Рассмотрим динамическую систему с $N$ степенями свободы, заданную в терминах обобщенных координат $q_{n}(n=1,2, \ldots, N)$ и скоростей $\frac{d q_{n}}{d t}$ или $\dot{q}_{n}$. Вначале будем считать лагранжиан $L$ произвольной функцией координат и скоростей:
\[
L \equiv L(q, \dot{q}) .
\]

Импульс задается соотношением
\[
p_{n}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}} .
\]

Введем операцию варьирования, независимо изменяющую каждую из

величин $q_{n}, \dot{q}_{n}, p_{n}$ на малую величину $\delta q_{n}, \delta \dot{q}_{n}, \delta p_{n}$ порядка $\varepsilon$, причем варьирование ведется с точностью до $\varepsilon$. В результате варьирования уравнения (2) перестанут удовлетворяться, так как их правая часть будет отличаться от левой на величину $\varepsilon$. В дальнейшем мы будем различать два вида уравнений: уравнения типа (2), которые нарушаются с точностью до $\varepsilon$ после варьирования $\left[{ }^{233}\right]$, и уравнения, выполняющиеся с точностью до $\varepsilon$ после варьирования. Уравнение (1) принадлежит ко второму виду, поскольку вариация $L$, по определению, равна вариации функции $L(q, \dot{q})$. Уравнения второго вида мы назовем слабыми уравнениями и будем записывать с помощью обычного символа равенства (=), первый же вид уравнений назовем сильными уравнениями и будем обозначать символом (”). Имеют место следующие общие правила варьирования слабых и сильных уравнений:
\[
\begin{array}{lll}
\text { если } A=0, & \text { то } & \delta A=0, \\
\text { если } X=0, & \text { то } & \delta X
eq 0 .
\end{array}
\]

Из слабого уравнения $X=0$ следует, что $\delta X^{2}=2 X \delta X=0$. Таким образом, мы получаем сильное уравнение $X^{2} \equiv 0$. Аналогично из двух слабых уравнений $X_{1}=0$ и $X_{2}=0$ следует уравнение
\[
X_{1} X_{2} \equiv 0 .
\]

Возможен случай, когда $N$ величин $\partial L / \partial \dot{q}_{n}$, стоящих в правой части уравнения (2), являются независимыми функциями $N$ скоростей $\dot{q}_{n}$. В этом случае уравнения (2) задают $\dot{q}_{n}$ как функции от всех $q_{n}$ и $p_{n}$. Этот случай (мы будем называть его в дальнейшем обычным случаем) рассматривался до сих пор во всех динамических теориях қак единственно возможный.

Если величины $\partial L / \partial \dot{q}_{n}$ не являются независимыми функциями скоростей, то мы можем исключить величины $\dot{q}$ из уравнений (2) и получить одно или несколько уравнений
\[
\Phi(q, p)=0,
\]

содержащих только $q$ и $p$.
Мы можем считать, не нарушая общности, что уравнения (3) записаны таким образом, что варьирование изменяет $\Phi$ на величину порядка $\varepsilon$, так как в случае, если $\Phi$ изменяется на величину порядка $\varepsilon^{k}$, мы всегда можем удовлетворить нашему условию, заменив $\Phi$ на $\Phi^{\frac{1}{\kappa}}$. Таким образом, уравнение (3) нарушается при варьировании с точностью до $\varepsilon$, так что вполне справедливо считать его слабым уравнением. Используем теперь полную систему независимых уравнений типа (3) :
\[
\Phi_{m}(q, p)=0 \quad(m=1,2, \ldots, M) .
\]

Условие независимости означает, что ни одно из $\Phi$ нельзя выразить линейно через другие $\Phi$ с коэффициентами, зависящими от $q$ и $p$. Условие полноты означает, что каждая функция $q$ и $p$, обращающаяся в 0 при учете уравнений (2) и изменяющаяся на $\varepsilon$ при варьировании, линейно выражается через $\Phi_{m}$ с коэффициентами, зависящими от $q$ и $p$. Связь сильных и слабых уравнений можно интерпретировать следующим образом.

Координаты $q, \dot{q}$ и $p$ образуют $3 N$-мерное пространство. В этом пространстве существует $2 N$-мерная область, в которой удовлетворяются уравнения (2). Назовем эту область $R$. Уравнения (4) также удовлетворяются в $R$, так как они вытекают из (2). Теперь рассмотрим множество точек $3 N$-мерного пространства, удаленных от области $R$ на расстояние, не превышающее $\varepsilon$. Точки образуют $3 N$-мерную окрестность порядка $\varepsilon$. Назовем ее $R_{\varepsilon}$. Тогда слабые уравнения удовлетворяются в области $R$, а сильные – в области $R_{\varepsilon}$.