hbar$ – универсальная постоянная размерности действия (т. е. произведения количества движения на длину). Такая размерность вытекает из того, что в классической механике отношение . $\eta$ к скобке Пуассона $(\vartheta, \eta)$ имеет размерность действия.