Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
30. Пример, которым мы занимались в последних шести параграфах, не является совершенно идеальным, но находит некоторое осуществление в движении метательного снаряда в пустом пространстве. Если мы будем рассматривать землю как шар с радиусом $R$ и предположим, что ускоряющая сила тяжести меняется обратно пропорционально квадрату расстояния $r$ от ее центра и равна $g$ на поверхности, тоэта сила вообще будет $\frac{g R^{2}}{r^{2}}$, и, чтобы применить дифференциальные уравнения (78) к движению метательного снаряда в пустом пространстве, достаточно взять
\[
U=g R^{2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right) \text {. }
\]
Если мы поместим начало прямоугольных координат у земной поверхности и предположим, что полуось $+z$ направлена вертикально вверх, то получим
\[
r=\sqrt{(R+z)^{2}+x^{2}+y^{2}}
\]
и
\[
U=-g z+\frac{g z^{2}}{R}-\frac{g\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 R},
\]
пренебрегая только теми, очень малыми членами, которые имеют в качестве знаменателя квадрат земного радиуса. Таким образом, если мы пренебрежем подобными членами, то силовая функция $U$ в данном случае будет иметь форму (110), на чем основаны все рассуждения, приведенные в примере, причем малые постоянные соответственно представляют собой действительные и мнимые величины $\sqrt{\frac{g}{R}}, \sqrt{\frac{-2 g}{R}}$. Поэтому мы можем применить результаты, полученные в последних параграфах, к движениям метательных снарядов в пустом пространстве подстановкой этих значений вместо постоянных, а также заменяя там, где это необходимо, тригонометрические функции экспоненциальными. Однако, помимо теоретической легкости и малого практического значения исследований, относящихся к таким метательным снарядам, эти результаты будут точны лишь до первой отрицательной степени (включительно) земного радиуса, потому что выражение (110) для силовой функции точно лишь в такой же степени; поэтому строгие и приближенные исследования, основанные на этом выражении и изложенные в шести предыдущих параграфах, предлагаются лишь как математические иллюстрации общего метода, распространяющегося на все проблемы динамики или, по крайней мере, на все те проблемы, к которым применим закон живых сил.
