предложенной мною в «Асta» за 1696 г., стр. 269, о нахождении «брахистохронной линии», т. е. такой линии, по которой тело должно проходить от одной заданной точки до другой в кратчайшее время; затем о построении «синхронной кривой», т. е. волны лучей $\left[{ }^{6}\right]$
В последнее время появилось столько методов, которые получили название методов максимумов и минимумов, что лица, хвалящиеся тем, что они авторы этих методов или последователи их авторов, считают, что в этом вопросе почти ничего не осталось сколько-нибудь тонкого, чего они с их остроумием не могли бы разрешить. Пусть они думают со слов учителя как им угодно, но если бы они захотели попробовать, то они увидели бы, что наша задача меньше всего может быть уложена в тесные рамки их методов, если даже они их настолько расширят, что смогут из заданных многих или бесконечно многих величин найти одну, которая будет максимумом или минимумом.

В самом деле, в нашей задаче самые величины, из которых следует избрать максимум или минимум, не больше определены, чем та величина, которая определяется. В этом все дело, в этом и заключается вся трудность.

Даже столь знаменитые авторы, как Декарт, Ферма и другие, которые когда-то так горячо отстаивали превосходство своих собственных методов, как будто они боролись за свои очаги и жертвенники, или же их приверженцы, отстаивавшие их правоту, даже они откровенно признают, что здесь следует применять не только те методы, которые они внесли в науку.

В мою задачу не входит поносить открытия других, и я не собираюсь этого делать. Усердно стремясь к достижению поставленных себе целей, они дали многое. Но в их сочинениях не находится ничего, касающегося такого рода исследования о максимумах и минимумах, и сами они своим методам не приписывали способности разрешать иные проблемы, чем задачи обычного характера.

Я со своей стороны тоже не обещаю дать общего метода, которого было бы напрасно и искать, но я изложу особые методы, с помощью которых я счастливо разрешил настоящую задачу, – методы, подходящие не только для данного, но и для многих других случаев.

Пока другие искали свои решения, я решил свой ответ сразу же переслать знаменитому Лейбницу с тем, чтобы он когда-нибудь довел его до сведения публики вместе со своим решением, если он найдет таковое. Впрочем, я в этом не сомневался, хорошо зная необыкновенные способности этого остроумнейшего мужа. И действительно, в то время, как я это пишу, я знаю из частных его писем, которыми он меня часто удостаивает, что моя задача сверх ожидания ему очень понравилась. (по его словам, она своей красотой

привлекла его к себе, как яблоко привлекло Еву), и что он тотчас же нашел ее решение. Что будет сделано другими, покажет результат. Во всяком случае, если такому мужу, столь загруженному делами, эта задача представилась в таком виде, что он счел проведенный за нею час не бесполезно потраченным, то, значит, она стоит того, чтобы геометры посвятили ее разрешению некоторое время. Если они это сделают, то они из этого извлекут и ту пользу, что, разрешив задачу, они получат доступ к сокровеннейшим истинам, до которых без этого они едва ли доберутся.

Конечно, мы справедливо удивляемся тому, что было впервые открыто Гюйгенсом [7], а именно, что тяжелое тело совершает таутохронные спуски по обыкновенной циклоиде, из какой бы точки циклоиды оно ни начало двигаться, но я не знаю, не будешь ли ты, читатель, совершенно изумлен, когда я заявлю, что именно эта самая циклоида, т. е. гюйгенсова таутохрона, и является нашей искомой брахистохроной, что я установил двумя способами : косвенным и прямым.

Останавливаясь на изложении первого способа, я укажу, что мною открыто удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно изменяющейся среде и нашей брахистохронной кривой; я заметил еще и другие явления, относительно которых мне, впрочем, неизвестно, содержится ли в них что-нибудь сокровенное, что может оказаться полезным для диоптрики. Во всяком случае остается справедливым указание, которое я прибавил к своему объявлению о задаче, а именно, что последняя получит самое широкое применение не для пустой умственной спекуляции, а в иных дисциплинах, т. е. и в диоптрике.

Подтвердим же на деле то, что было сказано на словах, и прежде всего изложим наш способ решения задачи.

Ферма в своем письме на имя де ла Шамбра (см. Epist Cartesii Lat, т. III, стр. 147 и Fermatii Opera Mathem, стр. 156 и след.) установил, что луч света, проходящий из более редкой среды в более плотную, отклоняется к перпендикуляру таким образом, что за данный промежуток времени луч (который, по предположению, проходит последовательно от точки, испускающей свет, до освещаемой точки) совершает кратчайший путь; исходя из этого прин, ципа, он показал, что синус угла падения находится к синусу угла преломления в таком же отношении, как заданные разреженности сред, т. е. они находятся в отношении, обратном отношению плотностей, а значит, и в отношении скоростей, с которыми луч проходит в среде. Позднее это было точнее доказано остроумнейшим Лейбницем в «Acta Eruditorum» за 1682 г., стр. 185 и далее, а затем вскоре и знаменитым Гюйгенсом в его сочинении «0 свете», стр. 40. Последние подкрепили сильнейшими доводами только что указанный физический, или, скорее, метафизический принцип, который Ферма, под влиянием Клерселье, кажется, оставил и, слишком легко отказавшись от своих прав, ограничился лишь своими геометрическими доказательствами.

Если мы теперь возьмем не равномерно плотную среду, а как бы разделенную бесконечно большим количеством расположенных горизонтально пластинок, промежутки между которыми заполнены прозрачной материей, плотность которой возрастает или убывает в определенном отношении, то ясно, что луч, который мы представляем себе в виде шарика, будет распространяться не по прямой линии, а по некоторой кривой (это отметил уже Гюйгенс в вышеупомянутом сочинении «О свете», хотя он всего меньше определил природу этой кривой) ; эта кривая будет иметь такую форму, что шарик, пробегая по ней со скоростью, постоянно возрастающей или убывающей в соответствии с плотностью слоев, дойдет от одной точки до другой в кратчайшее время. Известно также, что так как синусы углов преломления в

отдельных точках пропорциональны разреженности среды, т. е. пропорциональны скоростям шарика, то указанная кривая обладает тем свойством, что синусы углов наклона ее к вертикальной линии повсюду находятся в отношении, пропорциональном отношению скоростей. После сказанного выше можно без труда понять, что указанная кривая представляет собою брахистохронную линию, образуемую лучом, проходящим через среду, разреженности которой пропорциональны скоростям, приобретаемым тяжелым телом, падающим по вертикальной линии.

Таким образом, зависит ли увеличение скорости от природы среды, оказывающей большее или меньшее сопротивление, как мы это имеем в случае луча, или же следует отвлечься от среды и от любых других причин, но мы видим, что ускорение создается по тому же закону, как и в случае движения тяжелых тел. Так как в обоих случаях кривая подчинена тому условию, что она должна быть пройдена в кратчайшее время, то что́ мешает нам поставить одно на место другого?
Рис. 1.
Таким образом, можно разрешить нашу задачу в общем виде, какой бы закон ускорения мы ни установили. Действительно, задача сводится к тому, что требуется определить кривизну луча в среде, изменяющейся каким угодно образом, в соответствии с разреженностью этой среды.

Итак, пусть имеется среда $F G D$ (рис. 1), ограниченная горизонталью $F G$, на которой расположена излучающая точка $A$. Пусть будет дана вместе с вертикальной осью $A D$ кривая $A H E$, ординаты которой $H C$ определяют степень разреженности среды на высотах $A C$ или скорости луча, либо шарика в точках $M$. Искомый искривленный луч пусть будет представлен линией $A M B$. Обозначим $A C$ через $x, C H$ – через $t, C M$ – через $y$, дифференциал $C c$ – через $d x$, дифференциал $n m$ – через $d y$, дифференциал $M m$ – через $d z$, некоторую произвольно взятую постоянную величину – через $a$. Отрезочек $M m$ будет полным синусом, $m n$ будет синусом угла преломления, т. е. угла наклона кривой к вертикальной линии, а потому в силу того, что мы только что сказали, $m n$ находится к $H C$ в постоянном отношении, т. е.
\[
\frac{d y}{t}=\frac{d z}{a} ;
\]

отсюда получается следующее уравнение :
\[
a d y=t d z
\]

или
\[
\text { aa } d y^{2}=t t d z^{2}=t t d x^{2}+t t d y^{2},
\]

последнее же после преобразования даст для искомой кривой $A M B$ общее дифференциальное уравнение
\[
d y=\frac{t d x}{\sqrt{a a-t t}} .
\]

Я, таким образом, одновременно решил две замечательные задачи – одну оптическую, другую механическую, т. е. я сделал больше того, что требөвал от других. Я показал, что хотя эти две задачи взяты из совершенно различных областей науки, тем не менее они имеют одинаковую природу.

Возьмем теперь специальный случай, а именно обычное положение, впервые введенное и доказанное Галилеем, согласно которому скорости падающих весомых тел находятся между собою в отношении корней квадратных их пройденных высот ; ведь к этому, собственно, и относится существо нашей задачи. При указанных допущениях заданная кривая $A H E$ будет параболой, т. е.
\[
t t=a x
\]

и
\[
t=\sqrt{a x} .
\]

Если мы подставим это в общее уравнение, то будем иметь
\[
d y=d x \sqrt{\frac{x}{a-x}},
\]

на основании чего я прихожу к заключению, что брахистохронная кривая является обыкновенной циклоидой.

В самом деле, если круг $G L K$, диаметр которого равен $a$, будет катиться по $A G$ и если начало качения будет в точке $A$, то точка $K$ опишет циклоиду, относительно которой можно установить, что она имеет то же дифференциальное уравнение
\[
d y=d x \sqrt{\frac{x}{a-x}},
\]

если обозначить $A C$ через $x$ и $C M$ через $y$.
Полученное уравнение может быть преобразовано а priori аналитически следующим образом :
\[
d x \sqrt{\frac{x}{a-x}}=\frac{x d x}{\sqrt{a x-x x}}=\frac{a d x}{2 \sqrt{a x-x x}}-\frac{a d x-2 x d x}{2 \sqrt{a x-x x}},
\]

Һ0
\[
\frac{a d x-2 x d x}{2 \sqrt{a x-x x}}
\]

является дифференциалом»величины, равной $\sqrt{a x-\overline{x x}}$, т. е. $L O$, а
\[
\frac{a d x}{\sqrt{a x-x x}}
\]

представляет собою дифференциал дуги $G L$; следовательно, если просуммировать уравнение
\[
d y=d x \sqrt{\frac{x}{a-x}},
\]

то мы будем иметь

таким образом,
\[
\begin{array}{c}
y, \text { т. } . \\
C M=G L-L O, \\
M O=C O-G L+L O .
\end{array}
\]

Если принять во внимание, что $C O$ равен полуокружности $G L K$, то
\[
C O-G L=L K,
\]

и мы будем иметь
\[
M O=L K+L O,
\]

а если вычесть из обеих частей общую величину $L O$, то мы получим
\[
M L=L K,
\]

откуда следует, что кривая $K M A$ представляет собою циклоиду.
Остается еще показать (дабы разрешить задачу в наиболее полном объеме), каким образом из данной верхней точки следует описать брахистохрону, т. е. циклоиду, так, чтобы она прошла через другую данную точку. Это легче всего выполняется следующим образом: соединим обе данные точки $A$ и $B$ (рис. 2) прямой линией $A B$ и на горизонтальной линии $A L$ построим произвольную циклоиду, имеющую своим началом точку $A$ и пересекающую прямую $A B$ в точке $R$. После того, как это будет выполнено, следует сделать так, чтобы в том же отношении, как прямая $A R$ к $A B$, находились между собою диаметр производящего круга циклоиды ARS и
Рис. 2.
Рис. 3.

некоторая четвертая величина; последняя и будет диаметром производящего круга искомой циклоиды $A B L$, проходящей через точку $B$.

Перед тем как закончить, я не могу воздержаться от того, чтобы еще раз не выразить своего изумления по поводу отмеченного неожиданного тождества между гюйгенсовой таутохроной [8] и нашей брахистохроной. Сверх того, я считаю необходимым отметить, что это тождество вытекает только из основного положения Галилея; уже из этого можно было бы заключить, что это положение находится в согласии с природой. Природа всегда действует простейшим образом, так и в данном случае – она с помощью одной и той же линии оказывает две различные услуги. Наоборот, при всяком другом предположении для этого потребовалось бы две линии : одна для колебаний равной продолжительности и другая для быстрейшего спуска. Так, если бы мы для примера допустили, что скорости падающих тел относятся между собою не как квадратные, а как кубические корни из высот, то брахистохрона представляла бы собою алгебраическую линию, а таутохрона трансцендентную; а если бы скорости были пропорциональны высотам, то обе эти линии были бы алгебраическими, а именно, первая была бы круговой, а вторая, конечно, прямой.

Я полагаю, что геометрам доставит некоторое удовольствие, если в качестве приложения я здесь приведу решение задачи, также крайне достойной исследования, – задачи, которая пришла в голову пишущему эти строки в связи с расмотренным выше случаем.

Требуется в вертикальной плоскости (рис. 3) найти кривую $P B$, которую можно было бы назвать «синхронной», с тем, чтобы тяжелое тело, падающее из точки $A$ по смежным циклоидам $A B$, достигло различных точек $B$ этой кривой за одно и то же время.

Пусть $A G$ – горизонтальная линия, а $A P$ – вертикальная. Смысл настоящей задачи заключается в том, что если на $A G$ провести какую-нибудь циклоиду, то от последней отсекался бы такой кусок $A B$, что для прохождения его тяжелому телу, падающему из точки $A$, потребовалось бы столько же времени, сколько ему понадобится для падения с указанной высоты по вертикальной линии $A P$; если поступить указанным образом, то точқа $B$ будет лежать на искомой «синхронной кривой» $P B$.

Если внимательно продумать то, что нами было выше сказано о луче света, то нетрудно будет понять, что рассматриваемая кривая представляет собою то же самое, что и кривая, изображенная Гюйгенсом на чертеже в его сочинении \”О свете», стр. 44 , с помощью линии $B C$ и названная им волной. Подобно тому, как последняя, согласно прекрасному замечанию Гюйгенса, нормально пересекает все лучи, исходящие из светящейся точки, точно так же и наша линия $P B$ встречает под прямыми углами все циклоиды $A B$, имеющие общее начало в точке $A$.

Если бы решить превратить эту задачу в чисто геометрическую и представить ее в следующем виде:

Определить кривую, которая нормально пересекает все циклоиды, имеющие общее начало, то, конечно, она задала бы геометрам большую работу. Между тем с иной точки зрения, где принимается во внимание рассмотренное выше падение тел, я эту задачу разрешаю с помощью следующего чрезвычайно легкого построения.

Пусть имеется производящий круг $G L K$ циклоиды $A B K$ и его диаметр $G K$; отсечем дугу $G L$, равную средней пропорциональной между определенной избранной линией $A P$ и диаметром $G K$; тогда я утверждаю, что линия $L B$, проведенная параллельно горизонтали $A G$, пересечет циклоиду $A B K$ в точке $B$.

Если бы кто-нибудь пожелал применить свой метод к другим линиям, пусть он определит линию, которая пересекает под прямыми углами надлежащим образом заданные по своему положению кривые линии, конечно, не алгебраические, что было бы не очень трудно, а трансцендентные, например логарифмические, лежащие на общей оси и проведенные через одну общую точку.