При физических исследованиях часто бывает легче и надежнее сначала выяснить, каковы обстоятельства, влияющие на запас энергии в какой-либо системе тел, а затем определить значение функции $E$, нежели искать общие законы изменений и из них определять кинетический потенциал. Поэтому мы переходим теперь к вопросу о том, каким образом кинетический потенциал может быть определен из выражения полной энергии.

Предположим, что величина $E$ найдена как функция $p_{i}$ и $q_{i}$. Форма этой функции находится из уравнения (18):
\[
E=H-\sum_{i}\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Отсюда следует
\[
\frac{\partial E}{\partial q_{j}}=-\sum_{i}\left(q_{i} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right) .
\]

Для составления уравнений движения необходимо варьировать функцию $\Phi$, заданную уравнением (2). При этом нужно предполагать, что первые и вторые производные от $H$ остаются конечными на всем пути, пройденном системой. Затем из уравнения (38) следует, что если все $q_{i}$ суть нули, то в нуль обращаются также и все $\frac{\partial E}{\partial q_{i}}$.
0 других ограничениях вида функции $E$, которые определяются ее физическим значением, упомянем здесь только коротко:
1. Входящие в уравнения координаты свободной системы должны определять только относительное положение системы, ибо повсюду в пространстве при одинаковом положении одних масс относительно других явление движения должно протекать совершенно одинаково.
2. Значение функции $E$ для конечных расстояний между массами и конечных скоростей должно иметь конечный минимум, иначе запас работы в системе был бы бесконечно велик. Поэтому значение $E$ при неограниченно возрастающем $q_{i}$ должно быть непременно положительным. Я постарался показать *) при рассмотрении электродинамической теории В. Вебера, какие недопустимые следствия вытекают из противоположного допущения.

Из уравнения (18) сначала просто получается, что если величина $H$ может быть представлена как сумма однородных целых функций любой степени от переменных $q_{i}$ различной величины, то то же самое имеет место и для функции $E$. Обозначим однородную функцию $n$-й степени от $q_{i}$ через $P_{n}$,

тогда
\[
\begin{array}{l}
H=\sum_{n} P_{n}, \\
E=\sum_{n}(1-n) P_{n},
\end{array}
\]

или
\[
E=P_{0}-P_{2}-2 P_{3}-\ldots
\]

Члены первой степени $P_{1}$ в выражении для $E$ отпадают, $P_{0}$ соответствует не зависящей от движения потенциальной энергии, которую мы выше обозначили через $F, P_{2}$ соответствует (-L). Члены высшего порядка появляются в задачах механики весомых тел только в случаях, видоизмененных путем исключения некоторых координат.

Впрочем, поставленная задача может быть решена также и в случае, когда $E$ — совершенно произвольная функция скоростей, удовлетворяющая только поставленному выше условию, что все $\frac{\partial E}{\partial q_{i}}$ в соответствии с уравнением (38) приближаются к нулевому значению, когда $q_{i}$ делаются равными нулю. Для нашей цели достаточно будет сохранить вышеуказанное требование, согласно которому коэффициенты в системе уравнений (38) должны быть конечными, хотя вообще допустимы также и случаи, когда эти коэффициенты являются бесконечными, но интегрируемыми.

Для решения нашей задачи мы в выражениях для $E$ и $H$ сделаем подстановку
\[
q_{i}=x \beth_{i},
\]

понимая под $x$ переменный множитель, при изменении которого меняются, правда, значения величин $q_{i}$, но сохраняются неизменными их отношения.

Выражения для $H$ и $E$, получаемые после этой подстановки, я обозначаю через $H^{\prime}$ и $E^{\prime}$. Тогда
\[
\frac{\partial E^{\prime}}{\partial x}=\sum_{i}\left(q_{i} \cdot \frac{\partial E}{\partial q_{i}}\right)
\]

Так как согласно условию, введенному при составлении уравнения (38), все $\frac{\partial E}{\partial q_{i}}$ равны нулю, если равны нулю все $q_{i}$ (это по уравнению (41) имеет место при $x=0$ ), то
\[
\frac{\partial E^{\prime}}{\partial x}=0 \text { при } x=0 .
\]

Это означает, что согласно нашим допущениям для весьма малых значений $x$ величина $E^{\prime}$ сама должна быть пропорциональной $x$ (если не высшей степени $x$ ). С другой стороны, мы имеем
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial x}=\sum_{i}\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)
\]

следовательно,
\[
x \frac{\partial H^{\prime}}{\partial x}=\sum_{i}\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)=-E^{\prime}+H^{\prime},
\]

а отсюда
\[
\frac{\partial E^{\prime}}{\partial x}=-x \frac{\partial^{2} H^{\prime}}{\partial x^{2}} .
\]

Если для дифференциального уравнения (44)
\[
E^{\prime}=H^{\prime}-x \frac{\partial H^{\prime}}{\partial x}
\]

существует еще второе решение, которое мы обозначим через $H^{\prime \prime}$, то
\[
0=H^{\prime}-H^{\prime \prime}-x \frac{\partial}{\partial x}\left(H^{\prime}-H^{\prime \prime}\right),
\]
т. е.
\[
\ln \left(H^{\prime}-H^{\prime \prime}\right)=\ln x+\ln C, \text { или } H^{\prime}-H^{\prime \prime}=x \cdot C,
\]

где $C$ может быть функцией $q_{i}$. Но эта последняя может быть только однородной функцией первой степени, если $H^{\prime}-H^{\prime \prime}$ должна быть представлена так же, как функция $q_{i}$, свободная от $x$.
Теперь остается только найти частный интеграл уравнения (44).
Мы получим этот интеграл, если сначала напишем уравнение (44) для $x=0$ в следующем виде:
\[
E_{0}=H_{0}
\]

и вычтем последнее уравнение из уравнения (44):
\[
E^{\prime}-E_{0}=\left(H^{\prime}-H_{0}\right)-x \frac{\partial}{\partial x}\left(H^{\prime}-H_{0}\right) .
\]

По разделении на $x^{2}$ получаем отсюда
\[
-\frac{1}{x^{2}}\left(E^{\prime}-E_{0}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{H^{\prime}-H_{0}}{x}\right) .
\]

В силу соображений, высказанных в связи с уравнением (43), величина, стоящая в левой части последнего уравнения, будет конечной и при $x=0$; интегрируя его в пределах от $x=0$ до $x=1$, найдем
\[
H^{\prime}-H_{0}=-\int_{0}^{1} \frac{E^{\prime}-E_{0}}{x^{2}} d x+H_{1},
\]

где постоянная интегрирования $H_{1}$, как уже было отмечено, может быть любой однородной функцией первой степени от переменных $q_{i}$.

Следовательно, $E$ однсзначно выражается при помощи уравнения (18) через $H$. В то же время при получении $H$ из $E$ остается неопределенной добавочная функция $H_{1}$, которая соответствует «скрытым» движениям. Вопрос о том, необходимы ли подобные члены первой степени, в отдельных специальных задачах решается большей частью на основании условий, при которых движение может протекать в обратном порядке.

Если, стало быть, при решении соответствующей задачи известно, какие физические величины в выражении для $E$ должны рассматриваться как координаты и какие — как скорости, то поставленная здесь задача может быть, как правило, решена. Но встречаются также и такие случаи, в которых ответ на указанный вопрос представляется неопределенным.