12. Предположим теперь, что некоторая определенная каноническая система
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial F_{1}}{\partial p_{k}} \delta t, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n)
\]

благодаря введению переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, где
\[
\begin{array}{l}
y_{k}=y_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \\
q_{k}=q_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)
\end{array} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

принимает вид
\[
\delta y_{k}=\frac{\partial \Phi_{1}}{\partial q_{k}} \delta t, \quad \delta q_{k}=-\frac{\partial \Phi_{1}}{\partial y_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Если это преобразование не является касательным преобразованием, то положим
\[
\Sigma q_{k} d y_{k}=\Sigma X_{k} d x_{k}+\Sigma P_{k} d p_{k}=W .
\]

Существует (лемма 1) соотношение вида
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum q_{k} d y_{k}=\left(\Phi_{1}, \sum q_{k} d y_{k}\right)=d \Omega,
\]

откуда
\[
\frac{\delta}{\delta t}\left\{\sum_{k} X_{k} d x_{k}+\sum_{k} P_{k} d p_{k}\right\}=d \Omega .
\]

Пусть, с другой стороны, задано любое выражение
\[
\sum_{k} X_{k}^{\prime} d x_{k}+\sum_{k} P_{k}^{\prime} d p_{k}
\]

с нормальной $n$-членной формой, производная которого по $t$ является полным дифференциалом :
\[
\frac{\delta}{\delta t}\left\{\sum_{k} X_{k}^{\prime} d x_{k}+\sum_{k} P_{k}^{\prime} d p_{k}\right\}=\left(F_{1}, \sum_{k} X_{k}^{\prime} d x_{k}+\sum_{k} P_{k}^{\prime} d p_{k}\right)=d \Omega .
\]

Если теперь привести выражение $\sum_{k} X_{k}^{\prime} d x_{k}+\sum_{k} P_{k}^{\prime} d p_{k}$ к его нормальной форме
\[
\sum_{k} X_{k}^{\prime} d x_{k}+\sum_{k} P_{k}^{\prime} d p_{k}=q_{1}^{\prime} d y_{1}^{\prime}+\ldots+q_{n}^{\prime} d y_{n}^{\prime}+d \theta,
\]

то система (22) посредством введения в качестве переменных величин $y_{k}^{\prime}, q_{k}^{\prime}$ (которые мы предполагаем независимыми) снова принимает канонический вид :
\[
\delta y_{k}^{\prime}=\frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}^{\prime}} \delta t, \quad \delta q_{k}^{\prime}=-\frac{\partial \Psi}{\partial y_{k}^{\prime}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Если желательно найти наиболее общее преобразование, которое сохраняет системе (22) ее канонический вид, то надо искать самое общее выражение (23), удовлетворяющее соотношению вида (24), а затем привести это выражение наиболее общим способом к его нормальному виду. Этим непосредственно получается искомое преобразование.
Будем теперь искать $2 n$-членную каноническую группу, содержащую $F_{1}$ :
\[
F_{1}, \ldots, F_{n}, G_{1}, \ldots, G_{n},
\]

и затем введем эти величины в качестве переменных. Речь идет о том, чтобы найти наиболее общее выражение
\[
\sum_{k} L_{k} d F_{k}+\sum_{k} M_{k} d G_{k}
\]

которое удовлетворяет соотношению вида
\[
\left(F_{1}, \sum_{k} L_{k} d F_{k}+\sum_{k} M_{k} d G_{k}\right)=d \Omega .
\]

Но это уравнение принимает вид
\[
\sum_{k} \frac{\partial L_{k}}{\partial G_{1}} d F_{k}+\sum_{k} \frac{\partial M_{k}}{\partial G_{1}} d G_{k}=d \Omega,
\]

откуда получаем
\[
\frac{\partial L_{k}}{\partial G_{1}}=\frac{\partial \Omega}{\partial F_{k}}, \frac{\partial M_{k}}{\partial G_{1}}=\frac{\partial \Omega}{\partial G_{k}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

или путем интегрирования по переменной $G_{1}$
\[
L_{k}=\int \frac{\partial \Omega}{\partial F_{k}} d G_{1}, \quad M_{k}=\int \frac{\partial \Omega}{\partial G_{1}} d G_{1} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

В этих выражениях для величин $L_{k}$ и $M_{k}$ роль постоянных интеграции играют произвольные функции переменных $F_{1}, \ldots, F_{n}, G_{2}, \ldots, G_{n}$, тогда как через $\Omega$ обозначена произвольная функция всех переменных $F_{k} G_{k}$. Если затем в выражении (25) выразим $F_{k}$ и $G_{k}$ в функции от $x_{k}$ и $p_{k}$, то получим наиболее общее выражение
\[
\sum_{k} X_{k} d x_{k}+\sum_{k} P_{k} d p_{k}
\]

удовлетворяющее соотношению вида
\[
\left(F_{1}, \sum_{k} X_{k} d x_{k}+\sum P_{k} d p_{k}\right)=d \Omega .
\]

После этого искомое преобразование находится по ранее установленным правилам.
13. Чтобы доказать в явной форме, что преобразования, найденные указанным способом, вообще говоря, не являются касательными преобразованиями, я приведу нижеследующие рассуждения.

Формулы (26), если обозначить через $\lambda_{k}$ и $\mu_{k}$ произвольные функции переменных $G_{2}, \ldots, G_{n}, F_{1}, \ldots, F_{n}$, могут быть написаны так:
\[
\left.\begin{array}{l}
L_{k}=\frac{\partial}{\partial F_{k}}\left(\int \Omega d G_{1}\right)+\lambda_{k}, \\
M_{k}=\frac{\partial}{\partial G_{k}}\left(\int \Omega d G_{1}\right)+\mu_{k} \quad(k=1, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Если соответствующее преобразование должно быть касательным преобразованием, то должно иметь место соотношение
\[
\sum_{k} L_{k} d F_{k}+\sum_{k} M_{k} d G_{k}=\sum_{k} p_{k} d x_{k}+d \Psi=\sum_{k} G_{k} d F_{k}+d \Pi,
\]

откуда
\[
L_{k}=G_{k}+\frac{\partial \Pi}{\partial F_{k}}, \quad M_{k}=\frac{\partial \Pi}{\partial G_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Если положить
\[
\Pi-\int \Omega d G_{1}=S,
\]

то эти формулы дают вместе с формулами (27) уравнения
\[
\lambda_{k}=G_{k}+\frac{\partial S}{\partial F_{k}}, \quad \mu_{k}=\frac{\partial S}{\partial G_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Но так как $\lambda_{k}$ и $\mu_{k}$, вообще говоря, являются произвольными функциями переменных $G_{2}, \ldots, G_{n}, F_{1}, \ldots, F_{n}$, то этим действительно доказано, что наши преобразования лишь в виде исключения являются касательными преобразованиями. Это приводит к следующей теореме:
Теорема III. Чтобы каноническую систему
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial F_{1}}{\partial p_{k}} \delta t, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n)
\]

наиболее общим образом преобразовать в подобную же систему, поступают так: удовлетворяют уравнению
\[
\sum_{k} p_{k} d x_{k}=\sum_{k} G_{k} d F_{k}+d V
\]

наиболее общим образом и затем полагают
\[
L_{k}=\lambda_{k}+\frac{\partial U}{\partial F_{k}}, \quad M_{k}=\mu_{k}+\frac{\partial U}{\partial G_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где $U$ обозначает любую функцию переменных $F_{k}$ и $G_{k}$, а $\lambda_{k}$ и $\mu_{k}$ – произвольные функции переменных $G_{2}, \ldots, G_{n}, F_{1}, \ldots, F_{n}$. После этого приводят выражение
\[
\sum_{k} L_{k} d F_{k}+\sum_{k} M_{k} d G_{k}
\]

наиболее общим образом к виду
\[
Q_{1} d Y_{1}+\ldots+Q_{n} d Y_{n}+d Y .
\]

Тогда уравнения
\[
q_{k}=Q_{k}, y_{k}=Y_{k}
\]

определяют наиболее общее преобразование требуемого типа.
14. Примечание. Если дано какое-либо выражение Пфаффа:
\[
X_{1} d x_{1}+\ldots+X_{n} d x_{n}=\Sigma X d x,
\]

то можно поставить себе задачей найти наиболее общее бесконечно малое преобразование
\[
A f=\xi_{1} \frac{\delta f}{\delta x_{1}}+\ldots+\xi_{m} \frac{\delta f}{\delta x_{m}},
\]

которое удовлетворяет соотношению вида

а также дает
\[
\begin{array}{c}
A(\Sigma X d x)=d \Omega, \\
A(\Sigma X d x)=0 .
\end{array}
\]

Эти задачи всегда разрешимы. Если, в частности, $m=2 n$, и притом нормальная форма $\Sigma X d x n$-членна с $2 n$ независимыми функциями, то первая задача требует только выполнимых операций.
Пусть, наоборот, дана полная система
\[
A_{1} f=0, \ldots, \quad A_{q} f=0 .
\]

Предположим, что известно выражение
\[
X_{1} d x_{1}+\ldots+X_{m} d x_{m},
\]

которое удовлетворяет $q$ соотношениям вида
\[
\left.A_{i}(\Sigma X d x)=d \Omega_{i} \quad \text { (или }=0\right) .
\]

Поставим задачей наиболее полно использовать это обстоятельство. Если, в частности, $q=1, m=2 n$, и притом нормальная форма выражения
\[
\sum X d x
\]

содержит $2 n$ независимых функций, то интегрирование уравнений $A_{i} f=0$ требует нескольких операций, число которых равно $2 n-2,2 n-4, \ldots, 6,4,2$.

В соответствующем месте я распространю все свои исследования по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка на задачу Пфаффа.