Определение 1. Кратчайшим путем материальной системы между двумя ее положениями называется возможный путь между этими положениями, длина которого меньше, чем длина какого-нибудь другого, бесконечно близкого пути между теми же положениями.
Замечание 1. Определение это не исключает того, что между двумя положениями можно построить несколько кратчайших путей. Кратчайший из этих путей называется абсолютно кратчайшим путем. Он есть одновременно кратчайший путь, который вообще возможен между этими положениями.
3амечание 2. Между какими-нибудь двумя возможными положениями материальной системы всегда возможен, по крайней мере, один кратчайший путь. Ибо возможные пути между возможными положениями всегда существуют, п. 114 [ $\left.{ }^{183}\right]$; среди них, следовательно, есть и абсолютно кратчайший путь, т. е. тот, который короче, чем соседние пути. Эти последние он должен иметь вследствие предположенной непрерывности (пп. 115 и 121). 169. $\quad 3$ амечание 3. Кратчайший путь между двумя положениями есть одновременно кратчайший путь между двумя любыми положениями этого пути. Каждая часть кратчайшего пути есть также кратчайший путь.
3амечание 4. Длина кратчайшего пути отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины всех соседних путей между теми же концевыми положениями. Длина же перемещения, которое переводит соседний путь в кратчайший, есть бесконечно малая величина первого порядка.
0пределение 2. Геодезическим путем материальной системы называется каждый путь, длина которого между двумя любыми положениями

отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины любого другого, бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями.
3амечание 1. Қаждый кратчайший путь между двумя положениями есть геодезический путь.
Следовательно, определение п. 171 не содержит внутреннего противоречия, ибо существуют пути, удовлетворяющие этому определению.
3амечание 2. Между двумя любыми возможными положениями всегда возможен, по крайней мере, один геодезический путь (пп. 168, 172).
Замечание. 3. Геодезический путь не является обязательно кратчайшим путем между какими-либо двумя его положениями.
Из определений нельзя заключить, что каждый геодезический путь является также кратчайшим путем, и простые примеры показывают, что существуют геодезические пути, которые не являются одновременно кратчайшими путями между данными концевыми положениями. Такие примеры могут заимствоваться уже из геометрии отдельных материальных точек, т. е. из обычной геометрии, и могут, следовательно, рассматриваться как известные.
Замечание 4. Если между двумя положениями существует один единственный геодезический путь, то он является в то же время кратчайшим и, именно, абсолютно кратчайшим. В противном случае возникает по пп. 168 и 172 противоречие с нашим предположением.
3амечание 5. Геодезический путь есть всегда кратчайший путь между любыми двумя достаточно близкими соседними положениями, находящимися на конечном расстоянии друг от друга.
Пусть между двумя любыми положениями рассматриваемого геодезического пути будет некоторое количество других геодезических путей. С одним из этих путей должен совпадать абсолютно кратчайший путь (п. 172) между этими положениями. Если теперь мы будем сближать оба положения вдоль рассматриваемого геодезического пути, то длина этого пути и одновременно длина абсолютного кратчайшего пути будут стремиться к нулю, в то время как остальные геодезические пути остаются конечными. По крайней мере, начиная от некоторого конечного расстояния между положениями, геодезический путь, вдоль которого оба положения сближаются, должен совпасть с абсолютно кратчайшим из них.
Аналитическое представление. Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл элементов пути п. $99\left[{ }^{184}\right]$, а именно $\int d s$, взятый между қакими-нибудь двумя положениями пути, имел вариацию, равную нулю, если координатам пути сообщают любые непрерывные вариации, предполагая лишь, что: 1) эти вариации исчезают на пределах интеграла и 2) вариации координат и их дифференциалы удовлетворяют уравнениям условий системы. Необходимое и достаточное условие для этого получается из дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять координаты пути, рассматриваемые как функции любой переменной, и которые, следовательно, будут дифференциальными уравнениями геодезического пути.
Выполнение этих дифференциальных уравнений для всех точек возможного пути является одновременно необходимым условием (п. 172) того, чтобы путь был кратчайшим, и, следовательно, эти дифференциальные уравнения являются одновременно дифференциальными уравнениями кратчайшего пути. Равенство нулю вариации интеграла, однако, не является достаточным условием того, чтобы путь между двумя конечными положениями был кратчайшим. Для этого необходимо, чтобы для каждой допустимой вариации координат вторая вариация интеграла была существенно

положительной. Для достаточно близких соседних положений пути, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям, это условие (п. 176) всегда автоматически выполняется.
Задача 1. Представить в прямоугольных координатах дифференциальные уравнения геодезического пути материальной системы.
$3 n$ прямоугольных координат $x_{v}$, которые мы сначала рассматриваем как функции любой переменной, должны до и после вариации удовлетворять $i$ уравнениям (п. 128):
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} x_{L
u} d x_{v}=0
\]
$3 n$ вариаций $d x_{v}$ связаны, следовательно, $i$ уравнениями, получаемыми из уравнения (а) варьированием:
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} x_{L^{
u}} d \delta x_{
u}+\sum_{
u=1}^{3 n} \sum_{\mu=1}^{3 n} \frac{\partial x_{L^{*}}}{\partial x_{\mu}} \delta x_{\mu} d x_{
u}=0 .
\]

Так как длина $d s$ элемента пути зависит не от $x_{v}$, а только от $d x_{v}$, то его вариация будет
\[
\delta d s=\sum_{y=1}^{3 n} \frac{\partial d s}{\partial d x_{
u}} \delta d x_{
u}=\sum_{
u=1}^{3 n} \frac{\partial d s}{\partial d x_{
u}} d \delta x_{
u} .
\]

После такой предпосылки следует положить:
\[
\delta \int d s=\int \delta d s=0 .
\]

По правилам вариационного исчисления мы умножим каждое уравнение (b) на пока произвольные функции $\xi_{L}$ от координат $x_{v}$ и сложим сумму левых сторон полученных уравнений (она равна нулю) с вариациями элементов интеграла. Посредством интегрирования по частям исключаем дифференциалы вариаций; наконец, полагаем равными нулю множители при произвольных вариациях $\delta x_{y}$. Таким образом, получаем $3 n$ дифференциальных уравнений вида
\[
d\left(\frac{\partial d s}{\partial d x_{v}}\right)+\sum_{L=1}^{i} x_{L^{
u}} d \xi_{L}-\sum_{L=1}^{i} \sum_{\mu=1}^{3 n}\left(\frac{\partial x_{L \mu}}{\partial x_{
u}}-\frac{\partial x_{L
u}}{\partial x_{\mu}}\right) \xi_{L} d x_{\mu}=0,
\]

которые вместе с уравнениями (а) образуют $3 n+i$ уравнений для опреде ления $3 n+i$ функций $x_{
u}$ и $\xi_{L}$. Эти дифференциальные уравнения являются необходимыми условиями для исчезновения вариации интеграла. Всякий геодезический путь удовлетворяет этим же уравнениям, следовательно, это есть искомое решение задачи.
Примечание 1. Дифференциальные уравнения п. 179 являются также и достаточными условиями для того, чтобы путь был геодезическим. Ибо, если они выполняются, то вариация интеграла $\int d s$ равна членам, которые при интегрировании по частям появляются перед знаком интеграла, следовательно, обозначив через 0 и 1 верхний и нижний пределы, получим
\[
\delta \int d s=\sum_{v=1}^{3 n}\left[\left(\frac{\partial d s}{\partial d x_{v}}+\sum_{L=1}^{i} x_{L
u} \xi_{L}\right) \delta x_{v}\right]_{0}^{1} .
\]

Если мы допустим, таким образом, что для двух каких-нибудь положений пути вариации $\delta x$, равны нулю, то исчезает также вариация интеграла между теми же положениями как пределами этого интеграла, и поэтому

требуемое для геодезических путей достаточное аналитическое условие выполнено согласно (177).
Примечание 2. Если мы пользуемся в качестве независимой переменной длиной пути, то, принимая во внимание пп. 55 и 100, можно уравнения (d) п. 179 после деления на $d s$ написать в виде уравнений
\[
\frac{m_{v}}{m} x_{v}^{\prime \prime}+\sum_{L=1}^{i} x_{L} \xi_{L}^{\prime}-\sum_{L=1}^{i} \sum_{\mu=\bar{m}}^{3 n}\left(\frac{\partial x_{L \mu}}{\partial x_{p}}-\frac{\partial x_{L v}}{\partial x_{\mu}}\right) \xi_{L} x_{\mu}^{\prime}=0,
\]

которые вместе с $i$ уравнениями, полученными в результате дифференцирования уравнения (а) п. 179, т. е. уравнениями
\[
\sum_{
u=1}^{3 n} x_{L
u} x_{v}^{\prime \prime}+\sum_{
u=1}^{3 n} \sum_{\mu=1}^{3 n} \frac{\partial x_{l,
u}}{\partial x_{\mu}} x_{
u}^{\prime} x_{\mu}^{\prime}=0
\]

определяют $3 n+i$ неоднородных линейных уравнений для нахождения $3 n+i$ величин $x_{v}^{\prime \prime}$ и $\xi_{i}^{\prime}$ и, таким образом, определяют эти величины как однозначные функции $x_{v}, x_{v}^{\prime}$ и $\xi_{i}$.
Примечание 3. Имея в виду п. 72, уравнения (а) п. 181 можно записать в такой форме:
\[
\sqrt{\frac{m_{v}}{m}} \frac{d}{d s}\left(\cos \left(\widehat{s, x_{v}}\right)\right)=-\sum_{L=1}^{i} x_{L v} \xi_{L}^{\prime}+\sum_{L=1}^{i} \sum_{\mu=1}^{3 n}\left(\frac{\partial x_{L \mu}}{\partial x_{v}}-\frac{\partial x_{L v}}{\partial x_{\mu}}\right) \xi_{L} x_{\mu}^{\prime} .
\]

Следовательно, уравнения (а) п. 181 дают представление о том, как должно изменяться направление при одном и том же заданном начале, для того чтобы путь был геодезическим. Именно, каждое отдельное уравнение дает изменение наклона кривой относительно определенной прямоугольной координаты.
3адача 2. Выразить дифференциальные уравнения геодезического пути материальной системы в ее обобщенных координатах $p_{e}$.
Пусть $r$ координат $p_{0}$ связаны $k$ уравнениями п. 130
\[
\sum_{\varrho=1}^{r} p_{x \ell} d p_{\varrho}=0
\]

и, следовательно, $r$ вариаций $\delta p_{\varrho}$ связаны уравнениями
\[
\sum_{\varrho=1}^{r} p_{\varkappa \varrho} d \delta p_{\varrho}+\sum_{\varrho=1}^{r} \sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial p_{x \varrho}}{\partial p_{\sigma}} \delta p_{\sigma} d p_{\varrho}=0 .
\]

Длина бесконечно малого перемещения $d s$ зависит теперь от всех $d p_{\ell}, p_{\varrho}$. Следовательно,
\[
\delta d s=\sum_{\varrho=1}^{r} \frac{\partial d s}{\partial d p_{\varrho}} d \delta p_{\varrho}+\sum_{\varrho=1}^{r} \frac{\partial d s}{\partial p_{\varrho}} \delta p_{\varrho} .
\]

Затем следует положить
\[
\delta \int d s=\int \delta d s=0 .
\]

Поступая по правилам вариационного исчисления точно так, как в п. 179, и обозначая через $\pi_{x}$ множитель $x$-го уравнения (b), получим $r$ дифференциальных уравнений вида
\[
d\left(\frac{\partial d s}{\partial d p_{\varrho}}\right)-\frac{\partial d s}{\partial p_{\varrho}}+\sum_{\varkappa=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} d \pi_{\varkappa}-\sum_{x=1}^{k} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial p_{\varkappa \sigma}}{\partial p_{\varrho}}-\frac{\partial p_{\varkappa \varrho}}{\partial p_{\sigma}}\right) \pi_{\varkappa} d p_{\sigma}=0,
\]

которые вместе с уравнениями (а) дают $r+k$ дифференциальных уравнений для $r+k$ функций $p_{e}$ и $\pi_{*}$. Эти уравнения, являющиеся необходимыми условиями для исчезания вариаций, выполняются, следовательно, для всех положений геодезического пути; таким образом, они содержат решение поставленной задачи.
Примечание 1. Дифференциальные уравнения (d) п. 183 являются также достаточными условиями для того, чтобы путь был геодезическим. Ибо если они выполняются, то вариация длины пути (см. п. 180) удовлетворяет условию
\[
\delta \int d s=\sum_{\varrho=1}^{r}\left[\left(\frac{\partial d s}{\partial d p_{\varrho}}+\sum_{\kappa=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} \pi_{\kappa}\right) \delta p_{\varrho}\right]_{0}^{1} .
\]

Если мы допускаем, таким образом, что для каких-нибудь двух положений пути вариации координат исчезают, то исчезает и вариация интеграла между теми же положениями как пределами, и поэтому для геодезического пути выполняются желаемые аналитические условия (п. 177).
Примечание 2. Если мы в качестве независимой переменной выберем длину пути, то найдем $r$ уравнений геодезического пути, получаюцихся вследствие того, что мы делим уравнение (d) п. 183 на $d s$ и для $d s$ подставляем его значение, выраженное через $p_{e}$ и $d p_{e}$, согласно уравнению (d) п. 57 :
\[
\begin{aligned}
\sum_{\sigma=1}^{r} a_{\varrho \sigma} p_{\sigma}^{\prime \prime}+\sum_{\sigma=1}^{r} \sum_{\tau=1}^{r}\left(\frac{\partial a_{\varrho \sigma}}{\partial p_{\tau}}-\frac{1}{2} \frac{\partial a_{\sigma \tau}}{\partial p_{\varrho}}\right) p_{\sigma}^{\prime} p_{\tau}^{\prime} & +\sum_{x=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} \pi_{\chi}^{\prime}- \\
& -\sum_{\kappa=1}^{k} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial p_{\varkappa \sigma}}{\partial p_{\varrho}}-\frac{\partial p_{\varkappa \varrho}}{\partial p_{\sigma}}\right) \pi_{\varkappa} p_{\sigma}^{\prime}=0 .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения вместе с $k$ вытекающими из уравнения (а) п. 183 уравнениями
\[
\sum_{\varrho=1}^{r} p_{\varrho^{\star}} p_{\varrho}^{\prime \prime}+\sum_{\varrho=1}^{r} \sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial p_{\varkappa \varrho}}{\partial p_{\sigma}} p_{\varrho}^{\prime} p_{\sigma}^{\prime}=0
\]

дают $r+k$ неоднородных линейных уравнений для $r+k$ величин $p_{\varrho}^{\prime \prime}, \pi_{*}^{\prime}$ и представляют вместе с тем эти величины как однозначные функции $p_{\varrho}$, $p_{e}^{\prime}$ и $\pi_{x}$.

Примечание 3. Вводя в качестве независимого переменного длину пути и имея в виду уравнения п. 92 , получим уравнения (a) п. 185 в виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d s}\left(\sqrt{a_{\varrho \varrho}} \cos \left(s, p_{\varrho}\right)\right)= \\
=\frac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^{r} \sum_{\tau=1}^{r} \frac{\partial a_{\sigma \tau}}{\partial p_{\varrho}} p_{\sigma}^{\prime} p_{\tau}^{\prime}-\sum_{x=1}^{k} p_{x \varrho} \pi_{\varkappa}^{\prime}+\sum_{\varkappa=1}^{r} \sum_{\sigma=1}^{r}\left(\frac{\partial p_{\varkappa \sigma}}{\partial p_{\varrho}}-\frac{\partial p_{\varkappa \varrho}}{\partial p_{\sigma}}\right) \pi_{x} p_{\sigma}^{\prime},
\end{array}
\]
т. е. получим уравнения, характеризующие изменение направления геодезического пути с изменением его длины. А именно, каждое отдельное уравнение указывает, как изменяется наклон этого пути относительно соответствующей координаты $p_{\varrho}$.
3амечание 1. Геодезический путь не может быть определен только лишь заданием положения и направления одного его элемента, ибо из данного положения в данном направлении возможно провести бесконечное число геодезических путей. Если для некоторого положения пути даны $p_{\ell}, p_{\varrho}^{\prime}$ и $k$ величин $\pi_{x}$, то они по п. 185 однозначно определяют ближайший элемент, и, следовательно, продолжение пути возможно однозначно определенным образом. Задание направлений пути в этом заданном положении

дает только величины $p_{\varrho}$ и $p_{\varrho}^{\prime}$ и, следовательно, не удовлетворяет условиям геодезического пути, но допускает, если нет налицо особых отношений, $k$-кратную бесконечность геодезических путей.
3амечание 2. Если дифференциальные уравнения рассмотренной системы не допускают интеграла, то из $2 r$ величин $p_{\varrho}$ и $p_{\varrho}^{\prime}$, которые определяют положение и направление в системе, $2 r-k$ величин могут быть выбраны произвольно, а именно, $r$ величин $p_{\varrho}$ и $r-k$ величин $p_{\varrho}^{\prime}$. Эти $2 r-k$ произвольных величин вместе с $k$ произвольными величинами $\pi_{*}$ в данном положении могут рассматриваться как $2 r$ произвольных постоянных, которые вместе с дифференциальными уравнениями (а) п. 185 определяют геодезический путь и которые также должны содержаться в интегралах этих уравнений, ибо по п. 173 можно связать каждое возможное положение системы с каждым другим через геодезический путь. Именно, если дифференциальные уравнения системы не допускают конечных соотношений между $p_{e}$, то каждая мыслимая система значений этих величин является также возможной системой значений; следовательно, произвольное начальное и конечное положения системы определются $2 r$ произвольными значениями эт их координат.
Замечание 3. Для каждого интеграла дифференциальных уравнений материальной системы число постоянных, которые определяют геодезический путь, уменьшается на два.
Именно, если уравнения условий дают $l$ конечных уравнений между $p_{\varrho}$, то можно из $r$ координат $p_{\varrho}$ принять за произвольные лишь $r-l$, и, следовательно, из $2 r$ величин $p_{\varrho}$ и $p_{\varrho}^{\prime}$ произвольных будет только $2 r-l-k$. В этом случае дифференциальные уравнения могут быть приведены посредством умножения на соответствующие множители и сложения к такому виду, что $l$ из них дают непосредственно интегрируемые уравнения, а именно, те уравнения, которые получаются в результате дифференцирования $l$ конечных соотношений. Для каждого такого уравнения с индексом $\lambda$ имеем:
\[
\frac{\partial p_{\lambda \sigma}}{\partial p_{e}}-\frac{\partial p_{\lambda_{e}}}{\partial p_{\sigma}}=0 .
\]

Следовательно, в этом случае соответствующие величины $\pi_{\lambda}$ исчезают из уравнений (а) п. 125 , и все $p_{e}^{\prime \prime}$ и $\pi_{x}^{\prime}$ однозначно определяются через $k-l$ значений остальных $\pi_{*}$. В общем, следовательно, остаются еще $2 r-2 l$ произвольных определяющих элементов; два элемента исчезли для каждого конечного уравнения.

Впрочем, эти $2 r-2 l$ произвольных постоянных все же достаточны, как это и должно быть, для того чтобы каждое возможное положение связать с каждым другим возможным положением посредством геодезического пути, ибо если между $p_{\ell}$ существует $l$ конечных уравнений, то достаточно провести путь так, чтобы два его положения имели $r$ – $l$ общих координат с қаждым данным положением. Совпадение в отношении остальных координат будет иметь место само по себе.