Чтобы показать обращение, просмотрим сначала в основном предшествующие выводы в обратном порядке. Из существования соотношений (13) вытекает после умножения на $\epsilon$ и сложения справедливость равенства (12), а в силу тождества (3) отсюда вытекает и соотношение
$$\overrightarrow{\delta }f+\mathrm{Div}(A-B)=0.$$

Значит, если положить
$$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{f}(A-B),$$

то таким путем мы придем к равенству (11) ; отсюда, наконец, путем интегрирования получаем равенство (7) :
$$\mathrm{\Delta }I=0,$$
т. е. инвариантность $I$ по отношению к бесконечно малому преобразованию, определяемому через $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }u$, причем $\mathrm{\Delta }u$, в силу равенства (9), определяются через $\mathrm{\Delta }x$ и $\overline{\delta }u$, а $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }u$ становятся линейными относительно параметров. Но равенство
$$\mathrm{\Delta }I=0$$

влечет за собой, как известно, инвариантность $I$ по отношению к конечным преобразованиям, которые получаются путем интегрирования системы совместных уравнений:
$$\frac{dx}{dt}=\mathrm{\Delta }{x}_i,\frac{d{u}_i}{dt}=\mathrm{\Delta }{u}_i\text{ при }t=0\{\begin{array}{l}{x}_i=y,\\ u_i=v.\end{array}$$

Эти конечные преобразования содержат $\varrho$ параметров $a_1,\dots ,a_{\varrho }$, а именно комбинации $t{\epsilon }_1,\dots ,t{\epsilon }_{\varrho }$. Из предположения о том, что должно быть $\varrho$ и только $\varrho$ независимых соотношений дивергенций, следует, далее, что конечные преобразования, поскольку они не содержат производных $\frac{\partial u}{\partial x}$, всегда образуют группу. В противном случае, по крайней мере, одно бесконечно малое преобразование, образованное посредством скобочного процесса Ли (Lie’schen Klammerprozess) [ ${}^{216}]$, не было бы линейной комбинацией $\varrho$ остальных, а так как $I$ допускает и это преобразование, то существовало бы больше чем $\varrho$ линейно независимых соотношений дивергенций или же это бесконечно малое преобразование имело бы специальную форму, такую, что $\delta u=0$, $\mathrm{Div}(j\cdot \mathrm{\Delta }x)=0$, но тогда $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }y$ в противоречии с предположением зависели бы от производных. Вопрос о том, может ли представиться случай, когда в $\mathrm{\Delta }x$ или $\mathrm{\Delta }u$ входят производные, должен остаться открытым; в этом случае к определенному выше $\mathrm{\Delta }x$ пришлось бы присоединить все функции $\mathrm{\Delta }x$, для которых $\mathrm{Div}(f\cdot \mathrm{\Delta }x)=0$, чтобы снова получить группу, но добавленные таким путем параметры не должны, согласно условию, приниматься во внимание. Этим доказано обращение.

Из этого обращения следует еще, что фактически мы имеем право брать $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }u$ линейными относительно параметров. В самом деле, если бы $\mathrm{\Delta }u$ и $\mathrm{\Delta }x$ были формами высших степеней относительно $\epsilon$, то вследствие линейной независимости произведений степеней $\epsilon$ соответствующие соотношения (13) получились бы в большем числе, а из них после обращения вытекает инвариантность интеграла $I$ по отношению к группе, бесконечно малые преобразования которой содержат параметры линейно. Если эта груп-

па должна содержать в точности $\varrho$ параметров, то неизбежно будут существовать линейные зависимости между соотношениями дивергенций, полученными первоначально, благодаря членам высшей степени относительно $\epsilon$.

Нужно еще заметить, что в случае, когда $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }u$ содержат также производные от $u$, конечные преобразования могут зависеть от бесконечно большого числа производных от $u$; в самом деле, интегрирование системы (17) ведет в этом случае, при определении $\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial t^2},\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial t^2}$, к уравнению
$$\mathrm{\Delta }\left(\frac{\partial u}{\partial x_{\varkappa }}\right)=\frac{\partial \mathrm{\Delta }u}{\partial x_{\varkappa }}-\sum _{\lambda }\frac{\partial u}{\partial x_{\lambda }}\frac{\partial \mathrm{\Delta }{x}_{\lambda }}{\partial x_{\varkappa }},$$

так что число производных от $u$, вообще говоря, возрастает с каждой ступенью. Так, например,
$$\begin{array}{c}f=\frac{1}{2}{u}^{\prime 2},\psi =-u^{\prime \prime },\psi \cdot x=\frac{d}{dx}(u-u^{\prime }x),\overline{\delta }u=x\cdot \epsilon ,\\ \mathrm{\Delta }x=\frac{-2u}{u^{\prime 2}}\epsilon ,\mathrm{\Delta }u=(x-\frac{2u}{u^{\prime }})\epsilon .\end{array}$$

Так как лагранжевы выражения дивергенции тождественно исчезают, то обращение показывает еще следующее: если I допускает группу (S ${}_e$, то каждый интеграл, который отличается от $I$ только на интеграл по границе, т. е. интеграл от дивергенции, также допускает группу ${\mathfrak{H}}_e$ с теми же самыми $\delta u_i$, группу, бесконечно малые преобразования которой, вообще говоря, будут содержать производные от $u$. Так, например, в соответствии с вышеприведенным примером
$$f^{\ast }=\frac{1}{2}\{u^{\prime \prime }-\frac{d}{dx}\left(\frac{u^2}{x}\right)\}$$

допускает бесконечно малое преобразование
$$\mathrm{\Delta }u=x\epsilon ,\mathrm{\Delta }x=0;$$

в то же время в бесконечно малые преобразования, соответствующие $f$, входят производные от $u$.

Если перейти к вариационной задаче, т. е. если положить ${\psi }_i=0\ast$ ), то соотношения (13) переходят в уравнения:
$$\mathrm{Div}{B}^{(1)}=0,\dots ,\mathrm{Div}{B}^{(\varrho )}=0,$$

которые часто называются «законами сохранения». В одномерном случае отсюда следует:
$$B^{(1)}=\text{ const, }\dots ,B^{(\varrho )}=\text{ const ; }$$

при этом $B$ содержат производные порядка не выше $2x-1$ от $u$ [согласно (6) ], коль скоро $\mathrm{\Delta }u$ и $\mathrm{\Delta }x$ не содержат производных более высокого порядка, чем входящие в $f$ производные порядка $\mathrm{\%}$. Так как в $\psi$, вообще говоря, встречаются производные порядка $2x^{\ast \ast }$ ), то, следовательно, имеются налицо $\varrho$ первых интегралов. Что между ними могут существовать нелинейные зависи-

мости, показывает опять вышеприведенный пример $f$. Линейно независимым $\mathrm{\Delta }u={\epsilon }_1,\mathrm{\Delta }x={\epsilon }_2$ соответствуют линейно независимые соотношения:
$$u^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}{u}^{\prime },u^{\prime \prime }\cdot u^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}{\left(u^{\prime }\right)}^2,$$

в то время как между первыми интегралами
$$u^{\prime }=\text{ const },u^{\prime 2}=\text{ const }$$

существует нелинейная зависимость. При этом дело идет об элементарном случае, когда $\mathrm{\Delta }u,\mathrm{\Delta }x$ не содержат производных от $u^{\ast }$ ).