С тех пор как существует научная физика, высшей целью, мерцавшей перед нею, ‘было разрешение задачи – как обобщить все явления природы, наблюдавшиеся в прошлом и могущие быть наблюдаемыми в будущем, в одном простом принципе, который позволит выводить из процессов настоящего как прошедшие, так и, в особенности, будущие процессы. Эта цель сегодня не достигнута; она не будет достигнута полностью и в будущем, что лежит в самой природе вещей, но все больше и больше приближаться к ней-вполне возможно. История теоретической физики показывает, что на пути к этой цели уже получено большое количество важных результатов, отчетливо свидетельствующих о том, что эта идеальная проблема не является чисто утопической, а наоборот, чрезвычайно плодотворной ; поэтому с практической точки зрения она заслуживает того, чтобы ее постоянно иметь в виду.

Среди более или менее общих законов, которые характеризуют достижения физической науки в ее развитии за последние столетия, принцип наименьшего действия в настоящее время является как раз таким, который по форме и по содержанию может претендовать на то, что он ближе всего подошел к упомянутой выше идеальной конечной цели физического исследования. Значение принципа, если его выразить с необходимой общностью, распространяется не только на механические, но также и на термические и электродинамические явления ; во всех областях его применения он не только дает представление о некоторых свойствах встречающихся процессов, но совершенно отчетливо определяет ход физических процессов в пространстве и времени, отвечая на все относящиеся к этому вопросы, если известны необходимые постоянные и произвольно определяемые внешние условия.

Однако еще до настоящего времени это основное положение принципа наименьшего действия не было совершенно бесспорным. Принцип сохранения энергии, который также господствует над всей физикой и, несомненно, имеет преимущество большей наглядности, некоторое время особенно сильно конкурировал с принципом наименьшего действия. Поэтому, да будет мне разрешено сопоставить оба принципа.

Принцип сохранения энергии можно вывести из принципа наименьшего действия; следовательно, он в нем содержится; между тем сделать обратное не удается. Поэтому принцип сохранения энергии является более частным, а принцип наименьшего действия – более общим законом. Поясним это на простом примере движения свободной материальной точки, не подверженной никаким силам. В соответствии с принципом сохранения энергии, такая точка движется с постоянной скоростью, но о направлении этой скорости принцип сохранения энергии не говорит абсолютно ничего, так как кинетическая энергия совершенно не зависит от направления. С одинаковым

успехом траектория точки могла бы быть, например, прямолинейной или круговой. Принцип же наименьшего действия требует большего (о чем более подробно будет указано ниже); он требует, чтобы траектория точки была прямолинейной.

В данном простом случае можно было бы попытаться дополнить содержание принципа сохранения энергии определенными простыми предположениями, например, что у свободно движущейся точки остается постоянной не только вся кинетическая энергия, но и частичное количество кинетической энергии, которое падает на определенное пространственное направление. Между тем такое дополнение было бы чуждо принципу сохранения энергии, и его трудно было бы применить к более общим случаям. Так, например, для сферического маятника (тяжелая материальная точка на твердой поверхности шара) из принципа сохранения энергии можно вывести только то заключение, что кинетическая энергия маятника при движении вверх определенным образом уменьшается, а при движении вниз увеличивается. Но траекторию пути эти условия еще однозначно не определяют, тогда как принцип наименьшего действия полностью отвечает на любой вопрос, относящийся к движению.

Причина неодинакового значения обоих принципов состоит в том, что принцип сохранения энергии, примененный к конкретному случаю, дает одно-единственное уравнение, тогда как для полного изучения движения необходимо столько уравнений, сколько имеется независимых координат, следовательно, для движения свободной точки три, а для движения сферического маятника два уравнения. Принцип же наименьшего действия в каждом случае дает как раз столько уравнений, сколько имеется независимых координат. Принцип наименьшего действия способен охватить большое количество уравнений в одном-единственном положении, потому что он в противоположность принципу сохранения энергии является вариационным принципом. Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в нуль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты.

Понятно, что содержание принципа наименьшего действия приобретает определенный смысл только в том случае, когда точно указаны как наложенные условия, которым должны быть подчинены возможные движения, так и характерная величина, которая для любой вариации действительного движения должна исчезнуть. В формулировке принципа наименьшего действия издавна составляло трудность нахождение правильного определения этих условий и варьируемой величины. Но не менее ясно, что мысль охватить в одном-единственном вариационном принципе все множество уравнений, необходимых для характеристики движения любой сложной механической системы, сама по себе имеет выдающееся значение и является важным успехом теоретического исследования.

В связи с этим надо вспомнить о Теодицее Лейбница, в которой выдвинут тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным

принципом, выраженным втакой же форме, как возникший позднее принцип наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось математически точно сформулировать, с одной стороны, меру для количества добра, с другой стороны – предписанные условия. Второе так же важно, как и первое.

Однако надо было пройти длинный путь, прежде чем пустая форма нашего принципа могла быть наполнена богатым содержанием. Прежде всего дело заключалось в том, чтобы найти характерную величину, значение которой для действительного движения должно быть равно нулю. Тут с самого начала можно исходить из двух различных точек зрения. В соответствии с одной точкой зрения характерную величину относят к отдельному моменту или к бесконечно малому элементу времени; в соответствии с другой, наоборот, к конечному промежутку времени движения. Смотря по тому, решаются ли встать на первую или на вторую точку зрения, приходят к двум различным классам вариационных принципов.

К первому классу относятся принцип возможных перемещений Бернулли, принцип сил инерции Д’Аламбера, принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип прямейшего пути Герца. Все эти вариационные принципы можно охарактеризовать как дифференциальные принципы, поскольку они вводят в качестве характерного признака действительного движения свойство движения, которое имеет значение для одного-единственного момента или элемента времени. Для систем механики все эти принципы эквивалентны и законам-движения Ньютона, и между собою. Но все они страдают тем недостатком, что имеют смысл только для механических процессов и что их формулировка делает необходимым пользоваться специальными координатами точек рассматриваемой материальной системы. Их формулировка, в зависимости от выбора координат точки, совершенно различна, и даже, чаще всего, относительно сложна и мало наглядна.

От этого порока – неизбежности специальных механических координат – можно освободиться, если сформулировать вариационный принцип как интегральный принцип, отнеся его с самого начала к конечному интервалу времени. В таком случае действительное движение отличается от всех возможных движений тем свойством, что для любой из его допустимых вариаций определенный интеграл по времени исчезает. В важнейших случаях это условие может быть сформулировано и так, что для действительного движения определенный интеграл по времени, определяемый как количество действия или действие движения, меньше, чем для всякого другого движения, связанного наложенными условиями. При этом действие одной-единственной материальной точки, по Лейбницу, равно интегралу по времени от кинетической энергии или, что является тем же самым, равно интегралу от скорости по пути.

В этой формулировке принцип наименьшего действия может быть выражен безотносительно к каким-либо специальным координатам точки и даже вообще без предпосылки, что процесс является механическим, так как в его формулировке играют роль только энергия и время. Правда, с введением интеграла по времени возникает особое обстоятельство, с давних пор и по сей день способное вызвать у некоторых физиков и исследователей теөрии познания определенные сомнения относительно принципа наименьшего действия, как вообще относительно любого интегрального принципа. А именно, при этом действительное движение в определенное время рассчитывается с помощью рассмотрения будущего движения, следовательно, настоящее состояние делается в известной мере зависимым от позднейших

состояний, и это придает принципу некоторый телеологический привкус. Тот, кто придерживается только принципа причинности, будет требовать, чтобы как причины, так и все свойства движения были понятны и выведены из предыдущих состояний, независимо от того, что произойдет когда-либо в будущем. Это кажется не только обоснованным, но и соответствует правилу экономии мышления. Наоборот, тот, кто в системе законов природы ищет высших, по возможности обозримых связей, тот в интересах желанной гармонии с самого начала считает дозволенными такие вспомогательные средства, как ссылка на события позднейшего времени. Хотя эти средства не являются такими уж необходимыми для полного описания процессов природы, но, пожалуй, являются удобными для применения и наглядными для объяснения. Я напомню о том, что в математической физике часто только для того, чтобы сохранить симметрию уравнений, отказываются от сведе́ния входящих в вычисление величин к независимым переменным и охотнее вводят в вычисление одно или несколько лишних переменных только для того, чтобы использовать чисто формальное, но весьма практичное преимущество, которое представляет собою сохранение симметрии. После Галилея физика достигла своих наибольших успехов благодаря сознательному отказу от всяких телеологических методов. Поэтому и в настоящее время она относится резко отрицательно ко всем попыткам объединить закон причинности с телеологической точкой зрения. Но хотя для формулирования законов механики нет необходимости вводить конечные промежутки времени, все же по этой причине нельзя отвергать интегральные принципы. Вопрос об их обоснованности не имеет ничего общего с телеологией и является скорее практическим вопросом. Он сводится к тому, полезнее ли других формулировок для теоретической физики формулировка законов природы в том виде, в каком она разрешается интегральными принципами. На этот вопрос с точки зрения современного исследования надо ответить утвердительно хотя бы вследствие уже упомянутой независимости от специального выбора координат точки. Однако, как мы увидим далее, только современный принцип относительности способствовал полному пониманию того, что не только практически важно, но даже необходимо ввести конечные промежутки времени в основные принципы механики.

В формулировках принципа наименьшего действия, обсуждавшихся до сих пор, не уделялось внимания условиям движений, предположенных возможными, и все-таки эти условия имеют такое же значение, как и сама величина действия, так как в зависимости от характера наложенных условий содержание принципа принимает совершенно различное значение. Дело идет не только о признаке, по которому сделан выбор, но и о природе движений которые подлежат отбору. Однако, пока это обстоятельство, недооценка которого привела ко многим роковым ошибкам, было ясно понято и принцип наименьшего действия получил первую правильную формулировку, прошло длительное время. Если открытие принципа наименьшего действия приурочить именно к этому моменту, то только Лагранжу можно приписать эту заслугу. Между тем такая оценка была бы несправедлива в отношении тех людей, которые подготовили почву и начали работу, впоследствии удачно завершенную Лагранжем. К числу этих людей относятся прежде всего Лейбниц, судя главным образом по его письму 1707 г., оригинал которого утерян, затем Мопертюи и Эйлер.

Моро де Мопертюи, назначенный Фридрихом Великим президентом Прусской Академии наук (1746-1759), не только признал существование и значение принципа наименьшего действия, но, напрягая все свои силы, пытался выставить этот принцип в благоприятном свете как в науке, так и за пределами науки. Правда, рвение, граничащее с раздражительностью,

с которым Мопертюи возвещал современникам свой принцип все в новых формах и защищал его во всех направлениях от зачастую обоснованных возражений, стоит в некотором противоречии с научным значением формулировки, которую он считал наиболее подходящей. Нельзя отделаться от мысли, что движущая сила его энергичной поддержки объективно недостаточного тезиса вытекала не только из научной убежденности, но в такой же степени и из твердого намерения при всех обстоятельствах обеспечить себе приоритет открытия, которое он считал важнейшим делом своей жизни. В пользу этого особенно говорит то, иначе прямо-таки непонятное ослепление, с которым он оспаривал подлинность упомянутого выше письма Лейбница, опубликованного профессором Самуилом Кёнигом (1751г.), доходя в использовании порученной ему высокой должности до грани злоупотребления. Правда, никому человеческая слабость и тщеславие не были отомщены более жестоко, чем президенту Берлинской Академии.

Историографы изложили те потрясающие превратности, которые в этом случае дали повод вмешаться даже философу-королю. Они получили возможность много раз обстоятельно и живо изложить эту историю в академических речах: А. Майера (1877 г.), Г. фон Гельмгольца (1887 г.), Е. ДюбуаРаймонда (1892г.), Дильса (1898 г.). Связь рассматриваемой проблемы с общим развитием математических наук освещена в «Истории математики» Кантора, ее значение для Берлинской Академии наук освещено в истории этой корпорации, составленной Гарнаком.

Формулировка принципа наименьшего действия, данная Мопертюи, не говорит ничего другого, кроме того, что «количество действия, употребленное на происходящие в природе изменения, всегда является минимальным». Следовательно, строго говоря, она вообще не дает никакого заключения о законах изменения. Ибо до тех пор, пока не установлены условия, которым должны быть подчинены возможные изменения, еще ничего не сказано о том, какие изменения должны быть сравниваемы между собой. Мопертюи не хватило аналитической критики для того, чтобы ясно увидеть этот пробел. Этот недостаток станет тем понятнее, что сам Л. Эйлер, который в отстаивании принципа стоял на стороне своего коллеги и друга и, во всяком случае, как математик значительно превосходил Мопертюи, не смог добиться ясной формулировки принципа.

Заслуга Мопертюи, собственно, заключалась скорее в том, что он вообще искал принцип минимума, который являлся, в сущности, путеводной звездой его спекуляций. Поэтому он привлек также принцип Ферма, так называемый принцип скорейшего прибытия, хотя с принципом наименьшего действия он находится в весьма косвенной и для тогдашней физики во всяком случае непонятной связи. В основе этого интереса к принципу минимума лежала метафизическая идея о том, что господство божества открывается в природе, что поэтому в основе каждого процесса природы лежит намерение, направленное на достижение определенной цели и знающее, как достичь эту цель наикратчайшим путем, с помощью наипростейших средств.

Насколько неудовлетворительны подобные телеологические размышления и насколько они способны ввести в заблуждение, можно лучше всего убедиться, если подумать над тем, что принцип наименьшего действия в самом общем виде вовсе не является принципом минимума. Так, например, тезис о том, что траектория материальной точки, свободно движущейся на шаре и не подчиненной движущим силам, представляет собою кратчайшую линию между исходным и конечным положениями, не действителен в том случае, если траектория длиннее, чем половина длины окружности большого круга на шаре. Следовательно, божественное предвидение не было в состоянии

действовать за пределами половины окружности. Еще разительнее то обстоятельство, что для «неголономной» системы принцип относится к виртуальным движениям, которые даже не являются возможными движениями, благодаря чему условие минимума совершенно теряет смысл.

Однако, несмотря на все это, нельзя упустить из вида того непоколебимого исторического факта, что твердая вера во внутреннюю взаимосвязь законов природы с господством высшего разума являлась непосредственной исходной точкой открытия принципа наименьшего действия и что такая вера в случае, если она с самого начала не втиснута в слишком узкие рамки, не может быть несомненно доказана, но также никогда не может быть несомненно опровергнута, так как в конце концов можно каждое всплывающее противоречие снова и снова объяснять недостатками формулировки.
Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайшее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки – прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иныс формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию.

Характерно, что принцип наименьшего действия, даже после того, как он был полностью узаконен в механике Лагранжем, не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс. Его рассматривали скорее как математический курьез, как интересный, но излишний придаток к ньютоновым законам движения. Еще в 1837 г. Пуассон смог назвать его «лишь бесполезным правилом». Только после исследований Томсона и Тэта, Г. Кирхгофа, К. Неймана, Л. Больцмана и др., когда оказалось, что принцип наименьшего действия является инструментом, отлично используемым для разрешения проблем гидродинамики и теории упругости, в то время как другие математические методы частью оказались более неуклюжими, частью вовсе отказывали, был подготовлен перелом и начали ценить эвристическое значение принципа. Томсон и Тэт сказали об этом (1867г.): «знаменитый принцип наименьшего действия Мопертюи до сих пор рассматривался скорее как странное и несколько запутанное свойство движения, чем как полезное руководство в кинетических исследованиях. Но мы твердо убеждены, что ему придадут гораздо более глубокое

значение не только в абстрактной динамике, но и в теории многих отделов физики, которые в настоящее время начинают получать динамические объяснения».

Правда, оказалось также, что в применении принципа надо соблюдать величайшую осторожность, дабы не впасть в ошибку, а именно при формулировании условий для возможных перемещений. Так, например, применяя принцип наименьшего действия к движению твердого тела в жидкости при отсутствии трения и вращения, недостаточно оставить неизменными начальное и конечное положения твердого тела; необходимо оставить без изменений также начальное и конечное положения всех частиц жидкости. Ошибку другого рода сделал Г. Герц, когда он во введении к своей механике применил принцип наименьшего действия к движению шара, катящегося по горизонтальной плоскости, и при этом для возможных перемещений поставил условия, недопустимые для неголономной системы. Заслуга разъяснения этого обстоятельства принадлежит в первую очередь О. Гёльдеру и А. Фоссу.

Однако только тогда непосредственное, основное значение принципа наименьшего действия получило всеобщее признание, когда оказалось, что он применим также и к таким системам, механизм которых или вовсе не известен, или настолько сложен, что свести его к обычным координатам невозможно. После того как Л. Больцман и позже Р. Клаузиус установили тесную связь принципа наименьшего действия со вторым началом термодинамики, Г. Гельмгольц (1886г.) дал впервые наиболее полно охватывающее, систематическое сопоставление всех в то время возможных применений принципа в трех больших областях физики – в механике, электродинамике и термодинамике. Эти применения поражали своей многосторонностью и полнотой.

Для своих расчетов Гельмгольц избрал гамильтонову форму принципа как наиболее удобную, снабдив ее некоторыми дополнениями, скорее формального характера. Величину, интеграл по времени которой представляет действие Гамильтона, он назвал «кинетическим потенциалом». При этом, однако, он еще сохранил предпосылку, что принцип наименьшего действия по существу является механическим; но это ограничение в его анализе уже несколько отступило на задний план, так как при рассмотрении многих систем, например гальванических токов, магнитов, ему не надо было входить в рассмотрение их специальных механических свойств. Зато Гельмгольц уже тогда предпринял решительный шаг, заключающийся в том, что кинетический потенциал он не стал выводить из энергии как разность кинетической и потенциальной энергий, что делалось до него, а, наоборот, взял за основу кинетический потенциал в качестве первичной величины и из него определил как все другие законы движения, так и величину энергии.

Результатом этого нового способа рассмотрения оказалось, главным образом, значительное, бросающееся в глаза, обобщение. А именно : кинетический потенциал в противоположность энергии отличается не только своей аналитической формой, но и своей величиной, в зависимости от выбора независимых переменных. Привожу пример: используя некоторые уравнения движения, можно с их помощью соответственно сокращать число независимых переменных. Тогда исключенные переменные совсем исчезают, они соответствуют так называемым скрытым движениям. В каждом таком случае кинетический потенциал принимает другую величину, и этим объясняются, например, разнообразные выражения потенциала, с которым сталкиваются в термодинамике, в зависимости от выбора независимых переменных. Гельмгольц показал, как эти различные выражения связаны между собой

и как они вытекают одно из другого. Он показал также, что кинетический потенциал может принимать такую форму, в которой он уже больше не представляет собой разности кинетической и потенциальной энергий. Это обстоятельство как раз и дает возможность особенно отчетливо понять универсальность принципа действия, так как нигде вне пределов механики различие между кинетической и потенциальной энергиями больше невозможно, а следовательно, вне этих пределов отпадает возможность однозначно вывести кинетический потенциал из энергии; обратное же во всех случаях является легким и простым.

Если Гельмгольц, по крайней мере в принципе, мог придерживаться предпосылки о том, что все физические процессы сводятся к движениям простых материальных точек, то выполнимость этого предположения относительно, например, электродинамических процессов стала с тех пор по меньшей мере сомнительной. Но несомненно, что принцип наименьшего действия полностью доказал свою применимость и плодотворность как раз в области не механической физики, а именно, в электродинамике чистого вакуума. Дж. Лармор (1900 г.), Г. Шварцшильд (1903 г.) и другие, не нуждаясь в каких бы то ни было механических гипотезах, вывели из принципа Гамильтона основные уравнения электродинамики и электронной теории.

Таким образом, принцип наименьшего действия проделал точно такое же развитие, какое несколько раньше проделал принцип сохранения энергии. И его вначале все считали механическим принципом ; некоторое время его всеобщее значение приводилось как раз в качестве доказательства в пользу механистического взгляда на природу. В настоящее время этот взгляд на природу силью поколеблен, тогда как никто нс имеет повода серьезно сомневаться в универсальности принципа сохранения энергии. Если бы еще сегодня рассматривать принцип наименьшего действия в качестве специального механического принципа, то можно было бы оказаться виновным в подобной односторонности.

Однако блестящего успеха принцип наименьшего действия добился тогда, когда оказалось, что он не только сохранил значение, но и пригоден для того, чтобы занять первое место среди всех физических законов в современной теории относительности Эйнштейна, которая лишила универсальности такое множество физических теорем. Причина этого в основном заключается в том, что величина действия Гамильтона (а не Мопертюи) является инвариантом относительно преобразований Лоренца, т.е. что она независима от специальной системы отсчета наблюдателя, производящего измерения. В этом основном свойстве лежит также глубокое объяснение того, на первый взгляд неудачного обстоятельства, что величина действия относится к промежутку, а не к моменту времени. В теории относительности пространство и время играют одинаковую роль. Вычислить из данного состояния материальной системы в определенный момент времени состояния будущего и прошедшего является по теории относительности задачей такого же рода, как задача – из процессов, разыгрывающихся в разное время в определенной плоскости, вычислить процессы, происходящие спереди и сзади плоскости. Если первая задача обычно характеризуется как собственно физическая проблема, то, строго говоря, в этом заключается произвольное и несущественное ограничение, которое имеет свое историческое объяснение только в том, что разрешение этой задачи для человечества в подавляющем числе случаев практически полезнее, чем второй. Поскольку вычисление величины действия материальной системы требует интегрирования по пространству, занимаемому телами, то, чтобы пространство не получило предпочтения перед временем, величина действия должна содержать также интеграл по времени,

так как только пространство и время, вместе взятые, образуют «мир», к которому относится величина действия.

Как принципу наименьшего действия, так и принципу сохранения энергии в теории относительности отведено определенное место. Но энергия не является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца, так же как она раньше не была им по отношению к преобразованиям Галилея, потому что в ней время играет преимищественную роль. Соответствующим коррелатом для пространства является принцип сохранения количества движения. Однако над обоими принципами возвышается, охватывая их, принцип наименьшего действия, который поэтому господствует над всеми обратимыми процессами физики. Правда, необратимость этот принцип никак не объясняет, так как в соответствии с ним каждый процесс может протекать как в пространстве, так и во времени в любом направлении – вперед или назад. Проблема необратимости поэтому здесь не подлежит обсуждению.