Тем же методом, который применялся в двух предыдущих параграфах, мы рассмотрим распространение фазы синусоидального колебания. Для этого мы встанем на очень общую точку зрения и нам снова придется рассматривать пространство-время.
Рассмотрим функцию $\sin \varphi$, предположив, что дифференциал $\varphi$ зависит от переменных $x^{i}$ пространства и времени. В пространстве-времени имеется бесконечное число мировых линий, вдоль которых функция $\varphi$ постоянна.
Волновая теория в той форме, в которой она представлена в работах Гюйгенса и Френеля, заставляет нас различать некоторые из этих линий, проекции которых на пространство наблюдателя являются для него «лучами» в обычном оптическом смысле.
Положим, как и раньше, что $P$ и $Q$ – две точки пространства-времени. Если мировой луч пройдет через эти две точки, то какой закон будет определять его форму? Рассмотрим криволинейный интеграл $\int_{P}^{Q} d \varphi$ и определим мировой луч в гамильтоновой форме
\[
\delta \int_{P}^{Q} d \varphi=0 .
\]
Интеграл действительно должен быть стационарным, иначе совпадающие по фазе возмущения, исходящие из некоторой точки пространства и после пробега по нескольким различным путям пересекающиеся в другой точке, окажутся различными по фазе.
Фаза $\varphi$ инвариантна; таким образом, если мы положим
\[
d \varphi=2 \pi\left(O_{1} d x^{1}+O_{2} d x^{2}+O_{3} d x^{3}+O_{4} d x^{4}\right)=2 \pi O_{i} d x^{i},
\]
то величины $O_{i}$, обычно являющиеся функциями $x^{i}$, будут ковариантными компонентами мирового вектора – вектора мировой волны. Если $l$ – на-
правление луча в обычном смысле, то $d \varphi$, как правило, рассматривают в форме
\[
d \varphi=2 \pi\left(v d t-\frac{v}{V} d l\right),
\]
где $
u$ – частота, а $V$ – скорость распространения. Тогда можно положить
\[
\begin{array}{ll}
O_{1}=-\frac{v}{V} \cos (x, l), & O_{2}=-\frac{v}{V} \cos (y, l), \\
O_{3}=-\frac{v}{V} \cos (z, l), & O_{4}=\frac{v}{c} .
\end{array}
\]
Вектор мировой волны распадается, следовательно, на временну́ю компоненту, пропорциональную частоте, и пространственный вектор $\boldsymbol{n}$ длиной $\frac{v}{V}$, ориентированный по направлению распространения. Мы назовем этот вектор волновым числом потому, что он равен обратной величине длины волны. Если частота $v$ постоянна, то нужно перейти от гамильтоновой формы
\[
\delta \int_{P}^{Q} O_{i} d x^{i}=0
\]
к форме Мопертюи
\[
\delta \int_{A}^{B} O_{1} d x^{1}+O_{2} d x^{2}+O_{3} d x^{3}=0,
\]
где $A$ и $B$ – точки пространства, соответствующие $P$ и $Q$. Подставляя вместо $O_{1}, O_{2}$ и $O_{3}$ их значения, получаем
\[
\delta \int_{A}^{B} \frac{v d t}{V}=0 .
\]
В таком виде принцип Мопертюи совпадает с принципом Ферма.
Как в предыдущем параграфе надо было знать распределение вектора $\boldsymbol{p}$ в поле, чтобы найти проходящую через две определенные точки траекторию движущегося тела с заданной полной энергией, так и здесь, чтобы найти луч волны известной частоты, проходящий через две заданные точки, достаточно знать распределение в пространстве вектора волнового числа, определяющего в каждой точке и для каждого направления скорость распространения.
