Более узкая форма принципа наименьшего действия предполагает существование предложения о постоянстве энергии, расширенная форма этого не предполагает. Мы можем также вывести предложение о постоянстве энергии из расширенной формы принципа, если мы предположим существование силовой функции, а также независимость этой функции и уравнений связей от времени. Если мы будем считать упомянутое предложение неизвестным и предположим, например, что величина $T-U$ при действительном движении в промежутке времени от $t^{\prime}$ до $t^{\prime \prime}$ неизменно возрастает в алге-

браическом смысле, то тогда положения, занимаемые при $t \leqslant t^{\prime}$ и при $t \geqslant t^{\prime \prime}$, могут не смещаться. Всякое положение $C$, занимаемое при $t^{\prime}<t<t^{\prime \prime}$, варьируется в такое положение $C^{\prime}$, которое само занимается при действительном движении, но в более поздний момент времени, лежащий также между $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$. Эти перемещения являются виртуальными, так как время не входит в уравнения связей*.) Согласно условию варьирования, как оно может быть высказано теперь, когда имеется независимая от времени силовая функция, величина $T-U$ должна в положении $C^{\prime}$ варьированного движения иметь то же значение, что и для положения $C$ действительного движения. Но мы предположили, что величина $T-U$ в действительном движении от $C$ до $C^{\prime}$ неизменно возрастает; следовательно, $T-U$, а значит и живая сила $T$ в положении $C^{\prime}$ варьированного движения должны быть меньше, чем в действительном. Мы можем поэтому принять отношение между этими двумя живыми силами равным $\varepsilon^{2}: 1$, где $\varepsilon<1$. Тогда при прохождении через положение $C^{\prime}$ все скорости варьированного движения будут находиться в отношении $\varepsilon: 1$ к скоростям, с которыми система проходит $C^{\prime}$ в действительном движении, ибо пути систем в обоих движениях совпадают. Сравним теперь два малых интервала варьированного и действительного движений, а именно такие интервалы, в которые пробегаются одни и те же близкие к $C^{\prime}$ различные положения и которые, стало быть, при варьировании не рассматриваются как соответствующие друг другу; тогда затраченные времена будут относиться как $1: \varepsilon$, а части интеграла как $\varepsilon: 1$. Следовательно, при избранном способе варьирования распространенная на промежуток времени от $t^{\prime}$ до $t^{\prime \prime}$ часть интеграла $\int T d t$, выражающего «действие», будет уменьшена; более точное рассмотрение показывает, что другие части интеграла не изменяются. Таким образом, получается уменьшение всего интеграла, и можно показать, что это уменьшение вообще будет одного порядка малости с вариациями координат и с величинами $1-\varepsilon$. Если бы положения системы были смещены в противоположном направлении, то получилось бы при варьировании увеличение интеграла $\int T d t$. Поэтому нельзя, не впадая в противоречие с принципом наименьшего действия, мыслить величину $T-U$ возрастающей в действительном движении; естественно, что ее нельзя мыслить и убывающей. Итак, величина $T-U$ постоянна.