Проблема геометризации основных соотношений динамики, вытекавшая из глубокого внутреннего родства теории поверхностей и проблемы отыскания динамических траекторий для различных механических систем, вызвала многочисленные исследования.

Теория относительности отнюдь не является первой теорией, геометризующей динамику. Теория относительности в этом смысле была лишь первой теорией, проводившей геометризацию в пространстве-времени.

Уже в классической механике, придав принципу наименьшего действия подходящую форму, геометризовали общую задачу динамики.

Исходя из работ Якоби, Томсона и Тэта, Лиувилля и Липшица, Дарбу**) развил геометризацию проблем динамики, рассматривая среди всех возможных движений с силовой функцией $U$ такие, которым отвечает одно и то же значение постоянной $h$ закона сохранения энергии, или, что то же самое, одна и та же полная энергия.
Если взять в качестве основной формы

и ввести импульсы
\[
2 T d t^{2}=a_{i k} d q_{i} d q_{k}
\]

To
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =a_{i j} \dot{q}_{j}, \\
2 T & =a^{i k} p_{i} p_{k} .
\end{aligned}
\]

Тогда уравнение в частных производных Якоби запишется так:
\[
a^{i k} \frac{\partial S}{\partial q_{i}} \frac{\partial S}{\partial q_{k}}=2(U+h) .
\]

Пусть $\theta$ – полный интеграл этого уравнения и пусть $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{n-1}$ частные интегралы линейного в $F$ уравнения
\[
a^{i k} \frac{\partial \theta}{\partial q_{i}} \frac{\partial F}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Согласно Липшицу имеем :
\[
2(U+h) a_{i k} d q_{i} d q_{k}=d \theta^{2}+f\left(d \theta_{1}, \ldots, d \theta_{n-1}\right),
\]

откуда для действительного движения, при котором
\[
d \theta_{1}=d \theta_{2}=\ldots=d \theta_{n-1}=0,
\]

имеем :
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h) \sum a_{i k} d q_{i} d q_{k}}=0 .
\]

Таким образом, с помощью этого выражения принципа наименьшего действия определение траектории тела сводится к отысканию геодезической линии, т. е. к чисто геометрической задаче о нахождении экстремума интеграла (46).

Форма, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, выражает собою тот факт, что траектория консервативной, склерономной, голономной системы является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид
\[
\frac{\delta^{2} x_{i}}{\delta s^{2}}=0 .
\]

Как нами выше уже было отмечено, во второй половине XIX в. в первую очередь в работах Софуса Ли выявилась органическая связь механики в форме Гамильтона-Якоби с теорией преобразований.

Лиувилль показал, что при любом движении, определяемом канонической системой, протяженность или объем в фазовом пространстве $(p, q)$ являются инвариантными. В 1891 г. Ф. Клейном была проанализирована связь лучевой оптики и динамики в $n$-мерных пространствах.

Қанонические уравнения оказывались, по существу говоря, математическим выражением принципа Гюйгенса, рассматриваемого в его первоначальном геометрическом виде. Механическое движение с этой точки зрения рассматривается как негрерывное саморазвертывание касательного преобразования. Глубокая аналогия между идеями гамильтоновой механики, не зависящей от выбора системы координат, и геометрией многомерных пространств привела к геометризации механики. Было выяснено, что разыскание движения голономных систем со связями, независимыми от времени под действием сил, имеющих потенциал, может быть сведено к задаче геодезических линий. Механика Герца, основанная на его принципе прямейшего пути, была геометризована в $n$-мерном пространстве; однако она, несмотря на последовательность построения, оказалась малоплодотворной в силу сложной замены сил связями со скрытыми, вообще говоря, системами.

Внутренний синтез аналитических аспектов динамики и геометризации в $n$-мерных пространствах, отражая глубокое родство выражения количественных связей материального мира в анализе и геометрии, привел к такой «геометризации механики», которая в какой-то степени подготовила аналогичные, но гораздо более фундаментальные идеи теории относительности. Геометризация принципа наименьшего действия в форме Якоби $\delta \int \sqrt{2(U+h) \sum_{i}^{\prime} m_{i} d s_{i}^{3}}=0$, определяющего траектории с одной и той же полной энергией, была осуществлена в работах Лиувилля (1856 г.), Липшица (1871 г.), Томсона и Тэта (1879 г.), Леви-Чивита (1896 г.) и Дарбу, посвятившего этой проблеме две части своих «Лекций об общей теории поверхностей».

Первые идеи о связи динамики системы с движением точки в $n$-мерном пространстве были довольно неотчетливо изложены Риманом в 1854 г. В 1869 г. Бельтрами и в 1872 г. Липшиц использовали геометрические методы. В 1917 г. Леви-Чивита применил понятие параллелизма к механике. Идея многомерного риманова пространства постепенно все глубже внедрялась в механику. В конце XIX в. Дарбу и Герц рассматривали динамическую систему как точку, движущуюся в $n$-мерном пространстве. В 1894 г. Пенлеве изучал механические проблемы с помощью многомерных пространств, используя главным образом евклидову метрику. Наконец, тензорные методы в динамике ведут свое начало от работ Риччи и Леви-Чивита 1900 г. Дальнейшее развитие этих идей принадлежит Райту (1908 г.), Гораку (1924 г.), Синджу (1926 г.), Вранцеану (1926 г.), Скаутену (1929 г.) и другим.

Поведение динамической системы оказалось таким, какое естественно приписать точке в $n$-мерном пространстве. Движение системы представляется

тем самым не как движение совокупности так или иначе связанных частиц в трехмерном евклидовом пространстве, а как движение одной-единственной точки $n$-мерного риманова пространства. Динамическая траектория естественного движения между двумя заданными конфигурациями при заданном значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия, для которого установлено мероопределение вида
\[
d s^{2}=\sum a_{n k} d q_{n} d q_{k} .
\]

Таким образом, фундаментальный синтез геометрического и аналитического аспектов, представление движения в $n$-мерных неевклидовых пространствах, обобщенная концепция корпускулярно-волнового движения являются основными тенденциями развития классической динамики системы XIX в. и начала XX в. Именно это позволило использовать классическую динамику для углубления познания действительных закономерностей материального мира.