(Первое сообщение)

§ 1. В этом сообщении я собираюсь показать на простейшем примере нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел». Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования.

Обычная форма квантовых правил связана с уравнением в частных производных Гамильтона:
\[
H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}\right)=E .
\]

Ищется решение этого уравнения, представляющее собой сумму функций каждая из которых зависит только от одной из независимых переменных $q$.

Введем теперь вместо $S$ новую неизвестную функцию $\psi$ так, чтобы эта функция $\psi$ имела вид произведения функций, зависящих только от одной координаты. Для этого положим :
\[
S=K \ln \psi .
\]

Постоянную $K$ приходится ввести из соображений размерности, по которым она должна обладать размерностью действия. Таким образом, получаем соотношение:
\[
H\left(q, \frac{K}{\psi} \frac{\partial \psi}{\partial q}\right)=E .
\]

Мы не будем искать решение уравнения ( $\left.1^{\prime}\right)$, а поставим следующую задачу. При пренебрежении изменениями массы уравнение (1′) можно всегда свести, по крайней мере в случае одноэлектронной проблемы, к следующему виду:
Квадратичная форма от функции ч и ее первых производных равна нулю.
Ищем такую действительную во всем конфигурационном пространстве, лднозначную, ограниченную и всюду дважды дифференцируемую функцию $\psi$, которая дает экстремальное значение интегралу от упомянутой квадратичной формы, распространенному по всему конфигурационному пространству*). Эта вариационная проблема и заменяет у нас квантовые условия.

Возьмем сначала $H$ в виде функции Гамильтона кеплеровой проблемы и покажем, что выставленное требование может быть выполнено не для всех,

а только для положительных и лишь для некоторых дискретных отрицательных значений $E$. Это означает, что названная вариационная проблема имеет непрерывную и дискретную области спектра собственных значений. Дискретная часть спектра соответствует бальмеровским термам, а непрерывная -энергиям движения по гиперболическим траекториям. Чтобы сохранялось численное соответствие, величину $K$ следует приравнять $\frac{\pi}{2 \pi}$,

Поскольку выбор системы координат является несущественным при установлении вариационных уравнений, воспользуемся прямоугольными декартовыми координатами. Тогда уравнение (1′) будет записываться в нашем случае ( $e, m$ – заряд и масса электрона) следующим образом $\left[{ }^{223}\right]$ :
\[
\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}\right)^{2}-\frac{2 m}{K^{2}}\left(E+\frac{e^{2}}{r}\right) \psi^{2}=0
\]

и наша вариационная проблема примет вид:
\[
\delta J=\delta \iiint d x d y d z\left[\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}\right)^{2}-\frac{2 m}{K^{2}}\left(E+\frac{e^{2}}{r}\right) \psi^{2}\right]=0 .
\]

Интеграл берется здесь по всему пространству. Обычным способом отсюда получаем
\[
\frac{1}{2} \delta J=\int d f \delta \psi \frac{\partial \psi}{\partial n}-\iiint d x d y d z d \varphi\left[\Delta \psi+\frac{2 m}{K^{2}}\left(E+\frac{e^{2}}{r}\right) \varphi\right]=0 .
\]

Следовательно, должно быть, во-первых, справедливо уравнение
\[
\Delta \psi+\frac{2 m}{K^{2}}\left(E+\frac{e^{2}}{r}\right) \psi=0,
\]

и, во-вторых, должен равняться нулю распространенный по всей бесконечно удаленной замкнутой поверхности интеграл
\[
\int d f \delta \psi \frac{\partial \psi}{\partial n}=0 .
\]
(Из (6) следует, что мы должны наложить дополнительное условие, касающееся поведения $\delta \psi$ в бесконечности, если хотим действительно получить упомянутый выше непрерывный спектр. На данном вопросе мы еще специально остановимся ниже.)

Уравнение (5) можно решить, например, в сферических координатах $r, \vartheta, \varphi$, представив $\psi$ в виде произведения функций от $r, \vartheta$ и $\varphi$. Этот метод решения общеизвестен. Зависимость от углов будет выражаться шаровой функцией, зависимость от радиуса $r$ (соответствующую функцию мы обозначим через $\chi$ ) можно получить без труда из дифференциального уравнения
\[
\frac{\partial^{2} \chi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \chi}{\partial r}+\left(\frac{2 m E}{K^{2}}+\frac{2 m e^{2}}{K^{2} r}-\frac{n(n+1)}{r^{2}}\right) \chi=0 .
\]

Как известно, $n$ должно быть обязательно целочисленным, в противном случае зависимость от углов не будет однозначной. Нам нужны лишь решения (7), которые остаются конечными для всех положительных, действительных значений $r$. Уравнение (7) имеет на комплексной $r$-плоскости две особенности при $r=0$ и при $r=\infty$, причем лишь во второй из них, $r=\infty$, все интегралы уравнения будут иметь существенно особую точку*). Эти две осо-

бые точки являются граничными для нашего действительного интервала изменения $r$. Как известно, в подобном случае требование ограниченности в граничных точках для функции $\chi$ равносильно наложению граничного условия. Уравнение, вообще говоря, может не иметь ни одного интеграла, остающегося ограниченным в обеих этих точках; подобный интеграл существует лишь при некоторых специальных значениях входящих в уравнения постоянных. Эти специальные значения следует определить.

Рассмотренные выше положения составляют основное содержание всего исследования.

Изучим прежде всего поведение решения в особой точке $r=0$. Так называемое определяющее уравнение, характеризующее поведение интеграла в особой точке, будет в данном случае иметь вид
\[
\varrho(\varrho-1)+2 \varrho-n(n+1)=0,
\]

причем его корни равны
\[
\varrho_{1}=n, \quad \varrho_{2}=-(n+1) .
\]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке $n$ и соответственно – $(n+1)$ в показателе степени. Из положительности $n$ следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с $r^{n}$, поскольку он соответствует большему значению степени $n$. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность – $(n+1)-n$ целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при $r=0$ показателю степени $n$.

Теперь нужно исследовать поведение этой функции при стремлении $r$ $\kappa$ бесконечности по положительной действительной оси. Для этого сделаем в уравнении (7) подстановку
\[
\chi=r^{a} U
\]

где $\alpha$ подобрано таким образом, чтобы исключить в уравнении (7) слагаемое, содержащее множитель $\frac{1}{r^{2}}$. Как нетрудіно проверить, величина $\alpha$ при этом должна равняться или $n$, или – $(n+1)$, а уравнение (7) примет форму
\[
\frac{d^{2} U}{d r^{2}}+\frac{2(\alpha+1)}{r} \frac{d U}{d r}+\frac{2 m}{K^{2}}\left(E+\frac{e^{2}}{r}\right) U=0 .
\]

Двум интегралам этого уравнения при $r=0$ соответствуют показатели степени 0 и $-2 \alpha-1$.

При $\alpha=n$ первый из этих интегралов, а при $\alpha=-(n+1)$ второй интеграл будут соответствовать согласно (9) нашей искомой целой трансцендентной функции, которая является однозначной. Не теряя общности, мы можем, следовательно, ограничиться одним из двух значений $\alpha$. Выберем значение
\[
\alpha=n .
\]

Решению $U$ при этом будет соответствовать при $r=0$ показатель степени, равный нулю. Уравнение (7′) принадлежит к типу уравнений Лапласа,

общий вид которых такой:
\[
U^{\prime \prime}+\left(\delta_{0}+\frac{\delta_{1}}{r}\right) U^{\prime}+\left(\varepsilon_{0}+\frac{\varepsilon_{1}}{r}\right) U=0 .
\]

В нашем случае входящие сюда постоянные равны
\[
\delta_{0}=0, \quad \delta_{1}=2(\alpha+1), \quad \varepsilon_{0}=-\frac{2 m E}{K^{2}}, \quad \varepsilon_{1}=\frac{2 m e^{2}}{K^{2}} .
\]

Этот тип уравнений сравнительно легко поддается рассмотрению, так как так называемое преобразование Лапласа, в общем случае не меняющее порядка уравнения, сводит в данном случае уравнение ( $7^{\prime \prime}$ ) к уравнению первого порядка, которое в свою очередь разрешимо в квадратурах. Это позволяет выразить решение уравнения ( $7^{\prime \prime}$ ) в виде интеграла на комплексной плоскости [ $\left.{ }^{224}\right]$. Я привожу здесь конечный результат*). Выражение
\[
U=\int_{L} e^{z r}\left(z-c_{1}\right)^{a_{1}-1}\left(z-c_{2}\right)^{a_{2}-1} d z
\]

является решением равнения ( $7^{\prime \prime}$ ), если путь интегрирования $L$ выбран так, чтобы имело место равенство
\[
\int_{L} \frac{d}{d z}\left[e^{z r}\left(z-c_{1}\right)^{a_{1}}\left(z-c_{2}\right)^{a_{2}}\right] d z=0 .
\]

Константы $c_{1}, c_{2}, a_{1}, a_{2}$ имеют следующие значения : $c_{1}$ и $c_{2}$ представляют собой корни квадратного уравнения
\[
z^{2}+\delta_{0} z+\varepsilon_{0}=0,
\]

а $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ определяются формулами
\[
\alpha_{1}=\frac{\varepsilon_{1}+\delta_{1} c_{1}}{c_{1}-c_{2}}, \quad \alpha_{2}=\frac{\varepsilon_{1}+\delta_{1} c_{2}}{c_{2}-c_{1}} .
\]

Таким образом, в частном случае уравнения ( $7^{\prime}$ ) согласно (11) и (10) имеем
\[
\left.\begin{array}{ll}
c_{1}=+\sqrt{\frac{-2 m E}{K^{2}}}, & c_{2}=-\sqrt{\frac{-2 m E}{K^{2}}}, \\
\alpha_{1}=\frac{m e^{2}}{K \sqrt{-2 m E}}+n+1, & \alpha_{2}=-\frac{m e^{2}}{K \sqrt{-2 m E}}+n+1 .
\end{array}\right\}
\]

Интегральное представление (12) позволяет не только изучить асимптотическое поведение общей совокупности решений уравнения ( $7^{\prime \prime}$ ) при $r$, стремящемся к бесконечности, но и дает возможность исследовать некоторое определенное решение, что всегда значительно труднее.

Мы исключим пока тот случай, при котором постоянные $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ равны действительным целым числам. Это равенство имеет место (причем всегда одновременно для обеих постоянных) лишь тогда, когда выполняется условие :
\[
\frac{m e^{2}}{K \sqrt{+}-2 m E}=\text { действительному целому числу. }
\]

Таким образом, мы считаем, что равенство (15) не выполняется.
Поведение совокупности решений при стремлении $r$ к бесконечности по определенному пути (в нашем случае $r$ стремится к бесконечности всегда по

положительной вещественной оси) определяется поведением двух линейно независимых решений, которые получаются при следующих двух особо подобранных путях интегрирования $L$ и которые мы обозначим через $U_{1}$ и $\left.U_{2}{ }^{*}\right)$. По обоим путям интегрирования $z$ выходит из бесконечности и возвращается обратно в таком направлении, что имеет место соотношение
\[
\lim _{z=\infty} e^{z r}=0,
\]
условие (13). При этом в одном случае (решение $U_{1}$ ) обходится один раз точка $c_{1}$, а в другом случае (решение $U_{2}$ ) – точка $c_{2}$.

Оба эти решения при достаточно больших положительных действительных значениях $r$ имеют следующие асимптотические (в смысле Пуанкаре) представления:
\[
\left.\begin{array}{l}
U_{1} \sim e^{c_{1} r} r^{-a_{1}}(-1)^{\alpha_{1}}\left(e^{2 \pi i a_{1}}-1\right) \Gamma\left(a_{1}\right)\left(c_{1}-c_{2}\right)^{\alpha_{2}-1} \\
U_{2} \sim e^{c_{2} r} r^{-\alpha_{2}}(-1)^{\alpha_{2}}\left(e^{2 \pi i a_{2}}-1\right) \Gamma\left(a_{2}\right)\left(c_{2}-c_{1}\right)^{a_{1}-1}
\end{array}\right\}
\]

причем мы ограничились здесь первыми членами асимптотических разложений по возрастающим целым отрицательным степеням. Рассмотрим, далее, раздельно случаи $E>0$ и $E<0$.
1. $E>0$. Прежде всего отметим, что в этом случае равенство (15) автоматически не выполняется, так как величина $-2 m E$ является чисто мнимой. Согласно (14\”) чисто мнимыми будут значения $c_{1}$ и $c_{2}$. Таким образом, поскольку $r$ вещественно, экспоненциальные функции в формуле (17) являются ограниченными периодическими функциями. Принимая также значения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, можно из (14\”) получить, что оба решения $U_{1}$ и $U_{2}$ вблизи нуля пропорциональны $r^{-n-1}$. То же самое должсно иметь место и для исследуемого нами случая целого трансцендентного $U$, поскольку последнее всегда может быть составлено из некоторой линейной комбинации $U_{1}$ и $U_{2}$. Соотношение (9) вместе с (10) показывает, далее, что функция $\chi$, т. е. целое трансцендентное решение исходного уравнения (7), все еще пропорциональна $\frac{1}{r}$ вблизи нуля, так как это $\chi$ можно получить умножением $U$ на $r^{n}$. Иначе говоря, имеет место следующее:

Эйлеровское дифференциальное уравнение (5) нашей вариационной задачи имеет при всех положительных значениях Е решения, которые во всем пространстве однозначны, ограничены, непрерывны и стремятся к нулю как $\frac{1}{r}$, все время непрерывно осциллируя. На поверхностном условии (6) мы еще – должны будем остановится особо.
2. $E<0$. В данном случае заранее не очевидно, что равенство (15) не имеет места, но мы это все же вначале предположим. Тогда согласно формулам (14\”) и (17) функция $U_{1}$ неограниченно возрастает при $r \rightarrow \infty$ и функция $U_{2}$, наоборот, экспоненциально стремится к нулю. Исследуемое целое трансцендентное $U$ (так же как и $\chi$ ) останется тогда и только тогда ограниченным, если оно будет совпадать с точностью до численного коэффициента с решением $U_{2}$. Это, однако, не имеет места, что можно проверить следующим образом: выбираем в выражении (12) замкнутый путь интегрирования $L$,

обходящий обе точки $c_{1}$ и $c_{2}$; этот путь будет действительно замкнутым на римановой плоскости подынтегрального выражения из-за целочисленности суммы $\alpha_{1}+\alpha_{2}$; следовательно, условие (13) автоматически выполняется, после чего легко показать, что интеграл (12) представляет в данном случае нашу целую трансцендентную функцию $U$.Этот интеграл в самом деле можно разложить по положительным степеням $r$ в ряд, который сходится во всяком случае при достаточно малых $r$, так что данный интеграл должен являться решением, совпадающим с $U$. Итак, решение $U$ представляется с помощью (12), если за $L$ взять замкнутый путь, обходящий точ́ки $c_{1}$ и $c_{2}$. Этот замкнутый путь можно аддитивно составить из частей рассмотренных ранее путей интегрирования, соответствующих $U_{1}$ и $U_{2}$, с не равными нулю коэффициентами, например 1 и $e^{2 \pi i a_{1}}$. Таким образом, решение $U$ действительно нельзя получить из одной функции $U_{2}$, в него обязательно должна также входить функция $U_{1}$.

Наше целое трансцендентное $U$ не будет, следовательно, при сделанных предположениях и стремящемся к бесконечности $r$ ограниченным. Не проводя пока полного исследования, т. е. не приводя доказательства того, что примененный способ дает все линейно независимые решения, мы можем высказать следующее положение :

Для отрицательных Е, не удовлетворяющих условию (15), рассматриваемая вариационная задача не имеет решения.

Нам остается теперь рассмотреть лишь дискретную совокупность отрицательных значений $E$, для которых выполняется условие (15). Оба значения, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, будут при этом целочисленными. Из двух путей интегрирования, приводивших нас ранее к фундаментальной системе $U_{1}, U_{2}$, первый должен быть, наверное, изменен, чтобы не получить равного нулю результата. Дело в том, что величина $\alpha_{1}-1$ безусловно положительна, так что точка $c_{1}$ не является ни точкой разветвления, ни полюсом подынтегрального выражения, которое в этой точке имеет обычный нуль. Точка $c_{2}$ тоже может стать регулярной, если $\alpha_{2}-1$ не будет отрицательным. В каж дом из этих случаев, однако, можно без труда подобрать два подходящих пути $L$ и даже провести интегрирование в замкнутой форме с помощью обычных функций, тем самым вполне определив поведение решений.
Пусть, в частности,
\[
\frac{m e^{2}}{K \sqrt{-2 m E}}=l \quad(l=1,2,3,4, \ldots) .
\]

Тогда согласно (14\”) имеют место равенства
\[
a_{1}-1=l+n, \quad a_{2}-1=-l+n .
\]

Рассмотрим раздельно случаи $l \leqslant n$ и $l>n$.
Пусть
a) $l \leqslant n$. При этом обе точки, $c_{2}$ и $c_{1}$, теряют свой сингулярный характер, благодаря чему появляется возможность использовать их в качестве начального или конечного пункта пути интегрирования $L$ без нарушения условия (13). Третьей, удовлетворяющей нашим требованиям, граничной точкой является отрицательная бесконечность. Формула (12) при любом из путей интегрирования между двумя из этих трех точек даст решение уравнения, причем среди этих решений только два будут линейно независимыми, как это можно легко проверить, вычислив соответствующие интегралы взамкнутой форме. В частности, целое трансцендентное решение может быть получено при интегрировании от $c_{1}$ до $c_{2}$. Без каких-либо вычислений ясно, что этот интеграл остается регулярным при $r=0$. Я это подчеркиваю в связи с тем,

что фактическое вычисление интеграла в данном случае только усложняет рассмотрение. Наоборот, для выяснения поведения интеграла при стремящихся к бесконечности значениях $r$ удобно провести интегрированше : при этом оказывается, что ограниченным при $r \rightarrow \infty$ остается лишь тот из двух линейно независимых интегралов, который при $r=0$ равен бесконечности. Таким образом, при $l \leqslant n$ задача не имеет решения.
б) $l>n$. Тогда согласно формуле (14\”‘) точка $c_{1}$ будет нулем, а точка $c_{2}$ полюсом по меньшей мере первого порядка для подынтеггального выражения. Два независимых решения могут быть получены здесь следующим образом : в одном случае используется путь интегрирования $L$, идущий из точки $z=-\infty$ к нулю ради предосторожности с обходом полюса; другой путь оканчивается в полюсе. Последний путь приводит к целому трансцендентному решению, умноженному на $r^{n}$, значение которого мы выписываем, не приводя вычислений (напоминаем при этом, что умножение $U$ на $r^{n}$ возвращает нас к функции $\gamma$ ):
\[
\chi=f\left(r \frac{V=-2 m E}{K}\right) ; f(x)=x^{n} e^{-x} \sum_{k=0}^{l \cdots n \cdot 1} \frac{(-2 x)^{k}}{k !}\left(\begin{array}{l}
l+n \\
l-n-1-k
\end{array}\right) .
\]

Это решение является пригодным, поскольку оно остается ограниченным при всех действителыных положительных значениях $r$. Благодаря тому, что оп экспонешиально исчезает в бесконечности, выполняется также условие (6). Объединим результаты, полученные для отрицательных значений $E$ сле,уующим образом.

При отрицательых Е наша вариацноннал задача имест решения тогда и только тогда, когда आаченше Е удовлетворяет условию (15). При этом целое число $n$, соответствующее номеру используемой в решении шаровой функции, дэлжно принимать значения, меньшие, чем $l$, что может быть всегда выполнено, по крайней мере, одним способом. Входяшал в решение функция, зависящая от $r$, определяется при этом уравнением (18).

Подсчет числа постоянных в шаровой функции пок: зывает, что найденное решение содержит при допустимых комбинациях ( $n, l$ ) ровно $2 n+1$ произвольных постолнных ; при заданом значении $l$ число произволыных постояниых равно, такін образом, $l^{2}$. утверждения о свойствах спектра собственных значений нашей вариационпой задачи, но доказательство еще нельзя считать полным.

Нужно, во-первых, еще показать полноту всей использованной системы собственных функций. Этим вопросом в данной статье я заниматься не буду. Согласно другим исследованиям можно предположить, что мы не пропустили какого-либо собственного значения.

Во-вторых, следует здесь напомнить, что использованные для положительных значений $E$ собственные функции не являются действительными решениями поставленной нами вначале проблемы, поскольку при $r \rightarrow \infty$ значение $p$ стремится к нулю лишь как $\frac{1}{r}$, а значение $\frac{\partial \psi}{\partial r}$ как $-\frac{1}{r^{2}}$. Поверхностный интеграл (6) будет поэтому в бесконечности иметь порядок $\delta \psi$. Если желательно строго получить непрерывный спектр, то при постановке задачи нужно добавить то условие, что значение $\delta \psi$ в бесконечности равно нулю или, по крайней мере, стремится к постоянной величине, не зависящей от ншйанения, но которому происходит стремление к бесконечности; в последнем случае поверхностный интеграл (6) обратится в нуль из-за свойств входящих в решение шаровых функций.

§ 2. Из условия (15) следует, что
\[
-E_{l}=\begin{array}{c}
m e^{4} \\
2 k^{2} i
\end{array}
\]

Таким образом, мы получаем известные уровни энергии Бора, соответствующие бальмеровым термам, если положим введенную по соображениям размерности величину
\[
K=\begin{array}{c}
h \\
2 \pi
\end{array} .
\]

Тогда будет иметь место соотношение
\[
-E_{l}=\frac{2 \pi^{2} m e}{h^{2} l^{2}} .
\]

Здесь $l$ является главным квантовым числом $n+1$ аплогично азимутальному квантовому числу; при более полройном определении шаровых функций мы сможем расщенить это число на величныь, соностанленные «мваториальному\” и соответственно \”нолярному\” кванту. Эти величины характеризуют здесь систему узловых линий на сфере. «Радаальное квантовое число\” $l-n-1$ определяет в свою очередь число «узловых сфер», так как нетру;но убедиться, что функция $f(x)$ в (18) имеет ровно $l-n-1$ положительных действительных корней. Положительные значения $E$ соответствуют континууму гиперболических траекторий, которым можно, в известном смысле, сопоставить значение радиального квантового числа, равное $\infty$. С этим согласуется поведение решения при $E>0$, которое, как мы видели, стремится к бесконечности, непрерывно осциллируя.

Представляет еще интерес, что область, внутри которой функция (18) заметно отличается от нуля, определяется по порядку величины большой осью соответствующего эллипса. Обратная величнна множителя, который входит имест, очевидно, размерность, длины, а ее зичение ранын

где $a_{l}$ – длина полуоси эллипса, соответствующего $l$-й траектории. Равенство (21) следует из формулы (19) и известного соотношения $E_{l}=-\frac{\epsilon}{2} a_{i}$. Выражение (21) определяет порядок величины искомой области при малых $l$ и $n$, так как тогда можно принять, что корни $f(x)$ мало отличаются от единицы. Это не будет иметь места, когда коэффициенты полиномов становятся подробнее, но, по-видимому, все же приведения утвержденис сле,ует счптать приблизительно правильным.

§ 3. Довольно естественно связывать функцию $у$ с некопорым колеӧательным проџессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомению. Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правшл, используя указанный сравнительно наглядный путь, ио потом предпочел рассмотренный в статье все существенные стороны вопросі. Сушестиеным мис кажется то, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное \”требоване целочисленности», а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственний фуикци.

Я не считаю возможным до тех пор, пока не будут успешно рассчитаны новым способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной квантовой теории. Например, при рассмотрении по приведенному способу релятивистской задачи Кеплера, если действовать по указанным вначале правилам, получается замечательный результат: полуцелые квантовые числа (радиальное и азимутальное).

Все же может быть позволено сделать несколько замечаний об истолковании приведенных положений. Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля*), содержащая много глубоких идей, а таюже размышлений 0 пространственном распределении «фазовых волн», которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания. Я недавно показал **), что, рассматривая подобные стоячие собственные колебания и пользуясь законом де Бройля дисперсии фазовых волн, можно обосновать теорию газов Эйнштейна. Предыдущее изложение является в свою очередь как бы обобщением рассуждений, приведенных в связи с упомянутой газовой моделью:

Если связывать одну из функций (18) после умножения на шаровую функцию $n$-го порядка с некоторым собственным колебанием, то тогда величина $E$ должна быть как-то связана с частотой этого процесса. Обычно в сходных случаях колебательных процессов параметр (чаще всего обозначаемый через $\lambda$ ) пропорционален квадрату частоты. Но в нашем случае подобный подход привел бы для отрицательных значений $E$ к мнимым значениям частоты и, кроме того, интуитивные соображения квантового теоретика говорят, что здесь должна иметь место пропорциональность значения $E$ самой частоте, а не ее квадрату.

Противоречие разрешается следующим образом. Для параметра $E$ вариационного соотношения (5) предварительно не установлен какой-либо нулевой уровень, в особенности потому, что искомая функция $\psi$ содержит множителем, кроме функции, куда входит $E$, еще функцию от $r$, к которой при изменении нулевого уровня прибавляется аддитивная постоянная. Следовательно, \”теоретик колебательных процессов» должен ожидать, что квадрату частоты будет пропорционально не само $E$, а величина, измененная по сравнению с $E$ на некоторую постоянную. Пусть эта постоянная очень велика по сравнению с суммой всех имеющихся отрицательных значений $E$ [которые, как следует из формулы (15), конечны ]. Тогда соответствующие частоты будут действительными и их относительно малые изменения действительно окажутся приближенно пропорциональными $E$. Но именно этого и требует «интуиция» квантового теоретика, поскольку нулевой уровень энергии не является фиксированным [225].

Данное истолкование, по которому частота колебания определяется с помощью соотношения
\[
v=C^{\prime} \sqrt{C+E}=C^{\prime} \sqrt{C}+\frac{C^{\prime}}{2 \sqrt{\bar{c}}} E+\ldots,
\]

где постоянная $C$ много больше всех значений $E$, имеет еще то значительное преимущество, что позволяет разъяснить боровское условие для частот. Соответственно этому условию частота излучения пропорциональна разности энергий, т. е. согласно (22) пропорциональна разности между собственными частотами $v$ гипотетического колебательного процесса. Следовательно, хотя все собственные частоты много больше частот излучения, эти две величины тесно связаны друг с другом, причем последняя из них является как бы глубоким «разностным тоном» собственного колебания, протекающего со значительно большей частотой. То, что при переходе энергии от одного собственного колебания к другому появляется нечто (по моей трактовке, световая волна) с частотой, равной разности частот собственных колебаний, достаточно понятно; нужно лишь предположить, что световая волна первоначально связана с биениями, появляющимися всегда при подобных переходах в любой точке пространства и что частота света определяется числом максимумов, через которые проходит наш колебательный процесс за секунду.

Может возникнуть мнение, что приведенные выводы основываются на соотношении (22) в его приближенном виде (после разложения корня), благодаря чему само условие частот Бора становится, очевидно, также приближенным. Однако это заключение является ошибочным и будет полностью опровергнуто, если развить релятивистскую теорию, использование которой необходимо для глубокого понимания вопроса. Очевидно, что большая аддитивная постоянная $C$ тесно связана с энергией покоя электрона $m c^{2}$. В релятивистской теории не потребуется также вторичного независимого введения постоянной $h$ (которая была уже введена в формуле (20)) в условие частот. Однако свободное от оговорок релятивистское рассмотрение, к сожалению, встречает пока определенные трудности, затронутые выше.

Не требует особых разъяснений то обстоятельство, что представление, по которому при квантовом переходе энергия переходит из одной колебательной формы в другую, значительно более удовлетворительно, чем представление о перескакивающем электроне. Изменение формы колебания всегда может происходить в пространстве и времени, оно вполне может длиться время, равное определяемому экспериментально времени процесса излучения (ср. опыты с каналовыми лучами В. Вина), так что собственные частоты и соответственно частота биения изменятся, если на сравнительно короткое время излучающий атом окажется в электрическом поле. Соответствующий экспериментальный факт приводил до сих пор, как известно, к большим теоретическим трудностям; это видно, например, из дискуссии БораКрамерса-Слэтера.

Несмотря на все достигнутые успехи, нельзя все же забывать, что представление, по которому при отсутствии излучения атом находится в состоянии некоторого колебания с собственной частотой, все еще очень грубо отражает фактически существующий колебательный процесс. Как известно, макроскопическая система ведет себя в данном случае совершенно другим образом, излучая все время смесь частот собственных колебаний. Однако не следует поспешно обращать особое внимание на этот факт, так как и в случае отдельного атома не исключена возможность существования совокупности собственных колебаний, причем частоты только этих колебаний совпадают с частотами, к испусканию которых атом способен при определенных условаях. Кроме того, допущение возможности одновременного действительного излучения одним и тем же атомом целого ряда определенных спектральных линий не противоречит опыту. Таким образом, вполне можно считать, что лишь в нормальном состоянии (и приближенно в «метастабиль-

ных состояниях») атом колебллется с одной частотой и именно по этой причине не излучает, так как не появляется никаких биений. Возбуэсдение состоит в дополнительном появлении еще одной или нескольких частот, благодаря чему возникают затем биения, вызывающие излучение света.

Можно, во всяком случае, принять, что собственные колебания с одним и тем же значением частоты возбуждаются одновременно. Кратные собственные значения соответствуют на языке существующей теории случаям бырождения. Квантование вырожденной системы связано с произвольным распределением энергии по колебаниям с одинаковыми собственными значениямн.

Добавление при корректуре 28/II $1926 \mathrm{r}$.

В случае классической механики консервативной системы можно сформулировать нашу вариационную задачу изящнее, чем это было здесь сделано, без непосредственной связи с уравнением Гамильтона, следующим образом [226]. Пусть $T(q, p)$ – кинетическая энергия, зависящая от координат и импульсов, $V$ – потенциальная энергия, $d \tau$ – «рационально измеренный элемент объема конфигурационного пространства, т. е. произведение $d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{n}$, умноженное еще на корень квадратный из дискриминанта квадратичной формы $T(q, p)$ (cр. Ги б б с, Статистическая механика). Тогда значение функции $\psi$ должно придавать \”интегралу Гамильтона\”
\[
\int d \tau\left\{K^{2} T\left(q, \frac{\partial \psi}{\partial q}\right)+\psi^{2} V\right\}
\]

стационарное значение при дополнительном нормирующем условии
\[
\int \psi^{2} d \tau=1 .
\]
стационарными значениями интеграла (23), и дают согласно нашим предположениям квантовые уровни энергии.

Относительно формулы (14\”) следует еще заметить, что величина $\alpha_{2}$ в основном совпадает с известным выражением Зоммерфельда $-\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C}$ (cp. \”Atombatt, 4 Aufl., стр. 775).

Цюрих, Физический институт университета (поступило 27 января 1926 г.).