Чтобы показать обращение, просмотрим сначала в основном предшествующие выводы в обратном порядке. Из существования соотношений (13) вытекает после умножения на $\varepsilon$ и сложения справедливость равенства (12), а в силу тождества (3) отсюда вытекает и соотношение
\[
\vec{\delta} f+\operatorname{Div}(A-B)=0 .
\]
Значит, если положить
\[
\Delta x=\frac{1}{f}(A-B),
\]
то таким путем мы придем к равенству (11) ; отсюда, наконец, путем интегрирования получаем равенство (7) :
\[
\Delta I=0,
\]
т. е. инвариантность $I$ по отношению к бесконечно малому преобразованию, определяемому через $\Delta x, \Delta u$, причем $\Delta u$, в силу равенства (9), определяются через $\Delta x$ и $\bar{\delta} u$, а $\Delta x$ и $\Delta u$ становятся линейными относительно параметров. Но равенство
\[
\Delta I=0
\]
влечет за собой, как известно, инвариантность $I$ по отношению к конечным преобразованиям, которые получаются путем интегрирования системы совместных уравнений:
\[
\frac{d x}{d t}=\Delta x_{i}, \quad \frac{d u_{i}}{d t}=\Delta u_{i} \quad \text { при } t=0\left\{\begin{array}{l}
x_{i}=y, \\
u_{i}=v .
\end{array}\right.
\]
Эти конечные преобразования содержат $\varrho$ параметров $a_{1}, \ldots, a_{\varrho}$, а именно комбинации $t \varepsilon_{1}, \ldots, t \varepsilon_{\varrho}$. Из предположения о том, что должно быть $\varrho$ и только $\varrho$ независимых соотношений дивергенций, следует, далее, что конечные преобразования, поскольку они не содержат производных $\frac{\partial u}{\partial x}$, всегда образуют группу. В противном случае, по крайней мере, одно бесконечно малое преобразование, образованное посредством скобочного процесса Ли (Lie’schen Klammerprozess) [ $\left.{ }^{216}\right]$, не было бы линейной комбинацией $\varrho$ остальных, а так как $I$ допускает и это преобразование, то существовало бы больше чем $\varrho$ линейно независимых соотношений дивергенций или же это бесконечно малое преобразование имело бы специальную форму, такую, что $\delta u=0$, $\operatorname{Div}(j \cdot \Delta x)=0$, но тогда $\Delta x$ и $\Delta y$ в противоречии с предположением зависели бы от производных. Вопрос о том, может ли представиться случай, когда в $\Delta x$ или $\Delta u$ входят производные, должен остаться открытым; в этом случае к определенному выше $\Delta x$ пришлось бы присоединить все функции $\Delta x$, для которых $\operatorname{Div}(f \cdot \Delta x)=0$, чтобы снова получить группу, но добавленные таким путем параметры не должны, согласно условию, приниматься во внимание. Этим доказано обращение.
Из этого обращения следует еще, что фактически мы имеем право брать $\Delta x$ и $\Delta u$ линейными относительно параметров. В самом деле, если бы $\Delta u$ и $\Delta x$ были формами высших степеней относительно $\varepsilon$, то вследствие линейной независимости произведений степеней $\varepsilon$ соответствующие соотношения (13) получились бы в большем числе, а из них после обращения вытекает инвариантность интеграла $I$ по отношению к группе, бесконечно малые преобразования которой содержат параметры линейно. Если эта груп-
па должна содержать в точности $\varrho$ параметров, то неизбежно будут существовать линейные зависимости между соотношениями дивергенций, полученными первоначально, благодаря членам высшей степени относительно $\varepsilon$.
Нужно еще заметить, что в случае, когда $\Delta x$ и $\Delta u$ содержат также производные от $u$, конечные преобразования могут зависеть от бесконечно большого числа производных от $u$; в самом деле, интегрирование системы (17) ведет в этом случае, при определении $\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial t^{2}}, \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial t^{2}}$, к уравнению
\[
\Delta\left(\frac{\partial u}{\partial x_{\varkappa}}\right)=\frac{\partial \Delta u}{\partial x_{\varkappa}}-\sum_{\lambda} \frac{\partial u}{\partial x_{\lambda}} \frac{\partial \Delta x_{\lambda}}{\partial x_{\varkappa}},
\]
так что число производных от $u$, вообще говоря, возрастает с каждой ступенью. Так, например,
\[
\begin{array}{c}
f=\frac{1}{2} u^{\prime 2}, \quad \psi=-u^{\prime \prime}, \quad \psi \cdot x=\frac{d}{d x}\left(u-u^{\prime} x\right), \quad \bar{\delta} u=x \cdot \varepsilon, \\
\Delta x=\frac{-2 u}{u^{\prime 2}} \varepsilon, \quad \Delta u=\left(x-\frac{2 u}{u^{\prime}}\right) \varepsilon .
\end{array}
\]
Так как лагранжевы выражения дивергенции тождественно исчезают, то обращение показывает еще следующее: если I допускает группу (S $_{e}$, то каждый интеграл, который отличается от $I$ только на интеграл по границе, т. е. интеграл от дивергенции, также допускает группу $\mathfrak{H}_{e}$ с теми же самыми $\delta u_{i}$, группу, бесконечно малые преобразования которой, вообще говоря, будут содержать производные от $u$. Так, например, в соответствии с вышеприведенным примером
\[
f^{*}=\frac{1}{2}\left\{u^{\prime \prime}-\frac{d}{d x}\left(\frac{u^{2}}{x}\right)\right\}
\]
допускает бесконечно малое преобразование
\[
\Delta u=x \varepsilon, \quad \Delta x=0 ;
\]
в то же время в бесконечно малые преобразования, соответствующие $f$, входят производные от $u$.
Если перейти к вариационной задаче, т. е. если положить $\psi_{i}=0 *$ ), то соотношения (13) переходят в уравнения:
\[
\operatorname{Div} B^{(1)}=0, \ldots, \quad \operatorname{Div} B^{(\varrho)}=0,
\]
которые часто называются «законами сохранения». В одномерном случае отсюда следует:
\[
B^{(1)}=\text { const, } \ldots, \quad B^{(\varrho)}=\text { const ; }
\]
при этом $B$ содержат производные порядка не выше $2 x-1$ от $u$ [согласно (6) ], коль скоро $\Delta u$ и $\Delta x$ не содержат производных более высокого порядка, чем входящие в $f$ производные порядка $\%$. Так как в $\psi$, вообще говоря, встречаются производные порядка $2 x^{* *}$ ), то, следовательно, имеются налицо $\varrho$ первых интегралов. Что между ними могут существовать нелинейные зависи-
мости, показывает опять вышеприведенный пример $f$. Линейно независимым $\Delta u=\varepsilon_{1}, \Delta x=\varepsilon_{2}$ соответствуют линейно независимые соотношения:
\[
u^{\prime \prime}=\frac{d}{d x} u^{\prime}, \quad u^{\prime \prime} \cdot u^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}\left(u^{\prime}\right)^{2},
\]
в то время как между первыми интегралами
\[
u^{\prime}=\text { const }, \quad u^{\prime 2}=\text { const }
\]
существует нелинейная зависимость. При этом дело идет об элементарном случае, когда $\Delta u, \Delta x$ не содержат производных от $u^{*}$ ).
