От разработки оптических проблем к динамике Гамильтон перешел вполне закономерно. Прежде всего внутренняя логика разработанного им метода исследования оптических проблем вела к распространению этого метода на динамику. Связь той математической формы, в которую он облек

геометрическую оптику, с уравнениями механики была ему ясна еще задолго до написания мемуаров по динамике. Конечно, из того, что внутренняя логика оптических работ Гамильтона приводила к возможности расширения сферы применения его метода, не вытекает, что именно сам Гамильтон должен был проделать этот новый этап. Тот факт, что именно Гамильтон исследовал данную проблему, объясняется еще некоторыми дополнительными условиями. Прежде всего нужно указать на интересы Гамильтона в области астрономии. Будучи королевским астрономом Ирландии и профессором астрономии, он, хотя и держался в стороне от наблюдательной астрономии, но усиленно интересовался проблемами небесной механики. Чтение курса астрономии, который тогда в основном представлял собой небесную механику ; вычислительные работы Дублинской обсерватории в связи с составлением навигационных таблиц; наконец, тесная связь математики, которая всегда была его основной стихией, с небесной механикой — все это толкало его к занятиям в области математических методов механики. Поэтому он, исследуя различные системы притягивающихся или отталкивающихся материальных точек, прилагает свой метод прежде всего к решению классической проблемы возмущенного движения.

Наконец, объединение оптики и механики в единой математической схеме вытекало из основных методологических воззрений Гамильтона; его склонность к общей и абстрактной постановке вопросов благоприятствовала этим работам.

Таким образом, как объективные причины — потребности небесной механики, так и субъективные — деятельность Гамильтона в качестве королевского астронома и профессора астрономии, и, наконец, внутренняя логика его работ (оптико-механическая аналогия) — определили направление работы Гамильтона в области дальнейшей разработки найденного и примененного им в оптике математического метода. Сам Гамильтон неоднократно подчеркивал тесную связь своих работ по динамике с предшествовавшими работами по теории систем лучей. В письмо к Уэвеллу (18 марта 1834 г.) он пишет, что публикуемая им в «Philosophical Transactions» работа есть «новое приложение тех математических принципов, которые… (он. — Л.П.) уже прилагал к оптике». В его письме к Дж. Гершелю (17 октября 1834 г.) мы читаем следующее: «… почти достигнув в оптике желаемой цели, … я вернулся к старому проекту применения того же метода к динамике». Гамильтон не ставит себе задачи создания новых или даже видоизменения классических основных принципов механики. Его задача-иная; она точно выражена им в названии ero работы : \»On a general Method in Dynamics; by which the study of the Motions of all Free Systems of Attracting or Repelling Points is Reduced to the Search and Differentiation of the Central Relation or Characteristic Function»*).

Эта работа Гамильтона послужила основанием для Остроградского, Буняковского и Фусса представить его в 1838 г. к избранию членомкорреспондентом Российской Академии наук; избрание состоялось в том же году.

В механике Гамильтон является прямым продолжателем направления Лагранжа. Это выражается не только в его восхищении «Аналитической механикой», которую он называл «научной поэмой», и не только в том, что Гамильтон работал аналитически, не используя наглядных геометрических представлений даже там, где они могли бы оказать ему непосредственную помощь. Важнейшим обстоятельством здесь является точка зрения Гамильтона на задачи исследования в области механики, сближающая его с Лагран-

жем: механические проблемы суть класс математических задач, разработка механики есть разработка математических методов*).

К тому времени, когда Гамильтон перешел от проблем геометрической оптики к изучению проблем динамики, принцип наименьшего действия имел, как мы видели, уже почти девяностолетнюю историю.

Исторически первой работой Гамильтона в области динамики является неопубликованная при его жизни рукопись, помеченная 1833 г. и озаглавленная «Проблема трех тел, рассмотренная с помощью моей характеристической функции»*). В этой рукописи рассматривается проблема трех тел: Солнца, Юпитера и Сатурна, и вводится сначала характеристическая функция
$$V={\int }_0^{t}Tdt.$$

Гамильтон показывает, что эта функция должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка. Он сравнивает найденное им решение с решением Лапласа, определяет характеристическую функцию для эллиптического движения, устанавливает уравнение $\frac{\partial V}{\partial H}=t$, где $H$ — полная энергия системы («константа живых сил», по его терминологии). Далее он доказывает, что два уравнения в частных производных, которым удовлетворяет функция $V$, действительно дают общее решение, и ищет это решение с помощью последовательных приближений.

Уже в этой работе даны многие существенные результаты, которые вошли в более поздние статьи Гамильтона, опубликованные им в 1834-. 1835 гг.

В этих статьях развивается оригинальная идея Гамильтона : рассматривать входящий в прищцип действия интеграл после сго вычислсния как фунюцию от его пределов.

В них формула для главной функции Гамильтона $V$ дана для случая системы точек, но для простоты мы рассмотрим случай движения одной точки. В этом случае уравнения движения будет :
$$m\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2}=\frac{\partial U}{\partial x_i}(i=1,2,3),$$

причем кинетическая энергия
$$T=\frac{1}{2}m\sum _i{\dot{x}}_i^2,$$

а силовая функция $U=U\left(x_i\right)$ будет функцией только координат. Начальные значения координат обозначим $x_{0i}$, а скорости ${\dot{x}}_{0i}$. Запишем закон живых сил в форме
$$T=U+H.$$

Величина $H$, которая получила название гамильтониана системы, независима от времени для данного движения системы; но поскольку при переходе к другому движению изменяются начальные данные, постольку $H$ изменяется с изменением $T$ и $U$ и, следовательно,
$$\delta T=\delta U+\delta H.$$

Умножая на $dt$ и интегрируя от нуля до $t$ и приняв во внимание закон живых сил и хорошо известное уравнение
$$\sum _{i}m{\ddot{x}}_i\delta x_i=\delta U,$$

Гамильтон получает :
$${\int }_0^t\mathrm{\Sigma }md{x}_i\delta {\dot{x}}_i={\int }_0^t\mathrm{\Sigma }md{\dot{x}}_i\delta x_i+{\int }_0^t\delta Hdt.$$

Обозначив
$$V={\int }_0^t\mathrm{\Sigma }m{\dot{x}}_{i}d{x}_i={\int }_0^{t}2Tdt$$

он получает по правилам вариационного исчисления .
$$\delta V=\sum m{\dot{x}}_i\delta x_i-\mathrm{\Sigma }m{\dot{x}}_{0i}\delta x_{0i}+t\delta H.$$

Надо заметить, что координаты $x_i$ и скорости ${\dot{x}}_i$ являются функциями $t,x_{0i},{\dot{x}}_{0i}$, а следовательно, $V$ есть также функция этих величин. Но если $x_i$ есть функция $t,x_{0i},{\dot{x}}_{0i}$, то можно, напротив, рассматривать ${\dot{x}}_{0i}$ как функцию $t,x_i,x_{0i}$ и, таким образом, $V$ будет функцией $x_i,x_{0i},t$. Подобным же образом $H$ есть функция $x_i,x_{0i},t$; исключив $t$, найдем $V$ как функцию $x_i,x_{0i},H$. Тогда из (24) получим:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial x_i}=m{\dot{x}}_i,\\ \frac{\partial V}{\partial x_{0i}}=-m{x}_{0i},\\ \frac{\partial V}{\partial H}=t,\end{array}$$

и если рассматривать $V$ как известную функцию $x,y,z,x_0,y_0,z_0,H$, то исключение $H$ дает возможность получить уравнения, которые будут на самом деле интегральными уравнениями проблемы.

Функция $V$ удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных произво дных:
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}m\sum _i{\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)}^2=U+H,\\ \frac{1}{2}m\sum _i{\left(\frac{\partial V}{\partial x_{0}i}\right)}^2=U_0+H_0\end{array}\}$$

которые, если они могут быть проинтегрированы, дадут $V$ как функцию $x_i,x_0,H$; тем самым движение системы будет определено.

Гамильтон говорил: «если функция $V$ известна, то остается только исключить $H$ из $3n+1$ уравнений (25a), (25с) для того, чтобы получить все $3n$ первых интегралов, или из (25b) и (25c) для получения всех $3n$ конечных интегралов дифференциальных уравнений движения; в конечном счете это сводится к получению $3n$ искомых соотношений между $3n$ переменными координатами и временем, включающих, следовательно, массы и $6n$ вышеупомянутых начальных данных ; открытие этих соотношений явится общим решением общей проблемы динамики»*).

Таким образом, «уравнение (24), выражающее фундаментальный закон вариации $V$, мы назовем уравнением характеристической функции или законом переменного действия»*).

Гамильтон обнаружил, что «в динамике эта функция $V$ включает в себя в виде вспомогательной величины константу $H$ в известном выражении половины живой силы системы»**).

Это привело его к мысли ввести новую функцию $S$, которая была бы связана с $V$ и из которой была бы исключена упомянутая константа. В итоге «исключения, посредством которых (Гамильтон. — Л. П.) … был вынужден избавиться от этой вспомогательной константы и ввести взамен ее время, сделали метод более обширным, чем он был»**). В дальнейшем функция $S$ становится основной функцией Гамильтона. Уже в конце своей первой статьи Гамильтон помещает краткую главу под названием «General Introduction of the Time into the Expression of the Characteristic Function in any Dynamical Problem» \»«ведение времени в общем виде в выражение характеристической функции в любой задаче динамики»).
Функция $S$ связана с функцией $V$ уравнением
$$V=tH+S$$

или, что то же самое, новая главная функция $S$ определена уравнением
$$S={\int }_0^t(T+U)dt={\int }_0^{t}Ldt$$

тде
$$S=S(x_i,x_{0i},t),$$

в то время как
$$V=V(x_i,x_{0i},H).$$

Выражение для вариации $S$ будет таково:
$$\delta S=-H\delta t+m\sum _i{\dot{x}}_i\delta x_i-m\sum _i{\dot{x}}_{0i}\delta x_{0i},$$

что эквивалентно системе
$$\frac{\partial S}{\partial x_i}=m{\dot{x}}_i,\frac{\partial S}{\partial x_{0i}}=-m{\dot{x}}_{0i},\frac{\partial S}{\partial t}=-H,$$

где первые три уравнения дают промежуточные, а вторые три — конечные интегралы. Функция $S$ удовлетворяет двум уравнениям в частных производных :
$$\begin{array}{c}\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\sum _i{\left(\frac{\partial S}{\partial x_i}\right)}^2=U,\\ \frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\sum _i{\left(\frac{\partial S}{\partial x_{0i}}\right)}^2=U_0\end{array}\}$$

которые, если они могут быть проинтегрированы, дадут $S$ как функцию $x,y,z,x_0,y_0,z_0,t$ и таким образом определится движение системы.
Қак показал Якоби, на самом деле достаточно одного уравнения.

В этой же работе Гамильтон выводит уравнения, получившие название канонических уравнений Гамильтона.

Еще в 1809 г. Пуассон ввел функцию $\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-T$, рассматриваемую как функцию $q_i$ и $p_i$, и вывел половину гамильтоновых уравнений*).

Лагранж в 1809 г., рассматривая варьирование элементов орбит, установил систему уравнений в гамильтоновой форме, в которую вместо функции $H$ входила пертурбационная функция $R^{\ast \ast })$.

Во втором издании «Аналитической механики» Лагранж приводит следующие уравнения :
$$\frac{d{a}_i}{dt}=-\frac{\partial R}{\partial S_i},\frac{d{S}_i}{dt}=\frac{\partial R}{\partial a_i},$$

где $a_i$ — начальные значения координат, $S_i$ — начальные значения $\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}=p_i$.
Это — простейший пример системы канонических элементов.
Возьмем консервативную механическую систему, имеющую $n$ степеней свободы и находящуюся в постоянном консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с $n$ степенями свободы определяется $n$ координатами $q_i$, которые фиксируют конфигурацию системы и $n$ соответствующих пмпульсов $p_i$.

Координаты $q_i$ могут быть выбраны различными путями, в частном случае это могут быть декартовы координаты $x,y,z$, цилиндрические или сферичсские координаты. Во всех случаях всякое изменение $q_i$ вызывает изменение $p_i$.
В консервативном поле имеем :
$$T=U+\text{ const }$$

в течение действительного движения. $T$ определяется $n$ значениями $q_i$ и $n$ значениями $p_i$, а $U$ — только $n$ значениями $q_i$. Отсюда видно, что полная энергия системы будет выражаться некоторой комбинацией из $n$ координат $q_i$ и $n$ моментов $p_i$. Такое выражение полной энергии называется гамильтоновой функцией и обозначается $H(q_i,p_i)$. Построение гамильтоновой функции для данной механической системы не вызывает затруднений. Точный вих этой функции зависит, однако, от особенностей как рассматриваемой механической системы, так и поля, в котором она движется, а следовательно, и от выбора $n$ координат $q_i$.

Удачный выбор $q_i$ может сильно облегчить решение задачи ; в особенности просто решается динамическая проблема, если можно выбрать $n$ координат $q_i$ так, что $H$ будет функцией только $p_i$.

Для консервативной системы с $n$ степенями свободы движение выражается $2n$ дифференциальными уравнениями первого порядка простого вида :
$${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

Уравнения Гамильтона пишутся в такой форме только для консервативных систем, и в таком виде они неприменимы в случае полей, не имеющих потенциала, и в случае неголономных связей.

В физике уравнения Гамильтона в форме (32) играют первостепенную роль, в частности в статистической и в квантовой механике.

Значение гамильтоновой функции $H$ как для классической, так и для квантовой механики прекрасно выразил Дирак. Рассмотрев вид этой функции и ту форму, которую она принимает для квантово-механических задач, он пишет: «Мы теперь в состоянии получить все, что требуется для любой механической системы, для которой известна гамильтонова функция $H$, выраженная через $q$ и $p$, быть может, зависящая также явно и от $t{}^{\ast }$ ).

Таким образом, задание $H$ полностью определяет и притом однозначно поведение классической системы. Что же касается соотношения функции $H$ для классической системы и для системы квантово-механической, то тут имеется налицо следующее важное обстоятельство. «Одной и той же классической функции Гамильтона может соответствовать, вообще говоря, несколько функций Гамильтона в квантовой механике; поэтому, если дается определенная механическая система в классической механике, то, вообще говоря, нет никакого смысла говорить о такой же самой системе в квантовой теории. Однако существуют и исключения из этого общего правила; и на практике во многих случаях в квантовой механике оказывается возможным однозначно описывать механические системы языком классической теории»**).

Мы видим здесь отражение того общего факта, что хотя микромир имеет свои собственные специфические зақономерности, представляя собой качественно своеобразную форму, но его специфичность не абсолютна. Микромир внутренне связан с макромиром. В известных пределах мы можем непосредственно пользоваться для изучения явлений микромира понятиями и соотношениями, полученными как обобщение макроскопического человеческого опыта. Гейзенберг указывает, что в квантовой механике «математическая схема в конце концов внешне похожа на классическую теорию и отличается от последней только наличием перестановочных соотношений, при помощи которых, впрочем, уравнения движения могут быть выведены из функции Гамильтонан**).

Надо заметить, что в математике уравнения того же вида, что и (32), определяют касательное преобразование. В силу этого «весь процесс движения можно рассматривать как постепенное развертывание контактного преобразования»****).
Функция Гамильтона $H$ зависит от $q_i$ и $p_i$ :
$$H=\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L(q_i,{\dot{q}}_i,t)=\sum _i{\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

где $L$ — функция Лагранжа (в частном случае разность кинетической и потенциальной энергии). Она введена для случая, когда $H=H(t)$, Гамильтоном и обобщена в форме (33) М. В. Остроградским.

Таково богатое математическое содержание развитого Гамильтоном общего метода рассмотрения проблем механики.
В 1837 г. Якоби рассмотрел общее понятие канонических переменных.

Он исследовал вопрос о том, каковы самые общие канонические подстановки, т. е. подстановки
$$p_i={\phi }_i(q_{0i},p_{0i}),q_i={\psi }_i(q_{0i},p_{0i}),$$

которые переводят канонические уравнения снова в канонические. Эта проблема с групповой точки зрения была совершенно иначе разработана Софусом Ли в так называемой теории касательных преобразований.

Якоби дал первое решение поставленной задачи, показав, что величины $q_i,p_i$ всегда связаны с $q_{0i},p_{0i}$ каноническим преобразованием, если можно положить :
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial q_{0i}}=-p_{0i},\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial q_i}=p_i,$$

где $\mathrm{\Omega }$ — произвольная дифференцируемая функция $q_{0i},q_i$. Эти формулы имеют тот же вид, что и формулы для гамильтоновых функций $V$ и $\mathcal{S}$. Очевидно, что именно формулы Гамильтона привели Якоби к его исследованиям.

Этот метод можно обобщить на все подобного рода канонические преобразования. Оказалось, что предпочтительнее не определять $q_i,p_i$ явно, а установить те дифференциальные уравнения, которым они должны удовлетворять. Следуя Пуассону, Шеринг и Ли в 1873 г. ввели символические скобки. Определим
$$[U,V]=\sum _i(\frac{\partial U}{\partial p_{0i}}\frac{\partial V}{\partial q_{0i}}-\frac{\partial U}{\partial q_{0i}}\frac{\partial V}{\partial p_{0i}});$$

тогда условия того, что функции $q_i,p_i$ определяют каноническую систему преобразований, будут иметь вид:
$$\begin{array}{l}[p_i,p_j]=0,\\ [q_i,q_j]=0,\end{array}[q_i,p_j]=\{\begin{array}{l}1\text{ при }i=j,\\ 0\text{ при }ieqj.\end{array}$$

Отсюда легко получается теорема Лиувилля о том, что функциональный определитель канонического преобразования равен +1 или -1 .

Как же Гамильтон определяет место своего принципа и связанного с ним метода в системе физических наук? Ведь он недвусмысленно отказался признать космологическое значение принципа наименьшего действия. В самом деле, Гамильтон пишет :
«Хотя закон наименьшего действия стал, таким образом, в ряд высочайших теорем физики, все же его притязания на космологическую необходимость, на основе экономии во Вселенной, в настоящее время обычно отвергаются. Среди других причин это вытекает и из того, что величина, которая претендует на то, чтобы быть сэкономленной, в действительности часто расточительно расходуется»*).

Гамильтон видит в нем средство «преобразовать в широком смысле слова всю динамику»**) и считает, что сфера его применения значительно шире, чем только оптика и динамика. Эта широкая программа им самим осуществляется только частично, его задача — набросать основной план, развитие которого — дело будущего. Речь идет о новом построении физики, как он сам говорит в одном письме :
\»Что касается заглавия — „О новом методе в динамике”, — признаюсь, что при точном истолковании оно означает: исключение оптики из моей

исследовательской работы и включение гидростатики со многими другими отделами физической науки, лишь отдаленно связанными с астрономией. Но таково было мое намерение, ибо я надеюсь и стремлюсь преобразовать в широком смысле слова всю динамику при помощи теории характеристической функции или закона центрального отношения ; однако в настоящее время я, конечно, не претендую на большее, как только набросать точный план, по которому можно будет выполнить эту великую задачу. С другой стороны, я сейчас не предлагаю Королевскому обществу такой обширной работы, какой она была бы по необходимости, в которой динамика и оптика рассматривались бы заведомо как естественные следствия из одного общего принципа. Пока я удовлетворился тем, что предложил одну дисциплину Ирландии, а другую — Англии, не теряя, вместе с каждой, надежды на их будущий союз, осуществленный практически. Несколько заключительных фраз из моего вступления к ,Динамике\», написанных до прибытия вашего письма, но еще не отосланных и пока sub judice, могут служить объяснением к только что сказанному и материалом для вашей будущей критики. В настоящее время было бы безрассудно пытаться приступить к такой обширной теме, обнимающей в действительности наиболее важные физические явления, хотя в этом случае метод настоящей работы мог бы распространиться на вопросы, касающиеся вращений, вибраций и толчков твердых и жидких тел, и на другие важные исследования и предназначался бы для употребления в будущем; здесь метод будет применен лишь к проблеме орбит и пертурбаций планет, и то лишь настолько, чтобы сделать принцип само собой понятным. Уместно отметить, что этот динамический принцип является только другой формой идеи, уже примененной мною к оптике в «Теории систем лучей», и что намерение применить ее к движениям систем тел было объявлено при публикации этой теории. Алгебраический метод, который, таким образом, служил примером в «Оптике» и «Динамике», кажется, не ограничивается двумя этими дисциплинами и допускает более широкую сферу применения. Заключающееся в методе особое соединение законов вариации с законами частных дифференциалов может образовать в будущем, когда он разовьется трудами математиков, отдельную ветвь анализа»*).

Оценивая значение своей работы об общем методе динамики, Гамильтон прежде всего подчеркивает, что благодаря найденной им новой математической форме «динамика и оптика будут рассмотрены как следствия общего принципа»**). Для него основной целью является установление единой схемы, в которой из некоторого основного соотношения выводились бы все законы механики и оптики.

Итак, Гамильтон придает своему методу основное значение. Он считает, что этот метод должен охватить всю физику. Это универсальное значение разработанного им метода основывается на его математической форме. Единство и простота, симметрия, достигаемая таким путем, — вот главнейшие и определяющие преимущества нового метода, по мнению Гамильтона.

Гамильтон придает своей работе специфически математический характер. Не только в самих статьях, опубликованных в «Philosophical Transactions», он избегает каких-либо философских вопросов, но и в письме к де Моргану оценивает свою работу как лежащую в области математической разработки задач динамики. Несмотря на резко выраженные интересы к общим вопросам теории познания, Гамильтон пишет свои статьи максимально формально***).

Он сам характеризует свои исследования так:
«Мои собственные исследования по динамике лежат в совершенно ином направлении, они приводят меня к системе строгих и общих выражений для интегралов дифференциальных уравнений движения системы материальных точек»*).