Вообще говоря, не обрывающийся ряд проективных инвариантов для $f(x, d x)$ дают нам поляры. Вследствие линейности преобразования дифференциалов, из равенства
\[
f(x, d x)=g(y, d y)
\]

следует также
\[
f(x, d x+\lambda \delta x)=g(y, d y+\lambda \delta y)
\]

и отсюда, путем разложения по $\lambda$ получаются следующие, характерные для инвариантности соотношения :
\[
\begin{array}{l}
f(d x)=g(d y), \\
f_{\delta}=\sum \frac{\partial f(d x)}{\partial d x} \delta x=\sum \frac{\partial g(d y)}{\partial d y} \delta y, \\
\left.\begin{array}{c}
\ldots \ldots \ldots \\
f_{\delta^{\sigma}}=\sum \frac{\partial^{\sigma} f(d x)}{\partial d x^{\sigma}} \delta x^{\sigma}=\sum \frac{\partial^{\sigma} g(d y)}{\partial d y^{\sigma}} \delta y^{\sigma} .
\end{array}\right\} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Каждая поляра путем применения варьирования $\bar{\delta}$ дает основание для построения необрывающегося ряда общих инвариантов $\left[{ }^{209}\right]$ :
\[
\begin{array}{l}
\bar{\delta}^{o} f(x, d x)=\bar{\delta}^{o} g(y, d y), \\
\text {. . . . . . . . . . . } \\
\bar{\delta}^{\varrho} f_{\delta^{\sigma}}=\bar{\delta}^{\varrho} \sum \frac{\partial^{\sigma} f(d x)}{\partial d x^{\sigma}} \delta x^{\sigma}=\bar{\delta}^{a} \sum \frac{\partial^{\sigma} g(d y)}{\partial d y^{\sigma}} \delta y^{\sigma}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
(\rho=0,1,2 \ldots) \text {. } \\
\end{array}
\]

Соотношения (2) и (3) позволяют, в силу определения (1), прочитать законы преобразования для производных от $f(x, d x)$, чем, впрочем, нам не придется пользоваться в дальнейшем. Из инвариантов (3) можно посредством линейной комбинации получить «нормальную форму $p$-й вариации», которая для $\rho=1$ имеется у Лагранжа, а для $\rho=2$ – у Римана ; эта форма характеризуется тем, что исключаются смешанные дифференциалы ( $\rho+1$ )-го порядка : $d^{e} \delta, d^{2-1} \delta^{2}, \ldots$ Для этой формы получаем :
\[
\left.\begin{array}{l}
\Omega_{1}=\delta f(d x)-d f_{\delta}(d x) \\
\Omega_{2}=\delta^{2} f-\delta d f_{\delta}+\frac{1}{2} d^{2} f_{\delta 2} \\
\text {. . . . . . . . . } \\
\Omega_{e}=\delta^{e} f-\delta^{e-1} d f_{\delta}+\frac{1}{2} \delta^{e-2} d^{2} f_{\delta^{2}}+\ldots .+\frac{(-1)^{e}}{\rho !} d^{e} f_{\delta e}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}\right\}
\]

Из инвариантов (4) путем обобщения риманова метода можно прийти к инвариантам, которые содержат только первые дифференциалы; такие инварианты мы будем называть «основными функциями». Именно, если в выражении для $\Omega_{1}$ заменить дифференциалы производными, то получается
\[
\Omega_{1}=0
\]
(тождественно в отношении $\delta x$ ), т.е. в точности лагранжевы уравнения вариационной задачи, относящейся к выражению $f\left(\frac{d x}{d t}\right)$. Я составляю теперь инвариантное условие, чтобы выражение $(d+\lambda \delta)$ удовлетворяло этим лагренжевым уравнениям :
\[
\Omega_{1}(d+\lambda \delta)=\bar{\delta} f(d x+\lambda \delta)-(d+\lambda \delta) f_{\bar{\delta}}(d x+\lambda \delta x)=0
\]
(тождественно относительно $\bar{\delta} x$ ), откуда для однородного выражения $f(d x$ ) посредством подстановки $\bar{\delta}=d+\lambda \delta$ получается следующее выражение:
\[
(d+\lambda \delta) f(d x+\lambda \delta x)=0,
\]

за исключением случая однородности первого порядка. В последнем случае уравнение (6) должно быть добавлено в качестве нового условия, так как тогда система уравнений (5) представляет только ( $n-1$ ) независимых условий. Если в выражении (5) или соответственно в выражениях (5) и (6)

положить коэффициенты при нулевой, первой и второй степенях $\lambda$ равными нулю, то мы получим три инвариантные системы уравнений:
\[
\varphi=0, \quad \psi=0, \quad \chi=0
\]
(тождественно относительно $\overline{\delta x}$ ), посредством которых $d^{2} x, d \delta x, \delta^{2} x$ могут быть выражены через первые дифференциалы. Дальнейших инвариантных систем уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
d^{\sigma} \varphi=0, \quad d^{\sigma} \psi=0, \quad d^{\sigma} \chi=0, \quad d^{\sigma-1} \delta \chi=0, \\
d^{\sigma-2} \delta^{2} \chi=0, \quad \ldots, \quad \delta^{\sigma} \chi=0 \quad(\sigma=0,1,2, \ldots)
\end{array}\right\}
\]

будет тогда как раз достаточно, чтобы выразить все высшие дифференциалы через первые *). Функции (4) вместе с инвариантной системой уравнений (7) дают, следовательно, основные функции $\left[\Omega_{\ell}\right]$ с одними только первыми дифференциалами, причем $\left[\Omega_{1}\right]$ тождественно обращается в нуль $\left[{ }^{210}\right]$.

Так же точно из дифференциала $\delta h(d x, \delta x)$ основной функции $h$ можно на основании уравнений (7) вновь получить основную функцию, которая может быть названа «ковариантной производной» $\left[h^{(1)}\right]$ от $h\left[{ }^{211}\right]$; и пусть вообще $\left[h^{(\sigma)}\right]$ обозначает ковариантную производную от $\left[h^{(\sigma-1)}\right]$. Таким образом, оба эти процесса ведут к следующему дважды бесконечному ряду основных функций :

Далее, можно показать, что левые части уравнений, выражающих высшие дифференциалы через первые, коградиентны первым дифференциалам (т. е. подлежат одинаковым линейным преобразованиям). Поэтому, если вместо высших дифференциалов ввести эти левые части $p, q, r, \ldots$ в качестве аргументов инварианта, то последний будет зависеть, кроме производных, еще только от взаимно коградиентных величин. Вышеуказанный способ образования функций (8) сводится просто к введению этих новых величин ; каждый инвариант переходит таким путем в сумму инвариантов, и из этих последних выделяют такие, : вторые содержат как раз $d x, \delta x$, но не $p, q, r, \ldots$.
В дальнейшем будет показано, что в предположении однородности
\[
f(x, d x)=\Phi(x) f(d x)
\]

основными функциями (8) исчерпывается искомая полная система.