Гамильтониан $H$ определяется как
\[
H \equiv p_{n} \dot{q}_{n}-L,
\]

где суммирование подразумевается по двум одинаковым индексам. Имеем:
\[
\begin{aligned}
\delta H=\delta\left(p_{n} \dot{q}_{n}-L\right)=p_{n} \delta \dot{q}_{n}+\dot{q}_{n} \delta p_{n}-\left(\frac{\partial L}{\partial q_{n}}\right) & \delta q_{n}-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}\right) \delta \dot{q}_{n}= \\
& =\dot{q}_{n} \delta p_{n}-\left(\frac{\partial L}{\partial q_{n}}\right) \delta q_{n} .
\end{aligned}
\]

Мы нашли, что $\delta H$ не зависит от $\delta \dot{q}_{n}$. Этот важный результат имеет место как в обычном, так и в общем случаях.

Уравнение (5) задает $H$ как функцию от $q, \dot{q}$ и $p$, определенную в $3 N$ мерном пространстве координат $q, \dot{q}$ и $p$. Мы используем это определение только в области $R_{\varepsilon}$, в которой результат (6) выполняется с точностью до первого порядка. Это значит, что если мы положим $q=$ const и $p=$ const и произведем вариацию первого порядка величин $\dot{q}$, то вариация $H$ будет второго порядка. Таким образом, если мы положим $q=$ const и $p=$ const, заменим $\dot{q}$ на конечную величину и останемся в о бласти $R_{\varepsilon}$, что возможно, когда не имеет места обычный случай, то вариация будет первого порядка. В области же $R$ вариация будет равна нулю.

Следовательно, $H$ в области $R$ зависит только от $q$ и $p$. Обозначая эту фукцию через $\mathfrak{5}(q, p)$, имеем слабое уравнение
\[
H=\mathfrak{E}(q, p),
\]

выполняющееся в области $R$.
В обычном случае $\mathfrak{5}$ совпадает с обычным гамильтонианом. После полного варьирования имеем :
\[
\delta(H-\mathfrak{F})=\left(\dot{q}_{n}-\frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial p_{n}}\right) \delta p_{n}-\left(\frac{\partial L}{\partial q_{n}}-\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial q_{n}}\right) \delta q_{n} .
\]

Таким образом, $\delta(H-\mathfrak{W})$ зависит только от $\delta q$ и $\delta p$. Вариация $\delta(H-\mathfrak{K})$ обращается в нуль для тех вариаций по $q$ и $p$, для которых при надлежащем выборе $\delta \dot{q}$ сохраняются уравнения (2). Единственное ограничение, наложенное. на $\delta q$ и $\delta p$, требует, чтобы сохранялись уравнения (4) (они должны приводить к $\delta \Phi_{m}=0$ для всех $m$ ). Таким образом, $\delta$ ( $\left.H-\mathfrak{F}\right)$ равно нулю для всех $\delta q$ и $\delta p$, обращающих в нуль $\delta \Phi_{m}$; отсюда для произвольных $\delta q$ и $\delta p$ имеет место
\[
\delta(H-\mathfrak{W})=v_{m} \delta \Phi_{m}
\]

с некоторыми коэффициентами $v_{m}$.
Козффициенты $v_{m}$, являющиеся функциями от $q, \dot{q}$ и $p$, можно с помощью (2) выразить только через $q$ и $\dot{q}$. Из (4) и (8) получим
\[
\delta\left(H-\mathfrak{h}-v_{m} \Phi_{m}\right)=\delta(H-\mathfrak{h})-v_{m} \delta \Phi_{m}-\Phi_{m} \delta v_{m}=0,
\]

а отсюда
\[
H \equiv \mathfrak{g}+v_{m} \Phi_{m} .
\]

Мы имеем сильное уравнение, выполняющееся с точностью до первого порядка в области $R_{\varepsilon}$, в противоположность слабому уравнению (7), выполняющемуся только в области $R$.

Из уравнения (8) следует :
\[
\delta H=\delta \mathfrak{Y}+v_{m} \delta \Phi_{m}=\frac{\partial \mathfrak{G}}{\partial p_{n}} \delta p_{n}+\frac{\partial \mathfrak{G}}{\partial q_{n}} \delta q_{n}+v_{m}\left(\frac{\partial \Phi_{m}}{\partial p_{n}} \delta p_{n}+\frac{\partial \Phi_{m}}{\partial q_{n}} \delta q_{n}\right) .
\]

Сравнивая $\delta H$ с (6), получим
\[
\begin{array}{c}
\dot{q}_{n}=\frac{\partial \mathfrak{W}}{\partial p_{n}}+v_{m} \frac{\partial \Phi_{m}}{\partial p_{n}}, \\
\frac{\partial L}{\partial q_{n}}=\frac{\partial \mathfrak{\mathscr { E }}}{\partial q_{n}}+v_{m} \frac{\partial \Phi_{m}}{\partial q_{n}} .
\end{array}
\]

Уравнения (10) выражают $\dot{q}$ в терминах $q, p$ и $v$. Из них следует, что $2 N$ переменных $q_{n}$ и $\dot{q}_{n}$ можно выразить через $2 N+M$ переменных $q_{n}, p_{n}, v_{m}$. Между $2 N+M$ переменными существует $M$ соотношений (4). Других соотношений между этими переменными не может быть, так как иначе они не были бы независимыми. Таким образом, каждое $v$ независимо от $q, p$ и других $v$. Переменные $v$ можно рассматривать как своего рода скорости. C их помощью можно задать те $\dot{q}$, которые не могут быть выражены через $q$ и $p$. Когда мы имеем дело с гамильтоновым формализмом, мы пользуемся в качестве основных переменных теми $q, p$ и $v$, которые связаны только соотношениями (4). Эти переменные мы назовем гамильтоновыми переменными.