Я предполагаю, что мгновенное состояние рассматриваемой системы тел полностью определяется достаточным числом независимых координат $p_{i}$; скорости изменений координат я обозначаю через
\[
q_{i}=\frac{d p_{i}}{d t} .
\]

Далее, я обозначаю через $P_{i}$ силу, которую движущаяся система тел развивает при изменении координаты $p_{i}$, так что – $P_{i}$ есть внешняя сила, которая должна действовать на систему в направлении координаты $p_{i}$ с тем, чтобы рассматриваемое движение могло происходить именно так, как это предположено.

Эти введенные Лагранжем силы $P_{i}$ вообще представляют собой совокупность составляющих сил, которые сами могут действовать на различные части системы и тем самым определены по своей величине и составу, так что $P_{i} d p_{i}$ выражает работу, которую сила $P_{i}$ отдает наружу, когда координата $p_{i}$ переходит в $p_{i}+d p_{i}$; в то же время $P_{i}$ не совершает работы, когда координата $p_{i}$ остается неизменной, а остальные координаты $p_{f}$ испытывают любые изменения.

В дальнейшем мы предполагаем, что величины $P_{i}$ заданы для промежутка времени от $t=t_{0}$ до $t=t_{1}$ в функции времени, но независимо от координат.

Пусть $H$ – функция координат и скоростей, от которой мы первоначально требуем лишь, чтобы она во всех положениях, соответствующих данному промежутку времени, имела конечные первые и вторые частные производные по $p_{i}$ и $q_{i}$. Теперь мы образуем интеграл
\[
\Phi=\int_{t_{0}}^{t_{2}}\left(H+\sum_{i} P_{i} p_{i}\right) d t,
\]

в котором $p_{i}$ варьируем так, чтобы их вариации $\delta p_{i}$ для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ были равны нулю, а в промежуточные моменты времени были любыми дифференцируемыми функциями времени. Тогда согласно известным методам вариационного исчисления равенство
\[
\delta \Phi=0
\]

будет иметь место, если в течение всего движения справедливо равенство
\[
P_{i}+\frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\]

Это, как известно, дифференциальные уравнения движения системы в форме, которую им придал Лагранж.

Исключение координат. В первоначальных применениях принципа к движениям свободной системы материальных точек функция $H$, как я уже упомянул во введении, имела форму
\[
H=F-L,
\]

где величина $F$ должна быть функцией только от $p_{i}, L$ – однородной функцией второй степени от $q_{i}$, причем козффициенты последней функции зависят от $p_{i}$. Для свободной системы число координат $p_{i}$ втрое больше числа имеющихся материальных точек.

Однако во многих случаях число координат может уменьшаться без изменения формы выражений, данных уравнениями (2), (3) и (4).

До сих пор из этих случаев лучше всего изучен такой, когда свобода движения системы ограничена так называемыми жесткими связями, которые математически могут быть выражены уравнениями между координатами. При этом функция $H$ по-прежнему составляется из $F$ и $L$ и не меняются свойства этих двух последних функций, но число переменных координат может быть значительно уменьшено.

Другой заслуживающий внимания случай уменьшения числа координат получается, когда некоторые из координат, которые мы будем отмечать индексом $j$, входят в выражение для $H$ только под знаком производной по времени, и соответствующие силы длительно равны нулю. При этих обстоятельствах уравнения (4), определяющие значения $P_{j}$, сводятся к следующим :
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{j}}\right)=0
\]

или
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{j}}=c_{j} \text {. }
\]

Можно воспользоваться этими уравнениями, линейными относительно $q_{i}$ (а также и $q_{j}$ ), для того чтобы выразить $q_{j}$ через остальные скорости и через $p_{i}$, а дальше исключить $q_{j}$ из $H$. Полученное путем такого исключения выражение для $H$ обозначим через $\mathfrak{g}$. Тогда имеем
\[
\frac{\partial \mathfrak{F}_{2}}{\partial p_{i}}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\sum_{j}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial p_{i}}\right)
\]

откуда, принимая во внимание уравнения (6), получаем
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{\partial}{\partial p_{i}}\left(\mathfrak{E}-\sum_{j} c_{j} q_{j}\right) .
\]

Если положить
\[
\mathfrak{E}-\sum_{\boldsymbol{j}}\left(c_{j} \cdot q_{j}\right)=H^{\prime}
\]

то мы находим
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{i}},
\]

а также
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial H}{\partial q_{i}} & =\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{i}}, \\
P_{i} & =-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{i}}\right) .
\end{aligned}
\]

В этом случае, стало быть, в уравнениях (8) место первоначальной функции $H$ полностью занимает функция $H^{\prime}$ которая свободна от $q_{j}$ и $p_{j}$, однако, содержит члены, линейные относительно $q_{i}$, которые вытекают из выражений для $q_{j}$.

Примером такого рода случаев могло бы служить вращение волчка вокруг его оси симметрии, когда может меняться направление этой оси, но не угловая скорость вращения вокруг оси.

Далее, в качестве примера можно назвать движение системы, отнесенное к вращающейся системе прямоугольных координат, например к системе, связанной с земным шаром.

В соответствии с этой аналогией с механикой весомых тел мы будем рассматривать также и другие случаи физических процессов, в которых функция $H$ содержит члены, линейные относительно скоростей, как случаи со скрытым движением, хотя в настоящее время сюда относятся случаи, где существование такого скрытого движения не может быть с несомненностью доказано, как, например, при взаимодействии между магнитами и электрическими токами. Для магнитов, как известно, уже Ампер предположил существование скрытого движения; оно обнаруживает свое влияние и при электромагнитном вращении плоскости поляризации света, как это отмечает $\mathrm{y}$. Томсон, хотя здесь и нельзя обнаружить участия электрических токов.

От случаев, в которых $H$ содержит скорости только в членах второй степени, упомянутые случаи существенно отличаются тем, что в них движение в одних и тех же условиях не может идти в обратном направлении, если только одновременно не будут обращены и скрытые движения.

Иногда, по крайней мере для некоторых классов движений, исключение скоростей может привести к еще более сложным формам функции $H$; подобные случаи я разобрал в моей первой статье о моноциклических движениях *). Здесь мы можем условия исключения взять еще несколько более общими. Предположим, что имеется некоторая группа координат $p_{k}$ тақих, что соответствующие $q_{k}$ входят в выражение живой силы лишь в форме произведений с другими скоростями той же группы, но не встречаются умноженными на скорости $q_{j}$, не принадлежащие к упомянутой группе, так что все частные производные вида
\[
\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{k} \partial q_{j}}
\]

равны нулю; предположим, кроме того, что все силы $P_{k}$ всегда остаются равными нулю. При этих обстоятельствах оказываются возможными такие движения системы, при которых $p_{k}$ длительно сохраняют постоянные значения, так что $q_{k}$ остаются равными нулю.

Упрощение уравнений движения для систем этого класса состоит в том, что если все $q_{k}$ равны нулю, то и все $\frac{\partial H}{\partial q_{k}}$ также равны нулю. Таким образом, из уравнения (4) получается
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{k}}=0
\]

и
\[
P_{j}=-\frac{\partial H}{\partial p_{j}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{j}}\right) .
\]

Если уравнений (9), число которых равно числу координат $p_{k}$, будет достаточно для того, чтобы выразить эти величины в функции $p_{j}$ и $q_{j}$, то можно при помощи полученных значений исключить $p_{k}$ из $H$, причем $H$ обращается в еще более сложную функцию $q_{j}$; эту функцию мы обозначим через $\mathfrak{\mathfrak { g }}$. Тогда по правилам дифференциального исчисления имеем :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial p_{j}}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}}+\sum_{k}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \cdot \frac{\partial p_{k}}{\partial p_{j}}\right), \\
\frac{\partial \mathfrak{G}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial H}{\partial q_{j}}+\sum_{k}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial p_{j}}\right) ;
\end{array}
\]

отсюда в силу уравнений (9)
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{j}}=\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial p_{j}} \quad \text { и } \quad \frac{\partial H}{\partial q_{j}}=\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial q_{j}} .
\]

Уравнения (10) сводятся, стало быть, к таким:
\[
P_{j}=-\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial p_{j}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathfrak{V}}{\partial q_{i}}\right) ;
\]

в эти уравнения входят только $p_{j}$ и $q_{j}$, и функция $\mathfrak{5}$ вообще не равна больше сумме функции координат и однородной функции второй степени относительно скоростей.

Однако, если первоначальная функция $H$ была именно такой, что на движение системы не влияли скрытые движения, то уравнения (9) уравнения второй степени относительно $q_{j}$; поэтому значения $p_{k}$ могут оставаться неизменными (даже если они многозначны), когда все $q_{j}$ меняют одновременно знак, откуда следует, что и в этом случае движение системы в целом обратимо.

В механике весомых масс мы можем называть задачи, в которых функция $H$ содержит скорости $q_{i}$ в первой степени или в степени выше второй, неполными задачами, поскольку часть возможных движений здесь исключена и часть координат, необходимых для определения положения системы, не входит в функцию $H$, а некоторые силы предполагаются постоянно равными нулю, так что уже не могут быть заданы любым образом.

Функциональный определитель импульсов. Ради краткости будем обозначать величины $\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$, встречающиеся в предыдущих рассуждениях, так:
\[
s_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}
\]

и называть $s_{i}$-импульсами. В движении свободной системы, отнесенной к прямоугольной системе координат, им соответствуют произведения масс на скорости; производные по времени от этих произведений у Ньютона явля-

ются мерой соответствующей составляющей силы
\[
X=\frac{d}{d t}\left(m \frac{d x}{d t}\right) .
\]

В более сложных случаях влияние, оказываемое инерцией масс, принимающих участие в движении при определенном виде движения, бывает различным в зависимости от положения масс. Например, при вращательном движении твердого тела импульс оказывается равным произведению момента инерции на угловую скорость. В этом смысле величины $s_{i}$ являются мерой влияния инерции масс, принимающих участие в движении; их ускорение составляет соответствующую часть движущей силы, как показывают уравнения (3).

В механике весомых тел величины $s_{i}$ в первоначальных, полных задачах являются линейными однородными функциями величин $q_{i}$, причем коэффициенты при них, вообще говоря, суть функции величин $p_{i}$ и, таким образом, получается система линейных уравнений
\[
s_{i}=\sum\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial q_{j}} q_{j}\right) .
\]

Если эти уравнения разрешить относительно величин $q_{j}$, то последние представляются как линейные однородные функции величин $s_{i}$. Это было бы невозможно, если бы определитель величин $\frac{\partial s_{i}}{\partial q_{j}}$ или соответственно величин $\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}$ был тождественно равен нулю. Но последний случай мог бы иметь место только в том случае, когда живая сила для некоторых движений обращалась бы в нуль при конечных значениях скоростей. Дело обстоит именно так, потому что $L$ есть существенно положительная однородная функция второй степени от величин $q_{i}$ :
\[
2 L=\sum_{i}\left(q_{i} s_{i}\right) .
\]

Если бы упомянутый определитель был равен нулю, то все $s_{i}$, а следовательно, и $L$ могли бы оказаться равными нулю при отличных от нуля значениях величин $q_{i}$.

Условие того, чтобы определитель уравнений (14) не равнялся тождественно нулю, может быть высказано в такой форме: между величинами $s_{i} u$ $p_{i}$ не должно существовать тождественной зависимости, не содержащей $q_{i}$, а поэтому $q_{i}$ всегда могут быть представлены как функции $s_{i}$ и $p_{i}$.

Это обстоятельство остается в силе, когда, как в случае скрытых движений, некоторые из $s_{i}$ могут быть постоянными или, как в случае исключенных $p_{k}$, равными нулю. Значения оставшихся $s_{i}$ при этом не меняются. Так как для электрических движений и для обратимых тепловых движений имеет место то же самое, поскольку в настоящее время известны физические законы этих явлений, то нет до сих пор никаких физических поводов к тому, чтобы предусматривать исключительные случаи, когда определитель уравнений (14) оказался бы равным нулю; поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что указанный определитель может оказаться тождественно равным нулю не иначе, как только для особых значений $p_{i}$.

Если придерживаться этого условия, то вариационная задача может быть сформулирована так, что уравнения
\[
q_{i}=\frac{d p_{i}}{d t}
\]

которые в начале этого параграфа были составлены независимо, войдут в эту задачу.

Пусть, как и выше, $H$ есть функция переменных $p_{i}$ и $q_{i}, P_{i}$ – функция одного только времени. Положим
\[
\Phi_{1}=\int_{i_{0}}^{t} d t\left\{H-\sum_{i}\left[\left(q_{i}-\frac{d p_{i}}{d t}\right) \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+P_{i} p_{i}\right]\right\}
\]

и потребуем, чтобы имело место равенство
\[
\delta \Phi_{1}=0
\]

для любых вариаций величин $p_{i}$ и $q_{i}$, которые мы будем рассматривать как независимые переменные. Для моментов времени $t_{0}$ и $t_{1}$ все $\delta p_{i}$ должны равняться нулю, вариации же $\delta q_{i}$ и тут остаются произвольными.
Варьирование по $q_{j}$ дает
\[
0=\sum_{i}\left[\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{1} \partial q_{j}} \cdot\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial t}-q_{i}\right)\right],
\]

откуда получаются уравнения (1), так как определитель величин $\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}$ не может тождественно равняться нулю.

Варьирование по $p_{i}$ выполняется так, как показано выше, и дает тот же результат.

Введем следующее обозначение для входящей в уравнение (15) функции переменных $p_{i}$ и $q_{i}$ :
\[
E=H-\sum\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)
\]
(величина $E$, как это будет показано в следующем пара̇графе, есть энергия); тогда уравнение (15) принимает вид
\[
\Phi_{1}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t\left\{E-\sum_{i}\left[s_{i} \frac{d p_{i}}{d t}+P_{i} p_{i}\right]\right\} .
\]

Я привожу здесь эту форму потому, что в конце этой статьи мы встретимся с аналогичной формой, причем, однако, обе эти формы в физических исследованиях выглядят совершенно непохожими одна на другую, пока в точности не известно, какие величины следует рассматривать как $p_{i}, q_{i}$ и $s_{i}$.

С другой стороны, как раз эти формы объединяют в себе наиболее полную постановку задачи.