17. Для любой системы из трех точек известные дифференциальные уравнения движения вто рого порядка охватываются следующей формулой :
$$\begin{array}{l}{m}_1(x_1^{\prime \prime }\delta x_1+y_1^{\prime \prime }\delta y_1+z_1^{\prime \prime }\delta z_1)+m_2(x_2^{\prime \prime }\delta x_2+y_2^{\prime \prime }\delta y_2+z_2^{\prime \prime }\delta z_2)+\\ +m_3(x_3^{\prime \prime }\delta x_3+y_3^{\prime \prime }\delta y_3+z_3^{\prime \prime }\delta z_3)=\delta U,\end{array}$$

причем известная силовая функция $U$ принимает форму
$$U=m_1{m}_2{f}^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}^{(1,3)}+m_2{m}_3{f}^{(2,3)},$$

где $f^{(1,2)},f^{(1,3)},f^{(2,3)}$ соответственно представляют собой функции трех следующих взаимных расстояний точек системы :
$$\begin{array}{l}{r}^{(1,2)}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2+{(z_1-z_2)}^2}.\\ r^{(1,3)}=\sqrt{{(x_1-x_3)}^2+{(y_1-y_3)}^2+{(z_1-z_3)}^2},\\ r^{(2,3)}=\sqrt{{(x_2-x_3)}^2+{(y_2-y_3)}^2+{(z_2-z_3)}^2}.\end{array}\}$$

Следовательно, известные дифференциальные уравнения движения отдельно для точки $m_1$ имеют вид:
$$\begin{array}{l}{x}_1^{\prime \prime }=m_2\frac{\delta f(1,2)}{\delta x_1}+m_3\frac{\delta f(1,3)}{\delta x_1},\\ y_1^{\prime \prime }=m_2\frac{\delta f^{(1,2)}}{\delta y_1}+m_3\frac{\delta f^{(1,3)}}{\delta y_1},\\ z_1^{\prime \prime }=m_2\frac{\delta f^{(1,2)}}{\delta z_1}+m_3\frac{\delta f^{(1,3)}}{\delta z_1};\end{array}\}$$

для точек $m_2$ и $m_3$ имеем шесть аналогичных уравнений. Здесь $x_1^{\prime \prime }$ и т.д. обозначают компонснты ускорения точек $m_1,m_2,m_3$ или вторые производные их координат, взятые по времени. Проинтегрировать эти уравнения — значит найти с их помощью девять соотношений между временем $t$, тремя массами $m_1,m_2,m_3$, девятью переменными координатами $x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,x_3,y_3,z_3$ и их девятью начальными значениями и девятью начальными мерами их приращений, которые можно обозначить как $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3$, $a_1^{\prime },b_1^{\prime },c_1^{\prime },a_2^{\prime },b_2^{\prime },c_2^{\prime },a_3^{\prime },b_3^{\prime },c_3^{\prime }$. Известный промежуточный интеграл, включающий закон живой силы, а именно:
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{m}_1(x_1^{\prime 2}+y_1^{\prime 2}+z_1^{\prime 2})+\frac{1}{2}{m}_2(x_2^{\prime 2}+y_2^{\prime 2}+z_2^{\prime 2})+\frac{1}{2}{m}_3(x_3^{\prime 2}+y_3^{\prime 2}+z_3^{\prime 2})=\\ =m_1{m}_2{f}^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}^{(1,3)}+m_2{m}_3{f}^{(2,3)}+H,\end{array}$$

дает следующее начальное соотношение :
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{m}_1(a_1^{\prime 2}+b_1^{\prime 2}+c_1^{\prime 2})+\frac{1}{2}{m}_2(a_2^{\prime 2}+b_2^{\prime 2}+c_2^{\prime 2})+\frac{1}{2}\cdot m_3(a_3^{\prime 2}+b_3^{\prime 2}+c_3^{\prime 2})=\\ =m_1{m}_2{f}_0^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}_0^{(1,3)}+m_2{m}_3{f}_0^{(2,3)}+H,\end{array}$$

в котором $f_0^{(1,2)},f_0^{(1,3)},f_0^{(2,3)}$ конструируются из начальных координат точно так же, как $f^{(1,2)},f^{(1,3)},f^{(2,3)}$ из конечных координат. Теперь, если бы мы знали девять конечных интегралов уравнений движения этой тройной системы и сочетали их с начальной формой (125) закона живой силы, то мы имели бы десять соотношений для определения десяти величин $t,a_1^{\prime },b_1^{\prime },c_1^{\prime },a_2^{\prime },b_2^{\prime },c_2^{\prime }$, $a_3^{\prime },b_3^{\prime },c_3^{\prime }$, т. е. времени и девяти начальных компонентов скоростей трех точек как функций девяти конечных и девяти начальных координат, а также — величины $H$, включая также и массы. Мы могли бытаким образом определить все, что зависит от способа и времени движения системы из ее начального в конечное положение, в качестве функции тех же граничных

координат и $H$. В частности, мы могли бы определить действие $V$ или накопленную живую силу системы, а именно:
$$V=m_1{\int }_0^t(x_1^{\prime 2}+y_1^{\prime 2}+z_1^{\prime 2})dt+m_2{\int }_0^t(x_2^{\prime 2}+y_2^{\prime 2}+z_2^{\prime 2})dt+m_3{\int }_0^t(x_3^{\prime 2}+y_3^{\prime 2}+z_3^{\prime 2})dt,$$

как функцию этих девятнадцати величин $x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,x_3,y_3,z_3,a_1,b_1,c_1$, $a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3,H$ и могли бы вычислить вариацию этой функции
$$\begin{array}{rl}\delta V& =\frac{\delta V}{\delta x_1}\delta x_1+\frac{\delta V}{\delta y_1}\delta y_1+\frac{\delta V}{\delta z_1}\delta z_1+\frac{\delta V}{\delta a_1}\delta a_1+\frac{\delta V}{\delta b_1}\delta b_1+\frac{\delta V}{\delta c_1}\delta c_1+\\ & +\frac{\delta V}{\delta x_2}\delta x_2+\frac{\delta V}{\delta y_2}\delta y_2+\frac{\delta V}{\delta z_2}\delta z_2+\frac{\delta V}{\delta a_2}\delta a_2+\frac{\delta V}{\delta b_2}\delta b_2+\frac{\delta V}{\delta c_2}\delta c_2+\\ & +\frac{\delta V}{\delta x_3}\delta x_3+\frac{\delta V}{\delta y_3}\delta y_3+\frac{\delta V}{\delta z_3}\delta z_3+\frac{\delta V}{\delta a_3}\delta a_3+\frac{\delta V}{\delta b_3}\delta b_3+\frac{\delta V}{\delta c_3}\delta c_3+\frac{\delta V}{\delta H}\delta H.\end{array}$$

Однако закон переменного действия предварительно дает для этой вариации выражение
$$\begin{array}{rl}\delta V& =m_1(x_1^{\prime }\delta x_1-a_1^{\prime }\delta a_1+y_1^{\prime }\delta y_1-b_1^{\prime }\delta b_1+z_1^{\prime }\delta z_1-c_1^{\prime }b{c}_1)+\\ & +m_2(x_2^{\prime }\delta x_2-a_2^{\prime }b{a}_2+y_2^{\prime }\delta y_2-b_2^{\prime }\delta b_2+z_2^{\prime }\delta z_2-c_2^{\prime }b{c}_2)+\\ & +m_3(x_3^{\prime }\delta x_3-a_3^{\prime }b{a}_3+y_3^{\prime }\delta y_3-b_3^{\prime }\delta b_3+z_3^{\prime }\delta z_3-c_3^{\prime }b{c}_3)+t\delta H\end{array}$$

и, следовательно, показывает, что отыскание всех промежуточных и конечных интегральных уравнений движения системы может быть сведено к отысканию и дифференцированию этой одной характеристической функции $V$, потому что если бы мы знали эту одну функцию, то имели бы девять промежуточных интегралов известных дифференциальных уравнений в виде
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V}{\delta x_1}=m_1{x}_1^{\prime },\frac{\delta V}{\delta y_1}=m_1{y}_1^{\prime },\frac{\delta V}{\delta z_1}=m_1{z}_1^{\prime }\\ \frac{\delta V}{\delta x_2}=m_2{x}_2^{\prime },\frac{\delta V}{\delta y_2}=m_2{y}_2^{\prime },\frac{\delta V}{\delta z_2}=m_2{z}_2^{\prime }\\ \frac{\delta V}{\delta x_3}=m_3{x}_3^{\prime },\frac{\delta V}{\delta y_3}=m_3{y}_3^{\prime },\frac{\delta V}{\delta z_3}=m_3{z}_3^{\prime }\end{array}\}$$

и девять конечных интегралов в виде
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V}{\delta a_1}=-m_1{a}_1^{\prime },\cdot \frac{\delta V}{\delta b_1}=-m_1{b}_1^{\prime },\frac{\delta V}{\delta c_1}=-m_1{c}_1^{\prime };\\ \frac{\delta V}{\delta a_2}=-m_2{a}_2^{\prime },\frac{\delta V}{\delta b_2}=-m_2{b}_2^{\prime },\frac{\delta V}{\delta c_2}=-m_2{c}_2^{\prime };\\ \frac{\delta V}{\delta a_3}=-m_3{a}_3^{\prime },-\frac{\delta V}{\delta b_3}=-m_3{b}_3^{\prime },\frac{\delta V}{\delta c_3}=-m_3{c}_3^{\prime },\end{array}$$

причем вспомогательная постоянная $H$ исключается и время $t$ вводится посредством другого уравнения, часто встречающегося в данной работе:
$$t=\frac{\delta V}{\delta H}.$$

Тот же закон переменного действия подсказывает еще один метод исследования формы этой характеристической функции, не требующий предварительного интегрирования известных уравнений движения, а именно, интегрирование двух уравнений в частных производных, связанных с законом живой силы :
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2m_1}\{{\left(\frac{\delta V}{\delta x_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta y_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta z_1}\right)}^2\}+\frac{1}{2m_2}\{{\left(\frac{\delta V}{\delta x_2}\right)}^2+\left(\frac{\delta V}{\delta y_2}\right)+{\left(\frac{\delta V}{\delta z_2}\right)}^2\}+\\ +\frac{1}{2m_3}\{{\left(\frac{\delta V}{\delta x_3}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta y_3}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta z_3}\right)}^2\}=m_1{m}_2{f}^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}^{(1,3)}+m_2{m}_3{f}^{(2,3)}+H\end{array}$$

и
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2m_1}\{{\left(\frac{\delta V}{\delta a_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta b_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta c_1}\right)}^2\}+\frac{1}{2m_2}\{{\left(\frac{\delta V}{\delta a_2}\right)}^2+\left(\frac{\delta V}{\delta b_2}\right)+\left(\frac{\delta V}{\delta c_2}\right)\}+\\ +\frac{1}{2m_3}\{{\left(\frac{\delta V}{\delta a_3}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta b_3}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V}{\delta c_3}\right)}^2\}=m_1{m}_2{f}_0^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}_0^{(1,3)}+m_2{m}_3{f}_0^{(2,3)}+H.\end{array}$$

Для того чтобы облегчить определение этим способом функции $V$, которая зависит от 18 координат, мы можем, исходя из принципов, изложенных ранее, разделить ее на часть $V_n$, зависящую только от движения центра тяжести системы и определяемую формулой ( ${\mathrm{H}}^1)$, и на часть $V$, зависящую только от относительных движений вокруг этого внутреннего центра и равную накопленной живой силе, связанной только с этим относительным движением. Таким образом, трудность сводится к определению относительного действия $V$, ; и если мы введем относительные координаты

и
$$\begin{array}{lll}{\xi }_1=x_1-x_3,& {\eta }_1=y_1-y_3,& {\zeta }_1=z_1-z_3,\\ {\xi }_2=x_2-x_3,& {\eta }_2=y_2-y_3,& {\zeta }_2=z_2-z_3\end{array}\}$$
$$\begin{array}{l}{\alpha }_1=a_1-a_3,{\beta }_1=b_1-b_3,{\gamma }_1=c_1-c_3,\text{, }\\ {\alpha }_2=a_2-a_3,{\beta }_2=b_2-b_3,{\gamma }_2=c_2-c_3,\end{array}$$

то, исходя из принципов, изложенных в десятом и последующих параграфах легко убедиться в том, что функция $V$, может рассматриваться как зависящая только от этих относительных координат и от величины $H$, аналогичной $H$ (помимо масс системы), и что она должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных, аналогичным $\left({\mathrm{F}}^4\right)$ и $\left({\mathrm{G}}^4\right)$, а именно :
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2m_1}\{{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\zeta }_1}\right)}^2\}+\frac{1}{2m_2}\{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2}\right)+\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_2}\right)+{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\zeta }_2}\right)}^2\}+\\ +\frac{1}{2m_3}\{(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}+\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2})+(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_1}+\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_2})+{(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}+\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2})}^2\}=\\ =m_1{m}_2{f}^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}^{(1,3)}+m_2{n}_{\mathrm{g}}{}^{\prime (2,3)}+H,\end{array}$$

и
$$\begin{array}{c}\frac{1}{2m_1}\{{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_1}\right)}^2+\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_1}\right)+{\left(\frac{\partial V_{\prime }}{\delta {\gamma }_1}\right)}^2\}+\frac{1}{2m_2}\{{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\gamma }_2}\right)}^2\}+\\ +\frac{1}{2m_3}\{{(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_1}+\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_2})}^2+{(\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_1}+\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_2})}^2+{(\frac{\delta V\prime }{\delta {\gamma }_1}+\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\gamma }_2})}^2\}=\\ =m_1{m}_2{f}_0^{(1,2)}+m_1{m}_3{f}_0^{(1,3)}+m_2{m}_3{f}_0^{(2,3)}+H\end{array}$$

При этом закон вариации этой функции по $z^{\prime }$ имеет вид :
$$\begin{array}{rl}\delta V,=& t\delta H,+m_1({\xi }_1^{\prime }\delta {\xi }_1-{\alpha }_1^{\prime }\delta {\alpha }_1+{\eta }_1^{\prime }\delta {\eta }_1-{\beta }_1^{\prime }\delta {\beta }_1+{\zeta }_1^{\prime }\delta {\zeta }_1-{\gamma }_1^{\prime }\delta {\gamma }_1)+\\ & +m_2({\xi }_2^{\prime }\delta {\xi }_2-{\alpha }_2^{\prime }\delta {\alpha }_2+{\eta }_2^{\prime }\delta {\eta }_2-{\beta }_2^{\prime }\delta {\beta }_2+{\zeta }_2^{\prime }\delta {\zeta }_2-{\gamma }_2^{\prime }\delta {\gamma }_2)-\\ & -\frac{1}{m_1+m_2+m_3}\{(m_1{\xi }_1^{\prime }+m_2{\xi }_2^{\prime })(m_1\delta {\xi }_1+m_2\delta {\xi }_2)-\\ & -(m_1{\alpha }_1^{\prime }+m_2{\alpha }_2^{\prime })(m_1\delta {\alpha }_1+m_2\delta {\alpha }_2)+(m_1{\eta }_1^{\prime }+m_2{\eta }_2^{\prime })(m_1\delta {\eta }_1+m_2\delta {\eta }_2)-\\ & -(m_1{\beta }_1^{\prime }+m_2{\beta }_2^{\prime })(m_1\delta {\beta }_1+m_2\delta {\beta }_2)+(m_1{\zeta }_1^{\prime }+m_2{\zeta }_2^{\prime })(m_1{\zeta }_1+m_2{\zeta }_2)-\\ & -(m_1{\gamma }_1^{\prime }+m_2{\gamma }_2^{\prime })(m_1\delta {\gamma }_1+m_2\delta {\gamma }_2)\}.\end{array}$$

Это выражение таким же образом, как и выше, распадается на шесть промежуточных и шесть конечных интегралов относительного движения, а именно на следующие уравнения :
$$\begin{array}{l}-\frac{1}{m_1}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}={\xi }_1^{\prime }-\frac{m_1{\xi }_1^{\prime }+m_2{\xi }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3^{\prime }},-\frac{1}{m_2}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2}={\xi }_2^{\prime }-\frac{m_1{\xi }_1^{\prime }+m_2{\xi }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3};\\ \frac{1}{m_1}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_1}={\eta }_1^{\prime }-\frac{m_1{\eta }_1^{\prime }+m_2{\eta }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3^{\prime }},\frac{1}{m_2}\frac{\delta V\prime }{\delta {\eta }_2}={\eta }_2^{\prime }-\frac{m_1{\eta }_1^{\prime }+m_2{\eta }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3};\\ \frac{1}{m_1}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}={\zeta }_1^{\prime }-\frac{m_1{\xi }_1^{\prime }+m_2{\zeta }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3},\frac{1}{m_2}\frac{\delta V\prime }{\delta {\zeta }_2}={\zeta }_2^{\prime }-\frac{m_1{\zeta }_1^{\prime }+m_2{\zeta }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3}\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}\frac{-1}{m_1}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_1}={\alpha }_1^{\prime }-\frac{m_1{\alpha }_1^{\prime }+m_2{\alpha }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3},\frac{-1}{m_2}\frac{\delta V}{\delta {\dot{\alpha }}_2}={\alpha }_2^{\prime }-\frac{m_1{\alpha }_1^{\prime }+m_2{a}_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3};\\ \frac{-1}{m_1}\frac{\delta V,}{\delta {\beta }_1}={\beta }_1^{\prime }-\frac{m_1{\beta }_1^{\prime }+m_2{\beta }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3},\frac{-1}{m_2}\frac{\delta V}{\delta {\beta }_2}={\beta }_2^{\prime }-\frac{m_1{\beta }_1^{\prime }+m_2{\beta }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3};\\ \frac{-1}{m_1}\frac{\delta V\prime }{\delta {\gamma }_1}={\gamma }_1^{\prime }-\frac{m_1{\gamma }_1^{\prime }+m_2{\gamma }_{2-}^{\prime }}{m_1+m_2+m_3},\frac{-1}{m_2}\frac{\delta V}{\delta {\gamma }_2}={\gamma }_2^{\prime }-\frac{m_1{\gamma }_1^{\prime }+m_2{\gamma }_2^{\prime }}{m_1+m_2+m_3},\end{array}\}$$

которые следует комбинировать с нашей старой формулой
$$\frac{\delta V}{\delta H}=t\text{. }$$
18. Величина $H$, в $V$, и аналогичная величина $H_n$ в $V_n$, действительно, независимы от времени и не меняются в ходе движения, но дух нашего метода требует того, чтобы при выведении абсолютного действия или первоначальной характеристической функции $V$ из двух частей $V$, и $V$, мы рассматривали эти две части $H$, и $H_{\text{» }}$ первоначальной величины $H$ как функции, каждая из которых включает девять начальных и девять конечных интегралов точек тройной системы ; при этом формы этих двух функций восемнадцати координат и $H$ определяются двумя условиями :
$$\frac{\delta V_{\prime }}{\delta H_{\prime }}=\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta H_{\prime \prime }},H,+H_{\prime \prime }=H.$$

Однако из этих условий вытекает, что когда мы берем вариацию полной первоначальной функции $V$ первого порядка по отношению к восемнадцати координатам, то можем рассматривать две вспомогательные величины $H$, и $H_{\text{» }}$ как постоянные; следовательно, мы имеем следующие выражения

для частных производных первого порядка $V$, взятых по координатам, параллельным $x$ :
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V}{\delta x_1}=\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta x_{\prime \prime }};\frac{\delta V}{\delta a_1}=-\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_1}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_8}\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta a_{\prime \prime }};\\ \frac{\delta V}{\delta x_2}=\frac{\delta V,}{\delta {\xi }_2}+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta x_{\prime \prime }};\frac{\delta V}{\delta a_2}=\frac{\delta V{V}_1}{\delta {\alpha }_2}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta a_{\prime \prime }};\\ \frac{\delta V}{\delta x_3}=\frac{-\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}-\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{\delta V_{\prime \prime }^{\prime }}{\delta x_{\prime \prime }^{\prime }};\frac{\delta V}{\delta a_3}=-\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_1}-\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta a_{\prime \prime }},\text{, }\end{array}$$

совместно с аналогичными выражениями для частных производных того же порядка, взятых по другим координатам. Подставляя эти выражения в выражения формы (0):
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V}{\delta x_1}+\frac{\delta V}{\delta x_2}+\frac{\delta V}{\delta x_3}+\frac{\delta V}{\delta a_1}+\frac{\delta V}{\delta a_2}+\frac{\delta V}{\delta a_3}=0,\\ \frac{\delta V}{\delta y_1}+\frac{\delta V}{\delta y_2}+\frac{\delta V}{\delta y_3}+\frac{\delta V}{\delta b_1}+\frac{\delta V}{\delta b_2}+\frac{\delta V}{\delta b_3}=0,\\ \frac{\delta V}{\delta z_1}+\frac{\delta V}{\delta z_2}+\frac{\delta V}{\delta z_3}+\frac{\delta V}{\delta c_1}+\frac{\delta V}{\delta c_2}+\frac{\delta V}{\delta c_3}=0,\end{array}\}$$
$$\begin{array}{l}\begin{array}{c}\frac{\delta V}{\delta x_1}=\frac{\delta V,}{\delta {\xi }_1}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\\ \frac{\delta V}{\delta x_2}=\frac{\delta V,}{\delta {\xi }_2}+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\\ \frac{\delta V}{\delta x_3}=\frac{-\delta V,}{\delta {\xi }_1}-\frac{\delta V\prime }{\delta {\xi }_2}+\frac{m_3}{m_1+m_2}\\ \text{ совместно с аналогичным }\\ \text{ же порядка, взятых по д }\\ \text{ в выражения формы (0): }\end{array}\\ \begin{array}{c}\frac{\delta V}{\delta x_1}+\frac{\delta V}{\delta x_2}+\frac{\delta V}{\delta x_3}+\frac{\delta V}{\delta a_1}+\frac{\delta V}{\delta a_2}+\frac{\delta V}{\delta a_3}=0,\\ \frac{\delta V}{\delta y_1}+\frac{\delta V}{\delta y_2}+\frac{\delta V}{\delta y_3}+\frac{\delta V}{\delta b_1}+\frac{\delta V}{\delta b_2}+\frac{\delta V}{\delta b_3}=0,\\ \frac{\delta V}{\delta z_1}+\frac{\delta V}{\delta z_2}+\frac{\delta V}{\delta z_3}+\frac{\delta V}{\delta c_1}+\frac{\delta V}{\delta c_2}+\frac{\delta V}{\delta c_3}=0,\end{array}\}\end{array}$$

мы убеждаемся в том, что эти уравнения становятся тождествами, так как
$$\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta x_{\prime \prime }}+\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta a_{\prime \prime }}=0,\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta y_{\prime \prime }}+\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta b_{\prime \prime }}=0,\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta z_{\prime \prime }}+\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta c_{\prime \prime }}=0.$$

Однако, подставляя аналогичным образом выражения $\left({\mathrm{O}}^4\right)$ в уравнения вида (P), первое из которых для тройной системы имеет вид:
$$\begin{array}{l}{x}_1\frac{\delta V}{\delta y_1}-y_1\frac{\delta V}{\delta x}+x_2\frac{\delta V}{\delta y_2}-y_2\frac{\delta V}{\delta x_2}+x_3\frac{\delta V}{\delta y_3}-y_3\frac{\delta V}{\delta x_3}+\\ +a_1\frac{\delta V}{\delta b_1}-b_1\frac{\delta V}{\delta a_1}+a_2\frac{\delta V}{\delta b_2}-b_2\frac{\delta V}{\delta a_2}+a_3\frac{\delta V}{\delta b_3}-b_3\frac{\delta V}{\delta a_3}=0,\end{array}$$

и принимая во внимание условие
$$x_{\prime \prime }\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta y_{\text{»}}}-y_n\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta x_{\prime \prime }}+a_n\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta b_{\prime \prime }}-b_{\prime \prime }\frac{\delta V_{\prime \prime }}{\delta a_{l\prime }}=0$$

наряду с двумя другими аналогичными условиями, мы найдем, что часть $V$, или характеристическая функция относительного движения тройной системы, должна удовлетворять трем следующим условиям, включающим ее частные производные первого порядка и первой степени:
$$\begin{array}{l}0={\xi }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_1}-{\eta }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}+{\xi }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_2}-{\eta }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2}+{\alpha }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_1}-{\beta }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_1}+{\alpha }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_2}-{\beta }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_2},\\ 0={\eta }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}-{\zeta }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_1}+{\eta }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2}-{\zeta }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\eta }_2}+{\beta }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\gamma }_1}-{\gamma }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_1}+{\beta }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\gamma }_2}-{\gamma }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\beta }_2},\\ 0={\zeta }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}-{\xi }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_1}+{\zeta }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\xi }_2}-{\xi }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\zeta }_2}+{\gamma }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_1}-{\alpha }_1\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\gamma }_1}+{\gamma }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\alpha }_2}-{\alpha }_2\frac{\delta V_{\prime }}{\delta {\gamma }_2}\cdot \end{array}\}$$

Отсюда видно, что эта функция может зависеть только от формы и размеров пятиугольника, вообще не плоского, образуемого точкой $m_3$ (рассматриваемой как неподвижная) и начальными и конечными положениями двух

других точек $m_1$ и $m_2$; например, пятиугольник, углы которого расположены в следующем порядке: $m_3,\left(m_1\right),\left(m_2\right),m_2,m_1$, причем $\left(m_1\right)$ и $\left(m_2\right)$ обозначают начальные положения точек $m_1$ и $m_2$ относительно $m_3$ как неподвижного начала. Форма и величина этого пятиугольника могут определяться десятью взаимными расстояниями его пяти вершин, т. е. пятью сторонами и пятью диагоналями, которые могут быть обозначены следующим образом :
$$\begin{array}{l}{m}_3\left(m_1\right)=\sqrt{{\mathcal{S}}_1},\left(m_1\right)\left(m_2\right)=\sqrt{{\mathcal{S}}_2},\left(m_2\right)m_2=\sqrt{{\mathcal{S}}_3},\\ m_2{m}_1=\sqrt{{\mathcal{S}}_4},m_1{m}_3=\sqrt{{\mathcal{S}}_5},m_3\left(m_2\right)=\sqrt{d_1},\\ m_1)m_2=\sqrt{d_2},\left(m_2\right)m_1=\sqrt{d_3},m_2{m}_3=\sqrt{d_4},m_1\left(m_1\right)=\sqrt{d_5},\end{array}\}$$

где значения $S_1,\dots ,d_5$ в качестве функций двенадцати относительных координат таковы :
$$\begin{array}{c}{S}_1={\alpha }_1^2+{\beta }_1^2+{\gamma }_1^2,S_2={({\alpha }_2-{\alpha }_1)}^2+{({\beta }_2-{\beta }_1)}^2+{({\gamma }_2-{\gamma }_1)}^2,\\ S_3={({\xi }_2-{\alpha }_2)}^2+{({\eta }_2-{\beta }_2)}^2+{({\zeta }_2-{\gamma }_2)}^2\\ S_4={({\xi }_1-{\xi }_2)}^2+{({\eta }_1-{\eta }_2)}^2+{({\zeta }_1-{\zeta }_2)}^2,S_5={\xi }_1^2+{\eta }_1^2+{\zeta }_1^2,\\ d_1={\alpha }_2^2+{\beta }_2^2+{\gamma }_2^2,d_2={({\xi }_2-{\alpha }_1)}^2+{({\eta }_2-{\beta }_1)}^2+{({\zeta }_2-{\gamma }_1)}^2,\\ d_3={({\xi }_1-{\alpha }_2)}^2+{({\eta }_1-{\beta }_2)}^2+{({\zeta }_1-{\gamma }_2)}^2\\ d_4={\xi }_2^2+{\eta }_2^2+{\zeta }_2^2,d_5={({\xi }_1-{\alpha }_1)}^2+{({\eta }_1-{\beta }_1)}^2+{({\zeta }_1-{\gamma }_1)}^2.\end{array}\}$$

Эти десять расстояний $\sqrt{S_1}$ и т. д. не являются, однако, полностью независимыми, а связаны одним уравнением, а именно [83] :
$$\text{Unknown environment 'tabular'}$$

$$\begin{array}{lllll}+2S_1{S}_3{d}_2{d}_3& +2S_2{S}_4{d}_3{d}_4& +2S_3{S}_5{d}_4{d}_5& +2S_4{S}_1{d}_5{d}_1& +2S_5{S}_2{d}_1{d}_2+\\ +2S_1{S}_4{d}_1{d}_2& +2S_2{S}_5{d}_2{d}_3& +2S_3{S}_1{d}_3{d}_4& +2S_4{S}_2{d}_4{d}_5& +2S_5{S}_3{d}_5{d}_1+\\ +2S_1{S}_4{d}_1{d}_3& +2S_2{S}_5{d}_2{d}_4& +2S_3{S}_1{d}_3{d}_5& +2S_4{S}_2{d}_4{d}_1& +2S_5{S}_3{d}_5{d}_2+\\ +2S_1{S}_4{d}_2{d}_3& +2S_2{S}_5{d}_3{d}_4& +2S_3{S}_1{d}_4{d}_5& +2S_4{S}_2{d}_5{d}_1& +2S_5{S}_3{d}_1{d}_2+\\ +2S_1{S}_4{d}_3{d}_4& +2S_2{S}_5{d}_4{d}_5& +2S_3{S}_1{d}_5{d}_1& +2S_4{S}_2{d}_1{d}_2& +2S_5{S}_3{d}_2{d}_3+\\ +2S_1{d}_1{d}_2{d}_3& +2S_2{d}_2{d}_3{d}_4& +2S_3{d}_3{d}_4{d}_5& +2S_4{d}_4{d}_5{d}_1& +2S_5{d}_5{d}_1{d}_2+\\ +2S_1{d}_3{d}_4{d}_5& +2S_2{d}_4{d}_5{d}_1& +2S_3{d}_5{d}_1{d}_2& +2S_4{d}_1{d}_2{d}_3& +2S_5{d}_2{d}_3{d}_4+\\ +2d_1{d}_2{d}_3{d}_4& +2d_2{d}_3{d}_4{d}_5& +2d_3{d}_4{d}_5{d}_1& +2d_4{d}_5{d}_1{d}_2& +2d_5{d}_1{d}_2{d}_3.\end{array}$$

Поэтому они могут быть выражены как функции девяти независимых величин, например четырех линий и пяти углов $r^{(1)},r_0^{(1)},r^{(2)},r_0^{(2)},{\theta }^{(1)},{\theta }_0^{(1)}$, ${\theta }^{(2)},{\theta }_v^{(2)},i$, от которых они зависят, следующим образом :
$$\begin{array}{l}{S}_1=r_0^{(1)2}\\ S_2=r_0^{(12}+r_0^{(2)2}-2r_0^{(1)}{r}_0^{(2)}(\cos {\theta }_0^{(1)}{\cos }_0^{(2)}+\sin {\theta }_0^{(1)}\sin {\theta }_0^{(2)}\cos i)\text{, }\\ S_3=r^{(2)2}+r_0^{(2)2}-2r^{(2)}{r}_0^{(2)}\cos ({\theta }^{(2)}-{\theta }_0^{(2)}),\\ S_4=r^{(2/2}+r^{(1/2}-2r^{(2)}{r}^{(1)}(\cos {\theta }^{(1)}\cos {\theta }^{(2)}+\sin {\theta }^{(1)}\sin {\theta }^{(2)}\cos i)\text{, }\\ S_5=r^{(1)2}\text{, }\\ d_1=r_0^{(2)2}\text{, }\\ d_2=r^{(2)2}+r_0^{(1)2}-2r^{(2)}{r}_0^{(1)}(\cos {\theta }^{(2)}\cos {\theta }_0^{(1)}+\sin {\theta }^{(2)}\sin {\theta }_0^{(1)}\cos i)\text{, }\\ d_3=r_0^{(2)}+r^{(1/2}-2r_0^{(2)}{r}^{(1)}(\cos {\theta }_0^{(2)}\cos {\theta }^{(1)}+\sin {\theta }^{(2)}\sin {\theta }^{(1)}\cos i)\text{, }\\ d_4=r^{(2)2}\text{, }\\ d_5=r^{(1/2}+r_0^{(1/2}-2r^{(1)}{r}_0^{(1)}\cos ({\theta }^{(1)}-{\theta }_0^{(1)}).\end{array}$$

При этом два линейных символа $r^{(1)},r^{(2)}$ означают для краткости те же два конечных радиуса-вектора, которые ранее были обозначены как $r^{(\mathbf{1},3)}$, $r^{(2,3)},\mathrm{a}{r}_0^{(1)}$ и $r_0^{(2)}$ представляют собой начальные значения этих радиусов; ${\theta }^{(1)},{\theta }^{(2)},{\theta }_0^{(1)},{\theta }_0^{(2)}$ представляют собой углы, образуемые этими радиусами с линией пересечения двух плоскостей $r_0^{(1)},r^{(1)},r_0^{(2)},r^{(2)}$, а $i$ представляет собой наклон этих двух плоскостей по отношению друг к другу. Поэтому мы можем считать, что характеристическая функция $V$, относительного движения для любой тройной системы зависит только от этих последних линий и углов и величины $H$.

Рассуждение, которое мы сочли полезным здесь развить для любой системы трех точек, притягивающих или отталкивающих одна другую в зависимости от любых функций их расстояний, уже приводилось в более общей форме в п. 12 этой работы и показывает, например, что характеристическая функция относительного движения в системе четырех таких точек зависит от формы и величины семиугольника и, следовательно, только от взаимных расстояний его углов, число которых $(\frac{7\cdot 6}{2}=)21$, но которые связаны шестью уравнениями условий, так что независимыми остаются \»только пятнадцать. Эти замечания легко можно распространить на любую множественную систему.