Предположим еще, что шар, не будучи однородным, тем не менее имеет центр тяжести в своем геометрическом центре. Система координат $x, y, z$ образована главными осями инерции для центра тяжести. Живая сила выражается тогда уравнением
\[
2 T=\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) M+P p^{2}+Q q^{2}+R r^{2},
\]

где $M$ обозначает массу; $P, Q, R$ – главные моменты инерции. Уравнения (41) получают вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
P \frac{d p}{d t}-a M\left(\gamma_{3} \frac{d v}{d t}-\gamma_{2} \frac{d w}{d t}\right)+(R-Q) q r+ \\
+a M\left[\gamma_{2}(p v-q u)+\gamma_{3}(p w-r u)\right]=0, \\
Q \frac{d q}{d t}-a M\left(\gamma_{1} \frac{d w}{d t}-\gamma_{3} \frac{d u}{d t}\right)+(P-R) r p+ \\
\quad+a M\left[\gamma_{3}(q w-r v)+\gamma_{1}(q u-p v)\right]=0, \\
R \frac{d r}{d t}-a M\left(\gamma_{2} \frac{d u}{d t}-\gamma_{1} \frac{d v}{d t}\right)+(Q-P) p q+ \\
\quad+a M\left[\gamma_{1}(r u-p w)+\gamma_{2}(r v-q w)\right]=0 .
\end{array}\right\}
\]

Дифференцируя уравнения (36), получаем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=a\left(\frac{d \gamma_{3}}{d t} q-\frac{d \gamma_{2}}{d t} r+\gamma_{3} \frac{d q}{d t}-\gamma_{2} \frac{d r}{d t}\right), \\
\frac{d v}{d t}=a\left(\frac{d \gamma_{1}}{d t} r-\frac{d \gamma_{3}}{d t} p+\gamma_{1} \frac{d r}{d t}-\gamma_{3} \frac{d p}{d t}\right), \\
\frac{d w}{d t}=a\left(\frac{d \gamma_{2}}{d t} p-\frac{d \gamma_{1}}{d t} q+\gamma_{2} \frac{d p}{d t}-\gamma_{1} \frac{d q}{d t}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения нужны затем, чтобы исключить величины $\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t}, \frac{d w}{d t}$ из уравнений (42). После этого заменяем еще величины $\frac{d \gamma_{1}}{d t}, \frac{d \gamma_{2}}{d t}, \frac{d \gamma_{3}}{d t}$ правыми частями уравнений (35) и, наконец, $u, v, w$ – правыми частями уравнений (36). Тогда мы получаем окончательно :
\[
\left.\begin{array}{l}
{\left[P+a^{2} M\left(\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}\right)\right] \frac{d p}{d t}-a^{2} M \gamma_{1} \gamma_{2} \frac{d q}{d t}-a^{2} M \gamma_{2} \gamma_{3} \frac{d r}{d t}=(Q-R) q r} \\
{\left[Q+a^{2} M\left(\gamma_{3}^{2}+\gamma_{1}^{2}\right)\right] \frac{d q}{d t}-a^{2} M \gamma_{2} \gamma_{3} \frac{d r}{d t}-a^{2} M \gamma_{2} \gamma_{1} \frac{d p}{d t}=(R-P) r p} \\
{\left[R+a^{2} M\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)\right] \frac{d r}{d t}-a^{2} M \gamma_{3} \gamma_{1} \frac{d p}{d t}-a^{2} M \gamma_{3} \gamma_{2} \frac{d q}{d t}=(P-Q) p q}
\end{array}\right\}
\]

Мы имеем уравнения, линейные относительно $\frac{d p}{d t}, \frac{d q}{d t}, \frac{d r}{d t}$, причем определитель системы положителен. Таким образом, мы получаем величины $\frac{d p}{d t}$, $\frac{d q}{d t}, \frac{d r}{d t}$, выраженные через величины $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, p, q, r$, которые, если не считать соотношения
\[
\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1,
\]

могут быть выбраны для начального состояния произвольно.

Простейшим случаем будет тот, в котором
\[
P=Q=R,
\]

как, например, для однородного шара. Тогда из уравнений (44) получается:
\[
\frac{d p}{d t}=\frac{d q}{d t}=\frac{d r}{d t}=0 ;
\]
т.е. мы имеем равномерное вращение вокруг оси, неизменно связанной с шаром. С помощью последних уравнений, а также соотношений (43), (35) и (36) теперь получаем еще:
\[
\frac{d}{d t}\left(\alpha_{1} u+\alpha_{2} v+\alpha_{3} w\right)=0, \frac{d}{d t}\left(\beta_{1} u+\beta_{2} v+\beta_{3} w\right)=0 .
\]

Это означает, что центр шара движется прямолинейно равномерно. Теперь предположим опять; что моменты инерции $P, Q, R$ различны, но начальное состояние возьмем такое, при котором $p=q=0$. Тогда в начале движения ось вращения совпадает с одной из главных осей. Уравнения (44) теперь показывают, что все время остается $p=q=0$ и $r=$ const, и движение в этом случае протекает так же, как при однородном шаре. Это можно было предвидеть. В самом деле, если представить себе начальное состояние таким, как указано, а шар – совершенно свободным при отсутствии приложенных к нему сил, то движение будет протекать так, как только что описано. Если при этом начальное состояние соответствует чистому качению по плоскости, то это же самое имеет место и во всех последующих состояниях. Если к этому добавить связь, препятствующую скольжению, от это ничего не изменит в данном движении.