Мы рассматриваем в этом Мемуаре важные, до сих пор не замеченные следствия, вытекающие из выражения вариации некоторой функции, предполагая, что эта функция содержит вместе с основной или независимой переменной также функции этой переменной и их производные различных порядков. Для упрощения рассуждения обозначим изучаемую нами функцию через $A$ и назовем независимую переменную временем. Это наименование оправдывается тем, что независимая переменная играет у нас ту же роль, что и время в динамике.

Известно, что вариация $A$, которая зависит от времени, от каких-либо функций времени и их производных, распадается на две части. Первая часть является полным дифференциалом, каковы бы ни были функции времени, входящие в $A$, и вариации этих функций. Другая часть, напротив, неинтегрируема, если только что названные функции и их вариации остаются произвольными. Однако, подчиняя эти функции и их вариации определенным условиям, мы можем не только сделать эту часть интегрируемой, но даже, если бы это было признано необходимым, привести ее к нулю. Среди бесконечного множества способов этого приведения один представляется наиболее замечательным. Он состоит в исключении неинтегрируемой части единственно за счет функций, содержащихся в $A$, не затрагивая их вариаций. Этим способом исключения пользуются в проблеме изопериметров. Применяя его, можно получить те дифференциальные уравнения, которые имеют место в этой проблеме.

Эти уравнения содержат как очень частный случай уравнения динамики ; они заслуживают внимания не только уже в силу этого обстоятельства, но и сами по себе.

Как следствие этих уравнений, как бы одновременно с ними, мы получим весьма замечательную формулу, а именно равенство между вариацией $A$ и ее первой частью, которая всегда интегрируема, если вторая часть этой вариации приведена к нулю. Эта формула превращает полную вариацию в полный дифференциал; она является основой настоящего исследования и приводит к важным следствиям. Она представляет собой не что иное, как те дифференциальные уравнения, которые установлены для обращения в нуль интегрируемой части, т. е. дифференциальные уравнения проблемы изопериметров. Однако она представляет эти уравнения в форме, которая позволяет легко вывести из нее многие важные свойства, которые не так легко раскрыть, изучая эти же уравнения в их обычной форме.

Для сокращения мы будем называть эту формулу фундаментальной формулой или фундаментальным уравнением.

Неизвестные, которые входят в эту формулу, те же самые, которые входят в задачу об изопериметре, а именно функции времени, содержащиеся в $A$, и их производные до некоторого определенного порядка, который мы не считаем нужным уточнять. Однако не все эти переменные удобны для наших исследований. Мы оставим только половину из них, заменив остальные более удобными.

Оказывается, что переменные, применением которых достигается наибольшая простота и которые наилучшим образом соответствуют проблеме, – это те переменные, которые находятся под знаком $d$ в дифференциальной части фундаментальной формулы, где они являются коэффициентами при вариациях и их производных. Эти величины, повторяем, составляют только половину общего числа неизвестных, поэтому за другую половину мы примем функции, входящие в $A$, вместе с теми их производными, которые также заключены в $A$, за исключением одной производной высшего порядка каждой из этих функций.

При помощи весьма простого преобразования фундаментальная формула распадается на систему дифференциальных уравнений первого порядка, число которых равно числу неизвестных, о которых мы только что говорили выше. Эти уравнения совершенно подобны общим формулам динамики, хотя эта наука является только очень частным случаем проблемы изопериметров. В наших формулах, как и в формулах динамики, дифференциалы неизвестных выражаются через вариации некоторой функции, которую мы здесь определим и которая зависит только от времени и неизвестных независимых переменных проблемы.

Кроме того, мы без труда приходим к тем же дифференциальным уравнениям без помощи фундаментальной формулы.

Не следует упускать из вида, что эта формула устанавливает равенство между полным дифференциалом и вариацией величины $A$, каковы бы ни были приращения или вариации функций времени, содержащихся в $A$.

Если придать этим приращениям частные значения, делающие вариацию $A$ интегрируемой, то фундаментальная формула превращается в равенство между двумя полными дифференциалами. Тогда можно ее интегрировать и она дает также интегралы дифференциальных уравнений проблемы изопериметров, так как эта формула выражает, в сущности, эти же уравнения.

Если, например, величина $A$ не содержит времени неявно, то заменяют ее вариацию полным дифференциалом, приравнивая соответствующие приращения функций, которые в ней содержатся, их дифференциалам. Отсюда мы получим интеграл, который для проблемы изопериметров имеет значение, аналогичное значению интеграла живых сил для динамики.

Но, возвращаясь к вариациям функций времени во всей их общности, предположим для определенности, что дифференциал составляет левую часть этого уравнения, а вариация – его правую часть.

После интегрирования формулы, написанной в таком виде, дифференциал в левой части исчезнет, а в правой части окажется знак интеграла, т. е. правая часть будет состоять из интеграла от вариации $A$ плюс произвольная постоянная. Так как знаки вариации и интеграла можно менять местами, то правую часть можно представить в виде вариации интеграла от функции $A$ плюс постоянная.

Мы позволим себе опустить в этом Мемуаре доказательство возможности перемены местами знаков интеграла и вариации и ограничимся только утверждением этого :
$1^{\circ}$. Все интегралы фундаментальной формулы или дифференциальных уравнений проблемы изопериметров зависят от частных производных одной и той же функции, а именно интеграла от $A$. Половина неизвестных в упомя-

нутых уравнениях являются частными производными этой функции ; другая половина задается уравнениями, которые получают приравниванием остальных частных производных той же функции произвольным постоянным.
$2^{\circ}$. Функция «интеграл от $A$ » удовлетворяет уравнению в частных производных первого порядка. Она сама не входит в это уравнение, а входят только ее производные.
$3^{\circ}$. Полный интеграл этого уравнения достаточен для разрешения проблемы изопериметров, т. е. для нахождения полного интеграла системы дифференциальных уравнений, связанных с этой проблемой.

Мы опускаем в этом Мемуаре некоторые результаты, получающиеся отсюда на основании частных предположений. Эти результаты трудно выразить без специальных алгебраических обозначений. Мы ограничиваемся ссылкой на то, что они выводятся целиком из фундаментальной формулы с такой же простотой и легкостью, как и теоремы динамики.

Наконец, путем одновременного применения двух различных вариационных характеристик к фундаментальному уравнению мы придем к теореме, значительно более общей, чем аналогичная теорема Лагранжа, положенная им в основу исследования вариаций произвольных постоянных в вопросах динамики. Мы установим для проблемы изопериметров теорию варьирования произвольных постоянных.

Наши исследования, без сомнения, аналогичны методам, употребляемым в динамике. Однако нельзя сказать, что мы только непосредственно применяем эти методы. Если бы это было так, теория, которую мы установили, была бы давно получена первым геометром, познакомившимся с ее аналогом в динамике. Мы думаем, что стоим на правильной точке зрения, утверждая, что открытие свойств этой системы дифференциальных уравнений четного порядка с произвольным числом неизвестных относится к проблеме изопериметров, частным случаем которых являются уравнения динамики. Приемы для установления этого аналогичны предлагаемым здесь нами, так как основаны на принципе, который является для динамики тем, чем наша основная формула является для проблемы изопериметров. Но этот принцип, а именно «принцип потерянных сил», основан на теории движения и по этой причине не относится к статике. Наоборот, принцип, который мы установили методами чистого анализа, заключает равновесие потерянных сил как частный случай. Он не был и не мог быть замечен со старой точки зрения, и, следовательно, невозможно было заметить, что метод, которому он дал начало, приложим к теориям несравненно более общим и широким, чем теория динамики.

Мы возвращаемся теперь к предмету нашего Мемуара, чтобы указать другие применения нашего принципа и, особенно, случай, когда имеются заранее заданные соотношения между функциями, заключенными в величине, обозначенной выше буквою $A$.
1. Обозначим через $V$ произвольную функцию от независимой переменной $t$, величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$, рассматриваемых как функци $t$, и их производных по $t$ различных порядков. Порядок старшей производной от $x$ может меняться для различных функций. Однако, чтобы не входить в некоторые кропотливые подробности, мы будем говорить так, как если бы все они были одного порядка, и предоставляем читателю изменить соответствующим образом наши рассуждения, если это окажется необходимым.

Независимую переменную $t$ будем называть временем, отчасти для облегчения изложения, отчасти же потому, что роль ее, вообще говоря, такова же, как роль времени в уравнениях динамики.

Представим себе, что все переменные: $t, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{m}$ получили одновременно бесконечно малые и совершенно произвольные приращения

$\delta t, \delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{m}$ и найдем вариацию $\delta(V d t)$ при том предположении; что она вызвана исключительно вышеупомянутыми приращениями, причем характер функции $V d t$ ни в каком отношении и ни в какой мере не изменялся.

Обозначим через $i$ и $k$ два переменных целых числа, заключенных в пределах от 1 до $m$ для первого из них и от 0 до $n$ для второго. Тогда при этих предположениях получим :
\[
\begin{array}{c}
\delta(V d t)=V d \delta t+\delta V d t=d(V \delta t)+\delta V d t-d V \delta t, \\
d V=\frac{\partial V}{\partial t} d t+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}, \\
\delta V=\frac{\partial V}{\partial t} \delta t+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}} \delta x_{i}^{(k)}
\end{array}
\]

и
\[
\delta(V d t)=d(V \delta t)+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}}\left(d t \delta x_{i}^{(k)}-\delta t d x_{i}^{(k)}\right) .
\]

Мы обозначаем первые, вторые, $k$-е производные функции $x$, как обычно, через $x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots, x^{(k)}$.

Вариация $\delta x$ должна иметь наиболее общий смысл. В этом случае она вызывается одновременно двумя причинами: изменением независимой переменной и изменением характера функции. В случае бесконечно малых приращений первого порядка каждая из этих причин действует так, как если бы она была единственной, и их общее действие равно сумме этих частных дсйствий. Но если персмснная $t$ прсвращается в $t+\delta t$, а характер функции не изменяется, то приращение функции, как это следует из основных понятий дифференциального исчисления, будет $x_{i}^{\prime} \delta t$. Поэтому, если мы обозначим через $\delta \omega_{i}$ приращение, которое $x_{i}$ получает вследствие изменения его природы, при постоянном $t$, то получим
\[
\delta x_{i}=x_{i}^{\prime} \delta t+\delta \omega_{i},
\]

где $\delta \omega_{i}$ есть бесконечно малое, совершенно произвольное приращение. Мы могли обозначить его просто через $\omega_{i}$, но предпочли $\delta \omega_{i}$, чтобы отметить его малость.
Продифференцировав приведенное выражение для $\delta x_{i}$, получим
\[
d \delta x_{i}=x_{i}^{\prime} d \delta t+x_{i}^{\prime \prime} \delta t d t+\delta \omega_{i}^{\prime} d t ;
\]

с другой стороны,
\[
d \delta x_{i}=\delta d x_{i}=\delta\left(x_{i}^{\prime} d t\right)=x_{i}^{\prime} d \delta t+\delta x_{i}^{\prime} d t .
\]

Следовательно, сравнивая, получим
\[
\delta x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime \prime} \delta t+\delta \omega_{i}^{\prime} .
\]

Мы написали $\delta \omega_{i}^{\prime}$ вместо $\frac{d \delta \omega_{i}}{d t}$, так как здесь не возникает опасения смешения обозначений.

Читатель хорошо понимает, что знак $\delta \omega_{i}$ не представляет никакой операции над $\omega_{i}$; он обозначает произвольную бесконечно малую величину и должен рассматриваться так, как если бы $\delta \omega_{i}$ было одной буквой. Поэтому штрих обозначает его производную.

Сравнение выражений $\delta x_{k}$ и $\delta x_{k}^{\prime}$ даст нам без всяких вычислений
\[
\delta x_{i}^{\prime \prime}=x_{i}^{\prime \prime \prime} \delta t+\delta \omega_{i}^{\prime \prime}, \quad \delta x_{i}^{\prime \prime \prime}=x_{i}^{\prime \prime \prime} \delta t+\delta \omega_{i}^{\prime \prime \prime},
\]

и вообще
\[
\delta x_{i}^{(k)}=x_{i}^{(k+1)} \delta t+\delta \omega_{i}^{(k)},
\]

откуда получим
\[
\delta x_{i}^{(k)} d t-d x_{i}^{(k)}=\delta \omega_{t}^{(k)} d t,
\]

и, следовательно,
\[
\delta(V d t)=d(V \delta t)+d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{k}^{(i)}} \delta \omega_{k}^{(i)} .
\]

Рассматривая сумму $d t \sum_{k=0}^{k=n} \frac{\partial V}{\partial x^{(k)}} \delta \omega^{(k)}$, мы для простоты опустили в ней индекс $i$, но после нескольких преобразований мы опять введем его. Эту сумму целесообразно разложить на две части с тем, чтобы одна из них была полным дифференциалом. Предположим, следовательно, что
\[
d t \sum_{k=0}^{k=n} \frac{\partial V}{\partial x^{(k)}} \delta \omega^{(k)}=\Xi \delta \omega d t+d \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{k} \delta \omega^{(k)},
\]

где величины $\Xi_{\text {и }} \xi_{k}$ – коэффициенты, не зависящие от $\delta \omega$ и ее производных. Производя указанное дифференцирование, получим:
\[
\sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x^{(k)}} \delta \omega^{(k)}=\Xi \delta \omega+\sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\xi_{k} \delta \omega^{(k+1)}+\xi_{k} \delta \omega^{(k)}\right),
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x^{(k)}} \delta \omega^{(k)}=\frac{d V}{d x} \delta \omega+\frac{d V}{d x^{(k)}} \delta \omega^{(n)}+\sum_{k=1}^{k=n-1} \frac{d V}{d x^{(k)}} \delta \omega^{(k)}, \\
\sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i} \delta \omega^{(i+1)}=\xi_{n-1} \delta \omega^{(n)}+\sum_{k=1}^{k=n-1} \xi_{k-1} \delta \omega^{(k)}, \\
\sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{k}^{\prime} \delta \omega^{(k)}=\xi \delta \omega+\sum_{k=1}^{k=n-1} \xi_{k}^{\prime} \delta \omega^{(k)},
\end{array}
\]

отсюда, производя подстановки и перенося все члены в одну сторону, получим
\[
0=\left(\Xi+\xi^{\prime}-\frac{d V}{d x}\right) \delta \omega+\left(\xi_{n+1}-\frac{d V}{d x^{(n)}}\right) \delta \omega^{(n)}+\sum_{k=1}^{k=n-1}\left(\xi_{k-1}+\xi_{k}-\frac{d V}{d x^{(k)}}\right) \delta \omega^{(k)} .
\]

Это уравнение разлагается на следующие :
\[
\Xi=\frac{d V}{d x}-\xi^{\prime}, \quad \xi_{n-1}=\frac{d V}{d x^{(n)}}, \quad \xi_{k-1}=\frac{d V}{d x^{(k)}}-\xi_{k}^{\prime} .
\]

Вводя опять индекс $i$, получим
\[
\xi_{i, n-1}=\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}, \quad \xi_{i, k-1}=\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}-\xi_{i, k}, \quad \Xi_{i}=\frac{d V}{d x_{i}}-\xi_{i}^{\prime} .
\]

Второе из этих уравнений действительно для значений $k$ от $k=1$ до $k=n-1$, и все три – для значений $i$ от $i=1$ до $i=m$.

Взяв значение $\xi_{i, n-1}$, удовлетворяющее первому уравнению (2), мы получим из второго соответственно $\xi_{i, n-2}, \xi_{i, n-3}, \xi_{i, n-4}, \ldots, \xi_{i, 2}, \xi_{i, 1}, \xi_{i}$, а из последнего $\Xi$; объединяя все эти величины, получим:
\[
\begin{array}{l}
\xi_{i, n-1}=\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}, \\
\xi_{i, n-2}=\frac{d V}{d x_{i}^{(n-1)}}–\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}\right)^{\prime}, \\
\xi_{i, n-3}=\frac{d V}{d x_{i}^{(n-2)}}-\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n-1)}}\right)^{\prime}+\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}\right)^{\prime \prime}, \\
\xi_{i, n-4}=\frac{d V}{d x_{i}^{(n-3)}}-\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n-2)}}\right)^{\prime}+\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n-1)}}\right)^{\prime \prime}-\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}\right)^{\prime \prime \prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\xi_{i, k}=\sum_{s=0}^{s=n-k-1}(-1)^{s}\left(\frac{d V}{d x_{i}^{k+s+1)}}\right)^{(s)}, \\
\xi_{i, 1}=\sum_{s=0}^{s=n-2}(-1)^{2}\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(s+2)}}\right)^{(s)}, \\
\xi_{i}=\sum_{s=0}^{s=n-1}(-1)^{s}\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(s+1)}}\right)^{(s)}, \\
\Xi_{i}=\sum_{s=0}^{s=n}(-1)^{s}\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(s)}}\right)^{(s)} . \\
\end{array}
\]

Так как величины $\xi$ имеют упомянутые выше значения, мы имеем
\[
d t \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=\Xi_{i} \delta \omega_{i} d t+d \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}
\]

и, следовательно,
\[
\delta(V d t)=d t \sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}+d\left(V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{l, k} \delta \omega_{i}^{(k)}\right) .
\]

Это – известная формула для вариации дифференцируемой функции.
Мы могли бы не приводить доказательства этого факта, но все же помещаем его для желающих.

Если положить $\delta t=0$ и продолжать обозначать через $\delta V$ вариацию $V$ в предположении, что $t$ не меняется, получим
\[
\delta V d t=d t \sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}+d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Формула (4) служит для определения символа $\delta(V d t)$, но она превратится в алгебраическое тождество, если на место этого символа подставить его выражение, определенное каким-нибудь другим путем. Например, определение
\[
d(V \delta t)+d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

даваемое уравнением (1), приводит к тождеству
\[
d \sum_{=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=d t \sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}+d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

которое мы обозначили номером (5) потому, что первый член есть не что иное, как $\delta V d t$, в том предположении, что $\delta t=0$. Всякое тождество превратится в уравнение, если в одной из его частей заменить несколько величин их частными значениями, не изменяя остальных величин. Полученное таким образом уравнение будет заключать в себе некоторые частные предположения, сделанные при выводе его из тождества. Выбирая эти предположения подходящим образом, можно добиться того, что полученное уравнение будет свободно от всяких иных условий. Оставшиеся условия можно записать в виде уравнения двумя разными способами, что часто дает важные преимущества.
2. Предположим, что
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}=0 .
\]

Тогда формула (4) примет вид
\[
\delta(V d t)=d\left(V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}\right),
\]

и мы придем к весьма замечательному соотношению, содержащему полную вариацию и полный дифференциал, но которое по своему смыслу есть не что иное, как уравіение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}=0
\]

только что введенное нами. Действительно, формулы (6) и (7) не предполагают ничего другого, и комбинируя их с помощью тождества (4), независимо от всяких иных предположений, мы получим лишь уравнение (6) и ничего более. Из того, что уравнения (6) и (7) приводятся одно к другому, следует, что они выражают одно и тоже соотношение в двух различных формах. Но так как одно из них легче приводит к результату, чем другое, удобно рассматривать их одновременно. Положив в формуле (7) $\delta t=0$, мы получим
\[
\delta V d t=d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{l, k} \delta \omega_{i}^{(k)}
\]

или
\[
d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Уравнение (6) можно рассматривать, с одной стороны, как соотношение между вариациями $\delta \omega$, а с другой, как связь между функциями $x$. С первой точки зрения оно позволяет исключить одну из вариаций
\[
\delta \omega_{1}, \delta \omega_{2}, \delta \omega_{3}, \ldots, \delta \omega_{m}
\]

или, что то же самое, выразить все вариации через $m-1$ других произвольных величин. Но этим путем мы только вернемся к уравнениям (3) и (4). Рассмотрим теперь уравнение (4) как соотношение между функциями $x$.

Припишем $\delta \omega$ бесконечно малые произвольные значения, не превращающие (4) в тождество. Каждой системе этих значений отвечает одно или несколько соотношений между неизвестными $x$. Все эти соотношения будут, очевидно, заключаться среди тех, которые мы получим, приписывая $\delta \omega$ абсолютно произвольные значения.

В этом предположении уравнение (4) распадается на $m$ следующих уравнений :
\[
\Xi_{1}=0, \quad \Xi_{2}=0, \quad \Xi_{3}=0, \ldots, \Xi_{m}=0 .
\]

Их все можно представить в виде
\[
\Xi_{i}=0,
\]

где $i$ пробегает $m$ значений $1,2,3, \ldots, m$. Уравнения (9) превратят вариацию $\delta(V d t)$ в полный дифференциал независимо от величины $\delta \omega$. Они совпадут с дифференциальными уравнениями проблемы изопериметров. Это происходит потому, что упомянутая проблема требует обращения в нуль интеграла
\[
\int \delta(V d t)
\]

при произвольных $\delta \omega$, что может иметь место лишь в том случае, если вариация $\delta(V d t)$ интегрируема. А это последнее условие выполняется лишь в силу (9).

Займемся теперь уравнениями, связанными с проблемой изопериметров. Они заключают в себе как частный случай уравнения динамики. В этом случае можно предположить, что функция $V$ содержит производные от $x$, порядка не выше первого, и является относительно этих производных очень простым выражением частного вида, именно целой рациональной функцией второй степени.

Мы еще раз напоминаем читателю, что для простоты предполагаем старшие производные всех функций $x$, входящих в $V$, имеющими один и тот же порядок $n$.

Если встретится необходимость, то формулы можно будет изменить соответствующим образом. Для этого нужно будет только найти частные разнөсти функции $V$ относительно не определенных еще производных.

Дифференциальные уравнения (9) имеют порядок $2 n$; число их $m$ равно числу неизвестных $x$. Эти уравнения удобно заменить $2 \mathrm{~nm}$ уравнениями первого порядка с $2 \mathrm{~nm}$ неизвестными. Для этого нужно только рассматривать как неизвестные наряду с $x$ и производные от $x$ до $2 n$ – 1-го порядка включительно.
Все новые неизвестные будут связаны уравнениями первого порядка
\[
d x_{i}=x_{i}^{\prime} d t, \quad d x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime \prime} d t, \quad d x_{i}^{\prime \prime}=x_{i}^{\prime \prime \prime} d t, \quad \ldots, \quad d x_{i}^{(2 n-2)}=x_{i}^{(m-1)} d t,
\]

число которых в связи с изменяемостью индекса $i$ есть $2 \mathrm{~nm}-\mathrm{m}$. Заменяя в уравнениях (9) производные порядка $2 n$ соответственно на
\[
\frac{d x_{1}^{(2 n-1)}}{d t}, \frac{d x_{2}^{(2 n-1)}}{d t}, \ldots, \frac{d x_{m}^{(2 n-1)}}{d t},
\]

получим еще $m$ недостающих уравнений.
Но функции, принятые нами здесь за неизвестные, не относятся все целиком к проблеме изопериметров. Мы оставили только половину из них, заменив остальные более удобными величинами, а именно, мы сохранили неизвестные $x$ и их производные до $n$ – 1-го порядка включительно. Эти $n \mathrm{~m}$ неизвестные мы хотим определить в первую очередь. Оставшиеся $\mathrm{nm}$ неиз-

вестные, т. е. производные порядка от $n$ до $2 n$– 1 включительно, мы заменим величинами
\[
\xi_{i}, \xi_{i, 1}, \xi_{i, 2}, \ldots, \xi_{i, n-1},
\]

число которых, принимая во внимание изменяемость $i$, есть точно пm. Если мы найдем зти новые неизвестные $\xi$, то по формулам (3) найдем и производные порядков от $n$ до $2 n-1$.

Составим теперь дифференциальные уравнения первого порядка, содержащие наши $2 \mathrm{~nm}$ неизвестные :
\[
\begin{array}{c}
x_{i}, x_{i}^{\prime}, x_{i}^{\prime \prime}, \ldots, x_{i}^{(n-1)} ; \\
\xi_{i}, \xi_{i, 1}, \xi_{i, 2}, \ldots, \xi_{i, n-1} .
\end{array}
\]

Для этого воспользуемся уравнением (7); заменив в нем вариацию $\delta \omega_{i}^{(k)}$ ее значением $\delta x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k+1)} \delta t$, мы получим
\[
\delta(V d t)=d\left(V \delta t-\delta t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k+1)}\right)+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} d\left(\xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right) .
\]

Ho
\[
d\left(\xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right)=\delta\left(\xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}\right)+d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k} ;
\]

обозначив для краткости
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k+1)} & =T, \\
V-T & =\Theta
\end{array}\right\}
\]

и подставив, получим
\[
\delta(\Theta d t)=d(\Theta \delta t)+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}\right),
\]

откуда, положив
и, вспоминая, что
\[
\begin{array}{c}
\delta \xi_{i, k}=\xi_{i, k}^{\prime} \delta t+\delta \bar{\omega}_{i, k} \\
\delta x_{i}^{(k)}=\boldsymbol{x}_{i}^{(k+1)} \delta t+\delta \omega_{i, k},
\end{array}
\]

будем иметь
\[
\delta(\Theta d t)=d(\Theta \delta t)+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \bar{\omega}_{i, k}\right) .
\]

Чтобы получить уравнения (11) и (12), отбросим в левой части формулы (7) вариацию
\[
\delta \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}=\delta(T d t),
\]

а в правой части ту же вариацию представим в форме
\[
d\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right)-\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}\right)
\]

или, что то же самое,
\[
d\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right)-\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \bar{\omega}_{i, k}\right) .
\]

Мы пришли к уравнению (11) или (12).
\[

Действительно, после вычитания формула (7) примет вид
\[
\delta(\Theta d t)=d\left[V \delta t-\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k}\left(\delta x_{i}^{(k)}-\delta \omega_{i}^{(k)}\right)\right]+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i k}\right)
\]

или
\[
\delta(\Theta d t)=d\left[V \delta t-\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k}\left(\delta x_{i}^{(k)}-\delta \omega_{i}^{(k)}\right)\right]+\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \bar{\omega}_{i, k}\right) .
\]

Вследствие $\delta x_{i}^{(k)}-\delta \omega_{i}^{(k)}=x_{i}^{(k+1)} \delta t$ эти уравнения суть, очевидно, формулы (11) и (12).

Функция $\Theta$ содержит, кроме времени $t, 2 n m+m$ величин, а именно: $n m$ функций $\xi$, которые вместе с $x$ и их производными до $n$-го порядка включительно составляют полное число $2 n m+m$. В это число входят $m$ производных $n$-го порядка от функций $x$, которые являются посторонними для задачи.

Все остальные величины как $\xi$, так и $x$ с их производными до порядка $n-1$, являются неизвестными, которые нужно определить для решения проблемы. Следовательно, нам нужно избавиться от $m$ производных $n$-го порядка. Для этого мы воспользуемся первой из формул (3), которую можно записать в виде $m$ уравнений
\[
\frac{d V}{d x_{1}^{(n)}}=\xi_{1, n-1}, \quad-\frac{d V}{d x_{2}^{(n)}}=\xi_{2, n-1}, \ldots, \frac{d V}{d x_{m}^{(n)}}=\xi_{m, n-1} .
\]

Они заключают только неизвестные нашей проблемы и $n$-е производные, которые нужно исключить из функции $\Theta$. Мы теперь обладаем всем необходимым для этого исключения и можем рассматривать функцию $\Theta$, как не зависящую от $n$-х производных :
\[
x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots, x_{m}^{(n)} .
\]

Следовательно, она содержит лишь неизвестные
\[
\begin{array}{l}
x_{i}, x_{i}^{\prime}, x_{i}^{\prime \prime}, \ldots, x_{i}^{(n-1)} ; \\
\xi_{i}, \xi_{i}^{\prime}, \xi_{i}^{\prime \prime}, \ldots, \xi_{i}^{(n-1)},
\end{array}
\]

число которых равно $2 m$, так как индекс $i$ изменяется от 1 до $m$.
До настоящего момента мы воспользовались только первой из формул (3); остальные нам не были нужны. Они заключают производные от $x$ выше $n$-го порядка, которые являются для нашей задачи посторонними и не входят в $\boldsymbol{\Theta}$. Как мы упоминали выше, эти формулы можно использовать после того, как найдены переменные $\xi$, для определения производных от $x$ порядка выше $n$, если не предпочесть этому непосредственное дифференцирование. Заменив левую часть уравнения (12) на
\[
d(\Theta \delta t)+d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \delta \bar{\omega}_{i, k}\right),
\]

мы получим формулу
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(d \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} \delta \bar{\omega}_{i, k}\right)=d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \delta \bar{\omega}_{i, k}\right),
\]

которая, вследствие того, что вариации $\delta \omega$ ничем не связаны, распадается на соотношения :
\[
\left.\begin{array}{l}
d \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t, \\
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\end{array}\right)
\]

Эти соотношения при всевозможных $i$ и $k$ дают $2 n m$ дифференциальных уравнений с таким же числом неизвестных.

Формулы (14) суть дифференциальные уравнения проблемы изопериметров, представленные в наиболее простой форме.

Геометры ранее уже придали такую форму общим уравнениям движения. Таким образом, хотя уравнения динамики и являются частным случаем проблемы изопериметров, эта проблема описывается теми же самыми уравнениями и в той же форме, что и движение динамических систем. Мы увидим, что то же относится и к их интегралам. Это последнее представляется нам особенно замечательным.

Мы могли бы не только легко вывести уравнения (14), но и упростить все вычисления в этом Мемуаре, если бы рассматривали время $t$ как независимое относительно символа $\delta$. Но, может быть и напрасно, мы не хотели предположить $\delta t=0$.
3. Уравнения (14) можно вывести и независимо от формулы (7). Для этого воспользуемся тремя уравнениями (2). Положив в них $\Xi_{i}=0$, получим :
\[
\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}=\xi_{i, n-1}, \quad \xi_{i, k}^{\prime}=\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}-\xi_{i, k-1}, \quad \xi_{i}^{\prime}=\frac{d V}{d x_{i}} .
\]

Первое из этих уравнений представляет систему, которой мы пользовались. для исключения $n$-х производных $x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots, x_{m}^{(n)}$ из функции $\Theta$. Мы употребляем их снова для этой цели и заметим, что $n$-е производные зависят только от
\[
t, x_{i}, x_{i}^{\prime}, x_{i}^{\prime \prime}, \ldots, x_{i}^{(n-1)}, \xi_{i, n-1}
\]

и не содержат ни одной из величин $\xi_{i}, \xi_{i, 1}, \xi_{i, 2}, \ldots, \xi_{i, n-2}$
Из этого следует, что при всех $i$ функция $V$ после исключения $n$-х производных будет зависеть только от переменных $t, x_{i}, x_{i}^{\prime}, x_{i}^{\prime \prime}, \ldots, x^{(n-1)}, \xi_{i, n-1}$ и не будет зависеть от $\xi_{i}, \xi_{i, 1}, \xi_{i, 2}, \ldots, \xi_{i, n-2}$.
Третье из уравнений (15),
\[
\xi_{i}^{\prime}=\frac{d V}{d x_{i}},
\]

в предположении что $\xi_{i,-1}=0$, превратится в частный случай второго уравнения при $k=0$. Действительно, при этом значении $k$, второе из уравнений дает
\[
\xi_{i}^{\prime}=\frac{d V}{d x_{i}}-\xi_{i,-1}
\]
т. е. (так как $\xi_{i,-1}=0$ )
\[
\xi_{i}^{\prime}=\frac{d V}{d x_{i}} .
\]

Следовательно, принимая, что .
\[
\xi_{i,-1}=0,
\]

мы можем рассматривать только второе уравнение (15), именно
\[
\xi_{i, k}^{\prime}=\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}-\xi_{i, k-1},
\]

так как одно из них мы уже использовали, а другое есть частный случай формулы (16).

Таким образом, последняя формула при различных $i$ и $k$ представляет $\mathrm{nm}$ дифференциальных уравнений, связывающих неизвестные проблемы изопериметров. Добавив к ней $\mathrm{nm}$ уравнений
\[
d x_{i}^{(k)}=x_{i}^{(k+1)} d t
\]

связывающих те же неизвестные, мы получим все уравнения, относящиеся к нашей проблеме.

Как мы сейчас покажем, уравнения (16) и (17) тождественны уравнениям (14). Исключим, для удобства, из этих уравнений $n$-е производные $x^{(n)}$, после чего уравнения будут содержать только неизвестные нашей задачи.
Мы предполагали ранее
\[
\left.\begin{array}{l}
T=\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k+1)}, \\
\Theta=V-T
\end{array}\right\}
\]

и получили, дифференцируя,
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d T}{d x_{i}^{(k)}}\right) & =\xi_{i, k-1}, & \left(\frac{d T}{d \xi_{i, k}}\right) & =x_{i}^{(k+1)}, \\
\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}\right) & =\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}, & \left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right) & =-x_{i}^{(k+1)},
\end{aligned}
\]

следовательно, уравнения (16) и (17) превратятся в
\[
\begin{aligned}
d \xi_{i, k} & =\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}\right) d t, \\
d x_{i}^{(k)} & =-\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right) d t .
\end{aligned}
\]

Мы заключили в скобки частные производные, так как получили их, не принимая во внимание первого уравнения из формул (3).

Эти уравнения дают производные $x^{(n)}$ как функции других величин, которые должны заменить упомянутые производные в $V, T$ и $\Theta$.
Это обстоятельство необходимо рассмотреть внимательнее.
Для этого заметим сначала, что первое из уравнений (3) тождественно с уравнением
\[
\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}\right)=\left(\frac{d \Omega}{d x_{i}^{(n)}}\right)
\]

или с уравнением
\[
\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(n)}}\right)=0 \text {. }
\]

Затем, дифференцируя функцию $\Theta$, получим
\[
\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}=\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k}}\right)+\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{\prime(n)}}\right) \frac{d x_{i}^{\prime(n)}}{d x_{i}^{(k)}},
\]

где $i$ обозначает один из номеров переменных. Так же получим
\[
\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}=\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right),
\]

где $k$ изменяется до $n-1$. Но
\[
\frac{d \Theta}{d \xi_{i, n-1}}=\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, n-1}}\right)+\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{\prime(n)}}\right) \frac{d x_{i}^{\prime(n)}}{d \xi_{i, n-1}} .
\]

Принимая во внимание уравнение
\[
\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{\prime(n)}}\right)=0,
\]

мы получим для всех значений $i$ и $k$ соотношения
\[
\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}\right)=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}},\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right)=\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}},
\]

и, следовательно, выражения (16) и (17) сведутся к соотношениям :
\[
d \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{d x^{(k)}} d t, \quad d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t .
\]

Предполагая, что $n$-е производные от $x$ исключены из функции $\Theta$, мы нашли частные производные этой функции по всем ее аргументам за исключением $t$.
Определим производную $\Theta$ по $t$. Мы имеем
\[
\frac{d \Theta}{d t}=\left(\frac{d \Theta}{d t}\right)+\sum_{i=1}^{i=m}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(n)}}\right) x_{i}^{(n+1)} ;
\]

так как $\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(n)}}\right)=0$, получим
\[
\frac{d \Theta}{d t}=\left(\frac{d \Theta}{d t}\right) .
\]

Так как переменная $t$ входит явно только в $V$, то
\[
\left(\frac{d \Theta}{d t}\right)=\left(\frac{d V}{d t}\right),
\]

следовательно,
\[
\frac{d \Theta}{d t}=\left(\frac{d V}{d t}\right)
\]

и можно написать
\[
\frac{d \Theta}{d t}=\frac{d V}{d t},
\]

подразумевая, что функция $V$ содержит $n$-ю производную от $x$.
Мы только проверили уравнения (14); но их легко также доказать при ранее принятом условии, т. е. независимо от формулы (7).

Не представляет труда заметить, что выражения $\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}$ и – $x_{i}^{(k+1)}$ могут быть представлены для всех номеров $i$ и $k$ при помощи частных производных $\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}$ и $\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}$ одной и той же функции $\Theta$, которую мы можем рассматривать сначала как неизвестную и определить позднее. Другими

словами, речь идет об утверждении, что выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left\{\left(\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}\right) d x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k+1)} d \xi_{i, k}\right\}
\]

является полным дифференциалом, если рассматривать $\xi, x$ и их производные как независимые переменные.
Итак, принимая во внимание, что
\[
\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(n)}}\right)-\xi_{i, k-1}=0,
\]

мы получим
\[
\sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}\right) d x_{i}^{(k)}=\sum_{k=0}^{k=n}\left(\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}\right) d x_{i}^{(k)} .
\]

И так как
\[
\xi_{i,-1}=0 ; \quad \sum_{k=0}^{k=n} \xi_{i, k-1} d x_{i}^{(k)}=\sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x^{(k+1)},
\]

To
\[
\sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}\right] d x_{i}^{(k)}=\sum_{k=0}^{k=n}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}}\right) d x_{i}^{(k}-\sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k+1)} .
\]

Дифференциал, который мы считали полным, будет иметь вид
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n}\left(\frac{d V}{d x_{i}^{(k)}}\right) d x_{i}^{(k)}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\xi_{i, k} d x_{i}^{(k+1)}+x_{i}^{(k+1)} d \xi_{i, k}\right) .
\]

Следуя предположению, что $x$ со своими производными являются независимыми переменными, дифференцируем по этим переменным, не изменяя времени $t$ :
\[
d V=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}}\right) d x_{i}^{(k)} .
\]

Следовательно, наш дифференциал принимает вид:
\[
d V-d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k+1)} \text { или } d(V-T)=d \Theta .
\]

Следовательно,
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left\{\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}^{(k)}}\right)-\xi_{i, k-1}\right] d x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k+1)} d \xi_{i, k}\right\}=d \Theta .
\]

Предполагая в этом уравнении величину $\Theta$ свободной от $x^{(k)}$, мы можем получить отсюда уравнения (14), так как дифференциалы $d x_{i}^{(k)}$ и $d \xi_{i, k}$ независимы друг от друга и вполне произвольны.

Анализ, при помощи которого мы установили уравнения проблемы изопериметров и уравнения, которые из них вытекают, оказывается недостаточным в том частном случае, когда формулы
\[
\frac{d V}{d x_{1}^{(n)}}=\xi_{1, n-1}, \frac{d V}{d x_{2}^{(n)}}=\xi_{2, n-1}, \frac{d V}{d x_{3}^{(n)}}=\xi_{3, n-1}, \ldots, \frac{d V}{d x_{m}^{(n)}}=\xi_{m, n-1}
\]

устанавливают некоторые соотношения между неизвестными проблемы. Но нам этот случай встретиться не может, потому что наши $m$ формул включают вместе с неизвестными проблемы $m$ производных $x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots, x_{m}^{(n)}$, не относящихся к проблеме и не накладывающих никаких условий на переменные. В частных случаях, например в таком, где некоторые из частных производных
\[
\frac{\partial V}{\partial x_{1}^{(n)}}, \frac{\partial V}{\partial x_{2}^{(n)}}, \ldots, \frac{\partial V}{\partial x_{m}^{(n)}}
\]

не заключают $n$-х производных функции $x$, переменные $x_{i}, x_{i}^{\prime}, x_{i}^{\prime \prime}, \ldots, x_{i}^{(n-1)}$, $\xi_{i}, \xi_{i, 1}, \xi_{i, 2}, \ldots, \quad \xi_{i, m-1}$, могут оказаться связанными между собой некоторыми соотношениями. Эти соотношения, уменьшая число неизвестных, облегчают решение вопроса. Но в этом случае анализ, который привел нас в предыдущем параграфе к уравнению (14), неприменим. Это происходит потому, что последние соотношения между неизвестными устанавливают соотношения между их вариациями, и мы не можем приравнивать коэффициенты при вариациях, как мы делали это раньше, при переходе от уравнения (13) к (14). Нужно сначала исключить все зависимые соотношения с помощью уравнений условия или по методу неопределенных множителей.

Мы предоставляем читателю самому исследовать все упомянутые нами частные случаи. Наиболее замечательным из них по своей простоте является тот, при котором $V$ содержит $n$-е производные только линейно.
4. Умножая уравнения (14), первое на $d x_{i}^{(k)}$, второе на – $d \xi_{i, k}$ и складывая их, получим
\[
\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d \xi_{i, k}=0,
\]
T. e.
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=0}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d \xi_{i, k}\right)=0 .
\]

Ho
\[
d \Theta=\frac{d \Theta}{d t} d t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d \xi_{i, k}\right),
\]

из чего следует
\[
d \Theta=\frac{d \Theta}{d t} d t
\]

или, так как
\[
\frac{d \Theta}{d t}=\frac{d V}{d t},
\]

To
\[
d \Theta=\frac{d V}{d t} d t .
\]

Здесь функция $V$ предполагается содержащей $k$-ю производную величин $x$. Уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
d \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t, \\
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\end{array}\right\}
\]

следуют из разложения соотношения (9), которое в свою очередь является лишь переписанной по-другому формулой (7).

Мы можем опять составить эту формулу с помощью наших уравнений, умножив первое из них на $\delta \omega_{i}^{(k)}$ и второе на $-\delta \omega_{i, k}$ и просуммировав по всем

индексам $i$ и $k$. Итак, уравнения (14) равносильны формуле (7). Следовательно, формула (7) является более простой комбинацией уравнений (14) и поэтому к рассмотрению этой комбинации можно свести исследование уравнения (14).

Действительно, произвольные величины, заключающиеся в формуле (7) или (9), суть вариации $\delta \omega_{i}$; все остальные зависят от них.

Приписывая им последовательно различные частные значения, мы получим значения, отвечающие формуле (7), которые будут представлять частные комбинации уравнений (14). Каждая из этих комбинаций может заменить одно из уравнений (14), и так как число возможных комбинаций не ограничено, то мы можем сделать его равным числу уравнений (14). Следовательно, эти последние будут заменены частными значениями формулы (7).
Необходимо только, чтобы эти значения не были взаимно зависимы.
Если значения зависимы, откидывают их и берут новые так, чтобы общее число равнялось числу уравнений (14).

Следовательно, вместо уравнений (14) мы можем рассматривать частные значения формулы (7) или самоё общую формулу, заключающую эти частные значения. Если можно проинтегрировать некоторые из этих частных значений, то получим, очевидно, столько же интегралов уравнений (14). Это происходит потому, что интегрирование какого-нибудь частного значения формулы (7) сводится к интегрированию суммы произведений этих уравнений на подходящим образом выбранные множители. Если бы можно было проинтегрировать формулу (7) в общем случае независимо от значений $\delta \omega_{i}$, мы нашли бы все интегралы проблемы изопериметров.

Следовательно, интегрирование дифференциальных уравнений этой проблемы сводится к нахождению таких значений $\delta \omega$, при которых формула
\[
d\left(V \delta t+\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}\right)=\delta(V d t)
\]

или, точнее, ее правая часть, становится интегрируемой (левая часть интегрируема при любых $\delta \omega$ ).

Определение этих величин в общем случае представляет большие трудности. В частном же случае это определение упрощается. Например, если частная производная $\frac{d V}{d t}$ не содержит ни функций $x$, ни их производных, то вариация $\delta(V d t)$ превращается в полный дифференциал, если выполнено при любых номерах $i$ и $k$
\[
\delta \omega_{i}^{(k)}=d x_{i}^{(k)} .
\]

Действительно, мы имеем в общем случае
\[
\delta(V d t)=d(V \delta t)+d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

следовательно, по предположению, что
\[
d \omega_{i}^{(k)}=d x_{i}^{(k)},
\]

получим
\[
\delta(V d t)=d(V \delta t)+d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)} .
\]

Итак,
\[
d V=\frac{d V}{d t} d t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)},
\]

откуда следует
\[
\delta(V d t)=d(V \delta t)+d V d t-\frac{d V}{d t} d t,
\]

и формула (7) сводится к уравнению
\[
d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k+1)}=d V-\frac{d V}{d t} d t
\]

или к
\[
d T=d V-\frac{d V}{d t} d t
\]

интегрируя, получим
\[
T=V-\int \frac{d V}{d t} d t+h
\]

или
\[
\Theta-\int \frac{d V}{d t} d t+h=0,
\]

где $h$ является произвольной постоянной и интеграл $\int \frac{d V}{d t} d t$ есть квадратура, так как, по предположению, производная $\frac{d V}{d t}$ содержит только время $t$. По этому же предположению мы можем для простоты записать $V$ вместо

и получим
\[
\begin{array}{c}
V-\int \frac{d V}{d t} d t \\
T=V+h
\end{array}
\]

или
\[
\Theta+h=0 .
\]

Новая функция $V$ не содержит времени явно, так же как и функция
\[
\Theta=V-T \text {. }
\]

Интеграл, который мы только что написали, превратится в частном случае динамики в закон живых сил. Мы могли бы получить это немедленно, положив
\[
d \omega_{i}^{(k)}=d x_{i}^{(k)}
\]

в формуле (8), которая является не чем иным, как формулой (7), где положено $\delta t=0$. Мы еще раз повторяем, что наш анализ значительно упростился бы, если бы мы предположили, что время остается постоянным по отношению к символу $\delta$.
Возвратимся к уравнению (12). Положив в нем $d \omega_{i}^{(k)}=d x_{i}^{(k)}$, получим
\[
\delta \bar{\omega}_{i, k}=d \xi_{i, k}-\frac{d \xi_{i, k}}{d t} d t .
\]

В производной $\frac{d \xi_{i, k}}{d t}$ учтено лишь явное вхождение времени в $\xi_{i, k}$. Если мы предположим, что производная $\frac{d V}{d t}$ зависит только от времени или что новая функция $\xi$ не содержит явно времени, величина $\xi_{i, k}$ тоже не будет

явно содержать его и частная производная $\frac{d \xi_{i, k}}{d t}$ будет равна нулю, т. е.
\[
\delta \bar{\omega}_{i, k}=d \xi_{i, k} .
\]

Следовательно,
\[
d \xi_{i, k} d \omega_{i}^{(k)}-d x_{i, k} \delta \bar{\omega}_{i ; k}=d \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}-d x_{i}^{(k)} d \xi_{i, k}=0
\]

и формула (12) превратится в
\[
\delta(\Theta d t)-d(\Theta \delta t)=0 ;
\]

так как
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d \xi_{i, k}\right)=0,
\]

то этот результат приводит к уравнению
\[
d \Theta-\frac{d \Theta}{d t} d t=0 .
\]

Принимая во внимание предположение относительно $V$, получим
\[
d \Theta=0,
\]

что является дифференциалом живых сил.
5. Предполагая вариации $\delta \omega$ абсолютно произвольными и интегрируя формулу (7) по времени, получим
\[
V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}=\delta \int V d t+\text { const; }
\]

так как по принципам вариационного исчисления символ $\delta$ можно выносить за знак интеграла, то
\[
V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}=\delta \int V d t+\text { const } .
\]

Заменяя $\delta \omega_{i}^{(k)}$ ее значением $\delta x_{i}^{(k)}-\delta x_{1}^{(k+1)} \delta t$ и написав $T$ вместо суммы $\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k+1)}$, а $\Theta$ вместо $V-T$, мы получим
\[
\Theta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}=\delta \int V d t+\text { const } .
\]

Правая часть формулы (21) заключает невыполнимое интегрирование, так как мы предположили, что дифференциальная функция $V d t$ не интегрируема, а следовательно, не интегрируема и вариация $\delta(V d t)$.

Предположение, что $V d t$ есть полный дифференциал, возвратит нас тождественно к формуле (7) и к уравнениям (9) и не даст никакого результата. Действительно, полагая
\[
V d t=d U,
\]

получим
\[
\xi_{i, k}=\frac{d U}{d x_{i}^{(k)}},
\]

и уравнение (7) превратится в
\[
\delta d U=d \delta U .
\]

Кроме того, если бы функция $V$ состояла из двух частей, $P+Q^{\prime}$, причем $Q^{\prime}$ была бы полной производной ппо времени, все, что зависит от этой функции, исчезло бы из формулы (7) и уравнений (9). В этом случае, принимая за неизвестные
\[
\xi_{i, k}-\frac{d U}{d x_{i}^{(k)}}
\]

вместо $\xi_{i, k}$, мы пришли бы к уравнениям (14).
Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima.

Однако, принимая во внимание известность этого принципа и в особенности манеру, в которой он рассматривается, мы войдем в некоторые относящиеся к нему детали. Предупреждаем при этом читателя, что, говоря 0 принципе динамики, мы будем иметь в виду более общие формулы, относящиеся к интересующей нас проблеме изопериметров.

В динамике отправляются либо от формулы (9) или (14), либо, что является более простым, от уравнений, выражающих принцип потерянных сил, видоизменением которого являются формулы (9) и (14). Какова бы ни была точка отправления, мы придем после более или менее простых преобразований к формуле (7) и, следовательно, к нашему интегралу по времени (21). Вычисляя этот последний между данными гределами и выбирая такие условия, при которых все внеинтегральные члены исчезнут, получим
\[
\delta \int V d t=0 .
\]

Этот результат приводит к заключению, что интеграл
\[
\int V d t
\]

достигает минимума или максимума, что и является принципом наименьшего действия.

На самом деле вариация интеграла может обращаться в нуль и в том случае, когда интеграл не допускает ни наибольшего, ни наименьшего значения, но геометры обычно говорят и в этом случае о минимуме или максимуме, без сомнения, для простоты изложения, и мы будем в этом, следовать их примеру.

Рассматриваемый с прежней точки зрения принцип наименьшего действия кажется довольно значительной теоремой. Если его доказывать, исходя из формул (9) или (14), или из формулы, выражающей равновесие потерянных сил, то приходим к результату
\[
\delta \int V d t=0 .
\]

Но если отправляться, как это сделали мы, от формулы (7) или, что то же самое, от уравнений (21), то уравнение
\[
\delta \int V d t=0,
\]

будучи заключено в том, которое служило точкой отправления, не представляет никакой теоремы.

Мы не останавливались бы более на принципе наименьшего действия, если бы геометры, занимавшиеся этим принципом, остановились на уравнении (22). Но они пошли дальше. Они комбинировали это уравнение вместе с дифференциалом в смысле $\delta$ выражения закона живых сил, что приводит к нашему интегралу (20).
С помощью этой комбинации можно заменить в выражении
\[
\int V d t
\]

которое должно достигать минимума, функцию $V$ на величину $T$, которая обозначает в динамике живую силу системы*). Если бы указанный способ сведения минимума интеграла (23) к минимуму интеграла $\int T d t$ не был неудобным, как мы это покажем в следующем параграфе, то этот способ позволял бы высказать принцип наименьшего действия в применении к частным случаям с большей простотой и удобством. Это произошло бы потому, что интеграл $\int T d t$ зависит только от кривых, описываемых точками системы, и не зависит от действующих сил, приложенных к ним, 一 неоспоримое преимущество перед интегралом (23), который зависит от сил, действующих на систему.

Мы сейчас приведем в основном метод, употребляющийся геометрами после Лагранжа для сведения минимума первого из двух интегралов
\[
\int V d t, \quad \int T d t
\]

к минимуму второго. Мы исключим вариацию
\[
\delta \int V d t
\]

из уравнения (21) с помощью формулы (20) живых сил. Умножая формулу (20) на $d t$ и интегрируя, получим
\[
\int \Theta d t+h t=\text { const } .
\]

Затем, дифференцируя в смысле $\delta$, получим
\[
\delta \int \Theta d t+h \delta t+t \delta h=\mathrm{const}
\]

или, так как $h=-\Theta$, то
\[
\delta \int \Theta d t=\Theta \delta t-t \delta h+\text { const } .
\]

Мы варьируем произвольную постоянную $h$, чтобы не упустить никаких причин, влияющих на величины $\delta x$. Эти последние изменяются по двум причинам: вследствие варьирования времени $t$ и вследствие изменения формы функций $x$. Первая причина, очень простая по природе, может ввести в $\delta x$ лишь $x^{\prime} \delta t$, вторая гораздо более сложна и может ввести несколько членов в каждую из $\delta x$. Эти члены мы обозначим через $\delta \omega$. Таким образом, мы учитываем не зависящую от времени вариацию параметров, входящих в функции $x$. Такими параметрами являются, в частности, явно входящие в функции $x$ произвольные постоянные интегрирования, и потому их вариации неявно входят в $\delta \omega$. Вычитая последнее уравнение из формулы
\[
\delta \int V d t=\Theta \delta t+\sum_{i=1}^{i+m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\text { const },
\]

найдем
\[
\delta \int T d t=\sum_{i=1}^{i=1} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+t \delta h+\text { const } .
\]

Если мы теперь возьмем интеграл от левой части в пределах, выбранных таким образом, чтобы правая часть, проинтегрированная в тех же пределах, исчезла, то получим
\[
\delta \int T d t=0,
\]

из чего можем заключить, что интеграл
\[
\int T d t
\]

взятый в пределах, выбранных подходящим образом, является минимумом. Это и есть другой вывод принципа наименьшего действия, предпочитаемый в динамике.

Исходя из формулы (25), Лагранж вновь возвращается к уравнениям (9) или (14), или, что то же самое, к формуле (7). Мы воспроизведем его анализ с некоторыми изменениями.

Прежде всего, чтобы не быть связанными условием, относящимся к пределам интегрирования, воспользуемся вместо формулы (25) формулой (26), которая свободна от этих условий. Заменяя в ней $T$ на $V-\Theta$, получим
\[
\delta \int V d t=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\delta \int \Theta d t+t \delta h+\text { const } .
\]

Заменив $\Theta$ на $-h$, получим
\[
\delta \int \Theta d t+t \delta h=-h \delta t+\text { const }=\Theta \delta t+\text { const } .
\]

Следовательно,
\[
\delta \int V d t=\Theta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\mathrm{const}
\]

и нужно лишь продифференцировать результат, чтобы получить формулу (7).
Принцип наименьшего действия, обобщенный в проблеме изопериметров, заключается в том, что интеграл $\int T d t$, взятый в пределах, выбранных подходящим образом, приобретает наименышее значение, если величины $x$ и $\xi$ удовлетворяют уравнениям (14). При этом предполагается, что эти величины удовлетворяют также уравнению живых сил. Таким образом, если принять за $x$ и $\xi$ произвольные величины, удовлетворяющие уравнению живых сил,
\[
\Theta+h=0,
\]

то интеграл $\int T d t$, отвечающий им, будет больше, чем интеграл, отвечающий значениям $x$ и $\xi$, удовлетворяющим уравнениям (14), которые заключают в себе, как мы видели, уравнение живых сил.
6. Мы уже условились говорить о минимуме или максимуме интеграла в том случае, когда вариация интеграла обращается в нуль. Для этого необходимо, чтобы вариация была интегрируема и чтобы этот интеграл был равен нулю.\” Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы немного обобщить некоторые утверждения, относящиеся к проблеме изопериметров. Мы будем говорить, что при превращении вариации в нуль будет иметь место не минимум или максимум интеграла, а что эта вариация становится интегрируемой. Так, та часть проблемы изопериметров, которой мы занимались, имеет дело со случаем интегрируемости вариации $\delta(V d t)$, и мы видели, что ее решение

приводит к уравнениям (14). Это происходит потому, что если неизвестные $x$ и $\xi$ удовлетворяют этим уравнениям, наша вариация становится интегрируемой при любых приращениях $\delta x$ и ее интеграл дается формулой (21).

Предполагая, что функция $V$ не содержит явно времени $t$, мы нашли интеграл уравнений (14); это интеграл живых сил
\[
\Theta+h=0 .
\]

Этот интеграл связывает переменные $x$ и $\xi$, никак не связывая их вариаций $\delta x$. Поэтому нельзя дифференцировать в смысле $\delta$ уравнение
\[
\Theta+h=0,
\]

не связывая некоторым соотношением свободные ранее вариации, появляющиеся после дифференцирования. Это простое обстоятельство ускользнуло, по-видимому, от внимания Лагранжа, так что анализ великого геометра*) не кажется нам безупречным [142]. Отвлечемся на время от формул (14) и предположим, что $x$ и $\xi$ удовлетворяют только уравнению (20), и будем рассматривать только такие $x$ и $\xi$. Тогда $x+\delta x$ и $\xi+\delta \xi$, заключенные среди возможных значений $x$ и $\xi$, тоже удовлетворяют уравнению (20).
Мы имеем
\[
\delta(\Theta+h)=0
\]

или
\[
\delta(\Theta d t)+\delta(h d t)=0 .
\]

Заменяя $\Theta$ на $V-T$, перепишем последнее уравнение в виде
\[
\delta(T d t)=\delta(V d t)+d \varepsilon(h t) .
\]

Из этого следует, что вариации $\delta(T d t)$ и $\delta(V d t)$ интегрируемы одновременно, т. е. интегрируемость одной влечет интегрируемость другой. Таков результат Лагранжа. Но после сделанного нами этот результат становится очевидным и не составляет никакой теоремы. Действительно, что можно вывести из очевидной интегрируемости вариаций $\delta(T d t)$ и $\delta(V d t)$ ?

Положив сначала, что $\delta A=\delta B$, постараемся получить что-нибудь из одновременной интегрируемости $\delta A$ и $\delta B$. Если $A$ и $B$, будучи функциями $x$ и $\delta x$, связаны соотношением $\delta A=\delta B$, можно ли сказать, что интегрируемость $\delta(V d t)$ вытекает из уравнений (14), если $\delta(T d t)$ удовлетворяет этому уравнению? Уравнения (14) делают $\delta(V d t)$ интегрируемой при любых $\delta x$, а в действительности речь идет только $0 \delta x$, связанных условием
\[
\delta(\Theta+h)=0,
\]

и если предположить выполненными уравнения (14) без этого условия, то вариация $\delta(V d t)$ будет интегрируемой, а вариация $\delta(T d t)$ не будет интегрируемой, потому что уравнение
\[
\delta(T d t)=\delta(V d t)+d \delta(h t)
\]

не имеет места.
Отправляясь от интегрируемости вариации, Лагранж возвращается к уравнениям (9) или (14), но анализ великого геометра неточен. Вот его слегка измененное изложение.

Вариация $\delta(T d t)$ является полным дифференциалом, но $T=V-\Theta$, поэтому выражение $\delta(V d t)-\delta(\Theta d t)$ или, так как $\Theta=-h$, выражение $\delta(V d t)+d \delta(h t)$ также есть полный дифференциал. Но $d \delta(h t)$, очевидно, интегрируемо, а поэтому $\delta(V d t)$ также интегрируемо.

Таким образом, отыскивая условия интегрируемости выражения $\delta(V d t)$, возвращаются к уравнениям (9) или (14), но только в том случае, если $\delta x$ никак не связаны между собой. Если допустить, что
\[
\delta(\Theta+h)=0,
\]

то мы не придем к этим уравнениям.
Предполагая
\[
\Theta+h=0 \quad \text { и } \quad \delta(\Theta+h)=0,
\]

найдем условия интегрируемости функций $\delta(T d t)$ и $\delta(V d t)$. Так как эти условия одинаковы для обеих функций, мы рассмотрим одну из них, например первую.
Как известно, вопрос сводится к интегрируемости суммы
\[
\delta(T d t)+\lambda d t \delta(\Theta+h),
\]

где множитель $\lambda$ есть функция независимой переменной.
Мы заменим предыдущее выражение на
\[
\delta d t[T+\lambda(\Theta+h)],
\]

что можно сделать, принимая во внимание уравнение живых сил.
Это изменение ничего не меняет в интересующем нас вопросе, но окажется полезным в теории максимумов и минимумов, в частности, там, где нужно различать максимум и минимум.

Заменяя $\lambda$ на $\lambda+1$ и $T+\Theta$ на $V$ в предыдущем выражении, получим выражение
\[
\delta d t[V+h+\lambda(\Theta+h)]
\]

или, так как вариация
\[
\delta h d t=d \delta h t
\]

всегда интегрируема, то оно принимает вид
\[
\delta d t[V+\lambda(\Theta+h)] .
\]

Итак, вопрос сводится к интегрируемости $d(V d t)$ в предположении, что
\[
\delta(\Theta+h)=0 .
\]

Таким образом, и проблема изопериметров и принцип наименьшего действия требуют интегрируемости $\delta(V d)$. Но первая требует интегрируемости при произвольных $\delta x$, тогда как второй предполагает условия
\[
\delta(\Theta+h)=0 .
\]

Лагранж, а позднее и другие геометры рассматривали обе проблемы как один вопрос, требуя, чтобы функция $V$ имела частный вид, а именно не зависела бы от времени, внося этим ограничение. Исключая это, повторяем, что проблема изопериметров и принцип наименьшего действия были для Лагранжа одним и тем же вопросом. Ибо этот великий геометр, отправляясь от одного, пришел к другому. Само собой разумеется, что мы ограничиваемся

проблемой изопериметров и рассматриваем динамику как частный случай этой проблемы.

Чтобы выяснить, в каком направлении нам двигаться дальше, решим сначала, будут ли условия интегрируемости при произвольных $\delta x$ для
\[
\delta(V d t) \quad \text { и } \quad \delta d t[V+\lambda(\Theta+h)]
\]

одинаковы или различны. Хотя неизвестные $x$ последней формулы и связаны соотношением
\[
\Theta+h=0,
\]

но это не отражается на их вариациях $\delta x$.
Мы уже дали (§2) условия интегрируемости вариации $\delta(V d t)$. Найдем теперь эти условия. для вариации
\[
\delta d t[V+\lambda(\Theta+\lambda)] .
\]

Для отыскания их надо придать предыдущему выражению ту форму, в которой мы написали вариацию $\delta(V d t)$, т. е. написать
\[
\delta(V d t)=d t \sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}+d(V \delta t)+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

и нам остается только найти $\delta \lambda d t(\Theta+h)$. Так как $\Theta+h$ равно нулю, то
\[
\delta \lambda d t(\Theta+h)=\lambda \delta \Theta d t+\lambda \delta h d t,
\]

а затем, по правилам вариационного исчисления,
\[
\delta \Theta d t=d \Theta \delta t+d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

или, так как уравнение $\Theta+h=0$ влечет за собой $d \Theta=0$, то
\[
\delta \Theta d t=d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

и следовательно,
\[
\delta \lambda d t(\Theta+h)=\lambda \delta h d t+d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)} .
\]

Положим
\[
d t \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=\Omega_{i} \delta \omega_{i} d t+d \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Производя дифференцирование, получим
\[
\sum_{k=0}^{k=2 n-1} \lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=Z_{i} \delta \omega_{i}+\sum_{k=0}^{k=2 n-2}\left(\zeta_{i, k}^{\prime} \delta \omega_{i}^{(k)}+\zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k+1)}\right),
\]

или, как легко проверить,
\[
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{k=2 n-1} \lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}= & \\
& =\left(Z_{i}-\zeta_{i,-1}\right) \delta \omega_{i}-\zeta_{i, 2 n-1}^{\prime} \delta \omega_{i}^{(2 n-1)}+\sum_{k=0}^{k=2 n-1}\left(\zeta_{i, k}^{\prime}+\zeta_{i, k-1}\right) \delta \omega_{i}^{(k)} .
\end{aligned}
\]

Так как величины $\zeta_{i,-1}$ и $\zeta_{i, 2 n-1}^{\prime}$ можно выбирать произвольно, положим.
\[
\begin{array}{c}
\zeta_{i,-1}=Z_{i}, \\
\zeta_{i, 2 n-1}^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Это даст нам
\[
\sum_{k=0}^{k=2 n-1} \lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=\sum_{k=0}^{k=2 n-1}\left(\zeta_{i, k}^{\prime}+\zeta_{i, k-1}\right) \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Следовательно, мы имеем для всех значений $k$, от 0 до $2 n-1$ включительно,
\[
\zeta_{i, k}^{\prime}+\zeta_{i, k-1}=\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} .
\]

Затем, подставляя, имеем
\[
\delta \lambda d t(\Theta+h)=\lambda \delta h d t+d t \sum_{i=1}^{i=m} Z_{i} \delta \omega_{i}+d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}
\]

и, наконец,
\[
\begin{aligned}
\delta d t[V+\lambda(\Theta+h)]= & \lambda \delta h d t+\sum_{i=1}^{i=m}\left(\Xi_{i}+Z_{i}\right) \delta \omega_{i}+ \\
& +d\left[V d t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}\right] .
\end{aligned}
\]

Рассматривая, так как это допустимо, произведение $\lambda d t$ как дифференциал $d \mu$ некоторой функции $\mu$, мы можем член
$\lambda \delta h d t$

предыдущего выражения представить как полный дифференциал
\[
d(\mu \delta h) .
\]

Следовательно, для интегрируемости вариации
\[
\delta[V d t+(\Theta+h) d \mu]
\]

нужно лишь выполнение равенства
\[
\Xi_{i}+Z_{i}=0,
\]

а это равенство имеет место для всех значений $i$.
Из уравнения (28) следует, что интеграл нашей вариации будет иметь вид
\[
\begin{aligned}
\int \delta[V d t+(\Theta+h) d \mu]= & \text { const }+\mu \delta h+V d t+ \\
& +\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\end{aligned}
\]

Уравнения (28) вместе с уравнением живых сил составляют $i+1$ уравнений, т. е. как раз столько, сколько неизвестных. Действительно, кроме $i$ функций $x$, у нас есть еще неизвестная $\lambda$ или $\mu$.

Величины $\xi$ нам уже известны из формул (3), а величины $\zeta$ можно найти из формулы (27), которая последовательно дает
\[
\begin{array}{l}
\zeta_{i, 2 n-2}=\lambda \frac{d \Theta}{d \xi_{i}^{(2 n-1)}}, \\
\zeta_{i, 2 n-3}=\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-2)}}-\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-1)}}\right)^{\prime}, \\
\zeta_{i, 2 n-4}=\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-3)}}-\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-2)}}\right)^{\prime}+\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-1)}}\right)^{\prime \prime}, \\
\zeta_{i, 2 n-5}=\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-4)}}-\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-3)}}\right)^{\prime}+\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-2)}}\right)^{\prime \prime}-\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(2 n-1)}}\right)^{\prime \prime \prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . } \\
\zeta_{i, 1}=\sum_{s=0}^{s=2 n-3}(-1)^{s}\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(s+2)}}\right)^{(s}, \\
\zeta_{i, 0}=\sum_{s=0}^{s=2 n-2}(-1)^{s}\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(s)}}\right)^{(s)} \text {, } \\
Z_{i}=\sum_{s=0}^{s=2 n-1}(-1)^{s}\left(\lambda \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(s)}}\right)^{(s)} . \\
\end{array}
\]

Мы уже видели из предыдущего, что условия (9) и (28) интегрируемости вариаций
\[
\delta(V d t) \quad \text { и } \quad \delta d t[V+\lambda(\Theta+h)]
\]

совершенно различны, если только мы не положим $\lambda=0$.
В этом случае $Z_{i}$ превратятся в нули и уравнение (28) обратится в уравнение (9). Но предположение $\lambda=0$ есть лишь частный случай, и, принимая его, мы сужаем решение занимающего нас вопроса. Это положение принималось Лагранжем тогда, когда великий геометр, исходя из принципа наименьшего действия, выводил общие уравнения движения. Но если бы мы и здесь следовали этому правилу и не обобщили множитель, на который нужно умножать уравнение условия, с последующим прибавлением к вариации интеграла, который должен иметь минимальное значение, то получили бы результат, аналогичный формуле (28), т. е. совершенно отличный от найденного нами.

Из предыдущего анализа видно, что если переменные связаны соотношением
\[
\Theta+h=0,
\]

то им отвечают минимумы интегралов $\int V d t$ и $\int T d t$. Следовательно, за принцип наименьшего действия можно принять формулу
\[
\delta \int V d t=0,
\]

так же как и формулу $\delta \int T d t=0$.
Неизвестные $x$, которые дают минимальные значения этим двум интегралам, совершенно отличны от тех, которые дают абсолютный минимум пер-

вому из интегралов. Этот результат, по крайней мере в первый момент, покажется некоторым читателям удивительным. Действительно, предположение, что функция $V$ содержит лишь время $t$, продолжает оставаться в силе, и неизвестные $x$, дающие интегралу $\int V d t$ абсолютный минимум, необходимо удовлетворяют уравнению
\[
\Theta+h=0 .
\]

Поэтому естественно думать, что абсолютный минимум этого интеграла и минимум относительно функций $x$ должны достигаться одновременно. Но это не так. Ниоткуда не следует, что абсолютный минимум нашего интеграла, будучи, без сомнения, и относительным минимумом, является в то же время наименьшим из всех значений интеграла $\int V d t$, отвечающих переменным $x$, удовлетворяющим уравнению (20).

Все что мы сказали, относится также и к случаю, когда мы вынуждены рассматривать лишь интегрируемость вариации $\delta(V d t)$. Действительно, если эта вариация интегрируема,то она остается интегрируемой и в том случае, сли мы подчиним $\delta x$ уравнению
\[
\delta(\Theta+h)=0 .
\]

Она даже может стать после этого интегрируемой в том случае, если не была интегрируемой ранее.

Предыдущий анализ, учитывая все обстоятельства, дает все случаи интегрируемости, как абсолютные, так и относительные. Первые отвечают предположению $\lambda=0$, вторые требуют, чтобы $\lambda$ была отлична от нуля. Предположение
\[
\lambda=0,
\]

очевидно, допустимо ; оно уменьшает число неизвестных, но в то же время делает одно из уравнений, а именно уравнение (20), следствием остальных.

Один интеграл уравнений (28) легко найти. Это можно сделать несколькими способами. Мы изберем способ, заключающийся в том, чтобы добиться при подходящем условии интегрируемости вариации
\[
\delta(V d t+(\Theta+h) d \mu),
\]

находящейся в первом члене уравнения (29). Это уравнение, принимая во внимание формулу (4) и то, что вследствие $\Theta+h=0$ выражение
\[
\delta(\Theta+h) d \mu=d \mu \delta(\Theta+h)=\lambda \delta(\Theta+h) d t
\]

можно представить в виде
\[
\int\left(\lambda \delta(\Theta+h)+\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega\right) d t=\mathrm{const}+\mu \delta h+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}
\]

или
\[
\delta(\Theta+h) d t=d(\Theta+h) \delta t+\delta h d t+d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Следовательно, исключая $d(\Theta+h) \delta t=0$, получим
\[
\int\left(\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega^{k}+\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i}\right) d t=\mathrm{const}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Первый член этого уравнения не только стал интегрируемым, но его даже

можно исключить, положив
\[
d \omega_{i}^{(k)}=d x_{i}^{(k)} .
\]

Действительно, при этом предположении окажется
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-1} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}=d \Theta=0 .
\]

Затем уравнение (5) в силу того же предположения превратится в
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}=\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} d x_{i}^{(k)}+d T
\]

откуда, вследствие
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \frac{d V}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}=d V
\]

получаем
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} d x_{i}=d V-d T=d \Theta=0 .
\]

Мы имеем, следовательно, искомый интеграл $\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=2 n-2} \zeta_{i, k} x_{i}^{(k+1)}=$ const . Это есть интеграл живых сил для уравнений, которые относятся к относительным минимальным значениям интеграла $\int V d t$ или, точнее, к интегрируемости вариации $\delta(V d t)$, в предположении, что
\[
\delta(\Theta+h)=0 .
\]
7. Возвратимся к уравнению
\[
\delta \int V d t=\text { const }+V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Его первый член заключает в себе двойную операцию, обозначенную символом $\delta \int$, произвести которую невозможно. Действительно, могут представиться две возможности : уравнения (9) или (14) либо выполнены, либо не выполнены. Во втором случае невозможно интегрирование, так как $V d t$ не есть полный дифференциал. В первом же случае эту функцию можно сделать интегрируемой и даже можно исключить из нее все переменные, кроме $t$. Но, выполнив интегрирование $\int V d t$, мы не сможем взять от него вариацию, а производя первую из операций $\delta \int$, не сможем произвести вторую.

Если изменить порядок символов $\delta$ и $\int$ и искать сначала $\delta(V d t)$, то придем, согласно предположению о переменных $x$, к одной из формул (4) или (7). При произвольных предположениях придем к первой формуле, а при предположении (9) – ко второй. Затем, интегрируя, придем к формуле (21) или к формуле
\[
\int \delta(V d t)=\text { const }+V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}+\int d t \sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i} .
\]

Но обе эти формулы, каждая при своем предположении, служат лишь для определения интеграла $\int \delta(V d t)$ и не приводят ни к какому другому результату. Имея это в виду, условимся писать символы $\delta$ и $\int$ в порядке $\delta \int$.

Рассмотрим вариацию $\delta \int V d t$ саму по себе, т. е. независимо от всего предшествовавшего.

Если в ней заменить фунқции $x$ их выражениями через $t$, то $V$ превратится в определенную функцию той же переменной $t$. Такой же определенной функцией с точностью до произвольной постоянной будет интеграл $\int V d t$, но тогда невозможно будет найти вариацию $\delta \int V d t$. Действительно, величины $x$ после подстановки бесследно исчезнут из интеграла $\int V d t$ и будет невозможно установить вариации $\delta x$. Это было бы равносильно попытке найти изменение функции, зная только значение, которое она принимает при замене переменной определенным числом. Если воздержаться от варьирования $t$, что приводит к предположению, что
\[
\delta \omega_{i}=0,
\]

то формула (30) дает тождественно
\[
\delta \int V d t=\text { const }+V \delta t,
\]

что ни к чему не приводит.
Но дифференциал $V d t$ может стать интегрируемым и без полного определения вида функции $x$ от $t$. Ограничим эти функции лишь настолько, чтобы $V d t$ стало интегрируемым; для этого каждая из них должна принимать бесконечное множество различных значений и изменяться без того, чтобы менялось время. Предположим, что $x$ принимают соответствующие значения, выбранные из тех, о которых только что шла речь. Обозначим интеграл $\int V d t$ буквою $S$. Тогда формула (30) примет вид
\[
\delta S=\mathrm{const}+V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega^{(k)}+\int d t \sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i} \delta \omega_{i} \cdot
\]

Таким образом, если продолжать рассматривать $\delta x$ как совершенно произвольные, то будет невозможно отыскать вариацию интеграла $S$, который окажется вполне определенным вместе с функциями $x$. Следовательно, формула (31) не приведет ни к какому результату. Но если мы придадим $\delta x$ такие значения, при которых величины $x+\delta x$ совпадут с величинами, играющими роль $x$ в $V d t$, то последний дифференциал станет интегрируемым. Тогда вариация $\delta S$ найдется по обычным правилам дифференциального исчисления и формула (31) дает важные следствия. Само собой разумеется, что $\delta \omega$, входящие в эту формулу, должны быть подчинены ограничениям, наложенным на $\delta x$.

Чтобы показать применение формул (31), предположим, что переменные $x$ удовлетворяют условиям (9) или (14). Это предположение превратит переменные $x$ в функции времени, не вполне определенные, так как они заключают $2 \mathrm{~nm}$ произвольных постоянных, введенных при интегрировании. Варьируя эти постоянные, мы можем, не изменяя времени, бесконечным множеством способов варьировать каждую из переменных $x$. В вариации $\delta x$, вызванной изменением произвольных постоянных и времени вместе, часть $x^{\prime} \delta t$ будет отвечать изменению времени, а часть $\delta \omega$ – изменению произвольных постоянных.

Таким образом, обозначая эти постоянные через $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2 n m}$, получим
\[
\delta \omega_{i}=\sum_{r=1}^{r=2 n m} \frac{d x_{i}}{d a_{r}} \delta a_{r}
\]

и вообще
\[
\delta \omega_{i}^{(k)}=\sum_{r=1}^{r=2 n m} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \delta a_{r} .
\]

Буква $r$ обозначает номер, меняющийся от 1 до $2 \mathrm{~nm}$ включительно.

Найденные из уравнений (14) или (9) значения $x$ будут функциями времени и постоянных $a$; они превратят $V$ в функцию времени и тех же постоянных. Мы найдем интеграл
\[
\int V d t=S
\]

простым интегрированием по $t$. Подставляя это значение $S$ в формулу (31) и принимая во внимание, что наши $x$ обратят в нуль величины $\Xi_{i}$, получим
\[
\delta S=\mathrm{const}+V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}
\]

или, вследствие того, что
\[
\delta S=\frac{d S}{d t} \delta t+\sum_{r=1}^{r=2 n m} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r},
\]

найдем
\[
\frac{d S}{d t} \delta t+\sum_{r=1}^{r=2 n m} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}=\mathrm{const}+V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta a_{i}^{(k)} .
\]

Так как $\delta \omega$ не содержат $\delta t$, то из этого уравнения сначала находим
\[
V=\frac{d S}{d t},
\]

а затём
\[
\sum_{i=1}^{r=2 n m} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}=\mathrm{const}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

Заменив здесь $\delta \omega_{i}^{(k)}$ их значениями $\sum_{r=1}^{r=2 n m} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \delta a_{r}$, получим
\[
\sum_{r=1}^{r=2 n m} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}=\mathrm{const}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \sum_{i=1}^{r=2 n m} \xi_{i, k} \frac{d x_{l}^{(k)}}{d a_{r}} \delta a_{r} .
\]

Так, как $\delta a$ произвольны, то предыдущие уравнения распадаются на следующие :
\[
\frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}=\mathrm{const}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} ;
\]

число их (по числу значений $r$ ) равно $2 \mathrm{~nm}$.
Уравнения, заключенные в формуле (36), устанавливают соотношения между величинами $\xi$, произвольными постоянными и временем. Следовательно, они могут служить интегралами уравнений (14). Но хотя число их равно числу уравнений, они не представляют все интегралы. Действительно, хотя они включают $m n$ неизвестных $\xi$, они могут дать только значения этих неизвестных, а никак не значения $x$, которых они не содержат.

Они представляют, следовательно, лишь $m n$, т. е. половину всех интегралов. После исключения величин $\xi$ они дадут тождества или соотношения между произвольными постоянными, введенными интегрированием, и величиной const в уравнении (35). Формула (33) может также рассматриваться как интеграл уравнений (14) или (9). Интегралы этих уравнений устанавливают $2 \mathrm{~nm}$ соотношений между временем $t$, $4 \mathrm{~nm}$ величинами $x$, $\xi$, а именно: $m n$ величин $x, m n$ величин $\xi$ и $2 n m$ произвольных постоянных $a$. Обозначим эти соотношения через
\[
F_{s}=0,
\]

где $F_{s}$ – функция всех упомянутых $4 n m+1$ величин, а $s$ меняется от 1 до $2 \mathrm{~nm}$ включительно.

Функцию $S$ можно представить многими различными способами. Действительно, после того как мы с помощью уравнений (14) сделаем дифференциал $V d t$ интегрируемым по $t$ и произведем интегрирование, то получим
\[
S=\int V d t
\]

как функцию некоторых из величин $t, x, \xi$ и $a$. Действительно, после того как $V d t$ станет интегрируемым, вовсе не обязательно, что оно будет содержать $t$ и $a$. Но каков бы ни был вид полученного интеграла $S$, в него можно сразу ввести с помощью соотношений (37) $2 m n+1$ величин, выбранных по произволу среди $4 n m+1$ величин $t, x$, $\xi$ и $a$. Вследствие произвола этого выбора и произвольности а мы будем далеки от того, чтобы получить определенную систему $2 m n$ величин, а получим, наоборот, систему бесконечно разнообразную. Поэтому функция $S$ и имеет неограниченное множество представлений.

Вообразим себе какое-нибудь из этих представлений. Исходя из формулы (32) и употребляя метод неопределенных множителей, мы найдем общее соотношение
\[
\delta S=\mathrm{const}+V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{s=1}^{s=2 m n} \lambda_{s} \delta F_{s},
\]

где вариация $\delta F_{s}$ относится ко всем величинам, входящим в $F_{s}$, так что
\[
\delta F_{s}=\frac{d F_{s}}{d t} \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d F_{s}}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\frac{d F_{s}}{d \xi_{i, k}} \delta \tilde{\omega}_{i, k}\right)+\sum_{i=1}^{r=2 n m} \frac{d F_{s}}{d a_{r}} \delta a_{r} .
\]

Производная $\frac{d F_{s}}{d t}$ учитывает изменение всего, что меняется в $F_{s}$ вместе со временем. Так как при последнем предположении уравнение
\[
F_{s}=0
\]

необходимо влечет
\[
\frac{d F_{s}}{d t}=0,
\]

то мы можем освободить себя от варьирования $t$ в дифференциале $\delta F_{s}$.
Формула (38) вследствие неопределенности множителей $\lambda$ не предполагает какого-либо соотношения между дифференциалами $\delta t, \delta \omega, \delta \tilde{\omega}, \delta a$ и должна иметь место независимо от этих дифференциалов.

Формула (38) распадется на $4 m n+1$ уравнений, которые, как и в формуле (37), будут представлять интегралы дифференциальных уравнений (14). Среди этих интегралов мы всегда будем иметь соотношение
\[
\frac{d S}{d t}=V,
\]

каков бы ни был вид выражения $S$ и если в производной $\frac{d S}{d t}$ варьируются все члены, зависящие от времени.

Вместо того чтобы применять метод неопределенных множителей, мы можем из $2 \mathrm{~nm}$ уравнений
\[
d F_{s}=0,
\]

где
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d F_{s}}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\frac{d F_{s}}{d \xi_{i, k}} \delta \tilde{\omega}_{i, k}\right)+\sum_{i=1}^{i=2 m n} \frac{d F_{s}}{d a_{r}} \delta a_{r},
\]

определить $2 m n$ вариаций $\delta \tilde{\omega}_{i, k}, \delta \omega_{i}, \delta a_{r}$ через $2 m n$ других, так как их имеется всего 4mn. Затем эти вариации, как совершенно произвольные, введем в формулу (32) и, перенеся все члены в одну сторону, приравняем нулю все коэффициенты в отдельности. Это даст нам еще $2 m n$ уравнений, кроме уравнений (33). Все это позволит оставить в формуле (32) произвольными лишь вариации $\delta a_{1}$.

Введем в функцию $S$ время $t$, $m n$ переменных $x$ и $m n$ постоянных $a$, принимая их за полное число $2 \mathrm{~nm}$ постоянных. Мы получим достаточно частный вид функции $S$, но однозначный и определенный.

Величины а выбираются произвольно и, как мы только что говорили, представляют все различные системы произвольных постоянных для интегралов уравнений (14). Функция $S$ будет окончательно определена, когда будут фиксированы пределы интеграла $\int V d t$, который она представляет, и точно определена система постоянных а и переменных $x$, входяцих в $\mathcal{S}$.

Не фиксируя сначала систему постоянных $a$, мы предположим, что в $S$ будут входить только $m n$ постоянных. Остальные же величины $a$ с номерами от $m n+1$ до $2 \mathrm{~nm}$ мы будем считать не содержащимися в $S$.
Тогда получим
\[
\frac{d S}{d a_{r}}=\frac{d S}{d a_{r}}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k}}{d a_{r}},
\]

так как индекс $r$ не превосходит $m n$. В производной $\frac{d S}{d a_{r}}$, которая представляет собой первое слагаемое, варьируются все члены, зависящие от $a$. Во втором слагаемом аналогичная производная не берется по $a_{r}$. Предыдущее уравнение должно быть заменено уравнением
\[
\frac{d S}{d a_{r}}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}},
\]

если $r>m n$.
Подставляя полученное значение в формулу (36), мы получим
\[
0=\mathrm{const}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\xi_{i, k}-\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}}\right) \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}},
\]

если $r>m n$ и
\[
\frac{d S}{d a_{r}}=\text { const }+\sum\left(\xi_{i, k}-\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}}\right) \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}},
\]

если $r<m n$.
Можно всегда ввести в $S$ систему $m n$ произвольных постоянных, выбранных таким образом, чтобы неизвестные $\xi_{i, k}$ были представлены соответственно частными производными $\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}}$. Для этого достаточно взять за постоянные, о которых идет речь, значения величин $x$ в точке, относящейся к началу интеграла $S$.
Чтобы доказать это, рассмотрим формулу
\[
\delta S=\text { const }+V d t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)},
\]

в которую входит, кроме вариации $\delta t, m n$ дифференциалов $\delta \omega$ и все те, которые входят в постоянную, обозначенную const, и в $\delta S$. Следует так преобразовать эту формулу, чтобы она содержала только произвольные и независимые друг от друга дифференциалы, чтобы можно было приравнять соответствую-

щие коэффициенты левой и правой части. Чтобы сделать это преобразование, надо принять во внимание дифференциалы, содержащиеся в const и в $\delta S$, фиксировав начальное значение интеграла
\[
S=\int V d t .
\]

Обозначим через $\tau$ начальное значение $t$, где $\tau$ может быть нулем или другим определенным числом.
Мы получим
\[
S=\int_{t}^{t} V d t
\]

откуда при помощи принципов вариационного исчисления определим $S$ как функцию $t$ и $\tau, x$ и $m n$ постоянных $a$
\[
\delta S=V \delta t-V_{0} \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{r=1}^{r=m+n} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r},
\]

где $V_{0}$ является значением $V$ при $t=\tau$. Но, с другой стороны, имеем
\[
\delta S=\frac{d S}{d t} \delta t+\frac{d S}{d \tau} \delta \tau+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{i=1}^{r=m n} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r} .
\]

Сравнивая, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d S}{d t}=V, \\
\frac{d S}{d \tau}=–V_{0},
\end{array}
\]

причем в производных $\frac{d S}{d t}$ и $\frac{d S}{d \tau}$ варьируются все члены, зависящие от $t$ и $\tau$. Правая часть формулы (32) обращается в нуль при $t=\tau$; это свойство служит для определения постоянной. Обозначив через $\alpha_{i, k}$ и $a_{i}^{(k)}$ начальные значения $\xi_{i, k}$ и $x_{i}^{(k)}$, получим
\[
\text { const }=-V_{0} \delta \tau-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \alpha_{i, k} \delta a_{i}^{(k)} .
\]

Здесь мы варьируем величину $\tau$, предполагая, что полная вариация $a_{i}^{(k)}$ имеет вид
\[
a_{i}^{(k+1)} \delta \tau+\delta a_{i}^{(k)} .
\]

Подставляя значение $\delta S$ и const в формулу (32), получим
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{r=1}^{k=m n} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}-\alpha_{i, k} \delta a_{i}^{(k)}\right) .
\]

Теперь, чтобы приравнять коэффициенты при вариациях, которые содержит формула (32), надо свести эти вариации к наименьшему возможному числу, так как, не сделав этого, мы придем к неправильным результатам. Так, например, если, оставив постоянную $a_{r}$ любой, сравнить коэффициенты при $\delta \omega_{i}^{(k)}$, предполагая
\[
\xi_{i, k}=\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}},
\]
то получим неточное уравнение.

Проще всего исключить из нашей формулы все излишние дифференциалы, мешающие нам сравнивать коэффициенты при других дифференциалах. Можно предположить, что произвольные постоянные $a_{r}$ – единственные величины, оставленные произвольными в нашей формуле – соответствуют начальным значениям $x$, которые мы обозначим через $a_{i}^{(k)}$. Таким образом, мы получим
\[
\sum_{=1}^{r=m n} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{m=n} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \delta a_{i}^{(k)}
\]

и, следовательно,
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} \delta \omega_{i}^{(k)}+\frac{d S}{d a_{i}^{(k)}} \delta a_{i}^{(k)}\right)=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}-\alpha_{i, k} \delta a_{i}^{(k)}\right) .
\]

Это уравнение содержит только $2 \mathrm{~nm}$ дифференциалов $\delta$, из которых именно дифференциалы постоянных $a_{i}^{(k)}$, введенные при помощи интегрирования, совершенно произвольны.

Другие $\delta \omega$ также могут считаться произвольными, так как они получены произвольным дифференцированием $2 m n$ постоянных интегрирования. Как следствие, мы получим уравнения :
\[
\left.\begin{array}{c}
\xi_{i, k}=\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}}, \\
\frac{d S}{d a_{i}^{(k)}}=-\alpha_{i, k},
\end{array}\right\}
\]

которые являются интегралами дифференциальных уравнений (14), написанными в очень удобной форме. Но чтобы их можно было употреблять, нужно найти функцию $S$ и представить ее в той форме, которую мы ей только что придали, что требует интегрирования уравнений (14) и соответствующих преобразований. Следовательно, интегралы уравнений (14) в форме (43) могут быть получены только после того, как уравнения (14) будут проинтегрированы в какой-нибудь другой форме. Это обстоятельство уменьшает значение уравнений (43). Но они приводят к другим интересным результатам. Так, можно показать, что неизвестные $\xi$ могут быть представлены как частные производные одной и той же функции $S$. Используя это обстоятельство, мы можем найти интегралы уравнений (14) в форме (43), зная только часть этих интегралов в какой-нибудь другой форме.
8. Рассмотрим уравнение
\[
\frac{d S}{d t}=V,
\]

которое имеет место, каковы бы ни были постоянные и переменные, входящие в $S$. Предполагая, что $S$ содержит только переменные $t$ и $x$, мы получим
\[
\frac{d S}{d t}=\frac{d S}{d t}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} x_{i}^{k+1},
\]

где в производной $\frac{d S}{d t}$ в первом слагаемом варьируются только те члены, в которые $t$ входит явно.
Следовательно,
\[
\frac{d S}{d t}+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{\hat{k}=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} x_{i}^{(k+1)}=V .
\]

Если мы предположим еще, что $S$ содержит только $m n$ постоянных, которые являются начальными значениями переменных $x$, то мы можем заменить производную $\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}}$ величиной $\xi_{i, k}$. Эта замена дает нам
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} x_{i}^{(k+1)}=T
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d S}{d t}=\Theta .
\]

Если из $m+1$ уравнений
\[
\frac{d V}{d x_{1}^{(k)}}=\xi_{1, n-1} ; \quad \frac{d V}{d x_{2}^{(k)}}=\xi_{2 n-1} ; \ldots ; \quad \ldots \frac{d V}{d x_{m}^{(k)}}=\xi_{m, n-1}
\]

и из уравнения
\[
\Theta=V-T
\]

мы исключим $m$ производных $x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots, x_{m}^{(n)}$, то получим соотношение между временем $t$ и неизвестными $x, \xi$ и функцией $\Theta$. Заменяя в этом соотношении $\xi$ на соответствующие частные производные $S$, а именно $\xi_{i, k}$ на $\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}}$, и подставив $\frac{d S}{d t}$ вместо $\Theta$, мы придем к соотношению
\[
\varphi=0
\]

между временем $t$, неизвестными $x$ и частными производными функции $S$. Сама функция $S$ в соотношение не входит. Отсюда следует, что если какоенибудь значение $S$ удовлетворяет уравнению $\varphi=0$, то этому уравнению будет удовлетворять также это значение, увеличенное на произвольную постоянную. Это является следствием того, что $S$ представляет собой интеграл и должно содержать произвольную постоянную аддитивно. Функция $S$ обращается в нуль при $t=\tau$, что определяет произвольную постоянную, но это обстоятельство не указано в уравнении (45).

Заметим, что если дифференциальное уравнение типа (45) обращается в нуль при условии $S=0$ для $t=\tau$, то функция $S$ вполне определена. Но этого нет в нашем случае, так как $x$ является не независимой переменной, а функцией времени, и условие $S=0$ при $t=\tau$ имеет место не для всех значений $x$, а только для их начальных значений.

Вместо уравнения (45) мы будем рассматривать уравнение (44), заменив значения $\xi$, полученные из $\Theta$, частными производными функции $S$.

Предположим, что функция $\Theta$ не зависит от $x^{(n)}$ и имеет тот же вид, что и в уравнениях (14). Таким образом, уравнение (44), как и (45), является соотношением между переменной $t, x$ и частными производными от $S$. Функция $S$ в это соотношение не входит. Очевидно, что уравнение (44) сводится к уравнению (45), если разрешить его относительно $\frac{d S}{d t}$. Если функция $S$ удовлетворяет уравнению (44) или (45), то она может иметь бесконечное множество различных форм. Следует заметить, что любое значение функции $S$, удовлетворяющее уравнению (44), удовлетворяет формулам (14), если положить
\[
\xi_{i, k}=\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}},
\]

где $i$ и $k$ принимают все возможные значения. Продифференцируем по $t$ значение $S$ из формулы (46), варьируя все члены, зависящие от $t$. Мы получим.
\[
d \xi_{i, k}=\frac{d^{2} S}{\int t d x_{i}^{(k)}}+\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d^{2} S}{d x_{i}^{(k)} \frac{d x_{i}^{\left(k^{\prime}\right)}}{\prime}} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}
\]

и, подставляя в уравнения (14), получим :
\[
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t, \frac{d \Theta}{\frac{\sigma^{\prime}}{(k)}}=\frac{d^{2} S}{d t d x_{i}^{(k)}}+\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=1}^{k^{\prime}=1} \frac{d^{2} S}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} x_{i}^{\prime\left(k^{\prime}+1\right)}
\]

или

При этом мы предполагаем, что $\xi$, содержащиеся в $\Theta$, заменены до дифференцирования на соответствующие производные $S$.

Из формулы (46) вытекает, что только что написанные уравнения справедливы при любом $S$. Но следует напомнить, что $S$ удовлетворяет уравнению (44), каковы бы ни были $x$ и $t$. Дифференцируя это уравнение по $x_{i}^{(k)}$, мы получим тождественно
\[
\frac{d^{2} S}{d t d x_{i}^{(k)}}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}+\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}^{n} d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} .
\]

Так как первое из уравнений, заменяющих формулы (14), обращается в тождество, наши формулы приводятся к виду
\[
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t,
\]

и, следовательно, вместо $2 m n$ уравнений, заключающих $2 m n$ неизвестных $x$ и $\xi$, мы приходим к $m n$ уравнениям, содержащим лишь неизвестные $x$.

Дифференцируя уравнение (44) по $x_{i}^{(k)}$, напишем для удобства $\frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}$ вместо $\frac{d \Theta}{d \frac{d S}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}}$.

Мы подразумеваем, что в функции $\Theta$ уравнения (44) неизвестные $\xi$ заменены частными производными о́т $\mathcal{S}$.

Интегрируя уравнения (46), получаем значения, которые вместе с формулой (46) удовлетворяют уравнениям (14). Но, действуя таким образом, мы получаем только частные интегралы уравнений, так как функция $S$ не содержит достаточного числа постоянных.

Мы показали раньше, что функция $S$ содержит аддитивно одну произвольную постоянную, что следует из природы уравнений (44) или (45), которым $S$ удовлетворяет. Но из уравнения (44), записанного в частных производных, видно, что $S$ может содержать и другие произвольные постоянные. Чтобы получить полный интеграл уравнений (14), достаточно, чтобы число произвольных постоянных, входящих в $\xi$, было не менее чем $\mathrm{mn}$.
Действительно, интегралы
\[
\xi_{i, k}=\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}},
\]

содержащие $m n$ произвольных постоянных, и интегралы уравнений
\[
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\]

содержащие остальные произвольные постоянные, удовлетворяют уравнениям (14), и мы получаем, таким образом, полный интеграл этих уравнений.

Остается найти интегралы уравнений (47). Функция $S$, удовлетворяющая уравнению (44), содержит некоторое количество произвольных постоянных, каждая из которых дает интеграл уравнений (47).

Действительно, обозначая через а одну из наших постоянных, мы получим интегралы $\frac{d S}{d b}=\alpha$, где буква $\alpha$ обозначает новую произвольную постоянную.

Для доказательства этого положения дифференцируем предполагаемый интеграл $\frac{d S}{d a}=\alpha$ по $t$, варьируя все функции $x$, зависящие от $t$. Мы получим.
\[
\frac{d^{2} S}{d t d a}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d^{2} S}{d a d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d t}=0 .
\]

Заменяя $\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t}$ его значением $-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}$ из уравнения (47), мы получим
\[
\frac{d^{2} S}{c^{\prime} t} \frac{S}{d a}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d^{2} S}{d a d x_{i}^{(k)}} .
\]

Это соотношение должно быть тождеством, если предполагаемый интеграл действительно им является. Итак, наше соотношение является производной по $a$ тождества (44). Действительно, дифференцируя формулу (44) по $a$ и замечая, что эта величина входит только в $\Theta$, так как она содержится в
\[
\xi_{i, k}=\frac{d S}{d x_{i}^{(k)}},
\]

мы получим тождество
\[
\frac{d^{2} S}{d t d a}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d^{2} S}{d a d x_{i}^{(k)}} .
\]

Каждая из постоянных $a$ даст соответственно интеграл уравнений (47).
Итак, как и раньше, если функция $S$ содержит $m n$ произвольных постоянных $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m n}$, не считая аддитивной, которую мы для сокращения обозначим через $C$, мы получаем все интегралы уравнений (47) и, следовательно, все интегралы уравнений (14). Последние могут быть написаны в виде
\[
\xi_{i, k}=\frac{d S}{d x_{i}^{(i)}}, \frac{d S}{d a_{r}}=\alpha_{r},
\]

где $i, k, r$ изменяются соответственно от 1 до $m$, от 0 до $k-1$ и от 1 до $m$, а $\alpha_{r}$ является новой произвольной постоянной.

Если количество постоянных $a$, содержащихся в $S$, меньше $m n$, мы получим частное решение уравнений (14). Для этого нужно будет проинтегрировать сначала уравнения (47), так как функция $S$ в этом случае не даст значения этих интегралов. Если функция $S$ содержит больше чем $m n$ постоянных $a$, мы получим полное решение уравнений (14), не отличающееся в дей-

ствительности от решения, полученного в случае, когда число постоянных $a$ равно $m n$. Это можно показать на основании теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интегралы (48), даже если их число больше $2 m n$, не дают в действительности более $2 m n$ различных соотношений и различных произвольных постоянных.

Следуя Лагранжу, назовем полным решением или полным интегралом уравнения в частных производных всякую функцию, удовлетворяющую уравнению и содержащую столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных.

Значение $S$, удовлетворяющее уравнениям (14), является полным интегралом уравнения (44) или (45), так как удовлетворяет этим уравнениям и содержит $m n+1$ произвольных постоянных, т. е. столько же, сколько имеется переменных $t$ и $x$, рассматриваемых в уравнении (44) как независимые.
Функция
\[
S=\int_{\tau}^{t} V d t
\]

где за произвольные постоянные $a$ мы приняли начальные значения $x$, является также полным интегралом уравнений (44).

Мы видели раньше, что она дает интегралы (43) уравнений (14), теперь же мы видим, что, кроме нее, эту роль может играть любое полное решение уравнения (44) или (45), т. е. являться интегралом уравнений проблемы изопериметров.

Мы заметим также, что всякое полное решение $S$ уравнения (44) дает дифференциальное соотношение
\[
d S=V d t .
\]

Действительно, дифференцируя, получим
\[
d S=\frac{d S}{d t} d t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d S}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}
\]

или
\[
d S=\Theta d t+d t \sum_{i=0}^{i=m} \sum_{k=1}^{k=n-1} \xi_{i, k} x^{(k+1)},
\]

следовательно,
\[
d S=(\Theta+T) d t=V d t
\]

или, что то же самое,
\[
\delta S=V \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}+\sum_{r=1}^{r=m n} \frac{d S}{d a_{r}} \delta a_{r}+\delta C .
\]
9. Рассмотрим специальный частный случай, когда имеет место закон живых сил. Мы знаем, что в этом случае производная по времени $\frac{d V}{d t}$ с0держит лишь переменную $t$. Это позволяет разложить функцию $V$ на две части: одну, содержащую лишь неизвестные и их производные, и другую, зависящую только от времени. Так как эта последняя часть является точной производной, ее легко исключить с помощью замечания, сделанного в начале параграфа 5. После этого функция $V$ не будет содержать времени явно.

Мы будем продолжать пользоваться буквой $V$ для обозначения измененной таким образом функции.

Так как имеет место уравнение живой силы, то
\[
\Theta+h=0,
\]

где $h$ означает произвольную постоянную.
Заметим сначала, между прочим, что если обозначить через $\Theta_{0}$ значение $\Theta$ для $t=\tau$, то получим
\[
\Theta=\Theta_{0} \text {. }
\]

Следовательно, уравнение (44) можно переписать в виде
\[
\frac{d S}{d t}=\Theta_{0},
\]

где $\Theta_{0}$ является функцией начальных значений переменных $x$ и $\xi$, т. е. $a_{i}^{(k)}$ и $\alpha_{i, k}$. Заменяя здесь с помощью формул (43) $\alpha_{i, k}$ на производные $-\frac{d S}{d a_{i}^{(k)}}$, мы получим уравнение
\[
\frac{d S}{d t}=\Theta_{0}
\]

между величинами $a$, частными производными функции $S$ по этим величинам и по времени. Таким образом, в рассматриваемом нами частном случае $S$ удовлетворяет сразу двум уравнениям (44) и (49).

Но, само собой разумеется, что $S$ будет не любым полным решением уравнения (44), а лишь тем полным решением, при котором произвольные постоянные суть начальные значения переменных $x$.
Если мы заменим $\xi$ в первом из двух уравнений
\[
\Theta+h=0, \quad \Theta_{0}+h=0,
\]

и $a$ во втором на соответствующие производные $S$, то получим два других уравнения в частных производных, которым удовлетворяет то же самое полное решение и которые не содержат производной $\frac{d S}{d t}$.
Мы вернемся в дальнейшем к первому из этих уравнений.
Рассмотрим теперь функцию $S$ во всей общности, предполагая, что она удовлетворяет лишь уравнениям (44) или (45) как полное решение.
В силу принципа живых сил уравнение (44) дает
\[
\frac{d S}{d t}=-h \text {, }
\]
т. е. после интегрирования
\[
S=-h t+R .
\]

Буква $R$ обозначает здесь функцию переменных $x$, которая содержит $m n+1$ произвольных постоянных и не содержит $t$. В число постоянных входит $h$ – постоянная живых сил и аддитивная постоянная, так же как и в $S$. Обозначим буквами $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m n-1}$ остальные произвольные постоянные. Интегралы (48) уравнений (14) можно написать в виде :
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{i, k}=\frac{d R}{d x_{i}^{(k)}}, \\
\frac{d R}{d a_{r}}=\alpha_{r}, \\
\frac{d R}{d h}=t+\varepsilon,
\end{array}\right\}
\]

где $\varepsilon$ обозначает произвольную постоянную.

Заменяя в уравнениях (44) или (45) функцию $S$ значением $R-h t$, найдем соотношение между переменными $x$ и частными производными функции $R$, которое не содержит самой этой функции и для которого $R$, заключенное в формуле (50), является полным интегралом. Это соотношение есть
\[
\Theta+h=0,
\]

что мы получим, заменив в формуле (44) значение $S$ его выражением $R$ – $h t$.
Величина $\Theta$ действительно содержит те же самые производные $R$ и таким же образом, как $S$ в формуле (44).

Заметьте еще, что, заменяя в уравнении живых сил $\Theta$ на $V-T$, вы получите
\[
V=T-h .
\]

Умножив на $d t$ и проинтегрировав, найдете

или
\[
\begin{array}{c}
\int V d t=\int T d t-h t \\
S=\int T d t-h t .
\end{array}
\]

Из этого вы заключите, что
\[
R=\int T d t
\]

или
\[
R=\int_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}
\]

или еще
\[
R=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} x_{i}^{(k)}-\int_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)}
\]

и если вы замените $S$ на $R$ – ht в формуле (32), вы получите
\[
\delta R=\mathrm{const}+(V+h) \delta t+t \delta h+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta \omega_{i}^{(k)} .
\]

или, так как из уравнения живых сил следует
\[
V+h=T=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} x^{(k+1)},
\]

то получите
\[
\delta R=\mathrm{const}+t \delta h+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)} .
\]

Рассмотрим уравнение, которое дает $\Theta$ как функцию $x$ и $\xi$ и которое, как мы уже говорили, получается путем исключения $n$-х производных $x_{1}^{(n)}$, $x_{2}^{(n)}, \ldots, x_{m}^{(n)}$ из формул
\[
\frac{d V}{d x_{1}^{(n)}}=\xi_{1, n-1}, \quad \frac{d V}{d x_{2}^{(n)}}=\xi_{2, n-1}, \ldots, \quad \frac{d V}{d x_{m}^{(n)}}=\xi_{m, n-1} .
\]

Если мы в это уравнение подставим вместо $\Theta$ ее значение – $h$, полученное из закона живых сил, то получим интеграл уравнений (14), играющий роль интеграла живых сил. Пусть
\[
f_{1}=0
\]

представляет этот интеграл. Предположим еще, что мы нашли каким-то путем $m n-1$ остальных интегралов
\[
f_{2}=0, f_{3}=0, \ldots, f_{m n}=0
\]

тех же дифференциальных уравнений, которые, кроме произвольной постоянной $h$, содержат еще $m n-1$ других. Эти постоянные мы обозначим через $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m n-1}$.
Первый интеграл содержит одну постоянную $h$.
Запишем для простоты наши $m n$ интегралов в виде
\[
t_{r}=0,
\]

где индекс $r$ пробегает значения $1,2, \ldots, m n$.
С помощью интегралов (55) мы можем представить $m n$ из $2 m n$ переменных $x, \xi$ как функции $m n$ остальных и $m n$ произвольных постоянных. Первые $m n$ переменных мы можем выбрать произвольно. Для того чтобы различать эти переменные, мы будем называть первые переменными ( $A$ ), а вторые переменными ( $\alpha$ ).
Таким образом, ( $A$ ) будут функциями ( $\alpha$ ) и произвольных постоянных.
Подставляя значение переменных ( $A$ ) в интеграл живых сил, мы получим тождество, потому что интеграл
\[
f_{1}=0,
\]

который заменяет его, служил нам для определения переменных, т. е. мы получим тождественно
\[
\Theta+h=0 \text {. }
\]

Продифференцируем это уравнение по всем неизвестным величинам, т. е. по переменным ( $\alpha$ ) и произвольным постоянным. Тогда получим тождественно
\[
\sum_{i=0}^{i=m} \sum_{k=1}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \delta x_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \delta \xi_{i, k}\right)+\delta h=0 .
\]

Умножив на $d t$ и заменив
\[
\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t \quad \text { и } \quad \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\]

их значениями из уравнения (14), мы получим нетождественное соотношение :
\[
\delta h d t=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{L=n-1}\left(d x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}-d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right) .
\]

Это уравнение содержит $2 m n$ совершенно произвольных вариаций, а именно $m n$ вариаций величин ( $\alpha$ ) и $m n$ вариаций произвольных постоянных. Оно даст $2 m n$ частных уравнений, которые зависят от переменных ( $\alpha$ ) и ( $A$ ).

Предположим для определенности, что величинами ( $\alpha$ ) являются $x$, а величинами ( $A$ ) являются $\xi$. Сравнивая коэффициенты при вариациях $\delta h$ и $\delta a$ в обоих членах уравнения (56), получим
\[
d t=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=1} \frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}
\]

и, каково бы ни было значение индекса $r$,
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} d x_{i}^{(k)} .
\]

После этого от уравнения (56) останется еще
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(d x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}-d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right) .
\]

Дифференциалы $\delta \xi$ относятся в действительности только к величинам $x$, функциями которых, по предположению, являются переменные $\xi$. Последнее уравнение можно, очевидно, переписать следующим образом :

но
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} d \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}=\sum_{i=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=} \sum_{i^{\prime}}^{n-1} d x_{i^{\prime}, k^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}, \\
\delta \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}} \delta x_{i}^{(k)},
\end{array}
\]

следовательно, наше уравнение примет вид
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{n=0}^{k=n-1} d \xi_{i, k}-\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}
\]

что, ввиду произвольности $\delta x_{i}^{(k)}$, дает
\[
d \xi_{i, k}=\sum_{i=1}^{i \prime=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{\left(k^{\prime}\right)}
\]

или, вследствие того, что
\[
d \xi_{i, k}=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d x^{\left(k^{\prime}\right)}} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)},
\]

получим
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{n=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}}\right) d x_{i}^{(k)} .
\]

Заменяя $d x_{i}^{(k)}$ на
\[
-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\]

получим тождественно
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\left(\frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d \xi_{i, k}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}\right) d t .
\]

Можно было бы получить эти различные результаты, дифференцируя тождество
\[
\Theta+h=0
\]

по всем входящим в него величинам. Так, предполагая, как было сделано выше, что $\xi$ являются функциями $x$ и произвольных постоянных, мы убедимся, что последнее уравнение обратится в тождество относительно $x$ и произвольных постоянных. Поэтому при всех индексах $i, k, r$ мы получим

из него тождественно
\[
\frac{d \Theta}{d h}+1=0, \quad \frac{d \Theta}{d a_{r}}=0, \quad \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}=0,
\]

или, опять тождественно,
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d h}+1=0, \\
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}=0,
\end{array}\right\} \\
\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=0} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}}+\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}=0 . \\
\end{array}
\]

Умножая два первых уравнения на $d t$ и заменяя $\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t$ на $-d x_{i}^{(k}$ получим
\[
\begin{aligned}
d t & =\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}, \\
0 & =\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=1} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} d x_{i}^{(k)} .
\end{aligned}
\]

Последние уравнения не являются более тождествами. Они полностью заменяют формулы
\[
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\]

которые вместе с тождественными результатами служили нам для получения вышеупомянутых уравнений.
Мы имеем еще тождество
\[
0=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-0} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}}+\frac{d \Theta}{d x_{i, k}} .
\]

Подставляя в уравнение
\[
d \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t
\]

вместо $\xi_{i, k}$ их выражения через $x$ и произвольные постоянные, получим
\[
\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}=\frac{d \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}} d t,
\]

а если заменить еще $d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}$ на $-\frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} d t$, то получим тождественно
\[
0=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \xi_{i, k}}{d x_{i^{\prime}}^{\left.k^{\prime}\right)}}+\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} .
\]

Следовательно, формула, которая нас интересует, превратится в
\[
0=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\left(\frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d \xi_{i, k}}{\left.d x^{\left(k^{\prime}\right.}\right)}\right)
\]
или, что то же самое, в
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{k=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d \xi_{i}^{\prime}, k^{\prime}}{d x_{i}^{(k)}}\right) .
\]

Этот результат, будучи комбинацией двух тождеств, сам является тождеством.

Два способа, которые мы употребили для получения формул (57), (58) и (61), отличаются только тем, что в первом случае мы варьируем одновременно все независимые величины, как $x$, так и произвольные постоянные, тогда как во втором варьировали их последовательно одну за другой в отдельности.
После получения $m n$ интегралов
\[
f_{1}=0, \quad f_{2}=0, \ldots, \quad f_{m n}=0
\]

остается проинтегрировать еще уравнения
\[
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\]

или заменяющие их уравнения (57) и (58).
Эти последние немедленно интегрируются, если найденные значения $\xi$ делают интегрируемой форму
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)} .
\]

Действительно, обозначая через $R$ интеграл этого выражения, мы получим
\[
\xi_{i, k}=\frac{d R}{d x_{i}^{(k)}},
\]

где $R$ – функция $m n$ величин $x$ и $m n$ произвольных постоянных $h$ и $a$. Поэтому вследствие формул (57) и (58) получим
\[
d t=d \frac{d R}{d h}, \quad 0=d \frac{d R}{d a_{r}},
\]
т. е. мы пришли к интегралам (50).
Кроме того, допуская, что выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}
\]

интегрируемо при найденных выражениях $\xi$, получим немедленно интегрирующие множители для дифференциальных уравнений
\[
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\]

единственных, которые мы должны решить. Эти интегрирующие множители суть соответственно
\[
\frac{d \xi_{i, k}}{d h} \quad \text { и } \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}},
\]

где $r$ принимает любое возможное значение. Действительно, последовательно умножив на соответствующие множители наши дифференциальные урав-

нения и сложив их, получим
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}=-d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d h}, \\
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} d x_{i}^{(k)}=d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}},
\end{array}
\]

или, в силу двух первых формул (62) и потому, что
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{h=n-1}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}=d \frac{d R}{d h},
\]

получим окончательно
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{k=n-1} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} d x_{i}^{(k)}=d \frac{d R}{d a_{r}}, \\
d t=d \frac{d R}{d h}, \quad 0=d \frac{d R}{d a_{r}} .
\end{array}
\]

Последнее уравнение справедливо для всех значений $r$.
К аналогичным результатам мы придем и в том случае, если предположим, что с помощью $m n$ интегралов
\[
f_{1}=0, \quad f_{2}=0, \ldots, \quad f_{m n}=0
\]

величины $x$ определены как функции $\xi$ и произвольных постоянных, или часть $x$ и часть $\xi$ определены қак фунқции оставшихся переменных и произвольных постоянных. Читатель может сам получить этот результат.
10. Если найденные значения $\xi$ не делают интегрируемым выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)},
\]

то уравнения (57) и (58) не интегрируются непосредственно, и для их решения нужно искать особые методы. Но нам вовсе не нужно искать все их интегралы. Достаточно найти лишь столько, чтобы выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}
\]

было интегрируемым при выполнении между величинами $x$ соотношений, установленных найденными интегралами.

Ясно, что рассмотренный нами случай сводится к предположению, что найдено более чем $m n$ интегралов уравнений (14), так что не только $\xi$, но и некоторые из $x$ выражаются через оставшиеся, и далее, что при условии исключения из выражения
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}
\]

всех зависимых переменных последнее становится полным дифференциалом. Мы здесь говорим о зависимости и независимости лишь относительно соотношений, устанавливаемых найденными интегралами.

Для большей симметрии и удобства предположим, что мы выразили все переменные $\xi$ и $x$ через другие величины $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots, \zeta_{l}$ и через произвольные

постоянные, заключающиеся в найденных интегралах. Величины $x$ и $\xi$ должны удовлетворять тождественно соотношениям, устанавливаемым интегралами, при любых переменных $\zeta$. Число этих последних вместе с числом интегралов должно быть равно $2 \mathrm{mn}$, так что $x$ и $\xi$, найденные из наших соотношений, должны быть функциями $l$ переменных и $2 m n-l$ постоянных.
Подставляя эти функции в выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}
\]

и полагая для краткости
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \xi_{s}}=Z_{s},
\]

мы получим
\[
d R=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}=\sum_{s=1}^{s=m} Z_{s} d \zeta_{s} .
\]

Так как, по предположению, выражение $\sum_{s=1}^{s=m} Z_{s} d \zeta_{s}$ есть полный дифференциал, величина $R$ будет вполне определенной функцией переменных $\zeta$ и произвольных постоянных. Дифференцируя ее по какой-нибудь из произвольных постоянных, обозначенной буквой $a$, получим
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d a} d x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} d \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a}\right)=d \frac{d R}{d a},
\]

Ho
\[
\xi_{i, k} d \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a}=-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a} d \xi_{i, k}+d\left(\xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a}\right),
\]

следовательно,
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d a} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a} d \xi_{i, k}\right)=d\left(\frac{d R}{d a}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a}\right) .
\]

Если же продифференцируем по одной из $\zeta$, то найдем
\[
d \zeta a \frac{d R}{d \zeta}+\frac{d R}{d \zeta} d^{2} \zeta=d \zeta \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta} d x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} d \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta}\right)+d^{2} \zeta \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{i=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta}
\]

или, принимая во внимание (63),
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta} d x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} d \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta}\right)=d \frac{d R}{d \zeta} .
\]

Так как
\[
\xi_{i, k} d \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta}=-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta} d \xi_{i, k}+d\left(\xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta}\right)
\]

мы получим тождественный результат
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta} d \xi_{i, k}\right)=d\left(\frac{d R}{d \xi}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{n=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \xi}\right),
\]

ни к чему не приводящий.

Первый член здесь равен нулю вследствие интегрируемости выражения $\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}$, а второй – в силу формулы (63).
Установив это, возвратимся к интегралу живых сил
\[
\Theta+h=0 .
\]

Так как он употреблялся для выражения $x$ и $\xi$ через $\zeta$ и произвольные постоянные, то он превращается в тождество после подстановки этих выражений и после дифференцирования дает $2 m n$ следующих тождеств :
\[
0=\frac{d \Theta}{d h}+1 ; \quad 0=\frac{d \Theta}{d a_{r}} ; \quad 0=\frac{d \Theta}{d \zeta_{s}},
\]

где индексы $r$ и $s$ принимают соответственно значения $1,2, \ldots, m n-l-1$ и $1,2, \ldots, l$, потому что, хотя число произвольных постоянных равно $m n-l$, одна из них есть $h$. Число же переменных $\zeta$ равно $l$.
Предыдущие тождества приводятся к следующим:
\[
\begin{array}{l}
0=1+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{l=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d h}+\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d h}\right), \\
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}+\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}\right), \\
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta_{s}}+\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \xi_{s}}\right) .
\end{array}
\]

После умножения на $d t$ и замены частных производных $\Theta$ их значениями из уравнений (14) два первые тождества обратятся в уравнения
\[
\left.\begin{array}{rl}
d t & =\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d h} d \xi_{i, k}\right), \\
0 & =\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} d \xi_{i, k}\right)
\end{array}\right\}
\]

или, принимая во внимание (63) и (64),
\[
\left.\begin{array}{rl}
d t & =d\left(\frac{d R}{d h}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d h}\right), \\
0 & =d\left(\frac{d R}{d a_{r}}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}\right),
\end{array}\right\}
\]

откуда непосредственно получаем $2 m n-l$ интегралов
\[
\left.\begin{array}{rl}
+\varepsilon & =\frac{d R}{d h}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d h}-, \\
\alpha_{r} & =\frac{d R}{d a_{r}}-\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}},
\end{array}\right\}
\]

где буквы $\varepsilon$ и $a_{r}$ обозначают произвольные постоянные.

Комбинируя эти интегралы с теми, которые мы предположили известными заранее и которых было $2 m n-l$, мы получим $4 m n-2 l$ интегралов. Но они должны сводиться по природе дифференциальных уравнений (14) лишь к $2 m n$ различным интегралам.

После того как мы найдем столько интегралов уравнений (14), сколько нужно для того, чтобы выражение $\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}$, при $x$ и $\xi$, связанных полученными интегральными соотношениями, превратилось в полный дифференциал, можно завершить с помощью интегрирующих множителей решение уравнений (14). Эти интегрирующие множители находятся очень легко.

Действительно, умножая наши уравнения соответственно на $-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d h}$ и $\frac{d \xi_{i, k}}{d h}$ и складывая их, получим
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d h} d \xi_{(i, k)}\right)=-d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d h}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d h}\right) .
\]

Отсюда, вследствие того, что
\[
\sum \sum\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d h}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d h}\right)=\frac{d \Theta}{d h}=-1,
\]

найдем
\[
d t=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d h} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d h} d \xi_{i, k}\right) .
\]

Тем же самым способом, употребляя $a_{r}$ вместо $h$ и принимая во внимание
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}\right)=\frac{d \Theta}{d a_{r}}=0,
\]

найдем
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} d \xi_{i, k}\right) .
\]

Легко проверить, что функция
\[
\sum \sum\left(\frac{d \xi_{i}}{d a} d x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a} d \xi_{i, k}\right),
\]

из которой исключены все переменные, кроме $\zeta$, есть полный дифференциал. Величина $a$ обозначает там одну из произвольных постоянных $h_{l}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ $\ldots, a_{2 m n-l}$. Действительно, если обозначить через $\zeta$ и $\zeta^{\prime}$ две любые величины из $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots, \zeta_{l}$, нам останется только доказать равенство
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d \zeta} \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d a} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta^{\prime}}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta^{\prime}}\right)= \\
=\frac{d}{d \zeta^{\prime}} \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d a} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta}\right) . \\
\end{array}
\]

Произведя дифференцирование и необходимые преобразования, получим
\[
0=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta^{\prime}} \frac{d^{2} \xi_{i, k}}{d a d \zeta}+\frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta} \frac{d^{2} x_{i}^{(k)}}{d a d \zeta^{\prime}}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta} \frac{d^{2} \xi_{i, k}}{d a d \zeta^{\prime}}-\frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta^{\prime}} \frac{d^{2} x_{i}^{(k)}}{d a d \zeta}\right),
\]

T. e.
\[
0=\frac{d}{d a} \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta^{\prime}} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta^{\prime}}\right),
\]

но выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{i=0}^{k=n-1}\left(\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta^{\prime}} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \zeta} \frac{d \xi_{i, k}}{d \zeta^{\prime}}\right)
\]

тождественно равно нулю вследствие того условия, что выражение
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}
\]

сведено к переменным $\zeta$, т. е. $\sum_{s=1}^{s=1} Z_{s} d \zeta_{s}$ есть полный дифференциал. Таким образом, множители – $\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a}$ и $\frac{d \xi_{i, k}}{d a}$ делают уравнение (14) интегрируемым, и легко проверить многими способами, что их интегралы сводятся к уравнениям (67).
11. Покажем на нескольких примерах применение выводов п. $9\left[{ }^{143}\right]$. Для этого примем на протяжении п. 11, что функция $V$ не содержит времени $t$. Будем теперь придавать $V$. различные формы относительно переменных $x$.

В качестве первого примера предположим, что $V$ содержит лишь одну неизвестную $x$ и притом будет относительно $x$ функцией первого порядка. Тогда мы получим
\[
\xi=\frac{d V}{d x^{\prime}},
\]

и дифференциальными уравнениями проблемы изопериметров будут уравнения
\[
d \xi=\frac{d \Theta}{d x} d t, \quad d x=-\frac{d \Theta}{d \xi} d t .
\]

Решение их полностью зависит от двух интегралов, из которых один представляет собой интеграл живых сил
\[
V-\xi x^{\prime}+h \text {. }
\]

С помощью этого интеграла и соотношения $\xi=\frac{d V}{d x^{\prime}}$ найдем $\xi$ и $x^{\prime}$ как функции $x$ и $h$.

Если подставить эти функции вместо $\xi$ и $x$ в интеграл, получим, очевидно, тождество. Дифференцируя его по постоянной $h$, получим другое тождество:
\[
\left(\frac{d V}{d x^{\prime}}-\xi\right) \frac{d x^{\prime}}{d h}-x^{\prime} \frac{d \xi}{d h}+1=0
\]

или
\[
\frac{d \xi}{d h} x^{\prime}=1
\]

В действительности это последнее уравнение не есть тождество. Это происходит потому, что замена $\zeta$ и $x^{\prime}$ на $\xi$ и $x^{\prime}$ является только кажущейся. Но мы получим действительно тождество, если заменим $\xi$ и $x^{\prime}$ их выражениями через $x$ и $h$. Умножая на $d t$, получим
\[
d t=\frac{d \xi}{d h} d x
\]

откуда
\[
t+\varepsilon=\frac{d}{d h} \int \xi d x .
\]

Это второй и последний интеграл дифференциальных уравнений нашей проблемы. Он находится простой квадратурой, потому что не содержит никаких переменных, кроме $\xi$. Величина $\varepsilon$ здесь играет роль произвольной постоянной.

В качестве второго примера предположим, что функция будет второго порядка относительно неизвестной $x$. Тогда, обозначая $\frac{d V}{d x^{\prime \prime}}=\xi_{1}, \quad \Theta_{\mathrm{i}}=V-$ $-\xi x^{\prime}-\xi_{1} x^{\prime \prime}$ и исключая $x^{\prime \prime}$ из этих соотношений, получим в качестве дифференциальных уравнений проблемы четыре следующих уравнения:
\[
\begin{aligned}
d \xi & =\frac{d \Theta}{d x} d t, \quad d x=-\frac{d \Theta}{d \xi} d t, \\
d \xi_{1}=\frac{d \Theta}{d x^{\prime}} d t, & d x^{\prime}=-\frac{d \Theta}{d \xi} d t .
\end{aligned}
\]

Их полное решение дается четырьмя интегралами, один из которых есть интеграл живых сил
\[
\Theta+h=0 .
\]

Предположим, что каким-то способом найден еще один интеграл
\[
f=0
\]

с новой произвольной постоянной $a$. Буква $f$ обозначает функцию переменных $x, x^{\prime}, \xi, \xi_{1}$ и двух постоянных $h$ и $a$. Выражая с помощью двух интегралов
\[
\Theta+h=0, \quad f=0
\]

величины $\xi$ и $\xi_{1}$ через переменные $x, x^{\prime}$, мы получим формулы
\[
\xi=\text { fonct }\left(x, x^{\prime}, h, a\right) \quad \xi_{1}=\text { fonct }\left(x, x^{\prime}, h, a\right),
\]

которые полностью заменяют предыдущие интегралы и сами могут рассматриваться как интегралы нашей проблемы. Если их продифференцировать по времени, то получим
\[
d \xi=\frac{d \xi}{d x} d x+\frac{d \xi}{d x^{\prime}} d x^{\prime}, \quad d \xi_{1}=\frac{d \xi_{1}}{d x} d x+\frac{d \xi_{2}}{d x^{\prime}} d x^{\prime} .
\]

Если отсюда с помощью уравнений проблемы исключить дифференциалы $d x, d x^{\prime}, d \xi, d \xi_{1}$, то получим тождества
\[
0=\frac{d \Theta}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} \frac{d \xi_{1}}{d x^{\prime}} ; \quad 0=\frac{d \Theta}{d x^{\prime}}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} \frac{d \xi_{1}}{d x^{\prime}} .
\]

С другой стороны, интеграл
\[
\Theta+h=0,
\]

если в нем заменить $\xi$ и $\xi_{1}$ их выражениями через $x, x^{\prime}, h, a$, также превратится в тождество. Дифференцируя его как по $x$ и $x^{\prime}$, так и по $h$ и $a$, получим еще четыре тождества :
\[
\begin{array}{c}
0=\frac{d \Theta}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} \frac{d \xi_{1}}{d x}, \quad 0=\frac{d \Theta}{d x^{\prime}}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x^{\prime}}+\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} \frac{d \xi_{1}}{d x^{\prime}}, \\
0=1+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d h}+\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} \frac{d \xi_{1}}{d h}, \quad 0=\frac{d \Theta}{d \xi}-\frac{d \xi}{d a}+\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} \frac{d \xi_{1}}{d a} .
\end{array}
\]

Сравнивая первые два с двумя полученными ранее тождествами, получим тождественно
\[
\frac{d \xi}{d x^{\prime}}=\frac{d \xi_{1}}{d x} .
\]

Это доказывает нам, что переменные $\xi$ и $\xi_{1}$ можно рассматривать как частные производные одной и той же функции по $x$ и $x^{\prime}$. Обозначая эту функцию буквой $R$, можем написать
\[
\xi=\frac{d R}{d x}, \quad \xi_{1}=\frac{d R}{d x^{\prime}}
\]

и, следовательно,
\[
R=\int\left(\xi d x+\xi_{1} d x^{\prime}\right) .
\]

Установив это, умножим два оставшихся тождества на $d t$ и заменим в них соответственно $\frac{d \Theta}{d \xi} d t$ и $\frac{d \Theta}{d \xi_{1}} d t$ на $-d x$ и $-d x^{\prime}$. Тогда получим следующие уравнения :
\[
d t=\frac{d \xi}{d h} d x+\frac{d \xi_{1}}{d h} d x^{\prime}, \quad 0=\frac{d \xi}{d a} d x+\frac{d \xi_{1}}{d a} d x^{\prime},
\]
T. e.
\[
d t=\frac{d^{2} R}{d x d h} d x+\frac{d^{2} R}{d x^{\prime} d h} d x^{\prime}, \quad 0=\frac{d^{2} R}{d x d a} d x+\frac{d^{2} R}{d x d a} d x^{\prime}
\]

или
\[
d t=d \frac{d R}{d i}, \quad 0=d \frac{d R}{d a}
\]

интегрируя, получим
\[
t+\varepsilon=\frac{d R}{d h} ; \quad \alpha=\frac{d R}{d a} .
\]

Таким образом мы нашли два оставшихся интеграла интересующей нас задачи с произвольными постоянными $\varepsilon$ и $\alpha$.

Мы видим, что рассмотренный нами случай зависит от единственного интеграла
\[
f=0,
\]

так как три другие находятся по нашей теории или непосредственно или путем квадратур.

Предположим теперь, что функция $V$ содержит две неизвестные и является функцией первого порядка относительно обеих. Обозначая эти переменные во избежание нумерации буквами $x$ и $y$, рассмотрим случай
\[
V=\text { fonct }\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right) .
\]

Положим
\[
\frac{d V}{d x^{\prime}}=\xi ; \quad \frac{d V}{d y^{\prime}}=\eta y ; \quad \Theta=V-\xi x^{\prime}-\eta y^{\prime}
\]

и исключим $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$. Мы получим уравнение, из которого можно определить $\Theta$ как функцию $x, y, \xi, \eta$. С помощью функции $\Theta$ образуем четыре дифференциальных уравнения:
\[
\begin{array}{ll}
d \xi=\frac{d \Theta}{d x} d t ; & d x=-\frac{d \Theta}{d \xi} d t ; \\
d \eta=\frac{d \Theta}{d y} d t ; & d y=-\frac{d \Theta}{d \eta} d t .
\end{array}
\]

Это и есть уравнения проблемы.
Для полного решения надо найти четыре интеграла. Результатом одного интегрирования является уравнение живых сил:
\[
\Theta+h=0 .
\]

Предположим, что каким-то особым способом мы нашли еще один интеграл.
\[
t=0
\]

с произвольной постоянной $a$. Тогда оставшиеся два интеграла легко найти следующим способом.
Представим себе, что мы привели, интегралы
\[
\Theta+h=\dot{0}, \quad f=0
\]

к виду :
\[
\xi=\operatorname{fonct}(x, y, h, a), \quad \eta=\operatorname{fonct}(x, y, h, a) .
\]

Дифференцируя по времени, получим :
\[
d \xi=\frac{d \xi}{d x} d x+\frac{d \xi}{d y} d y, \quad d \eta=\frac{d \eta}{d x} d x+\frac{d \eta}{d y} d y .
\]

Подставляя сюда вместо $d x, d y, d \xi, d \eta$ их значения из дифференциальных уравнений проблемы, найдем:
\[
0=\frac{d \Theta}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d y}, \quad 0=\frac{d \Theta}{d y}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d y} .
\]

Эти уравнения превратятся в тождества, если вместо $\xi$ и $\eta$ подставить их выражения через $x, y, h$ и $a$. Произведя ту же подстановку в интеграле живых сил
\[
\Theta+h=0,
\]

получим также тождество. Производя эту подстановку лишь формально, мы можем дифференцировать наш интеграл по каждой из величин $x, y, h, a$. Это даст нам четыре следующие формулы:
\[
\begin{array}{ll}
0=\frac{d \Theta}{d x}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d x}+\frac{d \Theta}{d \eta} \frac{d \eta}{d x}, & 0=\frac{d \Theta}{d y}+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d y}+\frac{d \Theta}{d \eta} \frac{d \eta}{d y}, \\
0=1+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d h}+\frac{d \Theta}{d \eta} \frac{d \eta}{d h}, & 0=\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d \xi}{d a}+\frac{d \Theta}{d \eta} \frac{d \eta}{d a} .
\end{array}
\]

Две первые из них в сравнении с двумя предшествующими дадут тождественно
\[
\frac{d \xi}{d y}=\frac{d \eta}{d x} .
\]

Это показывает нам, что выражение $\xi d x+\eta d y$ интегрируемо. Полагая
\[
R=\int(\xi d x+\eta d y),
\]

можем переписать две оставшиеся формулы в виде
\[
0=1+\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d^{2} R}{d x d h}+\frac{d \Theta}{d \eta} \frac{d^{2} R}{d y d h_{\lambda}}, \quad 0=\frac{d \Theta}{d \xi} \frac{d^{2} R}{d x d a}+\frac{d \Theta}{d \eta} \frac{d^{2} R}{d x d a} .
\]

Если мы теперь умножим их на $d t$ и заменим в силу дифференциальных уравнений величины
\[
\frac{d \Theta}{d \xi} d t \quad \text { и } \quad \frac{d \Theta}{d \eta} d t
\]

на $-d x$ и $-d y$, то получим
\[
d t=\frac{d^{2} R}{d x d h} d x+\frac{d^{2} R}{d y d h} d y, \quad 0=\frac{d^{2} R}{d x d a} d x+\frac{d^{2} R}{d y d a} d y,
\]

где
\[
d t=d \frac{d R}{d h}, \quad 0=d \frac{d R}{d a} ;
\]

интегрируя, получим
\[
t+\varepsilon=\frac{d R}{d h}, \quad \alpha=\frac{d R}{d a},
\]

где $\varepsilon$ и $\alpha$ – произвольные постоянные.
Из предшествующего ясно, что случай $V=$ fonct $\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, так же как случай $V=$ fonct $\left(x, x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$, требует единственного интеграла
\[
j=0,
\]

потому что три другие находятся из нашей общей теории.
Если мы предположим
\[
V=\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}+U,
\]

где буква $U$ обозначает функцию, зависящую только от переменных $x$ и $y$, то получим случай движения материальной точки по плоской кривой. Предположим, что движение относится к прямоугольным координатам и что проекции ускорений на координатные оси суть
\[
\frac{d U}{d x} \text { и } \frac{d U}{d y} .
\]

Такое движение рассматривалось Пуассоном*). Блестящий геометр цитирует письмбо Якои, посвященное этому предмету, но я не знаком с этим письмом**).
12. Возвратимся к формуле (7); заменив в ней $d \omega_{i}^{(k)}$ на $\left.\delta x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k+1)}\right) \delta t$, получим
\[
\delta(V d t)=d\left(\Theta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right) .
\]

Так как эта формула справедлива при любом смысле дифференцирования, обозначенного символом $\delta$, мы можем получить для другой системы произвольных вариаций, обозначенных символом $\Delta$, выражение
\[
\Delta(V d t)=d\left(\Theta \Delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right) .
\]

Дифференцируя это равенство в смысле $\delta$, а уравнение (68) в смысле $\Delta$, получим
\[
\begin{array}{l}
\delta \Delta(V d t)=d\left[\delta \Theta \Delta t+\theta \delta \Delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} \delta \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right], \\
\Delta \delta(V d t)=d\left[\Delta \Theta \delta t+\Theta \Delta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} \Delta \delta x_{i}^{(k)}\right)\right] .
\end{array}
\]

Если мы ограничим общность вариаций $\delta$ и $\Delta$, подчинив их условию, выраженному символическим равенством
\[
\delta \Delta=\Delta \delta,
\]

то мы получим, сравнивая правые части двух последних уравнений и приводя подобные члены
\[
d\left[\Delta \Theta \delta t-\delta \Theta \Delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right]=0 ;
\]

интегрируя, придем к выражению
\[
\Delta \Theta \delta t-\delta \Theta \Delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right)=\text { const } .
\]

Здесь const обозначает величину, не зависящую от времени.
Каким бы простым ни казался метод, приведший нас к уравнению (70), он отказывается нам служить, если мы не ограничим подходящим образом дифференциалы $\delta$ и $\Delta$. Действительно, нетрудно показать, что кроме условия
\[
\delta \Delta=\Delta \delta,
\]

которое мы наложили, наши дифференциалы должны удовлетворять и другому. Мы сейчас поясним это.

Мы исходили из формулы (68), заменив в ней $\delta$ на $\Delta$. Это можно сделать потому, что исходная формула, полученная из основных принципов вариационного исчисления, верна при произвольном 8 . Но нельзя упускать из вида, что как формула (68), так и формула, полученная из нее заменой $\delta$ на $\Delta$, предполагает неизвестные $x$ и $\xi$ связанными уравнениями (9) или (14). Эти последние уравнения не имели бы никакого отношения к вариациям $\delta$ и $\Delta$, если бы мы не дифференцировали их одно в смысле $\Delta$, а другое в смысле $\delta$. А это дифференцирование приводит к замене в них $x$ и $\xi$ на $x+\Delta x$ и $\xi+$ $+\Delta \xi$ в одном случае и на $x+\delta x$ и $\xi+\delta \xi$ – другом. Следовательно, величины $x+\Delta x, x+\delta x$ и $\xi+\Delta \xi, \xi+\delta \xi$ становятся на место $x$ и $\xi$ лишь постольку, поскольку они удовлетворяют уравнениям (9) или (14). Без этого условия как формула (68), так и формула, полученная из нее заменой 8 на 4 , не будут справедливы. Но если переменные $x+\Delta x, x+\delta x, \xi+\Delta \xi, \xi+\delta \xi$ удовлетворяют уравнениям (14), они должны находиться среди $x$ и $\xi$, которые удовлетворяют этим уравнениям и которые отличаются друг от друга лишь на произвольные постоянные величины, введенные интегрированием. Из этого можно заключить, что вариации $\delta$ и $\Delta$ могут быть лишь дифференциалами, относящимися к этим постоянным, неизвестными функциями которых являются $x$ и $\xi$. Что же касается приращений или дифференциалов $\delta$ и $\Delta$ упомянутых постоянных, то они не должны зависеть от времени, а в остальном могут быть абсолютно произвольными.

Важно отметить, что когда, дифференцируя в смысле $\delta$ и $\Delta$, варьируют время $t$ ( $\delta t$ и $\Delta t$ соответственно), нужно варьировать его и в $\delta x, \Delta x, \delta \xi, \Delta \xi$. Члены, пропорциональные приращениям $\delta t$ и $\Delta t$ и фигурирующие в только что упомянутых вариациях, нисколько не мешают переменным $x+\delta x$, $x+\Delta x, \xi+\delta \xi, \xi+\Delta \xi$ удовлетворять уравнениям (14) или (9). Так, обозначая через $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n} 2 m n$ произвольных постоянных, введенных при интегрировании этих уравнений, мы можем записать все наиболее общее, что мы можем допустить относительно $\delta x, \Delta x, \delta \xi, \Delta \xi$ для всех индексов $i$ и $k$

в виде :
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta x_{i}^{(k)}=\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \delta t+\sum_{r=1}^{\prime=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \delta a_{r}, \\
\Delta x_{i}^{(k)}=\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \Delta t+\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \Delta a_{r}, \\
\delta \xi_{i, k}=\frac{d \xi_{i, k}}{d t} \delta t+\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \delta a_{r}, \\
\Delta \xi_{i, k}=\frac{d \xi_{i, k}}{d t} \Delta t+\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \Delta a_{r} .
\end{array}\right\}
\]

Ничто не мешает нам не варьировать время в вариациях $\delta x, \Delta x, \delta \xi, \Delta \xi$, поэтому мы можем положить $\delta t=0$ в формуле (68) и, следовательно, $\Delta t=0$ в той, которая из нее получается при замене $\delta$ на $\Delta$.
Это условие приведет нас вместо (70) к формуле
\[
\Sigma \Sigma\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right)=\text { const },
\]

которую мы обозначаем тоже номером (70) и в которой
\[
\left.\begin{array}{rl}
\delta x_{i}^{(k)} & =\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \delta a_{r}, \\
\Delta x_{i}^{(k)} & =\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \Delta a_{r}, \\
\delta \xi_{i, k} & =\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \delta a_{r}, \\
\Delta \xi_{i, k} & =\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \Delta a_{r}
\end{array}\right\}
\]

для всех $i$ и $k$. Дифференциалы $\delta a_{r}$ и $\Delta a_{r}$ суть бесконечно малые вариации, не зависящие от времени, потому что, если бы они от него зависели, то постоянные интегрирования $a+\delta a, a+\Delta a$ включали бы время, чего не может быть.

Мы обозначили одним и тем же номером (70) две формулы, потому что они только внешне отличаются друг от друга. Действительно, легко проверить, что первые два слагаемых в первом уравнении (70) равны нулю и формула приводится ко второму уравнению (70).

Вариациям $\delta x_{i}^{(k)}, \Delta x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}, \Delta \xi_{i, k}$ мы можем придавать лишь значения (71) или, проще, значения (72). Мы должны наложить это ограничение, чтобы не впасть в ошибку, которую делают геометры, занимающиеся принципом наименьшего действия.

Они дифференцируют уравнение живых сил посредством $\delta$, не обращая внимания на то, что это уравнение удовлетворяется только значениями $x$, но никак не значениями $x+\delta x$.

Что касается выбора между уравнениями (71) и (72), то первым пользуются в первом уравнении (70), где $\delta x$ и $\Delta x$ отличны от нуля, а вторым — во

втором уравнении (70). Но как мы уже говорили, обе формулы приводят к одному результату, так что мы для простоты будем пользоваться вторым уравнением (70) и значением (72) для вариаций $\delta x_{i}^{(k)}, \Delta x_{i}^{(k)}, \delta \xi_{i, k}, \Delta \xi_{i, k}$.

Может быть, не совсем ясно, что обе формулы (70) дают одно и то же. Для того чтобы убедиться в этом, припишем упомянутым выше вариациям значения (72).

Это приведет к предположению, что символы $\delta$ и $\triangle$ относятся лишь к произвольным постоянным, оставляя время неизменным.

В этом предположении значения вариаций, определенных равенствами (71), будут иметь вид
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \delta t+\delta x_{i}^{(k)} ; & \frac{d \xi_{i, k}}{d t} \delta t+\delta \xi_{i, k}, \\
\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \Delta t+\Delta x_{i}^{(k)} ; & \frac{d \xi_{i, k}}{d t} \Delta t+\Delta \xi_{i, k},
\end{array}
\]

и очевидно, что, обозначая через $\Omega$ произвольную функцию $t, x, \xi$, мы получим
\[
\begin{array}{c}
\delta \Omega=\Omega^{\prime} \delta t+\delta \Omega, \\
\Delta \Omega=\Omega^{\prime} \Delta t+\Delta \Omega .
\end{array}
\]

Символы $\delta$ и $\Delta$ слева от знака равенства предполагают переменными время и произвольные постоянные; справа – только произвольные постоянные ; $\Omega^{\prime}$ – полная производная от $\Omega$ по времени.

Условившись, что с настоящего момента символы $\mathcal{A}$ и $\delta$ относятся лишь к произвольным постоянным, перепишем уравнение (70) в виде
\[
\begin{aligned}
\text { const }=\left(\Theta^{\prime} \Delta t\right. & +\Delta \Theta) \delta t-\left(\Theta^{\prime} \delta t+\delta \Theta\right) \Delta t+ \\
+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d t} \Delta t\right.\right. & \left.+\Delta \xi_{i, k}\right)\left(\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \delta x+\delta x_{i}^{(k)}\right)- \\
& \left.-\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d t} \delta t+\delta \xi_{i, k}\right)\left(\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \Delta t+\Delta x_{i}^{(k)}\right)\right],
\end{aligned}
\]

или, делая очевидные преобразования,
\[
\begin{array}{l}
\text { const }=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right)+ \\
+\delta t\left[\Delta \Theta-\Sigma \Sigma\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d t} \Delta x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \Delta \xi_{i, k}\right)\right]- \\
-\Delta t\left[\delta \Theta-\Sigma \Sigma\left(\frac{d \xi_{i, k}}{d t} \delta x_{i}^{(k)}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t} \delta \xi_{i, k}\right)\right] . \\
\end{array}
\]

Отсюда, заменяя производные по времени $\frac{d \xi_{i, k}}{d t}$ и $-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t}$ на частные производные $\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}$ и $\frac{d \Theta}{a \xi_{i, k}}$, убедимся, что члены, умноженные на $\delta t$ и $\Delta t$, исчезнут, и мы получим уравнение
\[
\text { const }=\Sigma^{\prime} 2^{\prime}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right),
\]

которое является второй формулой (70) и в котором символы $\delta$ и $\boldsymbol{\Delta}$ относятся лишь к произвольным постоянным $a$.

Мы можем получить уравнение (70) и с помощью прямого вычисления. Этот способ предпочтительнее предыдущего для установления ограничений, налагаемых на дифференциалы $\delta$ и 4 . Возвратимся к уравнению (4) и перепишем его в виде
\[
\delta(V d t)=\sum_{i=1}^{i=m} \Xi_{i}\left(d t \delta x_{i}-\delta t d x_{i}\right)+d t\left[\Theta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1} \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}\right] .
\]

Эта формула свободна от всяких ограничений как относительно $x$ и $\xi$, так и их вариаций $\delta$. Само собой разумеется, что остается зависимость производных и их вариаций от первообразных функций и их вариаций.

Так как уравнение (73) является тождеством, то ничто не мешает дифференцировать его в смысле $\Delta$, отличном от дифференцирования $\delta$.
Производя это дифференцирование, получим
\[
\begin{aligned}
\Delta \delta(V d t)=\sum_{i=1}^{i=m}\left[\Xi_{i} \Delta\left(d t \delta x_{i}-\delta t d x_{i}\right)+\left(d t \delta x_{i}-\delta t d x_{i}\right) \Delta \Xi_{i}\right]+ \\
+d\left[\Delta \Theta \delta t+\Theta \Delta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} \Delta \delta x_{i}^{(k)}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Если мы теперь учтем уравнения (9) или (14), которые сводятся к предположению
\[
\Xi_{i}=0,
\]

то получим истинное значение двойной вариации
\[
\begin{aligned}
\Delta \delta(V d t)=\sum_{i=1}^{i=m}\left(d t \delta x_{i}\right. & \left.-\delta t d x_{i}\right) \Delta \Xi_{i}+ \\
& +d\left[\Delta \Theta \delta t+\Theta \Delta \delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} \Delta \delta x_{i}^{(k)}\right)\right]
\end{aligned}
\]

при обязательном соблюдении уравнений (9) или (14) в произвольных вариациях $\Delta$ и $\boldsymbol{\delta}$. Если мы в предыдущем уравнении поменяем местами $\boldsymbol{\Delta}$ и $\boldsymbol{\delta}$, что, очевидно, допустимо, то получим
\[
\begin{aligned}
\delta \Delta(V d t)= & \sum_{i=1}^{i=m}\left(\delta t \Delta x_{i}-\Delta t d x_{i}\right) \delta \Xi_{i}+ \\
& +d\left[\delta \Theta \Delta t+\Theta \delta \Delta t+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k} \delta \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Вычитая последнее из предыдущего, найдем
\[
\begin{array}{l}
d\left\{\Delta \Theta \delta t-\delta \Theta \Delta t+\Theta(\Delta \delta t-\delta \Delta t)+\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\right.\right.\right. \\
\left.\left.\left.-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right)+\xi_{i, k}\left(\Delta \delta x_{i}^{(k)}-\delta \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right]\right\}+\sum_{i=1}^{i=1}\left[\left(\Delta x_{i} \delta t-\delta x_{i} \Delta t\right) d \Xi_{i}+\right. \\
\left.\quad+\left(d x_{i} \Delta t-\Delta x_{i} d t\right) \delta \Xi_{i}+\left(\delta x_{i} d t-d x_{i} \delta t\right) \Delta \Xi_{i}\right]=\Delta \delta(V d t)-\delta \Delta(V d t)
\end{array}
\]

Мы ввели дифференциал $d \Xi_{i}$, который равен нулю в силу уравнения (9). Для этого достаточно заметить, что выражение, стоящее под знаком $\Sigma$, есть определитель из девяти величин
\[
d t, \delta t, \Delta t, d x_{i}, \delta x_{i}, \Delta x_{i}, d \Xi_{i}, \delta \Xi_{i}, \Delta \Xi_{i}
\]

мы говорим только о простом, а не о двойном знаке $\Sigma$.
Легко проверить, что при законном предположении
\[
\Delta \delta t=\delta \Delta t
\]

приращения $\delta t$ и $\Delta t$ исчезнут из последнего уравнения и оно приведется к выражению
\[
\begin{array}{l}
\Delta \delta(V d t)-\delta \Delta(V d t)=d \sum \sum\left[\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}+\right. \\
\left.+\xi_{i, k}\left(\Delta \delta x_{i}^{(k)}-\delta \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right]+d t \sum\left(\delta x_{i} \Delta \Xi_{i}-\Delta x_{i} \delta \Xi_{i}\right) .
\end{array}
\]

Знаки $\delta$ и $\Delta$ в действительности предполагают время неизменным и относятся лишь к изменению формы $x$ и $\xi$.
‘Полагая
\[
\delta \Xi_{i}=0, \quad \Delta \Xi_{i}=0,
\]

получим
\[
\Delta \delta(V d t)-\delta \Delta(V d t)=d \Sigma \Sigma\left[\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k}\left(\Delta \delta x_{i}^{(k)}-\delta \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right] .
\]

Так как уравнения (74) устанавливают соотношения между вариациями функций $x$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta \Xi_{i}=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k=0}^{k=2 n} \frac{d \Xi_{i}}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}} \delta x_{i^{\prime}}^{(k)}, \\
\Delta \Xi_{i}=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k=0}^{k=2 n} \frac{d \Xi_{i}}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}} \Delta x_{i^{\prime}}^{(k)} .
\end{array}
\]

Заменяя $\delta \Xi_{i}, \Delta \Xi_{i}$ их нулевыми значениями, мы получим дифференциальные уравнения, связывающие $\delta x$ и $\Delta x$. Так как эти уравнения отвечают всевозможным номерам $i$, то число их равно числу величин $\delta x$ и $\Delta x$. Они интегрируются с большой легкостью, если известно решение уравнений (9) или (14).

Действительно, это решение определяет переменные $x$ как функции времени и $2 m n$ произвольных постоянных $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}$, и если заменить $x$ этими функциями, получим тождественно
\[
\Xi_{i}=0
\]

для всех $i$ и, следовательно, также
\[
\frac{d \Xi_{i}}{d a_{r}}=0
\]

или
\[
\sum_{i=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k=0}^{k=2 n} \frac{d \Xi_{i}^{\prime}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{(k)}}{d a_{r}}=0
\]

для всех значений $r$. Сравнивая эти последние уравнения с уравнениями
\[
\begin{array}{l}
0=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k=0}^{k=2 n} \frac{d \Xi_{i}}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}} \delta x_{i^{\prime}}^{(k)}, \\
0=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k=0}^{k=2 n} \frac{d \Xi_{i}}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}} \Delta x_{i^{\prime}}^{(k)},
\end{array}
\]

которые являются уравнениями (74), немедленно получим, что они удовлетворяются при
\[
\delta x_{i^{\prime}}^{(k)}=\frac{d x_{i^{\prime}}^{(k)}}{d a_{r}}, \quad \Delta x_{i^{\prime}}^{(k)}=\frac{d x_{i^{\prime}}^{(k)}}{d a_{r}}
\]

или
\[
\delta x_{i}^{(k)}=\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}, \quad \Delta x_{i}^{(k)}=\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}
\]

для всех $r$. Следовательно, $2 m n$ частных производных $\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{1}}, \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{2}}, \ldots$ $\ldots, \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{2 m n}}$ будут также частными значениями $\delta x_{i}^{(k)}$ и $\Delta x_{i}^{(k)}$, которые удовлетворяют уравнениям (71). Таким образом, эти уравнения, будучи линейными, имеют полными интегралами выражения
\[
\delta x_{i}^{(k)}=\sum_{r=1}^{r=2 m n} C_{r} \begin{array}{c}
d x_{i}^{(k)} \\
d a_{r}^{-}
\end{array} ; \quad \Delta x_{i}^{(k)}=\sum_{r=1}^{r=2 m n} C_{r}^{\prime} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}},
\]

где $C$ и $C^{\prime}$ – произвольные постоянные. Но вариации $\delta x_{i}^{(k)}$ и $\Delta x_{i}^{(k)}$ суть бесконечно малые. Из этого следует, что величины $\delta a_{r}$ и $\Delta a_{r}$ должны быть такими же, т. е. обозначая через $\delta a_{r}$ и $\Delta a_{r}$ бесконечно малые, не зависящие от времени, но в остальном совершенно произвольные величины, мы можем положить
\[
C_{r}=\delta a_{r}, \quad C_{r}^{\prime}=\Delta a_{r},
\]

что дает :
\[
\delta x_{i}^{(k)}=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \delta a_{r}, \quad \Delta x_{i}^{(k)}=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \Delta a_{r} .
\]

Следовательно, имеем также :
\[
\delta \xi_{i, k}=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \delta a_{r}, \quad \Delta \xi_{i, k}=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \Delta a_{r} .
\]

Таким образом, мы пришли к формулам (72) и можем быть уверены, что без малейшего уменьшения общности символов $\delta$ и $\Delta$ можно считать их дифференциалами, относяцимися лишь к произвольным постоянным, неявно содержащимся в $x$ и $\xi$. Таким образом, поскольку $\delta$ и $\Delta$ суть обычные дифференциалы, условие $\delta \Delta=\Delta \delta$ необходимо выполняется и уравнение
\[
\begin{array}{l}
\Delta \delta(V d t)-\delta \Delta(V d t)= \\
=d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}+\xi_{i, k}\left(\Delta \delta x_{i}^{(k)}-\delta \Delta x_{i}^{(k)}\right)\right]
\end{array}
\]

приводится к уравнению
\[
0=d \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right],
\]

которое после интегрирования дает
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\Delta \xi_{i, k} d x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right]=\text { const },
\]

где const обозначает величину, не зависящую от времени.
13. Подставим в уравнение (70) вместо дифференциалов $\delta x_{i}^{(k)}, \Delta x_{i}^{(k)}, \delta \xi_{i, k}$, $\Delta \xi_{i, k}$ соответственно следующие выражения:
\[
\begin{array}{lc}
\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{i}} \delta a_{r}, & \sum_{s=1}^{s=2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}} \Delta a_{s} ; \\
\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \delta a_{r} ; & \sum_{s=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}} \Delta a_{s} ;
\end{array}
\]

мы получим тогда
\[
\text { const }=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \sum_{s=1}^{s=2 m n} \delta a_{r} \Delta a_{s} \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}}\right] .
\]

Так как вариации $\delta a_{r}$ и $\Delta a_{s}$ связаны лишь предположением их дифференциальной малости и независимости от времени, предыдущее уравнение распадается на
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}}\right]=C
\]

для всех значений $r$ и $s$. Буква $C$ означает переменную, не зависящую от времени.

Уравнение (75) является фундаментальным в теории вариации произвольных постоянных. Мы для краткости будем обозначать его
\[
(r, s)=\text { const . }
\]

При всевозможных комбинациях значений $r, s$ символ $(r, s)$ имеет $4 m^{2} n^{2}$ значений, но так как, очевидно,
\[
(r, r)=0,
\]

то $2 m n$ из них будут нулями и остается лишь $2 m n(2 m n-1)$, которыми мы и будем заниматься. Прежде всего, замечаем, что
\[
(r, s)=-(s, r)
\]

или
\[
(r, s)+(s, r)=0,
\]

следовательно, из $2 m n(2 m n-1)$ величин остается вычислить лишь половину или $m n$ ( $2 m n-1)$.

Эти оставшиеся $m n(2 m n-1)$ значений $(r, s)$ символа отвечают различным комбинациям по две из независимых от времени $a_{1}, a_{2}, \ldots, \dot{a}_{2 m n}$ и могут быть вычислены только в частном случае, т. е. когда известны функция $V$ и система произвольных постоянных $a$, полученных при интегрировании уравнений (14).

Если мы рассмотрим три различных значения символа $(r, s)$, обозначенные через $(r, s),(s, q),(q, r)$, то легко проверить, что справедливо
\[
\frac{d(r, s)}{d a_{q}}+\frac{d(s, q)}{d a_{r}}+\frac{d(q, r)}{d a_{s}}=0 .
\]

Действительно,
\[
\frac{d(r, s)}{d a_{q}}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}} \frac{d^{2} \xi_{i, k}}{d a_{i} d a_{s}}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}}-\frac{d^{2} \xi_{i, k}}{d a_{q} d a_{r}}+\frac{d^{2} x_{i}^{(k)}}{d a_{q} d a_{r}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}-\frac{d^{2} x_{i}^{(k)}}{d a_{q} d a_{s}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}}\right]
\]

и аналогично для двух других производных.
Складывая эти три уравнения, мы увидим, что все члены правой части взаимно уничтожаются и получается формула (79), которая небесполезна в частных вопросах теории вариации произвольных постоянных.

Зная системы постоянных $a$, можно без труда вычислить все значения символа $(r, s)$, не зная функции $V$, т. е. не конструируя уравнений (14), интегрирование которых и даст постоянные $a$. Наиболее простые системы мы получим, принимая за произвольные постоянные значения $x$ и $\xi$ в какойнибудь данный момент.

Назовем для удобства эти значения начальными и рассмотрим систему таких постоянных.

Так как символ $(r, s)$ не зависит от времени, можно придавать этой переменной произвольные частные значения, не меняя самого символа. Придадим $t$ значение того момента, которому отвечали начальные значения $x$ и $\xi$, принятые за произвольные постоянные. Так как $x$ и $\xi$ будут играть роль $a$, то очевидно из уравнения (76), что символ $(r, s)$ будет иметь значения 0 или $\pm 1$. Имеем прежде всего, что
\[
(r, s)=0,
\]

когда две величины $a$ с номерами $r$ и $s$ представляют начальные значения $x$ или $\xi$. Поэтому в первом случае окажется
\[
\frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}=0 ; \quad \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}}=0,
\]

а во втором
\[
\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}=0 ; \quad \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}}=0 .
\]

Это дает нам $2 m n$ ( $m n-1$ ) значений символа $(r, s)$, равных нулю.
Теперь рассмотрим случай, когда из двух переменных $a_{r}$ и $a_{s}$ одна представляет начальные значения $x$, а другая – $\xi$. Если, например, $a_{r}$ есть начальное значение $x$, мы получим
\[
(r, s)=\frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}},
\]

что дает
\[
(r, s)=1 \text { или }(r, s)=0
\]

соответственно тому, является ли $a_{s}$ начальным значением $\xi_{i, k}$ с теми же номерами $i, k$, что и $x_{i}^{(k)}$, или каким-нибудь другим. Мы видим, что из $m^{2} n^{2}$ значений символа рассматриваемой нами категории только $m n$ равны единице, а $m n$ ( $m n-1$ ) остальных равны нулю. Предположим теперь, что $a_{r}$

есть начальное значение одной из $\xi_{i, k}$, например $\xi$. Тогда $a_{s}$ будет представлять начальное значение одной из переменных $x$, и мы получим
\[
(r, s)=-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}},
\]

откуда заключаем, что
\[
(r, s)=-1 \text { или }(r, s)=0,
\]

соответственно тому, представляет ли $a_{s}$ начальное значение $x_{i}^{(k)}$ с теми же номерами, что $\xi_{i, k}$, или какого-нибудь другого $x$. Мы видим, как и выше, что из $m^{2} n^{2}$ значений символа $(r, s)$, в предположении, что $a_{r}$ и $a_{s}$ суть начальные значения одного из $\xi$ и одного из $x$ соответственно, только $m n$ равны – 1, а $m n(m n-1)$ остальных суть нули. Мы имеем, следовательно, всего $4 m n(m n-1)$ нулевых значений символа $(r, s)$, $m n$ значений, равных +1 , и $m n$, равных -1 , т. е. имеем всего $4 m n(m n-1)+2 m n=2 m n(2 m n-1)$ значений, представляющих все возможные значения, за исключением случая $r=s$, когда символ равен нулю даже в общем случае.

Для объединения полученных результатов назовем соответственными переменные $x$ и $\xi$ с одинаковыми номерами $i$ и $k$. Следовательно, каждому $x_{i}^{(k)}$ отвечает переменная $\xi_{i, k}$ и обратно: переменные $x$ и $\xi$ с разными номерами не суть соответственные, например $x_{4}^{\prime \prime \prime}$ и $\xi_{5,6}$.

Положив это, будем иметь : $(r, s)=1$, когда $a_{r}$ будет значением $x$ и $a_{s}$ значением соответствующей $\xi ;(r, s)=-1$, если. $a_{r}$ есть начальное значение $\xi$ и $a_{s}$ – соответствующее значение $x$.
Во всех других случаях $(r, s)=0$.
Заметим, что символ $(r, s)$ не равен нулю лишь тогда, когда $a_{r}$ и $a_{s}$ представляют начальные значения соответствующих величин.
14. Предположим теперь, что вместо уравнения (14) мы должны разрешить систему
\[
\left.\begin{array}{l}
d \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t+X_{i, k} d t, \\
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t-\Xi_{i, k} d t,
\end{array}\right\}
\]

где величины $X_{i, k}$ и $\Xi_{i, k}$ суть заданные функции времени $t$ и $x, \xi$. Для решения их нужно воспользоваться решением уравнений (14), считая переменные $a$, не зависящие там от времени, функциями времени.
Интегрирование уравнений (14) дает для $x$ и $\xi$
\[
x=f\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right), \quad \xi=F\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right) .
\]

Предположим, что и для системы (80) окажется
\[
x=f\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right), \quad \xi=F\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right)
\]

с той лишь разницей, что постоянные $a$ содержат время $t$, тогда как в выражении $x$ и $\xi$ из уравнений (14) они абсолютно независимы от времени.

Предполагая, что переменные $a$ содержат время $t$, от которого раньше не зависели, мы даем им несравненно больший простор, чем они имели раньше, и поэтому неудивительно, что они дают решение вопроса, которого не могли дать, оставаясь независимыми от времени.
Подставим в уравнении (80) вместо $x$ и $\xi$ их выражения
\[
f\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right), \quad F\left(t, a_{1} a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right) .
\]

Подстановка производится совсем просто в правых частях уравнений, потому что они содержат только самые переменные $x$ и $\xi$. Для выражения дифференшиалов $d x$ и $d \xi$, образующих левые части, нужно различать члены, получающиеся при дифференцировании по $t$, явно входящему в $x$ и $\xi$, и члены, получающиеся при дифференцировании по $t$, входящему в величины $a$. Мы воспользуемся символом 4 , который до сих пор относился к произвольным вариациям $a$, для второй группы членов и будем писать полные дифференциалы $x$ и $\xi$ виде:
\[
\frac{d x}{d t} d t+\Delta x, \quad \frac{d \xi}{d t} d t+\Delta \xi,
\]

где
\[
\Delta x=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d x}{d a_{r}} d a_{r}, \quad \Delta \xi=\sum_{r=1}^{r=2 m n} \frac{d \xi}{d a_{r}} d a_{r} .
\]

После подстановки уравнения (80) перейдут в уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \xi_{i, k}}{d t}+\Delta \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{\sqrt{d x_{i}^{(k)}}} d t+X_{i, k} d t, \\
\frac{d x_{i}^{(k)}}{d t}+\Delta x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t-\Xi_{i, k} d t .
\end{array}
\]

Если бы величины $a$ не зависели от времени, мы имели бы вследствие самой природы $x$ и $\xi$ тождественно
\[
\frac{d \xi_{i, k}}{d t}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}, \quad \frac{d x_{i}^{(k)}}{d t}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} .
\]

Эти уравнения продолжают оставаться тождественными и тогда, когда содержат время, потому что они не зависят от величин $a$ и имеют место при замене каждой из величин а любой величиной. Следовательно,
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta \xi_{i, k}=X_{i, k} d t \\
\Delta x_{i}^{(k)}=-\Xi_{i, k} d t
\end{array}\right\}
\]

Это дифференциальные уравнения первого порядка. Число этих уравнений $2 m n$ равно числу искомых функций $a$. Мы представим их в более удобной форме. Для этого вычтем второе, умноженное на $\delta \xi_{i, k}$, из первого, умноженного на $\delta x_{i}^{(k)}$. Мы получим
\[
\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}=\left(X_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\Xi_{i, k} \delta \xi_{i, k}\right) d t .
\]

Символ $\delta$ обозначает, как и раньше, дифференцирование, относящееся к произвольным изменениям величин $a$.
Суммируя полученные уравнения по $i$ и $k$, получим
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\delta \xi_{i, k} \Delta x_{i}^{(k)}\right)=d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(X_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}+\Xi_{i, k} \delta \xi_{i, k}\right) \text {. }
\]

Это уравнение не отличается от уравнения (81). Действительно, вследствие произвольности $\delta x_{i}^{(k)}$ и $\delta \xi_{i, k}$ оно удовлетворяется лишь при равенстве коэффициентов при этих членах, что и дает уравнения (81).

Хотя первый член уравнения (82) совершенно подобен первому члену формулы (70), нельзя заключить, что сумма
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\Delta x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}\right)
\]

не зависит от времени. Она является такой в уравнении (70), где $a$ не зависят от времени. Но она теряет эту независимость, когда $a$ становятся функциями времени. Однако поскольку переменная $t$ входит явно в $x$ и $\xi$, постольку она исчезнет из выражения
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\Delta \xi_{i, k} \delta x_{i}^{(k)}-\Delta x_{i}^{(k)} \delta \xi_{i, k}\right),
\]

которое зависит лишь от времени, входящего в $a$, и потому не изменится, если вместо общих выражений
\[
x=f\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right), \quad \xi=F\left(t, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}\right),
\]

мы подставим в него выражения, относящиеся к какому-нибудь определенному моменту, например $t=0$. Само собой разумеется, что время фиксируется лишь там, где оно входит явно, и остается произвольным в функциях $a$.
Заменяя дифференциалы $\delta x_{i}^{(k)}, \Delta x_{i}^{(k)}, \delta \xi_{i, k}, \Delta \xi_{i, k}$ их значениями
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{r=1}^{2 m n} \frac{d x_{i, k}}{d a_{r}} \delta a_{r} ; & \sum_{s=1}^{2 m n} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}} d a_{s} ; \\
\sum_{r=1}^{2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}} \delta a_{r} ; & \sum_{s=1}^{2 m n} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}} d a_{s},
\end{array}
\]

получаем из уравнений (82) формулу
\[
\begin{array}{l}
\sum_{r=1}^{2 m n} \sum_{s=1}^{2 m n} \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{s}}-\frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{s}} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}\right) d a_{s} \delta a_{r}= \\
=d t \sum_{r=1}^{2 m n} \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(X_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}+\Xi_{i, k} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}\right) \delta a_{r}
\end{array}
\]

или, обозначая для краткости,
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(X_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d a_{r}}+\Xi_{i, k} \frac{d \xi_{i, k}}{d a_{r}}\right)=A_{r},
\]

получим
\[
\sum_{r=1}^{2 m n} \sum_{s=1}^{2 m n}(r, s) d a_{s} \delta a_{r}=d t \sum_{r=1}^{2 m n} A_{r} \delta a_{r} .
\]

Так қак $\delta a_{r}$ произвсльны, последнее уравнение распадается на уравнения
\[
\sum_{r=1}^{r=2 m n}(r, s) d a_{s}=A_{r} d t,
\]

которые при всевозможных номерах $r$ составляют $2 m n$ уравнений, заменяющих формулы (81), и из которых можно найти $2 m n$ значений $a$ как функции времени. Остается только заметить, что вследствие природы символа $(r, s)$ переменная $t$ не входит в первый член уравнения (84). Этот член содержит

лишь переменные $a$ и их дифференциалы в линейной форме. Функция $A_{r}$ может содержать время явно.

Приложение формулы (84) к частным случаям требует вычисления символа $(r, s)$ для различных номеров $r$ и $s$. Мы уже говорили, что нужно найти $m n(2 m n-1)$ значений символа непосредственно, а остальные с помощью найденных. Эти вычисления, вообще говоря, требуют знания $x$ и $\xi$ как функций $a$. Но при подходящим образом выбранных системах постоянных интегрирования можно легко определить все значения символа $(r, s)$, не только не зная выражения $x$ и $\xi$ через $a$, но даже не интегрируя ни одного из уравнений (14).

Среди этих систем надо различать такие, в которых $a$ являются начальными значениями $x$ и $\xi$. Образуем дифференциальные уравнения, обладающие такой системой.

Так как величины $a$ означают в действительности начальные значения $x$ и $\xi$, удобно изменить нумерацию, связав каждое начальное значение с отвечающей ему переменной. Мы обозначим через $a_{i}^{(k)}$ начальное значение $x_{i}^{(k)}$, а через $a_{i, k}$ – начальное значение $\xi_{i, k}$. Вместо уравнения (83) мы будем писать :
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{i, k}=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k=n-1}\left(X_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{i, k}}+\Xi_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{i, k}}\right), \\
A_{i}^{(k)}=\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left(X_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{i}^{(k)}}+\Xi_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{i}^{(k)}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Кроме того, в символе $(r, s)$ мы будем писать вместо номеров сами величины, введенные интегрированием.

Применяя новые обозначения, мы можем записать уравнения (84) в интересующем нас частном случае следующим образом :
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left[\left(a_{i}^{(k)}, a_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}\right) d a_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}+\left(a_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}, a_{i^{\prime}, k^{\prime}}\right) d a_{i^{\prime}, k^{\prime}}\right]=A_{i}^{(k)} d t \\
\sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left[\left(a_{i, k}, a_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}\right) d a_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}+\left(a_{i, k}, a_{i^{\prime}, k^{\prime}}\right) d a_{i^{\prime}, k}\right]=A_{i, k} d t .
\end{array}
\]

Мы видели, что символ $(r, s)$ обращается в нуль всякий раз, когда он не относится к начальным значениям соответствующих переменных, и равен +1 или -1, когда относится к ним. Следовательно, кроме $\left(a_{i}^{(k)}, a_{i, k}\right)=1$ и $\left(a_{i, k}, a_{i}^{(k)}\right)=-1$, все другие значения $(r, s)$ в предыдущих уравнениях суть нули, т. е. уравнения имеют очень простой вид :
\[
\left.\begin{array}{l}
d a_{i . k}=A_{i}^{(k)} d t, \\
d a_{i}^{(k)}=-A_{i, k} d t .
\end{array}\right\}
\]

Формулы (86) являются, по-видимому, более удобными для приложений, чем общие формулы (84). Эти последние относятся к произвольной системе постоянных, введенных при интегрировании уравнений (14). Но они дают только линейные функции дифференциалов наших переменных по времени, а не каждый дифференциал в отдельности. Для получения отдельных дифференциалов нужно сначала решить линейные уравнения (84). Наоборот, формулы (86) дают каждый дифференциал в отдельности и в очень простой форме, но они относятся только к переменным, являющимся начальными значениями $x$ и $\xi$ и удобным не во всех вопросах.

Итак, с помощью частных формул (86) можно найти дифференциалы каждой из переменных, принадлежащих к произвольной системе величин, введенных при интегрировании уравнений (14), и притом не разрешая уравнений (84) относительно этих дифференциалов.

Как известно, интегрирование системы дифференциальных уравнений может ввести бесконечное множество различных систем переменных величин, которые называют обычно произвольными постоянными. Известно также, что эти переменные, когда они принадлежат к одной и той же системе, совершенно независимы между собой.

Но переменные одной системы необходимо должны быть функциями переменных всякой другой системы. Так, например, каждая из величин $a_{1}, a_{2}, \ldots$ …, $a_{2 m n}$, которые представляют собой некоторую систему переменных, введенных при интегрировании (14), будут функциями $a_{i}^{(k)}$ и $a_{i, k}$ которые являются начальными значениями $x$ и $\xi$. Это происходит вследствие того, что последние переменные тоже представляют некоторую систему, которая может появиться при интегрировании (14).
Рассматривая $a_{r}$ как функции $a_{i}^{(k)}$ и $a_{i, k}$, получим
\[
d a_{r}=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d a_{i, k}} d a_{i, k}+\frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}} d a_{i}^{(k)}\right)
\]

или, принимая во внимание (86),
\[
d a_{r}=d t \sum_{i=1} \sum_{k=0}\left(A_{i}^{(k)} \frac{d a_{r}}{d a_{i, k}}-A_{i, k} \frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}}\right) .
\]

Подставляя на место $A_{i}^{(k)}$ и $A_{i, k}$ их значения из (85), получим
\[
\begin{array}{l}
d a_{r}=d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left[\frac{d a_{r}}{d a_{i, k}} \sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left(X_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{i}^{(k)}}+\Xi_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{\left.d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}^{d a_{i}^{k}}\right)}{}\right)-\right. \\
\left.-\frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}} \sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left(X_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{i, k}}+\Xi_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{i, k}}\right)\right] .
\end{array}
\]

Так как
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{i,}^{(k)}}=\sum_{s=1}^{s=2 m n} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{s}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}, \\
\frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{i}^{(k)}}=\sum_{s=1}^{s=2 m n} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{s}} \frac{d a_{s}}{d a_{i}^{(k)}}, \quad \frac{d x_{i^{\prime}}^{(k)}}{d a_{i, k}}=\sum_{s=1}^{s=2 m n} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{s}} \frac{d a_{s}}{d a_{i, k}}, \\
\frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{i, k}}=\sum_{s=1}^{s=2 m n} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{s}} \frac{d a_{s}}{d a_{i, k}},
\end{array}
\]

то, подставляя, имеем
\[
\begin{aligned}
d a_{r}=d t \sum_{s=1}^{2 m n} \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d a_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d a_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d a_{i, k}}\right) \sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(X_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{s}}+\right. \\
\left.+\Xi_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{s}}\right) .
\end{aligned}
\]

В силу (83) имеем
\[
\sum \sum\left(X_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}{d a_{s}}+E_{i^{\prime}, k^{\prime}} \frac{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}{d a_{s}}\right)=A_{s} .
\]

Следовательно,
\[
d a_{r}=d t \sum_{s=1}^{2 m n} \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} A_{s}\left(\frac{d a_{r}}{d a_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d a_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d a_{i, k}}\right)
\]

или, так как
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d a_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d a_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d a_{i, k}}\right),
\]

T0
\[
d a_{r}=d t \sum_{s=1}^{2 m n}\left(a_{r}, a_{s}\right) \cdot A_{s} .
\]

Символ $\left(a_{r}, a_{s}\right.$ ) имеет некоторые свойства, подоб̈ные свойствам символа $(r, s)$. Например, очевидно, что
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{r}, a_{s}\right)+\left(a_{s}, a_{r}\right)=0, \\
\left(a_{r}, a_{r}\right)=0 .
\end{array}
\]

а когда $s=r$, то
– Но символ ( $a_{r}, a_{s}$ ) обладает еще весьма замечательным свойством, заключающимся в том, что, вычисляя его значение, можно употреблять вместо начальных значений $a_{i}^{(k)}$ и $a_{i, k}$ сами величины $x_{i}^{(k)}$ и $\xi_{i, k}$, так что этот символ, определяемый формулой (87), можно определить еще и так:
\[
\left(a_{r}, a_{s}\right)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right) .
\]

Мы сейчас докажем это важное предложение, установленное впервые Пуассоном для случая динамики. Но прежде заметим, что для употребления формулы (88) нужно вычислить $m n(2 m n-1)$ значений символа ( $\left.a_{r}, a_{s}\right)$. Для этого, найдя интегралы уравнений (14), полагаем $t$ равным его начальному значению. Это дает все соотношения, которые могут быть между введенными при интегрировании переменными $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}$ и начальными значениями $x$ и $\xi$, образующими другую систему, могущую появиться при интегрировании. С помощью этих соотношений находят все частные производные переменных $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}$ и с помощью этих производных по формулам (89) находят значения символа ( $a_{r}, a_{s}$ ).

Заметим теперь, что формула (89), если придать $t$ начальное значение, превратится в уравнение
\[
\left(a_{r}, a_{s}\right)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d a_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d a_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d a_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{s}}{d a_{i, k}}\right) .
\]

Изэтого мы заключаем, что для доказательства интересующей нас теоремы достаточно показать, что сумма
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)
\]

не зависит от времени, т. е. имеет в каждый момент одно и то же значение. Поэтому тогда, очевидно,
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d a_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d x_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d a_{i, k}}\right),
\]

что и доказывает точность формулы (89). Таким образом, дело сводится к доказательству того, что дифференциал
\[
d \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)
\]

или
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}} d \frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} d \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}+\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} d \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}} d \frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}}\right)
\]

равен нулю. Для этого предположим, что мы выразили с помощью интегралов уравнений (14) одну из переменных $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m n}$, например $a_{r}$, как функцию $t, x$ и $\xi$ без других переменных $a$. Дифференцируя найденное таким образом выражение $a_{r}$ по $t$, получим
\[
0=\frac{d a_{r}}{d t} d t+\sum_{\mid i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}+\frac{a a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}\right)
\]

или, заменяя дифференциалы $d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}$ и $d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}$ правыми частями уравнений (14) и разделив на $d t$, получим
\[
0=\frac{d a_{r}}{d t}+\sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right) .
\]

Эта последняя формула, вследствие свойств интегралов дифференциальных уравнений, должна быть тождеством и ее можно дифференцировать по любым $x$ и $\xi$. Дифференцируя по $x_{i}^{(k)}$ и $\xi_{i, k}$, получим тождества
\[
\begin{aligned}
0=\frac{d^{2} a_{r}}{d t d x_{i}^{(k)}}+\sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d^{2} a_{r}}{d x_{i}^{(k)} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right. & \left.\frac{d \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d^{2} a_{r}}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right)+ \\
+ & \sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i}^{(k)} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right)
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{d^{2} a_{r}}{d t d \xi_{i, k}}+\sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d^{2} a_{r}}{d \xi_{i, k} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d^{2} a_{r}}{d \xi_{i, k} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right)+ \\
\quad+\sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда, дифференцируя частные производные $\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}}$ и $\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}}$ по времени и заменяя $d \xi_{i, k, k}$ и $d x_{i \prime}^{\left(k^{\prime}\right)}$ соответственно на $\frac{d \Theta}{d x^{\left(k^{\prime}\right)}}$ и $-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}$, получим
\[
\begin{aligned}
d\left(\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}}\right) & =\frac{d^{2} a_{r}}{d t d x_{i}^{(k)}} d t+d t \sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d^{2} a_{r}}{d x_{i}^{(k)} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d^{2} a_{r}}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right) \\
d\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}}\right) & =\frac{d^{2} a_{r}}{d t d \xi_{i, k}} d t+d t \sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d^{2} a_{r}}{d \xi_{i, k} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}-\frac{d^{2} a_{r}}{d \xi_{i, k} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d \Theta}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}\right)
\end{aligned}
\]

Сравнение этих результатов с двумя предыдущими тождествами дает
\[
\begin{array}{l}
d \frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}}=d t \sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i}^{(k)} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}-\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}\right), \\
d \frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}}=d t \sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d x_{\left.i^{\prime}\right)}}-\frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}-\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}\right) .
\end{array}
\]

Выполняя с $a_{s}$ операции, аналогичные тем, которые мы проделали с $a_{r}$, найдем для дифференциалов от $\frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}$ и $\frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}$ выражения, аналогичные предыдущим. Эти выражения получаются из предыдущих простой заменой номера $r$ на $s$ :
\[
\begin{aligned}
d \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}} & =d t \sum_{i^{\prime}=1}^{i^{\prime}=m} \sum_{k^{\prime}=0}^{k^{\prime}=n-1}\left(\frac{d a_{s}}{\left.d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right.}\right)} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}-\frac{d a_{s}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}\right), \\
d \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}} & =d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}-\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}\right) .
\end{aligned}
\]

Подставляя в дифференциал
\[
d \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right),
\]
T. e. B
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}} d \frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} d \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}+\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} d \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}} d \frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}}\right),
\]

вместо
\[
d \frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}}, \quad d \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}, \quad d \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}, \quad d \frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}}
\]

их выражения, только что полученные, и полагая для краткости
\[
\begin{aligned}
P_{i, k, i^{\prime}, k^{\prime}} & =\frac{d a_{r}}{d x_{i^{\prime}}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}}+\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d^{2} \Theta}{d \xi_{i, k} d x_{i^{\prime}}^{(k)}}+ \\
& +\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{\left.i^{\prime}\right)}^{\left(k^{\prime}\right)}} \frac{d^{2} \Theta}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}}+\frac{d a_{r}}{d \xi_{i^{\prime}, k^{\prime}}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}} \frac{d^{2 \Theta}}{d x_{i}^{(k)} d x_{i^{\prime}}^{\left(k^{\prime}\right)}},
\end{aligned}
\]

мы найдем
$d \sum_{i=1} \sum_{k=0}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)=d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{i^{\prime}=1}^{m} \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1}\left(P_{i, k, i^{\prime}, k^{\prime}}-P_{i^{\prime}, k^{\prime}, i, k}\right)$.
Но очевидно, что интегрирование в данных пределах, произведенное как посредством $\Sigma$, так и посредством $\int$, не зависит от переменных интегрирования, а зависит лишь от пределов. Поэтому мы можем вместо $P_{i^{\prime}, k^{\prime}, i, k}$ писать $P_{i, k, i, k}$, потому что при этом лишь меняются переменные $i^{\prime}, k^{\prime}$ на $i, k$ и обратно. После такой замены правая часть последнего уравнения исчезнет и будет
\[
d \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)=0,
\]

что после интегрирования дает
\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)=\text { const }=C .
\]

Буква $C$ обозначает переменную, не зависящую от времени. Следовстельно,
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)=\left(a_{r}, a_{s}\right) .
\]

Мы уже говорили, что частные производные от а для вычисления суммы
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right)
\]

находят из интегралов уравнений (14), которые устанавливают $2 m n$ соот ношений между $4 m n+1$ величинами, именно между $x, \xi, a$ и $t$. Вследствие этих соотношений можно рассматривать $a$ как функции $x, \xi$ и $t$, и если в этом предположении продифференцировать упомянутые соотношения по каждой $x$ и каждой $\xi$, рассматриваемым как независимые друг от друга и от времени, то получим $4 m^{2} n^{2}$ линейных уравнений между производными $a$, откуда и можно найти эти производные для вычисления всех значений символа $\left(a_{r}, a_{s}\right)$ или суммы
\[
\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d a_{r}}{d \xi_{i, k}} \frac{d a_{s}}{d x_{i}^{(k)}}-\frac{d a_{r}}{d x_{i}^{(k)}} \frac{d a_{s}}{d \xi_{i, k}}\right) .
\]

Значения, о которых мы говорили, содержат $a, x, \xi$ и $t$. Но если из них с помощью интегралов уравнений (14) исключить $x$ и $\xi$, то уйдет также и время, и наши значения будут выражаться через переменные $a$, независимые от времени. Это и есть результат, выражаемый формулой (89) или (90).

Если мы не имеем всех интегралов (14), мы не сможем вычислить всех значений символа ( $a_{r}, a_{s}$ ). Значение одного-единственного интеграла не дает, вообще говоря, ни одного значения, два интеграла дают лишь два значения ( $a_{r}, a_{s}$ ) и ( $a_{s}, a_{r}$ ), которые, отличаясь только знаком, могут считаться за одно; $l$ интегралов в общем случае дают $l(l-1)$ значений символа, но это число надо уменьшить в два раза, так как два значения, отличающихся порядком букв, отличаются только знаком и могут считаться за одно.

Все $\frac{l(l-1)}{2}$ значений символа ( $a_{r}, a_{s}$ ), которые находятся с помощью $l$ интегралов, зависят от $x, \xi$ и $t$ и тех из величин $a$, которые содержатся в $l$ данных интегралах. Заметим еще, что мы не можем избавиться от $x$ и $\xi$, как в случае $2 \mathrm{mn}$ интегралов, так как $l$ интегральных соотношений недостаточно для нахождения $2 m n$ величин, если
\[
l<2 m n \text {. }
\]

Но с помощью этих же соотношений можно избавиться, используя их соответствующим образом, от величины $a$, так как последних столько же, сколько интегралов, т. е. мы можем предполагать, если окажется нужным, что величины $a$ не входят в найденные ( $\left.a_{r}, a_{s}\right)$.

Но сделали ли мы это предположение или будем считать, что найденные $\frac{l(l-1)}{2}$ значений символа ( $a_{r}, a_{s}$ ) содержат $a$, эти значения всегда будут независимыми от времени. Следовательно, можно приравнять каждый из

них переменной, не зависящей от времени, а это даст нам $\frac{l(l-1)}{\llbracket 2}$ соотношений между $x, \xi$ и временем, т. е. столько же, сколько интегралов уравнений (14).

Если среди последних находятся такие, которые не входят в данное ранее число $l$, то мы можем использовать их для получения новых значений символа и т. д.

Блестящий французский геометр Пуассон не заметил, по-видимому, одной из полученных им формул, которая в частном случае динамики сводится к нашему уравнению (90). Это не первый и, без сомнения, не последний пример того, как автор не замечает всех применений или следствий установленной им теоремы или принципа. Так как он рассматривает теорему только в применении к объекту, который имеет в виду, то неудивительно, что многие применения и следствия ускользают от его внимания. Однако, по справедливости, ему должна принадлежать большая часть заслуг открытия следствий, выведенных другими из его принципов.
15. Определение значений символа ( $a_{r}, a_{s}$ ) может быть упрощено в некоторых частных случаях посредством особых преобразований и приемов. Но вдаваться в детали этого не является нашей задачей, и мы ограничимся только одним замечанием.
Умножим второе из уравнений :
\[
\left.\begin{array}{l}
d \xi_{i, k}=-\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t, \\
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t
\end{array}\right\}
\]

на множитель $\Pi_{i, k}$ – конечную функцию $x$ и $\xi$ или содержащую в линейной форме дифференциалы этих переменных относительно произвольных постоянных, и вычтем результат из первого уравнения, умноженного на функцию $p_{i, k}$, аналогичную $\Pi_{i, k}$. Мы получим
\[
p_{i, k} d \xi_{i, k}-\Pi_{i, k} d x_{i}^{(k)}=\left(p_{i, k} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}+\Pi_{i, k} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right) d t,
\]

откуда
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} d \xi_{i, k}-\Pi_{i, k} d x_{i}^{(k)}\right)=d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}+\Pi_{i, k} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right) .
\]

Если выбрать $p_{i, k}$ и $\Pi_{i, k}$ таким образом, чтобы сделать последнее уравнение интегрируемым, то получим
\[
\int \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} d \xi_{i, k}-\Pi_{i, k} d x_{i}^{(k)}\right)=\int d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}+\Pi_{i, k} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right)+H .
\]

Буква $H$ обозначает переменную, независимую от времени. Уравнение (91) есть интеграл уравнений (14). Из последних получим
\[
\begin{array}{l}
d \xi_{i, k}=\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d t+X_{i, k} d t, \\
d x_{i}^{(k)}=-\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d t-\Xi_{i, k} d t ;
\end{array}
\]

остается только предположить, что $H$ зависит от $t$, причем вид этой зависи-

мости подлежит определению. Продифференцируем (91), считая $H$ переменной. Мы получим
\[
\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} d \xi_{i, k}-\Pi_{i, k} d x_{i}^{(k)}\right)=d t \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}+\Pi_{i, k} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}\right)+d H .
\]

Заменяя $d \xi$ и $d x$ их значениями (80) и вычеркивая то, что взаимно уничтожится, получим
\[
d H=d t \sum_{i=1}^{m \cdot n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(p_{i, k} X_{i, k}+\Pi_{i, k} \Xi_{i, k}\right) .
\]

Это уравнение дает значение $H$, при котором формула (91) превращается в интеграл уравнений (80). На самом деле предыдущее выражение для $d H$ не имеет формы (88), подходящей для величин, введенных интегрированием когда они превращаются в функции времени. Но его нетрудно привести к такой форме в частном случае.

Предположим, например, что функция $V$, а следовательно и $\boldsymbol{\Theta}$, не содержит явно времени. Тогда можно сделать формулу (91) интегрируемой, положив
\[
p_{i, k}=\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}, \quad \Pi_{i, k}=-\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(\bar{k})}},
\]

так как при этом она превращается в уравнение
\[
0=\int_{i=1}^{l=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}} d x_{i}^{(k)}+\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}} d \xi_{i, k}\right)+h
\]

или в
\[
\Theta+h=0 .
\]

Величина – $h$ и будет значением $H$, подходящим для нашего частного случая.

Уравнение (93) отличается от уравнения живых сил только тем, что величина $h$ зависит здесь от времени. Ее величина, или, вернее, величина ее дифференциала по времени, получается из формулы (92):
\[
-d h=d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(X_{i, k} \frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}-\Xi_{i, k} \frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}\right)
\]

или, если заменить $\frac{d \Theta}{d x_{i}^{(k)}}$ и $\frac{d \Theta}{d \xi_{i, k}}$ их значениями из уравнений (80), то
\[
d h=\sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n-1}\left(X_{i, k} d x_{i}^{(k)}+\Xi_{i, k} d \xi_{i, k}\right) .
\]

Для приведения дифференциала $d h$ к форме (88) заметим, что так как $\theta$ не содержит явно времени, она не входит больше в уравнения (14). Из этого, как известно, следует, что между величинами, появившимися при интегрировании, имеется одна, которая всюду добавляется к времени. Поэтому, обозначая только что упомянутую величину через $\varepsilon$, мы должны считать как $x$, так и $\xi$ функциями $t+\varepsilon$.

Это имеет место, повторяем, вследствие того, что нигде $t$ не появляется без сопровождающей его $\varepsilon$ и нигде $\varepsilon$ не появляется без $t$. Поэтому
\[
d x_{\mathrm{i}}^{(k)}=\frac{d x_{i}^{(k)}}{d \varepsilon} d t, \quad d \xi_{i, k}=\frac{d \xi_{i, k}}{d \varepsilon} d t,
\]

что дает
\[
d h=d t \sum_{i=1}^{i=m} \sum_{k=0}^{k=n}\left(X_{i, k} \frac{d x_{i}^{(k)}}{d \varepsilon}+\Xi_{i, k} \frac{d \xi_{i, k}}{d \varepsilon}\right) .
\]

Сравнивая сумму в правой части этого уравнения с формулой (83), устанавливаем, что сумма есть одна из функций $A$. Обозначая последнюю через $A_{\varepsilon}$, получим
\[
d h=A_{\varepsilon} d t .
\]

Это и дает нам изменение постоянной эивых сил, произведенное возмуцающими силами.

Если теперь применить этот результат к уравнению (88), то немедленно найдем следующие значения символа ( $a_{r}, a_{s}$ ):
\[
(h, \varepsilon)=1 \text {, }
\]

а затем
\[
\left(h, a_{s}\right)=0 \text {, }
\]

причем (96) и (97) имеют место всегда, когда $a_{s}$ представляет величину, введенную при интегрировании и отличную от $\varepsilon$. В предыдущем примере мы видели, что один-единственный интеграл уравнений (14) в частном случае может дать несколько значений символа ( $a_{r}, a_{s}$ ).

При применении формулы (92) исследуют, не являются ли интегрирующие множители $p_{i, k}$ и $\Pi_{i, k}$ в то же самое время производными $x$ и $\xi$ по переменным $a$ или линейными функциями этих производных. Если это оказывается так, можно легко привести дифференциал $d H$ величины $H$, даваемой интегралом уравнения (91), к форме (88), что немедленно дает несколько значений символа ( $\left.a_{r}, a_{s}\right)$.
Примером этого может служить динамика.
Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от харақтера этого движения.

Если предположить, следовательно, что множители $p$ и $П$ будут частными производными координат, выбранных для определения движения, по каждой из девяти упомянутых величин, то формула (91) в занимающем нас случае динамики становится интегрируемой и мы получаем девять интегралов со столькими же произвольными постоянными $H$. Таким образом, если принять во внимание значения множителей $p$ и П, то уравнение (92) приобретает удобную форму. Мы придадим $d H$ и девяти произвольным постоянным $H$ вариации, произведенные возмущающими силами. Следовательно, мы одновременно получим значительное число величин символа $\left(a_{r}, a_{s}\right)$, и тогда можно будет определить посредством прямого вычисления те значения нашего символа, которые ускользают от нас при частных методах. Мы вскоре покажем это на примере [144].