17. Перехожу, наконец, к четвертому принципу, который я называю принципом наименьшего действия – по аналогии с тем, который был дан под этим же названием Мопертюи и который затем приобрел известность благодаря работам многих знаменитых авторов. Этот принцип, с аналитической точки зрения, заключается в том, что при движении тел, действующих друг на друга, сумма произведений масс на скорости и на пройденные пути является минимумом. Мопертюи выводит отсюда законы отражения и преломления света, равно как и законы удара тел; эти выводы помещены в двух мемуарах, из которых первый был опубликован в Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, 1744 г., а второй спустя два года в Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin.

Однако указанныс примснсния носят слишком специальный характср, чтобы на них можно было построить доказательство общего принципа; кроме того, они несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность и выводам, которые можно было бы сделать на их основании о точности самого принципа. Поэтому мне кажется, что было бы неправильно изложенный в таком виде принцип ставить в один ряд с теми принципами, которые были указаны выше. Существует, однако, и другой способ его применения, более общий и более точный, который один только и заслуживает внимания математиков. Первую идею этого принципа дал Эйлер в конце своего сочинения «De isoperimetricis», напечатанного в Лозанне в 1744 г.; он показал, что при траекториях, описанных под действием центральных сил, интеграл скорости, умноженный на элемент кривой, всегда является максимумом или минимумом.

Указанное свойство, найденное Эйлером при движении изолированных тел, которое представлялось присущим только этим телам, я, пользуясь принципом сохранения живых сил, распространил на движения любой системы тел, действующих друг на друга каким угодно образом; отсюда вытекает новый общий принцип, согласно которому сумма произведений масс на интегралы скоростей, умноженных на элементы пройденных путей, является всегда максимумом или минимумом.

Таков тот принцип, которому, хотя и не вполне точно, я даю здесь название принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов механики. Во втором томе Mémoires de Turin*) можно увидеть применение, которое я дал ему для разрешения многих трудных проблем механики. Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для

разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, сколь и общий, метод разрешения проблем, касающихся движения тел. Однако этот метод представляет собою не что иное, как следствие метода, составляющего предмет второй части настоящей работы и обладающего в то же время тем преимуществом, что он выводится из первых принципов механики.