Особое место среди вариационных принципов механики занимает принцип наименьшего принуждения, сформулированный Гауссом*) в 1829 г., установление которого непосредственно связано с его работами о способе наименьших квадратов. Особенностью принципа Гаусса является то, что задача определения движения сводится к отысканию минимума конечного выражения
\[
\sum_{r}^{\prime}\left(B_{r} C_{r}\right)^{2},
\]

где $B_{r} C_{r}$ – отрезок, соединяющий точку $B_{r}$, в которой оказалась бы частица при свободном движении через время $d t$, с точкой $C_{r}$, соответствующей ее положению при наложенных связях. Это геометрическое выражение принципа Гаусса может быть приведено к выражению через силы в виде треизвестном смысле, мера действия внешних условий на $r$-ю координату, так как оно дает отклонение от свободного движения, вызванное принуждением. Если ввести потерянные силы в смысле Д’Аламбера и обратные массы, то окажется, что в выражснии прищципа они играют такую же роль, как погрешности и статистические веса в теории ошибок.

В принципе Гаусса, в отличие от рассмотренных ранее вариационных принципов, варьируются лишь ускорения $\ddot{x}_{r}$.

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892 – 1893 гг. Герц**), разработавший принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя кроме наблюдаемых еще и «скрытые массы» и «скрытые движения». Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о \”скрытых движениях\” (введение которых у Герца оказывается логически необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке: «каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей», Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами–Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то

же соотношение, что и между лучами и волновыми поверхностями. Герц полностью исключил всякие телеологические умозаключения из своего принципа, так как в нем не содержится никакого выражения определения настоящего через будущее. Сам Герц показал, что принцип прямейшего пути непосредственно связан с принципом наименьшего действия в форме Якоби и с принципом Гамильтона.