Известно, что если покоящаяся система действует на внешние тела силами, подчиняющимися закону сохранения энергии, то эти силы должны удовлетворять некоторым соотношениям, которые могут быть выражены

уравнениями
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}}=\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}},
\]

и что если эти уравнения имеют место, то может быть найдено значение потенциальной энергии.

Для движущихся систем, которые удовлетворяют закону минимума кинетической энергии, точно так же можно составить подобные соотношения, получаемые непосредственно из лагранжевых выражений для сил. При этом последние должны рассматриваться не только как функции координат $p_{i}$, как это делается для покоящихся систем, а также как функции скоростей $q_{i}$ и ускорений
\[
q_{i}^{\prime}=\frac{d q_{i}}{d t} .
\]

Уравнение (4)
\[
P_{i}=-\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)
\]

дает непосредственно
\[
P_{i}=-\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\sum_{j}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{j}} \cdot q_{j}\right)+\sum_{j}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}} \cdot q_{j}^{\prime}\right) .
\]
A. Силыи ускорения

Силы, представленные в такой форме, являются линейными функциями ускорений. Козффициент при $q_{j}^{\prime}$ в выражении для силы $P_{i}$ может быть выражен следующим образом :
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}^{\prime}}=\frac{\cdot \partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}=\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}^{\prime}},
\]

что означает следующее: Если ускорение $q_{j}^{\prime}$ увеличивает силу $P_{i}$ в некоторое число раз, то ускорение $q_{i}^{\prime}$ увеличивает силу $P_{j}$ во столько же раз. Имеет ли место подобное явление в каком-либо данном определенном случае, зависит от того, будет ли величина $\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}$ отлична от нуля или равна нулю. Эта величина равна нулю, например, для движений совершенно свободной системы весомых материальных точек, если они отнесены к прямоугольной системе координат. Каждая отдельная составляющая силы действует ускоряюще только в направлении той координаты, которой она соответствует.
Для волчка в примере $1 \S 2$ мы имеем :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial A}{\partial \beta^{\prime \prime}}=\frac{\partial B}{\partial \alpha^{\prime \prime}}=0, \\
\frac{\partial A}{\partial \gamma^{\prime \prime}}=\frac{\partial C}{\partial \alpha^{\prime \prime}}=-\mathfrak{A} \cos \beta, \\
\frac{\partial C}{\partial \beta^{\prime \prime}}-\frac{\partial B}{\partial \gamma^{\prime \prime}}=0,
\end{array}
\]

где $\alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime}$ и $\gamma^{\prime \prime}-$ ускорения углов $\alpha, \beta$ и $\gamma$.

В примере 2 для электродинамических действий мы имеем :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial P_{i}}{\partial I_{j}^{\prime}}=\frac{\partial \mathscr{E}_{j}^{\prime}}{\partial q_{i}}=0, \\
\frac{\partial \mathscr{E}_{j}}{\partial I_{k}^{\prime}}=\frac{\partial \mathscr{E}_{k}}{\partial I_{j}^{\prime}} .
\end{array}
\]

Первое уравнение имеет следующий смысл : так как пондеромоторная сила в цепи электрического тока не зависит от ускорения токов, то и индуцированная электродвижущая сила не может зависеть от ускорения проводников тока (однако в том и другом случае возможна зависимость от скоростей). Последнее уравнение говорит, что если при заданном положении и форме цепей тока $b$ и $c$ увеличение силы $\mathfrak{F}_{j}$, действующей в $b$, посредством электродинамической индукции заставляет возрасти величину $I_{k}$, то равное возрастание силы $F_{k}$ производит такое же действие на $I_{j}$.

В примере 3 , где рассматриваются термодинамические действия, эти взаимные зависимости отпадают, так как живая сила $L$ тяжелых масс не зависит от температуры, а следовательно, произведения $\vartheta \cdot q_{i}$ не встречаются в выражении для
\[
\mathfrak{F}-L=H \text {. }
\]
B. Соотношения между силами и скоростями

Из уравнений (38) далее следует :
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial q_{j}}+\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{j} \partial q_{i}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}+\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}^{-}}=2 \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right)=2 \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)=2 \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) .
\]

В очень большом числе случаев
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}^{\prime}}=\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}^{\prime}}=\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}=\text { const },
\]

отсюда следует :
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}=-\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}},
\]
т. е.: Если увеличение скорости $q_{j}$ при сохранении постоянного положения и постоянных ускорений вызывает возрастание силы $P_{i}$, то соответствующее увеличение скорости $q_{i}$ уменьшит силу $P_{j}$. В примерах А) уже обращалось внимание на случаи, в которых предварительное условие (51) выполнено. Эти примеры лучше всего показывают широкое значение этого предложения, но они показывают также, что нужно убедиться в выполнении предварительного условия, прежде чем применять вместо общего уравнения (50) упрощенное выражение (52).

Пример 1. Волчок. Если сила, которая увеличивает угол $\beta$, т. е. стремится удалить ось волчка от вертикали, поддерживает более быстрое прецессионное движение $\frac{\partial a}{\partial t}$, то сила, которая стремится ускорить прецессию, будет приближать ось к вертикали.

Пример 2. Закон электродинамической индукции (закон Ленца). Относительное движение двух электрических цепей, которое поддерживается пондеромоторными электродинамическими силами, вызывает инду-

цированные электродвижущие силы, которые противодействуют имеющимся токам.

Соответствующая зависимость обнаруживается при движении магнита относительно проводника тока.

Пример 3. Термодинамика: Если повышение температуры увеличивает давление в системе тел, то сжатие этой последней вызовет повышение температуры.

Для этого случая мы можем, используя обозначения и пояснения § 2 к этому примеру, написать уравнение (52) после умножения обеих частей на $\eta$ в таком виде:
\[
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(P_{(\eta)} \cdot \eta\right)=-\frac{\partial P_{i}}{\partial \ln \eta},
\]

или в соответствии с формулой (37) :
\[
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{d Q}{d t}\right)=+\frac{\partial P_{i}}{\partial \ln \eta} .
\]

Но на основании уравнения (34)
\[
\frac{d Q}{d t}=\eta \frac{d s}{d t}=\eta \sum_{i}\left(\frac{\partial s}{\partial p_{i}} q_{i}\right)-\eta \frac{\partial s}{\partial \eta} \cdot \frac{d \eta}{d t} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{d Q}{d t}\right)=\eta \frac{\partial s}{\partial p_{i}} .
\]

Согласно уравнению (35) мы имели
\[
P_{i}=-\frac{\partial}{\partial p_{i}}(H-L)-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right),
\]

а так как $L$ не зависит от $\eta$, то
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial \eta}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial \eta}=\frac{\partial s}{\partial p_{i}},
\]

что совместно с уравнением (54) подтверждает справедливость уравнения (53), а тем самым и применимость нашего общего предложения. При этом можно было бы любую из функций $\eta$ уравнения (33) рассматривать как скорость; нужно только, чтобы тогда соответственно величина $\frac{d \eta}{d t}$ фигурировала в качестве ускорения. Температура $\vartheta$ также принадлежит к числу интегрирующих делителей $\eta$, так что имеет место уравнение
\[
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{d Q}{d t}\right)=\frac{\partial P_{i}}{\partial \ln \vartheta} .
\]

Так как в этом примере производная $\frac{d \vartheta}{d t}$ должна равняться нулю, то величина $\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{d Q}{d t}\right)$ есть скорость, с которой поступает тепло, когда параметр $p_{i}$ растет со скоростью $q_{i}$, в то время как $\vartheta$ остается постоянной. Отсюда получается данная выше формулировка предложения.

Те же самые соображения могут быть применены к необратимым частям термоэлектрических и электрохимических процессов.

Явление Пельть е. Если нагревание какого-либо места замкнутой цепи производит электрический ток, то тот же самый ток вызовет охлаждение того же места цепи (если отвлечься от нагревания вследствие электрического сопротивления).

Электрохимия. Если нагревание постоянного гальванического элемента увеличивает электродвижущую силу, то прохождение тока в том же элементе вызовет переход теплоты в скрытое состояние*).

Вышеприведенные формулы, однако, указывают не только знак соответствующего изменения, но одновременно дают указание и на количества, о которых идет речь.
C. Зависимости между силами и координатами
Наконец, из уравнения (48) следует :
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}}-\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{j}}-\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{j} \partial p_{i}}\right)=\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Для случая покоя, когда правая часть обращается в нуль, отсюда получается общий закон консервативных сил :
\[
\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}}=\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}} .
\]

Но то же самое условие выполняется, если временами движение происходит так, что правая часть уравнения (56) оказывается равной нулю. Тут мы также можем применить закон (57), чтобы образовать для сил нагретых тел или соответственно моноциклических систем силовую функцию, если только во время движения одна из функций $\eta$ в уравнении (33) остается постоянной. Если мы при этом пренебрежем живой силой $L$ упорядоченных движений, то согласно уравнению (35) мы будем просто иметь
\[
P_{i}=-\frac{\partial H}{\partial p_{i}},
\]
т. е. наше уравнение (57) удовлетворяется. Но с этим случаем мы встречаемся почти всегда, когда занимаемся механикой земных тел, более или менее нагретых. Несмотря на то, что тела внутри одержимы сильным движением, мы можем, например, для теории их упругих действий на основании доказанного здесь закона образовать силовые функции молекулярных сил и применять их так, как если бы их состояние равновесия было устойчивым в абсолютном покое.

Я хочу здесь еще заметить, что для того чтобы доказать, что существует кинетический потенциал и что силы $P_{i}$ могут быть по способу, указанному Лагранжем, выражены через его производные и что уравнения движения могут быть сведены к принципу наименьшего действия, оказывается достаточно соотношений взаимности для сил, выражаемых уравнениями :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}^{\prime}}=\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}^{\prime}}, \\
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}+\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}}=2 \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}^{\prime}}\right), \\
\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}}-\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}}=\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}}\right)
\end{array}
\]

(в связи с тем, что $P_{i}$ являются линейными функциями $q_{i}^{\prime}$, т. е.
\[
\frac{\partial^{2} P_{i}}{\partial q_{j}^{\prime} \partial q_{k}^{\prime}}=0,
\]

и с ранее данными определениями :
\[
\begin{aligned}
q_{i} & =\frac{d p_{i}}{d t}, \\
q_{i}^{\prime} & =\frac{d q_{i}}{d t} .
\end{aligned}
\]

Итак, перечисленные здесь зависимости между силами полностью характеризуют те движения, к которым применим принцип наименьшего действия.

Доказательство этого предложения для случая, когда имеется не более трех координат $p_{i}$, может быть дано непосредственно методами современного математического анализа. Для этого нужно, однако, воспользоваться предложениями из области теории потенциальных функций в пространстве трех измерений. Для перехода к большему числу координат потребуются соответствующие предложения для большего числа координат. Их можно получить в той мере, в қакой они нужны для нашего доказательства. Но так как это вопрос, имеющий самостоятельный интерес, то мне кажется нецелесообразным решать его здесь попутно, и я поэтому предпочитаю дать указанное доказательство при другом, более удобном случае.

Другие общие свойства движений, происходящих с соблюдением принципа наименьшего действия, будут изложены в следующих параграфах.