Наконец, и з предыдущего получается еще доказательство утверждения Гильберта о связи отказа от собственных законов энергии с «общей относительностью\” (первая статья Клейна, Göttingen Nachr., 1917, ответ, первый абзац) и именно в обобщенной формулировке, с точки зрения теории групп.

Пусть интеграл $I$ допускает группу (3) и пусть $\aleph_{\sigma}$-какая-либо конечная группа, возникшая из первой путем придания специального вида произвольным функциям; следовательно, $\mathscr{S}_{\sigma}$ является подгруппой $\mathfrak{S}_{\infty e}$. Бесконечной группе $\mathscr{S}_{\infty_{e}}$ тогда соответствуют зависимости (16), конечной группе $\mathfrak{S}_{\sigma}$ – соотношения дивергенций (13); обратно, из существования каких-либо соотношений дивергенций вытекает инвариантность I по отношению к некоторой конечной группе, которая в том и только в том случае совпадает с $\mathscr{S}_{\sigma}$, когда $\delta u$ являются јинейными комбинациями $\delta u$, получающихся из (S $_{\sigma}$. Следовательно, инвариантность по отношению к $\mathfrak{W}_{\sigma}$ не может повести к каким-либо соотношениям дивергенций, отличным от (13). Но так как из существования зависимостей (16) следует инвариантность I по отношению к бесконечно малым преобразованиям $\Delta u$ и $\Delta x$ группы $\aleph_{\infty е}$ при любом виде $p(x)$, то отсюда, в частности, следует уже и инвариантность относительно возникающих путем специализации вида функций бесконечно малых преобразований группы $\mathfrak{E}_{\sigma}$, а следовательно, и по отношению к самой группе $\mathbb{S}_{\sigma}$. Соотношения дивергенций
\[
\sum \psi_{i} \bar{\delta} u_{i}^{(\lambda)}=\operatorname{Div} B^{(\lambda)}
\]

должны быть следствиями зависимостей (16), которые можно записать и так:
\[
\sum \psi_{i} a_{i}^{(\lambda)}=\operatorname{Div} \chi^{(\lambda)},
\]

где $\chi^{(\lambda)}$ суть линейные комбинации выражений Лагранжа и их производных. Так как $\psi$ входят линейно как в (13), так и в (16), то, в частности, соотношения дивергенций должны быть линейными комбинациями зависимостей (16) ; таким образом, получается
\[
\operatorname{Div} B^{(\lambda)}=\operatorname{Div}\left(\sum \alpha \chi^{(x)}\right),
\]

и сами $B^{(\lambda)}$ выражаются линейно через $\chi$, т. е. через выражения Лагранжа вместе с их производными и через функции, дивергенция которых тождественно исчезает, например, хотя бы такие, как $B-\Gamma$ (конец § 2), для которых $\operatorname{Div}(B-\Gamma)=0$ и где дивергенция одновременно обладает свойством инвариантности. Соотношения для дивергенций, в которых $B^{(\lambda)}$ составляются заданным образом из выражений Лагранжа и их производных, я буду называть \”несобственными», все остальные – «собственными».

Обратно, если соотношения для дивергенций являются линейными комбинациями зависимостей (16), т. е. они – «несобственные», то из инвариантности по отношению к $\mathscr{S}_{\infty e}$ следует инвариантность по отношению к $\mathscr{S}_{\sigma}$; $\mathscr{S}_{\sigma}$ становится подгруппой группы $\mathfrak{S}_{{ }_{\infty}^{\varrho}}$. Соотношения дивергенций, соответствующие некоторой конечной группе $\mathfrak{S}_{\sigma}$, тогда и только тогда являются несобственными, когда группа $\mathbb{3}_{\sigma}$ есть подгруппа некоторой бесконечной группы, по отношению к которой инвариантен интеграл I.

Путем специализации групп отсюда получается первоначальное утверждение Гильберта. Под «группой смещения» мы будем понимать конечेную группу
\[
y_{i}=x_{i}+\varepsilon_{i}, \quad v_{i}(y)=u_{i}(x),
\]

следовательно,
\[
\Delta x_{i}=\varepsilon_{i}, \quad \Delta u_{i}=0, \quad \tilde{\delta} u_{i}=-\sum_{\lambda} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{\lambda}} \varepsilon_{\lambda} .
\]

Инвариантность по отношению к группе смещения означает, очевидно, что в интеграле
\[
I=\int \ldots \int f\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right) d x
\]
$x$ не входят явно в $f$. Соответствующие $n$ соотношений дивергенций
\[
\Sigma \psi_{i} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{\lambda}}=\operatorname{Div} B^{(\lambda)} \quad(\lambda=1,2, \ldots, n)
\]

мы назовем «соотношениями энергии», так как соответствующие вариационной задаче «законы сохранения»
\[
\operatorname{Div} B^{(\lambda)}=0
\]

соответствуют «законам энергии», а $B^{(\lambda)}$-«компонентам энергии». Итак, справедливо следующее положение: Если I допускает группу смещения, то соотношения энергии в том и только в том случае будут несобственными, когда интеграл I инвариантен по отношению к бесконечной группе, которая включает в качестве подгруппы группу смешения*).

Примером таких бесконечных групп служит группа всех преобразований для $x$ и таких вытекающих из них преобразований для $u(x)$, в которые входят только производные произвольных функций $p(x)$; группа смещения полу-

чается путем специализации $p^{(i)}(x)=\varepsilon_{i}$; однако должен остаться открытым вопрос, даны ли этим – с присоединением групп, возникающих в результате прибавления к $I$ интеграла по границе, – наиболее общие из этих групп. Индуцированные преобразования данного вида вөзныкают, когда величины $u$ подвергаются преобразованию коэффициентов «полной дифференциальной формын, т. е. формы
\[
\text { บ’ } a d^{\lambda} x_{i}+\sum b d^{\lambda-1} x_{i} d x_{\varkappa}+\ldots \text {, }
\]

которая, помимо $d x$, содержит еще дифференциалы высших порядков ; более специальные преобразования, при которых $p(x)$ входят под знаком только первой производной, даются преобразованием коэффициентов обыкновенных дифференциальных форм
\[
\sum c d x_{i} \ldots d x_{\lambda}
\]

обычно только эти преобразования и рассматривались.
Другая группа данного вида, которая из-за появления логарифмического члена не может быть преобразованием коэффициентов, такова :
\[
\begin{aligned}
y & =x+p(x), \quad v_{i}=u_{i}+\ln \left[1+p^{\prime}(x)\right]=u_{i}+\ln \frac{d y}{d x}, \\
\Delta x & \left.=p(x), \quad \Delta u_{i}=p^{\prime}(x)^{*}\right), \bar{\delta} u_{i}=p^{\prime}(x)-u_{i}^{\prime} p(x) .
\end{aligned}
\]

Зависимости (16) здесь будут такими :
\[
\sum_{i}\left(\psi_{i} u_{i}^{\prime}+\frac{d \varphi_{i}}{d x}\right)=0
\]

несобственные соотношения энергии принимают вид
\[
\sum\left(\psi_{i} u_{i}^{\prime}+\frac{d\left(\psi_{i}+\text { const }\right)}{d x}\right)=0 .
\]

Простейший инвариантный интеграл группы таков:
\[
I=\int \frac{e^{-2 u_{1}}}{u_{1}^{\prime}-u_{2}^{\prime}} d x .
\]

Наиболее общий интеграл $I$ определяется интегрированием дифференциального уравнения Ли (11)
\[
\bar{\delta} f+\frac{d}{d x}(f \cdot \Delta x)=0,
\]

которое посредством подстановки значений для $\Delta x$ и. $\bar{\delta} u$, поскольку мы считаем функцию $f$ зависящей только от первых производных от $a$, преобразуется в такое :
\[
\frac{\partial f}{\partial x} p(x)+\left\{\sum \frac{\partial f}{\partial u_{i}}-\frac{\partial f}{\partial u_{i}^{\prime}} u_{i}^{\prime}+f\right\} p^{\prime}(x)+\left\{\sum \frac{\partial f}{\partial u_{i}^{\prime \prime}}\right\} p^{\prime \prime}(x)=0
\]
(тождественное относительно $p(x), p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x)$ ). Эта система уравнений обла-

дает уже для случая двух функций $u(x)$ решениями, которые действительно содержат произвольные функции, а именно :
\[
f=\left(u_{1}^{\prime}-u_{2}^{\prime}\right) \Phi\left(u_{1}-u_{2}, \frac{e^{-u_{1}}}{u_{1}^{\prime}-u_{2}^{\prime}}\right),
\]

где $\Phi$ означает произвольную функцию указанных аргументов.
Гильберт, как хорошо известно, утверждает, что падение собственных законов энергии есть характерный признак «общей теории относительности». Для того чтобы это утверждение оправдывалось буквально, следует термин «общая относительность» понимать шире, чем это делается обычно, а также распространить его на рассмотренные выше группы, зависящие от $n$ произвольных функций *).