17. Для любой системы из трех точек известные дифференциальные уравнения движения вто рого порядка охватываются следующей формулой :
\[
\begin{array}{l}
m_{1}\left(x_{1}^{\prime \prime} \delta x_{1}+y_{1}^{\prime \prime} \delta y_{1}+z_{1}^{\prime \prime} \delta z_{1}\right)+m_{2}\left(x_{2}^{\prime \prime} \delta x_{2}+y_{2}^{\prime \prime} \delta y_{2}+z_{2}^{\prime \prime} \delta z_{2}\right)+ \\
+m_{3}\left(x_{3}^{\prime \prime} \delta x_{3}+y_{3}^{\prime \prime} \delta y_{3}+z_{3}^{\prime \prime} \delta z_{3}\right)=\delta U,
\end{array}
\]

причем известная силовая функция $U$ принимает форму
\[
U=m_{1} m_{2} f^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f^{(1,3)}+m_{2} m_{3} f^{(2,3)},
\]

где $f^{(1,2)}, f^{(1,3)}, f^{(2,3)}$ соответственно представляют собой функции трех следующих взаимных расстояний точек системы :
\[
\left.\begin{array}{l}
r^{(1,2)}=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}} . \\
r^{(1,3)}=\sqrt{\left(x_{1}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{3}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{3}\right)^{2}}, \\
r^{(2,3)}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{3}\right)^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, известные дифференциальные уравнения движения отдельно для точки $m_{1}$ имеют вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime \prime}=m_{2} \frac{\delta f(1,2)}{\delta x_{1}}+m_{3} \frac{\delta f(1,3)}{\delta x_{1}}, \\
y_{1}^{\prime \prime}=m_{2} \frac{\delta f^{(1,2)}}{\delta y_{1}}+m_{3} \frac{\delta f^{(1,3)}}{\delta y_{1}}, \\
z_{1}^{\prime \prime}=m_{2} \frac{\delta f^{(1,2)}}{\delta z_{1}}+m_{3} \frac{\delta f^{(1,3)}}{\delta z_{1}} ;
\end{array}\right\}
\]

для точек $m_{2}$ и $m_{3}$ имеем шесть аналогичных уравнений. Здесь $x_{1}^{\prime \prime}$ и т.д. обозначают компонснты ускорения точек $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ или вторые производные их координат, взятые по времени. Проинтегрировать эти уравнения — значит найти с их помощью девять соотношений между временем $t$, тремя массами $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, девятью переменными координатами $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, x_{3}, y_{3}, z_{3}$ и их девятью начальными значениями и девятью начальными мерами их приращений, которые можно обозначить как $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}, a_{3}, b_{3}, c_{3}$, $a_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, c_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, c_{2}^{\prime}, a_{3}^{\prime}, b_{3}^{\prime}, c_{3}^{\prime}$. Известный промежуточный интеграл, включающий закон живой силы, а именно:
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{2} m_{1}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}+z_{1}^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} m_{2}\left(x_{2}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2}+z_{2}^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} m_{3}\left(x_{3}^{\prime 2}+y_{3}^{\prime 2}+z_{3}^{\prime 2}\right)= \\
=m_{1} m_{2} f^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f^{(1,3)}+m_{2} m_{3} f^{(2,3)}+H,
\end{array}
\]

дает следующее начальное соотношение :
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{2} m_{1}\left(a_{1}^{\prime 2}+b_{1}^{\prime 2}+c_{1}^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} m_{2}\left(a_{2}^{\prime 2}+b_{2}^{\prime 2}+c_{2}^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} \cdot m_{3}\left(a_{3}^{\prime 2}+b_{3}^{\prime 2}+c_{3}^{\prime 2}\right)= \\
=m_{1} m_{2} f_{0}^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f_{0}^{(1,3)}+m_{2} m_{3} f_{0}^{(2,3)}+H,
\end{array}
\]

в котором $f_{0}^{(1,2)}, f_{0}^{(1,3)}, f_{0}^{(2,3)}$ конструируются из начальных координат точно так же, как $f^{(1,2)}, f^{(1,3)}, f^{(2,3)}$ из конечных координат. Теперь, если бы мы знали девять конечных интегралов уравнений движения этой тройной системы и сочетали их с начальной формой (125) закона живой силы, то мы имели бы десять соотношений для определения десяти величин $t, a_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, c_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, c_{2}^{\prime}$, $a_{3}^{\prime}, b_{3}^{\prime}, c_{3}^{\prime}$, т. е. времени и девяти начальных компонентов скоростей трех точек как функций девяти конечных и девяти начальных координат, а также — величины $H$, включая также и массы. Мы могли бытаким образом определить все, что зависит от способа и времени движения системы из ее начального в конечное положение, в качестве функции тех же граничных

координат и $H$. В частности, мы могли бы определить действие $V$ или накопленную живую силу системы, а именно:
\[
V=m_{1} \int_{0}^{t}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}+z_{1}^{\prime 2}\right) d t+m_{2} \int_{0}^{t}\left(x_{2}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2}+z_{2}^{\prime 2}\right) d t+m_{3} \int_{0}^{t}\left(x_{3}^{\prime 2}+y_{3}^{\prime 2}+z_{3}^{\prime 2}\right) d t,
\]

как функцию этих девятнадцати величин $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, x_{3}, y_{3}, z_{3}, a_{1}, b_{1}, c_{1}$, $a_{2}, b_{2}, c_{2}, a_{3}, b_{3}, c_{3}, H$ и могли бы вычислить вариацию этой функции
\[
\begin{aligned}
\delta V & =\frac{\delta V}{\delta x_{1}} \delta x_{1}+\frac{\delta V}{\delta y_{1}} \delta y_{1}+\frac{\delta V}{\delta z_{1}} \delta z_{1}+\frac{\delta V}{\delta a_{1}} \delta a_{1}+\frac{\delta V}{\delta b_{1}} \delta b_{1}+\frac{\delta V}{\delta c_{1}} \delta c_{1}+ \\
& +\frac{\delta V}{\delta x_{2}} \delta x_{2}+\frac{\delta V}{\delta y_{2}} \delta y_{2}+\frac{\delta V}{\delta z_{2}} \delta z_{2}+\frac{\delta V}{\delta a_{2}} \delta a_{2}+\frac{\delta V}{\delta b_{2}} \delta b_{2}+\frac{\delta V}{\delta c_{2}} \delta c_{2}+ \\
& +\frac{\delta V}{\delta x_{3}} \delta x_{3}+\frac{\delta V}{\delta y_{3}} \delta y_{3}+\frac{\delta V}{\delta z_{3}} \delta z_{3}+\frac{\delta V}{\delta a_{3}} \delta a_{3}+\frac{\delta V}{\delta b_{3}} \delta b_{3}+\frac{\delta V}{\delta c_{3}} \delta c_{3}+\frac{\delta V}{\delta H} \delta H .
\end{aligned}
\]

Однако закон переменного действия предварительно дает для этой вариации выражение
\[
\begin{aligned}
\delta V & =m_{1}\left(x_{1}^{\prime} \delta x_{1}-a_{1}^{\prime} \delta a_{1}+y_{1}^{\prime} \delta y_{1}-b_{1}^{\prime} \delta b_{1}+z_{1}^{\prime} \delta z_{1}-c_{1}^{\prime} b c_{1}\right)+ \\
& +m_{2}\left(x_{2}^{\prime} \delta x_{2}-a_{2}^{\prime} b a_{2}+y_{2}^{\prime} \delta y_{2}-b_{2}^{\prime} \delta b_{2}+z_{2}^{\prime} \delta z_{2}-c_{2}^{\prime} b c_{2}\right)+ \\
& +m_{3}\left(x_{3}^{\prime} \delta x_{3}-a_{3}^{\prime} b a_{3}+y_{3}^{\prime} \delta y_{3}-b_{3}^{\prime} \delta b_{3}+z_{3}^{\prime} \delta z_{3}-c_{3}^{\prime} b c_{3}\right)+t \delta H
\end{aligned}
\]

и, следовательно, показывает, что отыскание всех промежуточных и конечных интегральных уравнений движения системы может быть сведено к отысканию и дифференцированию этой одной характеристической функции $V$, потому что если бы мы знали эту одну функцию, то имели бы девять промежуточных интегралов известных дифференциальных уравнений в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{1}}=m_{1} x_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta y_{1}}=m_{1} y_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta z_{1}}=m_{1} z_{1}^{\prime} \\
\frac{\delta V}{\delta x_{2}}=m_{2} x_{2}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta y_{2}}=m_{2} y_{2}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta z_{2}}=m_{2} z_{2}^{\prime} \\
\frac{\delta V}{\delta x_{3}}=m_{3} x_{3}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta y_{3}}=m_{3} y_{3}^{\prime}, \frac{\delta V}{\delta z_{3}}=m_{3} z_{3}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

и девять конечных интегралов в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta a_{1}}=-m_{1} a_{1}^{\prime}, \cdot \frac{\delta V}{\delta b_{1}}=-m_{1} b_{1}^{\prime}, \frac{\delta V}{\delta c_{1}}=-m_{1} c_{1}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V}{\delta a_{2}}=-m_{2} a_{2}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta b_{2}}=-m_{2} b_{2}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta c_{2}}=-m_{2} c_{2}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V}{\delta a_{3}}=-m_{3} a_{3}^{\prime}, \quad-\frac{\delta V}{\delta b_{3}}=-m_{3} b_{3}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta c_{3}}=-m_{3} c_{3}^{\prime}, \\
\end{array}
\]

причем вспомогательная постоянная $H$ исключается и время $t$ вводится посредством другого уравнения, часто встречающегося в данной работе:
\[
t=\frac{\delta V}{\delta H} .
\]

Тот же закон переменного действия подсказывает еще один метод исследования формы этой характеристической функции, не требующий предварительного интегрирования известных уравнений движения, а именно, интегрирование двух уравнений в частных производных, связанных с законом живой силы :
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 m_{1}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z_{1}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{2}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V}{\delta z_{2}}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2 m_{3}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z_{3}}\right)^{2}\right\}=m_{1} m_{2} f^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f^{(1,3)}+m_{2} m_{3} f^{(2,3)}+H
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 m_{1}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta a_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta b_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta c_{1}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{2}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta a_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta b_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V}{\delta c_{2}}\right)\right\}+ \\
+\frac{1}{2 m_{3}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta a_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta b_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta c_{3}}\right)^{2}\right\}=m_{1} m_{2} f_{0}^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f_{0}^{(1,3)}+m_{2} m_{3} f_{0}^{(2,3)}+H .
\end{array}
\]

Для того чтобы облегчить определение этим способом функции $V$, которая зависит от 18 координат, мы можем, исходя из принципов, изложенных ранее, разделить ее на часть $V_{n}$, зависящую только от движения центра тяжести системы и определяемую формулой ( $\left.\mathrm{H}^{1}\right)$, и на часть $V$, зависящую только от относительных движений вокруг этого внутреннего центра и равную накопленной живой силе, связанной только с этим относительным движением. Таким образом, трудность сводится к определению относительного действия $V$, ; и если мы введем относительные координаты

и
\[
\left.\begin{array}{lll}
\xi_{1}=x_{1}-x_{3}, & \eta_{1}=y_{1}-y_{3}, & \zeta_{1}=z_{1}-z_{3}, \\
\xi_{2}=x_{2}-x_{3}, & \eta_{2}=y_{2}-y_{3}, & \zeta_{2}=z_{2}-z_{3}
\end{array}\right\}
\]
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=a_{1}-a_{3}, \quad \beta_{1}=b_{1}-b_{3}, \quad \gamma_{1}=c_{1}-c_{3}, \text {, } \\
\alpha_{2}=a_{2}-a_{3}, \quad \beta_{2}=b_{2}-b_{3}, \quad \gamma_{2}=c_{2}-c_{3}, \\
\end{array}
\]

то, исходя из принципов, изложенных в десятом и последующих параграфах легко убедиться в том, что функция $V$, может рассматриваться как зависящая только от этих относительных координат и от величины $H$, аналогичной $H$ (помимо масс системы), и что она должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных, аналогичным $\left(\mathrm{F}^{4}\right)$ и $\left(\mathrm{G}^{4}\right)$, а именно :
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 m_{1}}\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \zeta_{1}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{2}}\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \zeta_{2}}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2 m_{3}}\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{1}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{2}}\right)+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}\right)^{2}\right\}= \\
=m_{1} m_{2} f^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f^{(1,3)}+m_{2} n_{\mathrm{g}}{ }^{\prime(2,3)}+H, \\
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2 m_{1}}\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{1}}\right)+\left(\frac{\partial V_{\prime}}{\delta \gamma_{1}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{2}}\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \gamma_{2}}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2 m_{3}}\left\{\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{1}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{1}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V \prime}{\delta \gamma_{1}}+\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \gamma_{2}}\right)^{2}\right\}= \\
=m_{1} m_{2} f_{0}^{(1,2)}+m_{1} m_{3} f_{0}^{(1,3)}+m_{2} m_{3} f_{0}^{(2,3)}+H
\end{array}
\]

При этом закон вариации этой функции по $z^{\prime}$ имеет вид :
\[
\begin{aligned}
\delta V,= & t \delta H,+m_{1}\left(\xi_{1}^{\prime} \delta \xi_{1}-\alpha_{1}^{\prime} \delta \alpha_{1}+\eta_{1}^{\prime} \delta \eta_{1}-\beta_{1}^{\prime} \delta \beta_{1}+\zeta_{1}^{\prime} \delta \zeta_{1}-\gamma_{1}^{\prime} \delta \gamma_{1}\right)+ \\
& +m_{2}\left(\xi_{2}^{\prime} \delta \xi_{2}-\alpha_{2}^{\prime} \delta \alpha_{2}+\eta_{2}^{\prime} \delta \eta_{2}-\beta_{2}^{\prime} \delta \beta_{2}+\zeta_{2}^{\prime} \delta \zeta_{2}-\gamma_{2}^{\prime} \delta \gamma_{2}\right)- \\
& -\frac{1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\left\{\left(m_{1} \xi_{1}^{\prime}+m_{2} \xi_{2}^{\prime}\right)\left(m_{1} \delta \xi_{1}+m_{2} \delta \xi_{2}\right)-\right. \\
& -\left(m_{1} \alpha_{1}^{\prime}+m_{2} \alpha_{2}^{\prime}\right)\left(m_{1} \delta \alpha_{1}+m_{2} \delta \alpha_{2}\right)+\left(m_{1} \eta_{1}^{\prime}+m_{2} \eta_{2}^{\prime}\right)\left(m_{1} \delta \eta_{1}+m_{2} \delta \eta_{2}\right)- \\
& -\left(m_{1} \beta_{1}^{\prime}+m_{2} \beta_{2}^{\prime}\right)\left(m_{1} \delta \beta_{1}+m_{2} \delta \beta_{2}\right)+\left(m_{1} \zeta_{1}^{\prime}+m_{2} \zeta_{2}^{\prime}\right)\left(m_{1} \zeta_{1}+m_{2} \zeta_{2}\right)- \\
& \left.-\left(m_{1} \gamma_{1}^{\prime}+m_{2} \gamma_{2}^{\prime}\right)\left(m_{1} \delta \gamma_{1}+m_{2} \delta \gamma_{2}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Это выражение таким же образом, как и выше, распадается на шесть промежуточных и шесть конечных интегралов относительного движения, а именно на следующие уравнения :
\[
\left.\begin{array}{l}
-\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}=\xi_{1}^{\prime}-\frac{m_{1} \xi_{1}^{\prime}+m_{2} \xi_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}^{\prime}}, \quad-\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}=\xi_{2}^{\prime}-\frac{m_{1} \xi_{1}^{\prime}+m_{2} \xi_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} ; \\
\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{1}}=\eta_{1}^{\prime}-\frac{m_{1} \eta_{1}^{\prime}+m_{2} \eta_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}^{\prime}}, \frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V \prime}{\delta \eta_{2}}=\eta_{2}^{\prime}-\frac{m_{1} \eta_{1}^{\prime}+m_{2} \eta_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} ; \\
\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}=\zeta_{1}^{\prime}-\frac{m_{1} \xi_{1}^{\prime}+m_{2} \zeta_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}, \frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V \prime}{\delta \zeta_{2}}=\zeta_{2}^{\prime}-\frac{m_{1} \zeta_{1}^{\prime}+m_{2} \zeta_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{-1}{m_{1}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{1}}=\alpha_{1}^{\prime}-\frac{m_{1} \alpha_{1}^{\prime}+m_{2} \alpha_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}, \quad \frac{-1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta \dot{\alpha}_{2}}=\alpha_{2}^{\prime}-\frac{m_{1} \alpha_{1}^{\prime}+m_{2} a_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} ; \\
\frac{-1}{m_{1}} \frac{\delta V,}{\delta \beta_{1}}=\beta_{1}^{\prime}-\frac{m_{1} \beta_{1}^{\prime}+m_{2} \beta_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}, \quad \frac{-1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta \beta_{2}}=\beta_{2}^{\prime}-\frac{m_{1} \beta_{1}^{\prime}+m_{2} \beta_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} ; \\
\frac{-1}{m_{1}} \frac{\delta V \prime}{\delta \gamma_{1}}=\gamma_{1}^{\prime}-\frac{m_{1} \gamma_{1}^{\prime}+m_{2} \gamma_{2-}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}, \frac{-1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta \gamma_{2}}=\gamma_{2}^{\prime}-\frac{m_{1} \gamma_{1}^{\prime}+m_{2} \gamma_{2}^{\prime}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}},
\end{array}\right\}
\]

которые следует комбинировать с нашей старой формулой
\[
\frac{\delta V}{\delta H}=t \text {. }
\]
18. Величина $H$, в $V$, и аналогичная величина $H_{n}$ в $V_{n}$, действительно, независимы от времени и не меняются в ходе движения, но дух нашего метода требует того, чтобы при выведении абсолютного действия или первоначальной характеристической функции $V$ из двух частей $V$, и $V$, мы рассматривали эти две части $H$, и $H_{\text {\» }}$ первоначальной величины $H$ как функции, каждая из которых включает девять начальных и девять конечных интегралов точек тройной системы ; при этом формы этих двух функций восемнадцати координат и $H$ определяются двумя условиями :
\[
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta H_{\prime}}=\frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta H_{\prime \prime}}, \quad H,+H_{\prime \prime}=H .
\]

Однако из этих условий вытекает, что когда мы берем вариацию полной первоначальной функции $V$ первого порядка по отношению к восемнадцати координатам, то можем рассматривать две вспомогательные величины $H$, и $H_{\text {\» }}$ как постоянные; следовательно, мы имеем следующие выражения

для частных производных первого порядка $V$, взятых по координатам, параллельным $x$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{1}}=\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta x_{\prime \prime}} ; \quad \frac{\delta V}{\delta a_{1}}=-\frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{1}}+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}+m_{8}} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta a_{\prime \prime}} ; \\
\frac{\delta V}{\delta x_{2}}=\frac{\delta V,}{\delta \xi_{2}}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta x_{\prime \prime}} ; \quad \frac{\delta V}{\delta a_{2}}=\frac{\delta V V_{1}}{\delta \alpha_{2}}+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta a_{\prime \prime}} ; \\
\frac{\delta V}{\delta x_{3}}=\frac{-\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}-\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}+\frac{m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \frac{\delta V_{\prime \prime}^{\prime}}{\delta x_{\prime \prime}^{\prime}} ; \frac{\delta V}{\delta a_{3}}=-\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{1}}-\frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{2}}+\frac{m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta a_{\prime \prime}}, \text {, } \\
\end{array}
\]

совместно с аналогичными выражениями для частных производных того же порядка, взятых по другим координатам. Подставляя эти выражения в выражения формы (0):
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{1}}+\frac{\delta V}{\delta x_{2}}+\frac{\delta V}{\delta x_{3}}+\frac{\delta V}{\delta a_{1}}+\frac{\delta V}{\delta a_{2}}+\frac{\delta V}{\delta a_{3}}=0, \\
\frac{\delta V}{\delta y_{1}}+\frac{\delta V}{\delta y_{2}}+\frac{\delta V}{\delta y_{3}}+\frac{\delta V}{\delta b_{1}}+\frac{\delta V}{\delta b_{2}}+\frac{\delta V}{\delta b_{3}}=0, \\
\frac{\delta V}{\delta z_{1}}+\frac{\delta V}{\delta z_{2}}+\frac{\delta V}{\delta z_{3}}+\frac{\delta V}{\delta c_{1}}+\frac{\delta V}{\delta c_{2}}+\frac{\delta V}{\delta c_{3}}=0,
\end{array}\right\}
\]
\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{1}}=\frac{\delta V,}{\delta \xi_{1}}+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\
\frac{\delta V}{\delta x_{2}}=\frac{\delta V,}{\delta \xi_{2}}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\
\frac{\delta V}{\delta x_{3}}=\frac{-\delta V,}{\delta \xi_{1}}-\frac{\delta V \prime}{\delta \xi_{2}}+\frac{m_{3}}{m_{1}+m_{2}} \\
\text { совместно с аналогичным } \\
\text { же порядка, взятых по д } \\
\text { в выражения формы (0): }
\end{array} \\
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{1}}+\frac{\delta V}{\delta x_{2}}+\frac{\delta V}{\delta x_{3}}+\frac{\delta V}{\delta a_{1}}+\frac{\delta V}{\delta a_{2}}+\frac{\delta V}{\delta a_{3}}=0, \\
\frac{\delta V}{\delta y_{1}}+\frac{\delta V}{\delta y_{2}}+\frac{\delta V}{\delta y_{3}}+\frac{\delta V}{\delta b_{1}}+\frac{\delta V}{\delta b_{2}}+\frac{\delta V}{\delta b_{3}}=0, \\
\frac{\delta V}{\delta z_{1}}+\frac{\delta V}{\delta z_{2}}+\frac{\delta V}{\delta z_{3}}+\frac{\delta V}{\delta c_{1}}+\frac{\delta V}{\delta c_{2}}+\frac{\delta V}{\delta c_{3}}=0,
\end{array}\right\} \\
\end{array}
\]

мы убеждаемся в том, что эти уравнения становятся тождествами, так как
\[
\frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta x_{\prime \prime}}+\frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta a_{\prime \prime}}=0, \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta y_{\prime \prime}}+\frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta b_{\prime \prime}}=0, \quad \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta z_{\prime \prime}}+\frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta c_{\prime \prime}}=0 .
\]

Однако, подставляя аналогичным образом выражения $\left(\mathrm{O}^{4}\right)$ в уравнения вида (P), первое из которых для тройной системы имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
x_{1} \frac{\delta V}{\delta y_{1}}-y_{1} \frac{\delta V}{\delta x}+x_{2} \frac{\delta V}{\delta y_{2}}-y_{2} \frac{\delta V}{\delta x_{2}}+x_{3} \frac{\delta V}{\delta y_{3}}-y_{3} \frac{\delta V}{\delta x_{3}}+ \\
+a_{1} \frac{\delta V}{\delta b_{1}}-b_{1} \frac{\delta V}{\delta a_{1}}+a_{2} \frac{\delta V}{\delta b_{2}}-b_{2} \frac{\delta V}{\delta a_{2}}+a_{3} \frac{\delta V}{\delta b_{3}}-b_{3} \frac{\delta V}{\delta a_{3}}=0,
\end{array}
\]

и принимая во внимание условие
\[
x_{\prime \prime} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta y_{\»}}-y_{n} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta x_{\prime \prime}}+a_{n} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta b_{\prime \prime}}-b_{\prime \prime} \frac{\delta V_{\prime \prime}}{\delta a_{l \prime}}=0
\]

наряду с двумя другими аналогичными условиями, мы найдем, что часть $V$, или характеристическая функция относительного движения тройной системы, должна удовлетворять трем следующим условиям, включающим ее частные производные первого порядка и первой степени:
\[
\left.\begin{array}{l}
0=\xi_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{1}}-\eta_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}+\xi_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{2}}-\eta_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}+\alpha_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{1}}-\beta_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{1}}+\alpha_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{2}}-\beta_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{2}}, \\
0=\eta_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}-\zeta_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{1}}+\eta_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}-\zeta_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{2}}+\beta_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \gamma_{1}}-\gamma_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{1}}+\beta_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{2}}, \\
0=\zeta_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}-\xi_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{1}}+\zeta_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{2}}-\xi_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \zeta_{2}}+\gamma_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{1}}-\alpha_{1} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \gamma_{1}}+\gamma_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \alpha_{2}}-\alpha_{2} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \gamma_{2}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Отсюда видно, что эта функция может зависеть только от формы и размеров пятиугольника, вообще не плоского, образуемого точкой $m_{3}$ (рассматриваемой как неподвижная) и начальными и конечными положениями двух

других точек $m_{1}$ и $m_{2}$; например, пятиугольник, углы которого расположены в следующем порядке: $m_{3},\left(m_{1}\right),\left(m_{2}\right), m_{2}, m_{1}$, причем $\left(m_{1}\right)$ и $\left(m_{2}\right)$ обозначают начальные положения точек $m_{1}$ и $m_{2}$ относительно $m_{3}$ как неподвижного начала. Форма и величина этого пятиугольника могут определяться десятью взаимными расстояниями его пяти вершин, т. е. пятью сторонами и пятью диагоналями, которые могут быть обозначены следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
m_{3}\left(m_{1}\right)=\sqrt{\mathcal{S}_{1}}, \quad\left(m_{1}\right)\left(m_{2}\right)=\sqrt{\mathcal{S}_{2}}, \quad\left(m_{2}\right) m_{2}=\sqrt{\mathcal{S}_{3}}, \\
m_{2} m_{1}=\sqrt{\mathcal{S}_{4}}, \quad m_{1} m_{3}=\sqrt{\mathcal{S}_{5}}, \quad m_{3}\left(m_{2}\right)=\sqrt{d_{1}}, \\
\left.m_{1}\right) m_{2}=\sqrt{d_{2}}, \quad\left(m_{2}\right) m_{1}=\sqrt{d_{3}}, \quad m_{2} m_{3}=\sqrt{d_{4}}, \quad m_{1}\left(m_{1}\right)=\sqrt{d_{5}},
\end{array}\right\}
\]

где значения $S_{1}, \ldots, d_{5}$ в качестве функций двенадцати относительных координат таковы :
\[
\left.\begin{array}{c}
S_{1}=\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{2}+\gamma_{1}^{2}, S_{2}=\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)^{2}+\left(\beta_{2}-\beta_{1}\right)^{2}+\left(\gamma_{2}-\gamma_{1}\right)^{2}, \\
S_{3}=\left(\xi_{2}-\alpha_{2}\right)^{2}+\left(\eta_{2}-\beta_{2}\right)^{2}+\left(\zeta_{2}-\gamma_{2}\right)^{2} \\
S_{4}=\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)^{2}+\left(\eta_{1}-\eta_{2}\right)^{2}+\left(\zeta_{1}-\zeta_{2}\right)^{2}, S_{5}=\xi_{1}^{2}+\eta_{1}^{2}+\zeta_{1}^{2}, \\
d_{1}=\alpha_{2}^{2}+\beta_{2}^{2}+\gamma_{2}^{2}, \quad d_{2}=\left(\xi_{2}-\alpha_{1}\right)^{2}+\left(\eta_{2}-\beta_{1}\right)^{2}+\left(\zeta_{2}-\gamma_{1}\right)^{2}, \\
d_{3}=\left(\xi_{1}-\alpha_{2}\right)^{2}+\left(\eta_{1}-\beta_{2}\right)^{2}+\left(\zeta_{1}-\gamma_{2}\right)^{2} \\
d_{4}=\xi_{2}^{2}+\eta_{2}^{2}+\zeta_{2}^{2}, \quad d_{5}=\left(\xi_{1}-\alpha_{1}\right)^{2}+\left(\eta_{1}-\beta_{1}\right)^{2}+\left(\zeta_{1}-\gamma_{1}\right)^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Эти десять расстояний $\sqrt{S_{1}}$ и т. д. не являются, однако, полностью независимыми, а связаны одним уравнением, а именно [83] :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline $0=S_{1}^{2} S_{3}^{2}$ & $+S_{2}^{2} S_{4}^{2}$ & $+S_{3}^{2} S_{5}^{2}$ & $+S_{4}^{2} S_{1}^{2}$ & $+S_{5}^{2} S_{2}^{2}+$ \\
\hline$+S_{1}^{2} d_{3}^{2}$ & $+S_{2}^{2} d_{4}^{2}$ & $+S_{3}^{2} d_{5}^{2}$ & $+S_{4}^{2} d_{1}^{2}$ & $+S_{5}^{2} d_{2}^{2}+$ \\
\hline$+d_{1}^{2} d_{2}^{2}$ & $+d_{2}^{2} d_{3}^{2}$ & $+d_{3}^{2} d_{4}^{2}$ & $+d_{4}^{2} d_{5}^{2}$ & $+d_{5}^{2} d_{1}^{2}-$ \\
\hline$-2 S_{1}^{2} S_{3} S_{4}$ & $-2 S_{2}^{2} S_{4} S_{5}$ & $-2 S_{3}^{2} S_{5} S_{1}$ & $-2 S_{4}^{2} S_{1} S_{2}$ & $-2 S_{5}^{2} S_{2} S_{3}-$ \\
\hline$-2 S_{1}^{2} S_{3} d_{3}$ & $-2 S_{2}^{2} S_{4} d_{4}$ & $-2 S_{3}^{2} S_{5} d_{5}$ & $-2 S_{4}^{2} S_{1} d_{1}$ & $-2 S_{5}^{2} S d_{2}-$ \\
\hline$-2 S_{1}^{2} S_{4} d_{3}$ & $-2 S_{2}^{2} S_{5} d_{4}$ & $-2 S_{3}^{2} S_{1} d_{5}$ & $-2 S_{4}^{2} S_{2} d_{1}$ & $-2 S_{5}^{2} S_{3} d_{2}-$ \\
\hline$-2 S_{1} d_{2} d_{3}^{2}$ & $-2 S_{2} d_{3} d_{4}^{2}$ & $-2 S_{3} d_{4} d_{5}^{2}$ & $-2 S_{4} d_{5} d_{1}^{2}$ & $-2 S_{5} d_{1} d_{2}^{2}-$ \\
\hline$-2 S_{1} d_{3}^{2} d_{4}$ & $-2 S_{2} d_{4}^{2} d_{5}$ & $-2 S_{3} d_{5}^{2} d_{1}$ & $-2 S_{4} d_{1}^{2} d_{2}$ & $-2 S_{5} d_{2}^{2} d_{3}-$ \\
\hline$-2 d_{1} d_{2}^{2} d_{3}$ & $-2 d_{2} d_{3}^{2} d_{4}$ & $-2 d_{3} d_{4}^{2} d_{5}$ & $-2 d_{4} d_{5}^{2} d_{1}$ & $-2 d_{5} d_{1}^{2} d_{2}-$ \\
\hline$-4 S_{1} S_{3} S_{4} d_{3}$ & $-4 S_{2} S_{4} S_{5} d_{4}$ & $-4 S_{3} S_{5} S_{1} d_{5}$ & $-4 S_{4} S_{1} S_{2} d_{1}$ & $-4 S_{5} S_{2} S_{3} d_{2}-$ \\
\hline$-4 S_{1} d_{2} d_{3} d_{4}$ & $-4 S_{2} d_{3} d_{4} d_{5}$ & $-4 S_{3} d_{4} d_{5} d_{1}$ & $-4 S_{4} d_{5} d_{1} d_{2}$ & $-4 S_{5} d_{1} d_{2} d_{3}-$ \\
\hline$-2 S_{1} S_{2} S_{3} d_{4}$ & $-2 S_{2} S_{3} S_{4} d_{5}$ & $-2 S_{3} S_{4} S_{5} d_{1}$ & $-2 S_{4} S_{5} S_{1} d_{2}$ & $-2 S_{5} S_{1} S_{2} d_{3}-$ \\
\hline$-2 S_{1} S_{3} d_{1} d_{2}$ & $-2 S_{2} S_{4} d_{2} d_{3}$ & $-2 S_{3} S_{5} d_{3} d_{4}$ & $-2 S_{4} S_{1} d_{4} d_{5}$ & $-2 S_{5} S_{2} d_{5} d_{1}-$ \\
\hline$-2 S_{1} d_{1} d_{3} d_{5}$ & $-2 S_{2} d_{2} d_{4} d_{4}$ & $-2 S_{3} d_{3} d_{5} d_{2}$ & $-2 S_{4} d_{4} d_{1} d_{3}$ & $-2 S_{5} d_{5} d_{2} d_{4}+$ \\
\hline$+2 S_{1} S_{2} S_{3} S_{4}$ & $+2 S_{2} S_{3} S_{4} S_{5}$ & $+2 S_{3} S_{4} S_{5} S_{1}$ & $+2 S_{4} S_{5} S_{1} S_{2}$ & $+2 S_{5} S_{1} S_{2} S_{3}+$ \\
\hline$+2 S_{1} S_{2} S_{4} d_{3}$ & $+2 S_{2} S_{3} S_{5} d_{4}$ & $+2 S_{3} S_{4} S_{1} d_{5}$ & $+2 S_{4} S_{5} S_{2} d_{1}$ & $+2 S_{5} S_{1} S_{3} d_{2}+$ \\
\hline$+2 S_{1} S_{3} S_{4} d_{1}$ & $+2 S_{2} S_{4} S_{5} d_{2}$ & $+2 S_{3} S_{5} S_{1} d_{3}$ & $+2 S_{4} S_{1} S_{2} d_{4}$ & $+2 S_{5} S_{2} S_{3} d_{5}+$ \\
\hline$+2 S_{1} S_{2} d_{3} d_{4}$ & $+2 S_{2} S_{3} d_{4} d_{5}$ & $+2 S_{3} S_{4} d_{5} d_{1}$ & $+2 S_{4} S_{5} d_{1} d_{2}$ & $+2 S_{5} S_{1} d_{2} d_{3}+$ \\
\hline
\end{tabular}

\[
\begin{array}{lllll}
+2 S_{1} S_{3} d_{2} d_{3} & +2 S_{2} S_{4} d_{3} d_{4} & +2 S_{3} S_{5} d_{4} d_{5} & +2 S_{4} S_{1} d_{5} d_{1} & +2 S_{5} S_{2} d_{1} d_{2}+ \\
+2 S_{1} S_{4} d_{1} d_{2} & +2 S_{2} S_{5} d_{2} d_{3} & +2 S_{3} S_{1} d_{3} d_{4} & +2 S_{4} S_{2} d_{4} d_{5} & +2 S_{5} S_{3} d_{5} d_{1}+ \\
+2 S_{1} S_{4} d_{1} d_{3} & +2 S_{2} S_{5} d_{2} d_{4} & +2 S_{3} S_{1} d_{3} d_{5} & +2 S_{4} S_{2} d_{4} d_{1} & +2 S_{5} S_{3} d_{5} d_{2}+ \\
+2 S_{1} S_{4} d_{2} d_{3} & +2 S_{2} S_{5} d_{3} d_{4} & +2 S_{3} S_{1} d_{4} d_{5} & +2 S_{4} S_{2} d_{5} d_{1} & +2 S_{5} S_{3} d_{1} d_{2}+ \\
+2 S_{1} S_{4} d_{3} d_{4} & +2 S_{2} S_{5} d_{4} d_{5} & +2 S_{3} S_{1} d_{5} d_{1} & +2 S_{4} S_{2} d_{1} d_{2} & +2 S_{5} S_{3} d_{2} d_{3}+ \\
+2 S_{1} d_{1} d_{2} d_{3} & +2 S_{2} d_{2} d_{3} d_{4} & +2 S_{3} d_{3} d_{4} d_{5} & +2 S_{4} d_{4} d_{5} d_{1} & +2 S_{5} d_{5} d_{1} d_{2}+ \\
+2 S_{1} d_{3} d_{4} d_{5} & +2 S_{2} d_{4} d_{5} d_{1} & +2 S_{3} d_{5} d_{1} d_{2} & +2 S_{4} d_{1} d_{2} d_{3} & +2 S_{5} d_{2} d_{3} d_{4}+ \\
+2 d_{1} d_{2} d_{3} d_{4} & +2 d_{2} d_{3} d_{4} d_{5} & +2 d_{3} d_{4} d_{5} d_{1} & +2 d_{4} d_{5} d_{1} d_{2} & +2 d_{5} d_{1} d_{2} d_{3} .
\end{array}
\]

Поэтому они могут быть выражены как функции девяти независимых величин, например четырех линий и пяти углов $r^{(1)}, r_{0}^{(1)}, r^{(2)}, r_{0}^{(2)}, \theta^{(1)}, \theta_{0}^{(1)}$, $\theta^{(2)}, \theta_{v}^{(2)}, i$, от которых они зависят, следующим образом :
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=r_{0}^{(1) 2} \\
S_{2}=r_{0}^{(12}+r_{0}^{(2) 2}-2 r_{0}^{(1)} r_{0}^{(2)}\left(\cos \theta_{0}^{(1)} \cos _{0}^{(2)}+\sin \theta_{0}^{(1)} \sin \theta_{0}^{(2)} \cos i\right) \text {, } \\
S_{3}=r^{(2) 2}+r_{0}^{(2) 2}-2 r^{(2)} r_{0}^{(2)} \cos \left(\theta^{(2)}-\theta_{0}^{(2)}\right), \\
S_{4}=r^{(2 / 2}+r^{(1 / 2}-2 r^{(2)} r^{(1)}\left(\cos \theta^{(1)} \cos \theta^{(2)}+\sin \theta^{(1)} \sin \theta^{(2)} \cos i\right) \text {, } \\
S_{5}=r^{(1) 2} \text {, } \\
d_{1}=r_{0}^{(2) 2} \text {, } \\
d_{2}=r^{(2) 2}+r_{0}^{(1) 2}-2 r^{(2)} r_{0}^{(1)}\left(\cos \theta^{(2)} \cos \theta_{0}^{(1)}+\sin \theta^{(2)} \sin \theta_{0}^{(1)} \cos i\right) \text {, } \\
d_{3}=r_{0}^{(2)}+r^{(1 / 2}-2 r_{0}^{(2)} r^{(1)}\left(\cos \theta_{0}^{(2)} \cos \theta^{(1)}+\sin \theta^{(2)} \sin \theta^{(1)} \cos i\right) \text {, } \\
d_{4}=r^{(2) 2} \text {, } \\
d_{5}=r^{(1 / 2}+r_{0}^{(1 / 2}-2 r^{(1)} r_{0}^{(1)} \cos \left(\theta^{(1)}-\theta_{0}^{(1)}\right) . \\
\end{array}
\]

При этом два линейных символа $r^{(1)}, r^{(2)}$ означают для краткости те же два конечных радиуса-вектора, которые ранее были обозначены как $r^{(\mathbf{1}, 3)}$, $r^{(2,3)}, \mathrm{a} r_{0}^{(1)}$ и $r_{0}^{(2)}$ представляют собой начальные значения этих радиусов; $\theta^{(1)}, \theta^{(2)}, \theta_{0}^{(1)}, \theta_{0}^{(2)}$ представляют собой углы, образуемые этими радиусами с линией пересечения двух плоскостей $r_{0}^{(1)}, r^{(1)}, r_{0}^{(2)}, r^{(2)}$, а $i$ представляет собой наклон этих двух плоскостей по отношению друг к другу. Поэтому мы можем считать, что характеристическая функция $V$, относительного движения для любой тройной системы зависит только от этих последних линий и углов и величины $H$.

Рассуждение, которое мы сочли полезным здесь развить для любой системы трех точек, притягивающих или отталкивающих одна другую в зависимости от любых функций их расстояний, уже приводилось в более общей форме в п. 12 этой работы и показывает, например, что характеристическая функция относительного движения в системе четырех таких точек зависит от формы и величины семиугольника и, следовательно, только от взаимных расстояний его углов, число которых $\left(\frac{7 \cdot 6}{2}=\right) 21$, но которые связаны шестью уравнениями условий, так что независимыми остаются \»только пятнадцать. Эти замечания легко можно распространить на любую множественную систему.