Развитие вариационных принципов механики во второй половине XIX в. и начале XX в. произошло прежде всего путем обобщения их на различные виды механических систем и выяснения характера варьированных движений (см. выше), а затем путем распространения их на механику сплошных сред и путем разработки смежных вопросов аналитической механики. Упомянем прежде всего о вариационном принципе Кастилиано-начале наименьшей работы деформации*).

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных.

В качестве примера приведем вывод из принципа Гамильтона уравнений Эйлера для движения несжимаемой жидкости. Подвергнем массу жидкости виртуальному смещению $\delta s$, которое, однако, не нарушает условия несжимаемости $\phi =\frac{\mathrm{\Delta }{v}^{\prime }-\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }v}=0$, где $\mathrm{\Delta }v$ — первоначальный, а $\mathrm{\Delta }{v}^{\prime }$ — измененный объем элемента жидкости. Так как $\phi =\mathrm{div}\mathbf{s}$, то должно быть :
$$\delta \phi =\mathrm{div}\delta \mathbf{s}\doteq 0.$$

Это условие будет выполнено, если в подынтегральное выражение в принципе Гамильтона добавить величину $\delta \phi$, умноженную на множитель Лагранжа $\lambda$.
тогда
$${\int }_0^{t}dt\int d\tau (\delta T+\delta A+\lambda \delta \phi )=0,$$

где все величины относятся к единице объема, а интегрирование по $d\tau$ распространяется на весь объем жидкости.
Далее,
$$\delta T=\rho (\mathit{v},\delta \mathit{v}),\delta A=(\mathit{F},\delta \mathbf{s}).$$

Введя действительную скорость $v=\frac{ds}{dt}$, получим для ее виртуальной вариации
$$\delta \mathit{v}=\delta \frac{d\mathit{s}}{dt}=\frac{d}{dt}\delta \mathbf{s}.$$

Преобразуем член с $\delta T$ :
$${\int }_{t_0}^{t_1}\rho (\mathit{v},\delta v)dt={\int }_{t_0}^{t_1}\rho (\mathit{v},\frac{d}{dt}\delta s)dt={\int }_{t_0}^{t_x}(-\rho \frac{dv}{dt},\delta s)dt;$$

так как $\lambda \delta \phi =\lambda \mathrm{div}\delta \mathbf{s}$, то для члена $\lambda \delta \phi$ напишем следующее выражение:
$$\lambda \mathrm{div}\delta \mathbf{s}=\mathrm{div}(\lambda \delta \mathbf{s})-\mathrm{grad}(\lambda ,\delta \mathbf{s}).$$

По теореме Гаусса—остроградского получим :
$$\int \lambda (\mathrm{div}\delta \mathbf{s})d\tau =\int \lambda \delta \mathbf{s}d\sigma -\int (\mathrm{grad}\lambda ,\delta \mathbf{s})d\tau .$$

Используя приведенные преобразования, имеем :
$${\int }_{t_0}^{t_1}dt\int d\tau (-\rho \frac{d\mathit{v}}{dt}+\mathit{F}-\mathrm{grad}(\lambda ,\delta \mathbf{s}))+{\int }_{t_0}^{t_1}dt\int d\sigma \cdot \lambda \delta {\mathit{s}}_n=0.$$

Из первого интеграла, так как $\delta \mathbf{s}$ благодаря введению множителя $\lambda$ может быть выбрано произвольно, получим :
$$\rho \frac{dv}{dt}+\mathrm{grad}\lambda =\mathit{F}.$$

Это и является уравнением Эйлера, если $\lambda$ отождествляется с давлением $p$. Таким образом, с точки зрения аналитической механики гидродинамическое давление $p$ представляет реакцию, связаниую с условием несжимаемости, которому должен удовлетворять выбор $\lambda$. Интеграл по поверхности, который также обращается в нуль согласно принципу Гамильтона, дает граничные условия, требующиеся для полного определения давления.

Для полной характеристики комплекса вопросов, связанных с вариационными принципами, необходимо отметить, что, кроме уравнений Лагранжа второго рода и канонических уравнений Гамильтона, была найдена еще одна группа уравнений, занимающая промежуточное положение между уравнениями Лагранжа и Гамильтона. Существенно новое, особенно для приложений в физике, внес в этот вопрос аналитическои́ механики Раус.

В 70-х годах XIX в. Раус*) вывел уравнения движения, занимающие промежуточное положение между уравнениями Гамильтона и уравнениями Лагранжа. Для получения уравнений Рауса разобьем все степени свободы системы на две группы; одну, состоящую из ( $f-r$ ) степеней свободы, будем описывать обобщенными координатами Лагранжа $q_1,q_2,\dots ,q_{f-r}$, ${\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_{f-r}$, вторую же группу будем характеризовать гамильтоновыми обобщенными координатами и импульсами $q_{f-r+1},\dots ,q_f,p_{f-r+1},\dots ,p_f$.

Вместо функции Лагранжа $L$ или функции Гамильтона $H$ вводим теперь функцию Рауса $R$, причем
$$R=R(t,q_1,\dots ,q_f;{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_{f-r};p_{f-r+1},\dots ,p_f).$$

Определяем $R$ следующим образом :
$$R=\sum _{k=f-r+1}^f{p}_k{\dot{q}}_k-L(t,q_1\dots ,q_f;{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_f),$$

или
$$R=H(t,q_1,\dots ,q_f;p_1,\dots ,p_f)-\sum _{k=1}^{f-r}{p}_k{\dot{q}}_k.$$

При $r=f$ функция Рауса переходит в функцию Гамильтона, а при $r=0-$ с точностью до знака переходит в функцию Лагранжа. Написав два выражения для полного дифференциала $R$ из (А) и (В) и воспользовавшись известным выражением для $dL$, после небольших преобразований найдем уравнения Рауса :
для $k=1,2,\dots ,f-r$
$$p_k^0=-\frac{\partial R}{\partial q_k},p_k=-\frac{\partial R}{\partial \dot{q}k},$$

для $k=f-r+1,f-r+2,\dots ,f$
$$p_k^0=-\frac{\partial R}{\partial q_k},{\dot{q}}_k=+\frac{\partial R}{\partial p_k}.$$

Первая группа уравнений отнөсится к типу уравнений Лагранжа (при $R=-L)$, а $r$ — уравнений второй группы относятся к типу уравнений Гамильтона (при $H=R$ ).

Раус выводил эти уравнения для приложений к циклическим системам. Для этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а также согласно первому уравнению из второй группы $p_k$ оказываются постоянными. Подставляя эти постоянные $p_k$ в (B), получим функцию Рауса, зависящую только от $f-r$ координат первой группы $q_k$ и от ${\dot{q}}_k$. Для этих координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача сводится $\kappa f-r$ уравнений типа Лагранжа.

Гельмгольц положил этот вид уравнения Рауса в основу своей теории моно- и полициклических систем, связанной с основными проблемами термодинамики.

В 80-х годах XIX в. Пуанкаре ввел понятие об интегральных инвариантах. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений
$$\frac{d{x}_i}{dt}=X_i,$$

где $X_i$ — заданные функции $x_i,t$. Эти уравнения можно рассматривать как уравнения движения точки в пространстве $n$-измерений. Многообразие такого рода точек, занимающих в начальный момент некоторую $m$-мерную область $A_0$, будет и для всякого последующего момента занимать некоторую $m$-мерную область $A$. Распространенный на область $A$-кратный интеграл называется интегральным инвариантом, если он сохраняет одинаковые значения для всякого момента времени. Так, например, при движении несжимаемой жидкости интеграл для объема жидкости, распространенный на все ее частицы, заполняющие в начальный момент определенную область, будет интегральным инвариантом, ибо состоящий из этих частиц объем жидкости не изменяется со временем.

Теория интегральных инвариантов создана А. Пуанкаре и изложена им в труде «Méthodes nouvelles de la mécanique céleste», т. III. Пуанкаре

показал, что общие уравнения динамики обладают тем свойством, что они допускают линейный интегральный инвариант
$$\int \sum p_{i}d{q}_i$$

или, что естественно получается из теории Гамильтона,
$$\int \sum p_{i}d{q}_i-H\delta T.$$

Выражению под знаком интеграла можно дать название тензора «количество движения — энергия». Элементарное действие Гамильтона есть не что иное, как тензор, рассматриваемый вдоль траектории.

Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно положить следующий принцип — «принцип сохранения количества движения и энергии» : «Движения материальной системы (с вполне голономными связями), находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора „количество движения — энергия\», распространенный на любую непрерывную, линейную, замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных траекторий»*).

Эта формулировка, хотя и весьма абстрактна, но имеет и некоторые преимущества. Дело в том, что уравнения Лагранжа не зависят от координатной системы, в чем и заключается их значение, но время в этих уравнениях еще играет особую роль. Напротив, принцип сохранения количества движения и энергии позволяет дать законам динамики форму, не зависящую от выбора координат пространства-времени. Действительно, если одновременно заменить переменные, относящиеся к параметрам положения системы и ко времени, то достаточно иметь выражение тензора «количество движения энергия» в новой системе координат, чтобы получить уравнения движения. Эта схема охватывает, естественно, и релятивистскую механику.

Рассмотрим непрерывную, линейную, замкнутую последовательность траекторий, каждая из которых ограничена промежутками времени $\mathrm{\Delta }t=t_1-t_0$. Полная вариация действия, когда мы вернемся к начальной траектории, будет равна нулю, так что, интегрируя по произвольному параметру $\alpha (x_i=f_i(\alpha ,t))$, получим :
$$\int {(\sum m_i{\dot{x}}_{i_{-}}^{\prime }\delta x_{i_{-}^{\prime }}^{\prime }-E_{-}\delta t)}_1=\int {({\mathrm{\Sigma }}^r{m}_i{\dot{x}}_i\delta x_i-E\delta t)}_0.$$

Для понимания дальнейшего введем пространство состояний-пространство семи измерений ( $x,y,z,\dot{x},\dot{y},z,t)$. Траекторию можно определить как последовательность состояний, соответствующих одному и тому же реальному движению точки, т. е. как решение системы дифференциальных уравнений
$$\frac{d{x}_i}{dt}={\dot{x}}_{i}m\frac{d{\dot{x}}_i}{dt}=\frac{\partial U}{\partial x_i}.$$

В силу этого криволинейный интеграл
$$\int \sum m_i{\dot{x}}_i\delta x_i-E\delta t,$$

взятый вдоль некоторой замкнутой кривой пространства состояний, не изменяется, если переместить каким-либо способом каждое из составляющих его состояний вдоль траектории, соответствующей этому состоянию.

Подынтегральное выражение можно рассматривать как элементарную работу четырехмерного вектора, имеющего в качестве пространственных компонентов три компонента импульса, а в качестве компонента по времени энергию.

Если теперь взять последовательность одновременных состояний, т.е. положить $\delta t=0$, то получим
$$\int \sum m_i{\dot{x}}_i\delta x_i$$

для которого имеет место следующая теорема: если рассматривать замкнутую последовательность траекторий и если взять на этих траекториях состояния, соответствующие какому-либо определенному моменту $t$; то интеграл $\int \sum m_i{\dot{x}}_i\delta x_i$, взятый по замкнутой последовательности полученных таким образом состояний, не зависит от $t$. Это и есть определение интегрального инварианта согласно А. Пуанкаре.

Картан отмечает следующее важное обстоятельство: «Замечательно, что если вместо последовательности одновременных состояний мы будем рассматривать последовательность состояний, удовлетворяющих соотношениям $\delta x_i={\dot{x}}_i\delta t,$ то тензор $\sum m_i{\dot{x}}_i\delta x_i-E\delta T$ приводится к элементарному действию Гамильтона
$$V=[\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+U]dt.$$

Следовательно, «интегральный инвариант Пуанкаре и действие Гамильтона представляют собой лишь два различных вида интеграла „количество движения — энергия\», хотя с первого взгляда между этими двумя понятиями и нет никакой связи»*).

Доказав, что дифференциальные уравнения движения являются единственными, которые допускают в качестве инварианта интеграл $\int Vd\tau$, взятый по любому замкнутому контуру, можно перейти к построению других интегральных инвариантов. Из них очень важное значение имеет интегральный инвариант
$$\iint \sum ^{\prime }\delta p_i\delta q_i.$$

Он означает, что если дано двумерное многообразие траекторий и на каждой траектории состояние, соответствующее определенному моменту времени $t$, то двойной интеграл, распространенный по всем этим состояниям, не зависит от $t$.

Существуют ли и другие инварианты при канонических преобразованиях? Пуанкаре указал на ряд интегральных инвариантов. Можно показать, что интеграл
$$J=\iint \mathrm{\Sigma }d{p}_{i}d{q}_i$$

распространенный на любые двухмерные части $2f$-мерного пространства $(p,q)$, является таким инвариантом.
Пусть $p_i$ и $q_i$ — функции двух параметров $u$ и $v$, тогда
$$J_1=\iint \sum _i\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial p_i}{\partial u}& \frac{\partial q_i}{\partial u}\\ \frac{\partial p_i}{\partial v}& \frac{\partial q_i}{\partial v}\end{array}\right|dudv$$

Инвариантность $J_1$ будет доказана, если показать, что
$$\sum _i\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial u}& \frac{\partial {\overline{q}}_i}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial v}& \frac{\partial {\overline{q}}_i}{\partial v}\end{array}\right|=\sum _i\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial p_i}{\partial u}& \frac{\partial q_i}{\partial u}\\ \frac{\partial p_i}{\partial v}& \frac{\partial q_i}{\partial v}\end{array}\right|,$$

при условии, что ${\overline{q}}_i,{\overline{p}}_i$ получаются из $q$ и $p$ с помощью канонических преобразований. Напишем преобразование в форме
$$p_i=\frac{\partial V(q_1,{\overline{p}}_1,\dots ,t)}{\partial q_i},{\overline{q}}_i=\frac{\partial V(q_1,{\overline{p}}_1,\dots ,t)}{\partial {\overline{p}}_i},$$

где $V$ — некоторая функция, зависящая от $2f$ старых и новых переменных, а также от времени ; $V$ называется производящей функцией канонического преобразования.
Заменяя с помощью преобразований (75) $q_i,p_i$ через ${\overline{q}}_i,{\overline{p}}_i$, имеем :
$$\mathrm{\Sigma }\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial p_i}{\partial u}& \frac{\partial q_i}{\partial u}\\ \frac{\partial p_i}{\partial v}& \frac{\partial q_i}{\partial v}\end{array}\right|=\sum \left|\begin{array}{l}\sum _k\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial {\overline{p}}_k}\cdot \frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial u}\cdot \frac{\partial q_i}{\partial u}\\ \sum _k\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial {\overline{p}}_k}\cdot \frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial v}\cdot \frac{\partial q_i}{\partial v}\end{array}\right|=\sum _{ik}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial p_k}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial u}& \frac{\partial q_i}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial v}& \frac{\partial q_i}{\partial v}\end{array}\right|.$$

Переставляя индексы, получим :
$$\sum _{ik}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_k\partial {\overline{p}}_i}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial u}& \frac{\partial q_k}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overrightarrow{p}}_i}{\partial v}& \frac{\partial q_k}{\partial v}\end{array}\right|$$

Теперь, если воспользоваться вторым из уравнений (75), то подынтегральное выражение будет:
$$\sum _i\left|\begin{array}{l}\frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial u}\sum _k^{\prime }-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\overline{p}}_i\partial q_k}\cdot \frac{\partial q_k}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial v}\sum _k-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\overline{p}}_i\partial p_k}\cdot \frac{\partial q_k}{\partial v}\end{array}\right|=\sum _i\left|\begin{array}{l}\frac{\partial {\overrightarrow{p}}_i}{\partial u}\frac{\partial {\overline{q}}_i}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial v}\frac{\partial {\overline{q}}_i}{\partial v}\end{array}\right|,$$

чем и доказана инвариантность $J_1$.
Вполне аналогично можно доказать инвариантность выражения

а также
$$\begin{array}{c}{J}_2=\iiint \int {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }d{p}_{i}d{p}_{k}d{q}_{i}d{q}_k,\\ J_3=\iiint \iiint \mathrm{\Sigma }d{p}_{i}d{p}_{k}d{p}_{l}d{q}_{i}d{q}_{k}d{q}_l\end{array}$$

и так далее и, наконец, последнего интеграла
$$J_f=\int \dots \int d{p}_1\dots d{p}_{f}d{q}_1\dots d{q}_f.$$

Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инвариантом относительно канонических преобразований.

Пуанкаре с замечательным успехом использовал интегральные инварианты в своих исследованиях по устойчивости.

В заметке, опубликованной в 1896 г. в Comptes Rendus, Кёнигс также исследовал интегральные инварианты, выражаемые ( $n-1$ )-кратными интегралами вида
$$J=\underset{n-1}{\underbrace{\int \dots \int }}\sum _i{M}_{i}d{x}_1\dots d{x}_{i-1}d{x}_{i+1}\dots d{x}_n,$$

в предположении, что коэффициенты $X$ дифференциальных уравнений, равно как и функции $M_i$, не зависят от $t$.
А. Пуанкаре выяснил связь теории интегральных инвариантов с теорией множителей системы Якоби, важность которых для интегрирования системы
$$\frac{d{x}_i}{dt}=X(x(t)),i=1,2,\dots ,n$$

уже отмечена нами. Эта связь состоит в том, что функция под знаком интегрального инварианта порядка, равного порядку системы, является множителем Якоби и обратно.

Пуанкаре не ограничился исследованием только инвариантов порядка, равного порядку системы; он показал, что полезно ввести в рассмотрение и более общие инварианты, определяемые интегралами, распространенными на многообразие с каким угодно числом измерений, меньшим порядка системы (линейные, поверхностные и другие интегралы).

Распространение принципа Гамильтона на системы с произвольными связями выдвинуло проблему вывода уравнений движения для неголономных систем.

Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин*). В его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2 -го рода, входит некоторая квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было проведено П. Воронцом**).

Другое направление механики неголономных систем связано с работами П. Аппеля***), который в 1899 г. получил уравнения, действительные как для голономных, так и неголономных связей. Однако, в отличие от уравгений Чаплыгина — Воронца, для составления уравнений Аппеля требуется предварительное нахождение некоторой квадратичной функции обобщенных ускорений (а не обобщенных скоростей) — дифференциального выражения второго порядка.

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы: первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования; затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных; Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения; Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных; он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения; Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики; Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений; Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов; наконец,

Чаплыгин, Аппель и др. обобщили уравнения динамики голономных систем на системы неголономные. Одновременно с этим процессом развития собственно аналитической динамики и в, первую очередь, ее математических методов, шел и процесс выяснения ее внутреннего геометрического смысла процесс синтеза геометрического и аналитического аспектов.