Развитие вариационных принципов механики во второй половине XIX в. и начале XX в. произошло прежде всего путем обобщения их на различные виды механических систем и выяснения характера варьированных движений (см. выше), а затем путем распространения их на механику сплошных сред и путем разработки смежных вопросов аналитической механики. Упомянем прежде всего о вариационном принципе Кастилиано-начале наименьшей работы деформации*).

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных.

В качестве примера приведем вывод из принципа Гамильтона уравнений Эйлера для движения несжимаемой жидкости. Подвергнем массу жидкости виртуальному смещению $\delta s$, которое, однако, не нарушает условия несжимаемости $\varphi=\frac{\Delta v^{\prime}-\Delta v}{\Delta v}=0$, где $\Delta v$ — первоначальный, а $\Delta v^{\prime}$ — измененный объем элемента жидкости. Так как $\varphi=\operatorname{div} \mathbf{s}$, то должно быть :
\[
\delta \varphi=\operatorname{div} \delta \mathbf{s} \doteq 0 .
\]

Это условие будет выполнено, если в подынтегральное выражение в принципе Гамильтона добавить величину $\delta \varphi$, умноженную на множитель Лагранжа $\lambda$.
тогда
\[
\int_{0}^{t} d t \int d \tau(\delta T+\delta A+\lambda \delta \varphi)=0,
\]

где все величины относятся к единице объема, а интегрирование по $d \tau$ распространяется на весь объем жидкости.
Далее,
\[
\delta T=\rho(\boldsymbol{v}, \delta \boldsymbol{v}), \quad \delta A=(\boldsymbol{F}, \delta \mathbf{s}) .
\]

Введя действительную скорость $v=\frac{d s}{d t}$, получим для ее виртуальной вариации
\[
\delta \boldsymbol{v}=\delta \frac{d \boldsymbol{s}}{d t}=\frac{d}{d t} \delta \mathbf{s} .
\]

Преобразуем член с $\delta T$ :
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \rho(\boldsymbol{v}, \delta v) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \rho\left(\boldsymbol{v}, \frac{d}{d t} \delta s\right) d t=\int_{t_{0}}^{t_{x}}\left(-\rho \frac{d v}{d t}, \delta s\right) d t ;
\]

так как $\lambda \delta \varphi=\lambda \operatorname{div} \delta \mathbf{s}$, то для члена $\lambda \delta \varphi$ напишем следующее выражение:
\[
\lambda \operatorname{div} \delta \mathbf{s}=\operatorname{div}(\lambda \delta \mathbf{s})-\operatorname{grad}(\lambda, \delta \mathbf{s}) .
\]

По теореме Гаусса—остроградского получим :
\[
\int \lambda(\operatorname{div} \delta \mathbf{s}) d \tau=\int \lambda \delta \mathbf{s} d \sigma-\int(\operatorname{grad} \lambda, \delta \mathbf{s}) d \tau .
\]

Используя приведенные преобразования, имеем :
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \int d \tau\left(-\rho \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}+\boldsymbol{F}-\operatorname{grad}(\lambda, \delta \mathbf{s})\right)+\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \int d \sigma \cdot \lambda \delta \boldsymbol{s}_{n}=0 .
\]

Из первого интеграла, так как $\delta \mathbf{s}$ благодаря введению множителя $\lambda$ может быть выбрано произвольно, получим :
\[
\rho \frac{d v}{d t}+\operatorname{grad} \lambda=\boldsymbol{F} .
\]

Это и является уравнением Эйлера, если $\lambda$ отождествляется с давлением $p$. Таким образом, с точки зрения аналитической механики гидродинамическое давление $p$ представляет реакцию, связаниую с условием несжимаемости, которому должен удовлетворять выбор $\lambda$. Интеграл по поверхности, который также обращается в нуль согласно принципу Гамильтона, дает граничные условия, требующиеся для полного определения давления.

Для полной характеристики комплекса вопросов, связанных с вариационными принципами, необходимо отметить, что, кроме уравнений Лагранжа второго рода и канонических уравнений Гамильтона, была найдена еще одна группа уравнений, занимающая промежуточное положение между уравнениями Лагранжа и Гамильтона. Существенно новое, особенно для приложений в физике, внес в этот вопрос аналитическои́ механики Раус.

В 70-х годах XIX в. Раус*) вывел уравнения движения, занимающие промежуточное положение между уравнениями Гамильтона и уравнениями Лагранжа. Для получения уравнений Рауса разобьем все степени свободы системы на две группы; одну, состоящую из ( $f-r$ ) степеней свободы, будем описывать обобщенными координатами Лагранжа $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f-r}$, $\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{f-r}$, вторую же группу будем характеризовать гамильтоновыми обобщенными координатами и импульсами $q_{f-r+1}, \ldots, q_{f}, p_{f-r+1}, \ldots, p_{f}$.

Вместо функции Лагранжа $L$ или функции Гамильтона $H$ вводим теперь функцию Рауса $R$, причем
\[
R=R\left(t, q_{1}, \ldots, q_{f} ; \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{f-r} ; p_{f-r+1}, \ldots, p_{f}\right) .
\]

Определяем $R$ следующим образом :
\[
R=\sum_{k=f-r+1}^{f} p_{k} \dot{q}_{k}-L\left(t, q_{1} \ldots, q_{f} ; \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{f}\right),
\]

или
\[
R=H\left(t, q_{1}, \ldots, q_{f} ; p_{1}, \ldots, p_{f}\right)-\sum_{k=1}^{f-r} p_{k} \dot{q}_{k} .
\]

При $r=f$ функция Рауса переходит в функцию Гамильтона, а при $r=0-$ с точностью до знака переходит в функцию Лагранжа. Написав два выражения для полного дифференциала $R$ из (А) и (В) и воспользовавшись известным выражением для $d L$, после небольших преобразований найдем уравнения Рауса :
для $k=1,2, \ldots, f-r$
\[
p_{k}^{0}=-\frac{\partial R}{\partial q_{k}}, \quad p_{k}=-\frac{\partial R}{\partial \dot{q} k},
\]

для $k=f-r+1, f-r+2, \ldots, f$
\[
p_{k}^{0}=-\frac{\partial R}{\partial q_{k}}, \quad \dot{q}_{k}=+\frac{\partial R}{\partial p_{k}} .
\]

Первая группа уравнений отнөсится к типу уравнений Лагранжа (при $R=-L)$, а $r$ — уравнений второй группы относятся к типу уравнений Гамильтона (при $H=R$ ).

Раус выводил эти уравнения для приложений к циклическим системам. Для этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а также согласно первому уравнению из второй группы $p_{k}$ оказываются постоянными. Подставляя эти постоянные $p_{k}$ в (B), получим функцию Рауса, зависящую только от $f-r$ координат первой группы $q_{k}$ и от $\dot{q}_{k}$. Для этих координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача сводится $\kappa f-r$ уравнений типа Лагранжа.

Гельмгольц положил этот вид уравнения Рауса в основу своей теории моно- и полициклических систем, связанной с основными проблемами термодинамики.

В 80-х годах XIX в. Пуанкаре ввел понятие об интегральных инвариантах. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i},
\]

где $X_{i}$ — заданные функции $x_{i}, t$. Эти уравнения можно рассматривать как уравнения движения точки в пространстве $n$-измерений. Многообразие такого рода точек, занимающих в начальный момент некоторую $m$-мерную область $A_{0}$, будет и для всякого последующего момента занимать некоторую $m$-мерную область $A$. Распространенный на область $A$-кратный интеграл называется интегральным инвариантом, если он сохраняет одинаковые значения для всякого момента времени. Так, например, при движении несжимаемой жидкости интеграл для объема жидкости, распространенный на все ее частицы, заполняющие в начальный момент определенную область, будет интегральным инвариантом, ибо состоящий из этих частиц объем жидкости не изменяется со временем.

Теория интегральных инвариантов создана А. Пуанкаре и изложена им в труде «Méthodes nouvelles de la mécanique céleste», т. III. Пуанкаре

показал, что общие уравнения динамики обладают тем свойством, что они допускают линейный интегральный инвариант
\[
\int \sum p_{i} d q_{i}
\]

или, что естественно получается из теории Гамильтона,
\[
\int \sum p_{i} d q_{i}-H \delta T .
\]

Выражению под знаком интеграла можно дать название тензора «количество движения — энергия». Элементарное действие Гамильтона есть не что иное, как тензор, рассматриваемый вдоль траектории.

Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно положить следующий принцип — «принцип сохранения количества движения и энергии» : «Движения материальной системы (с вполне голономными связями), находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора „количество движения — энергия\», распространенный на любую непрерывную, линейную, замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных траекторий»*).

Эта формулировка, хотя и весьма абстрактна, но имеет и некоторые преимущества. Дело в том, что уравнения Лагранжа не зависят от координатной системы, в чем и заключается их значение, но время в этих уравнениях еще играет особую роль. Напротив, принцип сохранения количества движения и энергии позволяет дать законам динамики форму, не зависящую от выбора координат пространства-времени. Действительно, если одновременно заменить переменные, относящиеся к параметрам положения системы и ко времени, то достаточно иметь выражение тензора «количество движения энергия» в новой системе координат, чтобы получить уравнения движения. Эта схема охватывает, естественно, и релятивистскую механику.

Рассмотрим непрерывную, линейную, замкнутую последовательность траекторий, каждая из которых ограничена промежутками времени $\Delta t=t_{1}-t_{0}$. Полная вариация действия, когда мы вернемся к начальной траектории, будет равна нулю, так что, интегрируя по произвольному параметру $\alpha\left(x_{i}=f_{i}(\alpha, t)\right)$, получим :
\[
\int\left(\sum m_{i} \dot{x}_{i_{-}}^{\prime} \delta x_{i_{-}^{\prime}}^{\prime}-E_{-} \delta t\right)_{1}=\int\left(\Sigma^{r} m_{i} \dot{x}_{i} \delta x_{i}-E \delta t\right)_{0} .
\]

Для понимания дальнейшего введем пространство состояний-пространство семи измерений ( $x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, z, t)$. Траекторию можно определить как последовательность состояний, соответствующих одному и тому же реальному движению точки, т. е. как решение системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\dot{x}_{i} \quad m \frac{d \dot{x}_{i}}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}} .
\]

В силу этого криволинейный интеграл
\[
\int \sum m_{i} \dot{x}_{i} \delta x_{i}-E \delta t,
\]

взятый вдоль некоторой замкнутой кривой пространства состояний, не изменяется, если переместить каким-либо способом каждое из составляющих его состояний вдоль траектории, соответствующей этому состоянию.

Подынтегральное выражение можно рассматривать как элементарную работу четырехмерного вектора, имеющего в качестве пространственных компонентов три компонента импульса, а в качестве компонента по времени энергию.

Если теперь взять последовательность одновременных состояний, т.е. положить $\delta t=0$, то получим
\[
\int \sum m_{i} \dot{x}_{i} \delta x_{i}
\]

для которого имеет место следующая теорема: если рассматривать замкнутую последовательность траекторий и если взять на этих траекториях состояния, соответствующие какому-либо определенному моменту $t$; то интеграл $\int \sum m_{i} \dot{x}_{i} \delta x_{i}$, взятый по замкнутой последовательности полученных таким образом состояний, не зависит от $t$. Это и есть определение интегрального инварианта согласно А. Пуанкаре.

Картан отмечает следующее важное обстоятельство: «Замечательно, что если вместо последовательности одновременных состояний мы будем рассматривать последовательность состояний, удовлетворяющих соотношениям $\delta x_{i}=\dot{x}_{i} \delta t, \quad$ то тензор $\sum m_{i} \dot{x}_{i} \delta x_{i}-E \delta T$ приводится к элементарному действию Гамильтона
\[
V=\left[\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}+U\right] d t .
\]

Следовательно, «интегральный инвариант Пуанкаре и действие Гамильтона представляют собой лишь два различных вида интеграла „количество движения — энергия\», хотя с первого взгляда между этими двумя понятиями и нет никакой связи»*).

Доказав, что дифференциальные уравнения движения являются единственными, которые допускают в качестве инварианта интеграл $\int V d \tau$, взятый по любому замкнутому контуру, можно перейти к построению других интегральных инвариантов. Из них очень важное значение имеет интегральный инвариант
\[
\iint \sum^{\prime} \delta p_{i} \delta q_{i} .
\]

Он означает, что если дано двумерное многообразие траекторий и на каждой траектории состояние, соответствующее определенному моменту времени $t$, то двойной интеграл, распространенный по всем этим состояниям, не зависит от $t$.

Существуют ли и другие инварианты при канонических преобразованиях? Пуанкаре указал на ряд интегральных инвариантов. Можно показать, что интеграл
\[
J=\iint \Sigma d p_{i} d q_{i}
\]

распространенный на любые двухмерные части $2 f$-мерного пространства $(p, q)$, является таким инвариантом.
Пусть $p_{i}$ и $q_{i}$ — функции двух параметров $u$ и $v$, тогда
\[
J_{1}=\iint \sum_{i}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial p_{i}}{\partial u} & \frac{\partial q_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial p_{i}}{\partial v} & \frac{\partial q_{i}}{\partial v}
\end{array}\right| d u d v
\]

Инвариантность $J_{1}$ будет доказана, если показать, что
\[
\sum_{i}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial u} & \frac{\partial \bar{q}_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial v} & \frac{\partial \bar{q}_{i}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{i}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial p_{i}}{\partial u} & \frac{\partial q_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial p_{i}}{\partial v} & \frac{\partial q_{i}}{\partial v}
\end{array}\right|,
\]

при условии, что $\bar{q}_{i}, \bar{p}_{i}$ получаются из $q$ и $p$ с помощью канонических преобразований. Напишем преобразование в форме
\[
p_{i}=\frac{\partial V\left(q_{1}, \bar{p}_{1}, \ldots, t\right)}{\partial q_{i}}, \quad \bar{q}_{i}=\frac{\partial V\left(q_{1}, \bar{p}_{1}, \ldots, t\right)}{\partial \bar{p}_{i}},
\]

где $V$ — некоторая функция, зависящая от $2 f$ старых и новых переменных, а также от времени ; $V$ называется производящей функцией канонического преобразования.
Заменяя с помощью преобразований (75) $q_{i}, p_{i}$ через $\bar{q}_{i}, \bar{p}_{i}$, имеем :
\[
\Sigma\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial p_{i}}{\partial u} & \frac{\partial q_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial p_{i}}{\partial v} & \frac{\partial q_{i}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum\left|\begin{array}{l}
\sum_{k} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial \bar{p}_{k}} \cdot \frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial u} \cdot \frac{\partial q_{i}}{\partial u} \\
\sum_{k} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial \bar{p}_{k}} \cdot \frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial v} \cdot \frac{\partial q_{i}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{i k} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial p_{k}}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial u} & \frac{\partial q_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial v} & \frac{\partial q_{i}}{\partial v}
\end{array}\right| .
\]

Переставляя индексы, получим :
\[
\sum_{i k} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{k} \partial \bar{p}_{i}}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial u} & \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial \vec{p}_{i}}{\partial v} & \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|
\]

Теперь, если воспользоваться вторым из уравнений (75), то подынтегральное выражение будет:
\[
\sum_{i}\left|\begin{array}{l}
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial u} \sum_{k}^{\prime}-\frac{\partial^{2} V}{\partial \bar{p}_{i} \partial q_{k}} \cdot \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial v} \sum_{k}-\frac{\partial^{2} V}{\partial \bar{p}_{i} \partial p_{k}} \cdot \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{i}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \vec{p}_{i}}{\partial u} \frac{\partial \bar{q}_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial v} \frac{\partial \bar{q}_{i}}{\partial v}
\end{array}\right|,
\]

чем и доказана инвариантность $J_{1}$.
Вполне аналогично можно доказать инвариантность выражения

а также
\[
\begin{array}{c}
J_{2}=\iiint \int \Sigma^{\prime} d p_{i} d p_{k} d q_{i} d q_{k}, \\
J_{3}=\iiint \iiint \Sigma d p_{i} d p_{k} d p_{l} d q_{i} d q_{k} d q_{l}
\end{array}
\]

и так далее и, наконец, последнего интеграла
\[
J_{f}=\int \ldots \int d p_{1} \ldots d p_{f} d q_{1} \ldots d q_{f} .
\]

Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инвариантом относительно канонических преобразований.

Пуанкаре с замечательным успехом использовал интегральные инварианты в своих исследованиях по устойчивости.

В заметке, опубликованной в 1896 г. в Comptes Rendus, Кёнигс также исследовал интегральные инварианты, выражаемые ( $n-1$ )-кратными интегралами вида
\[
J=\underbrace{\int \ldots \int}_{n-1} \sum_{i} M_{i} d x_{1} \ldots d x_{i-1} d x_{i+1} \ldots d x_{n},
\]

в предположении, что коэффициенты $X$ дифференциальных уравнений, равно как и функции $M_{i}$, не зависят от $t$.
А. Пуанкаре выяснил связь теории интегральных инвариантов с теорией множителей системы Якоби, важность которых для интегрирования системы
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X(x(t)), \quad i=1,2, \ldots, n
\]

уже отмечена нами. Эта связь состоит в том, что функция под знаком интегрального инварианта порядка, равного порядку системы, является множителем Якоби и обратно.

Пуанкаре не ограничился исследованием только инвариантов порядка, равного порядку системы; он показал, что полезно ввести в рассмотрение и более общие инварианты, определяемые интегралами, распространенными на многообразие с каким угодно числом измерений, меньшим порядка системы (линейные, поверхностные и другие интегралы).

Распространение принципа Гамильтона на системы с произвольными связями выдвинуло проблему вывода уравнений движения для неголономных систем.

Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин*). В его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2 -го рода, входит некоторая квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было проведено П. Воронцом**).

Другое направление механики неголономных систем связано с работами П. Аппеля***), который в 1899 г. получил уравнения, действительные как для голономных, так и неголономных связей. Однако, в отличие от уравгений Чаплыгина — Воронца, для составления уравнений Аппеля требуется предварительное нахождение некоторой квадратичной функции обобщенных ускорений (а не обобщенных скоростей) — дифференциального выражения второго порядка.

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы: первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования; затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных; Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения; Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных; он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения; Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики; Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений; Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов; наконец,

Чаплыгин, Аппель и др. обобщили уравнения динамики голономных систем на системы неголономные. Одновременно с этим процессом развития собственно аналитической динамики и в, первую очередь, ее математических методов, шел и процесс выяснения ее внутреннего геометрического смысла процесс синтеза геометрического и аналитического аспектов.