Прежде чем заниматься решением квантовой задачи о собственных значениях для новых конкретных систем, мы подробнее осветим общую связь между дифференциальным уравнением Гамильтона ( $у$. Г.) некоторой механической проблемы и «соответствующим» волновым уравнением, т. е. в рассмотренном ранее частном случае связь кеплеровой задачи с уравнением (5) первого сообщения. Данная общая связь пока была лишь кратко выражена аналитическим образом посредством неясного самого по себе преобразования (2) и столь же неясного перехода от прыравшения нулю некоторого выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же выражения был стационарным **).

Внутренняя связь между теорией Гамильтона и волновыми процессами давно известна. Эта связь была ясна уже самому Гамильтону, она даже лежала в основе его теоретической механики, которую он строил, исходя из оптики неоднородных сред***). Вариационный принцип Гамильтона может рассматриваться как принциn Ферма для распространения волн в конфигурационом пространстве ( $q$-пространстве); при этом у. Г. выражает здесь принцип Гюйгенса для данных воли. В больнинстве современиы изложений эти глубокие идеи Гамильтона теряют, к сожалению, свой яркий наглядный вид и сводятся к значительно более бесцветным апалитическим соотионениям $\left.{ }^{* * * *}\right)$.

Рассмотрим общую задачу классической механики консервативной сустемы; у. Г. будет в этом случае иметь вид
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+T\left(q_{k}, \frac{\partial W}{\partial q_{k}}\right)+V\left(q_{k}\right)=0,
\]

где $W$ – функция действия, т. е. интеграл по времени от функции Лагранжа $T-V$, взятый по некоторому пути движения системы и рассматриваемый как функция конечного положения и времени.

Символы $q_{k}$ обозначают координаты; величина $T$, являющаяся кинетической энергией, представляет собой функцию координат и импульсов (квадратичную форму относительно последних); импульсы, согласно известным правилам, заменены в уравнении (1) на соответствующие частные производные $\frac{\partial W}{\partial q_{k}}$. Величина $V$ соответствует потенциальной энергии. При решении уравнения (1) делается подстановка
\[
W=-E t+S\left(q_{k}\right),
\]

после чего уравнение (1) переходит в уравнение
\[
2 T\left(q_{k}, \frac{\partial W}{\partial q_{k}}\right)=2(E-V) .
\]

Буквой $E$ обозначена первая произвольная константа интегрирования, являющаяся, как известно, энергией системы. Мы сохранили в уравнении (1′) функцию $W$, не заменив ее, как делается обычно, на не зависящую от времени функцию $S$. Это, однако, несущественно.

Согласно Герцу смысл уравнения (1′) можно выразить очень просто и паглядно, ссли рассмотреть конфигурационюе прострапство (прострапство переменных $q_{k}$ ) с введенной в него с помощью кинетической энергии системы неевклидовой метрикой $\left[{ }^{228}\right]$. Пусть $T$ – кинетическая энергия, рассматриваемая в отличие от предыдущего случая не как функция импульсов, а как функция скоростей $\dot{q}_{k}$; тогда полагаем квадрат линейного элемента $d s$ равным
\[
d s^{2}=2 T\left(q_{k}, \dot{q}_{k}\right) d t^{2} .
\]

Правая сторона равенства (3) фактически не содержит $d t$, что видно после подстановки $\dot{q}_{k} d t=d q_{k}$, приводящей к квадратичной форме от $d q_{k}$.

Введенная метрика (3) определяет известным образом угол между двумя линейными элементами, дивергенцию и ротор от вектора, градиент и оператор Лапласа (div grad) от скаляра и т. д., совершенно подобно тому, как это обычно делается в трехмерном евклидовом пространстве, понятиями которого вообще можно здесь свободно пользоваться, заменяя лишь все время евклидов линейный элемент на несколько более сложный линейный элемент (3). Мы таким образом установили, какой неевклидовый смысл следует придавать в дальнейшем геометрическим образам в q-пространстве.

Одной из важнейших особенностей является здесь то, что при вычислении нужно тщательно различать ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Это приводит, однако, не к бо́льшим осложениям, чем, например, применение косоугольных декартовых координат.

Величины $q_{k}$ являются прототипом контравариантного вектора. Зависящие от $q_{k}$ коэффициенты в форме $2 T$ имеют ковариантный характер; они образуют ковариантный фундаментальный тензор. Величина $2 T$ является контравариантной формой, соответствующей форме $2 T$, так как импульсы образуют компоненты ковариантного вектора, соответствующего контравариантному вектору $\dot{q}_{k}$. Левая сторона уравнения (1′) представляет, следовательно, просто-напросто контравариантную фундаментальную форму, в

которую в качестве переменных введены величины $\frac{\partial W}{\partial q_{k}}$, являющиеся по своему смыслу компонентами ковариантного вектора grad $W$.

Такой же смысл имеет переход в выражении кинетической энергии от скоростей к импульсам, поскольку ковариантные компоненты можно подставлять только в ковариантную форму, так как иначе не получится имеющего смысл выражения, т. е. инварианта.
Уравнение (1′) совпадает, таким образом, с условием
\[
(\operatorname{grad} W)^{2}=2(E-V)
\]

или
\[
|\operatorname{grad} W|=\sqrt{2(E-V)} .
\]

Это условие можно легко проанализировать. Пусть найдена функция $W$ дом случае наглядно описать при каком-либо определенном значении $t$, изобразив семейство поверхностей $W=$ const в $q$-пространстве и поставив в соответствие каждой из них определенное значение $W$.

С одной стороны, как мы сейчас покажем, уравнение (1\”‘) дает метод последовательного построения всех поверхностей постоянного уровня и метод определения соответствующих им значений $W$, если задана какаялибо одна из поверхностей $W=$ const и соответствующее ей значение $W$. С другой стороны, требующиеся при подобном построении исходные данные, а именно: некоторая начальная поверхность и значение величины $W$ могут быть заданы совершенно произвольно, после чего функция, удовлетворяющая уравнению (1\”), может быть построена двузначным образом. При этом мы пока считаем время постоянным. Таким образом, рассмотренный способ построения поверхностей постоянного уровня полностью исчерпывает содержание дифференциального уравнения, любое решение которого можно получить, исходя из соответствующим образом выбранной поверхности и некоторого значения $W$.

Перейдем теперь к изложенному способу построения. Пусть произвольной поверхности (см. рисунок) приписано значение функции $W$, равное $W_{0}$. Чтобы найти поверхность постоянного уровня, соответствующую значению $W_{0}+d W_{0}$, восставляем в каждой точке исходной поверхности перпендикуляр и откладываем на нем в положительном направлении (одну сторону мы заранее уславливаемся считать положительной, а другую отрицательной) длину
\[
d s=\frac{d W_{0}}{\sqrt{2(E-V)}} .
\]

Конечные точки перпендикуляров будут заполнять при этом поверхность $W_{0}+d W_{0}$. Продолжая действовать подобным образом в положительном и отрицательном направлениях, можно последовательно построить все семейство поверхностей постоянного уровня.

Способ построения двузначен, поскольку можно переменить обозначение положительной и отрицательной сторон на исходной поверхности. Этого, однако, нельзя сделать на дальнейших этапах построения ни на какой другой

поверхности, так как производные по $\mathrm{W}$ должны быть непрерывными. Сверх того, оба получающихся семейства поверхностей постоянного уровня, очевидно, идентичны, и лишь приписанные им значения $W$ изменяются в противоположных направлениях.

Если рассмотреть теперь чрезвычайно простую зависимость от времени $t$, то из уравнения (2) следует, что и для какого-либо более позднего (или более раннего) значения времени $t+t^{\prime}$ распределение значений $W$ будет представляться пем же самым семейством поверхностей постоянного уровня, что и при времени $t$; нужно лишь всюду заменить значения $W$ на $W+E t^{\prime}$. Значения $W$, так сказать, сдвигаются по определенному простому закону от одной поверхности постоянного уровня к другой, причем при положительной величине $E$ спвиг происходит в сторону растуцих значений $W$. Вместо этого можно также считать, что сдиигаются сами поверхности, причем каждая из них сохраняет свое значение $W$, но принимает форму и положение следующей поверхности семейства. Закон движения поверхностей определяется тем, например, что поверхность $W_{0}$ должна принять ко времени $t+\Delta t$ положение, занимавшееся в момент $t$ поверхностью $W_{0}+E d t$. Этого можно достичь согласно формуле (4), сдвигая каждую точку поверхности $W_{0}$ в направлении положительной нормали на длину
\[
d s=\frac{E d t}{\sqrt{2(E-V)}} .
\]

Это означает, что поверхности с,цвигаются с нормальной скороснью
\[
u=\frac{d s}{d t}=\frac{E}{\sqrt{2(E-V)}},
\]

которая после задания постоянной $E$ является функцией только положения в иространстве.

Теперь очевидно, что нашу систему поверхностей $W=$ const можно рассматривать как систему волновых поверхностей поступательного стационарного волнового движения в $q$-пространстве, причем скорость движения в каждой точке пространства определяется посредством формулы (6). Дело в том, что наш метод построения можно, очевидно, заменить построением с помощью элементарных волн Гюйгенса (радиуса $d s$ (5)) и их огибающих. «Коэффициент преломления» обратно пропорционален величине $u$ (6) и зависит от положения, но не от направления. Таким образом, оптически $q$-пространство неоднородно, но изотропно. Элементарные волны являются сферами, причем сферами, как это следует здесь еще раз подчеркнуть, в смысле линейного элемента, определяемого формулой (3).

Функция действия $W$ играет для нашей волновой системы роль фазы; у. Г. является выражением принципа Гюйгенса. Если сформулировать принцип Ферма в виде
\[
0 \quad \delta \int_{P_{1}}^{P_{t}} d s=\delta \int_{P_{1}}^{P_{t}} d s \sqrt{2}(E-V)=\delta \int_{t_{1}}^{t_{y}} 2 T d t=1-\delta \int_{t_{i}}^{t_{4}} 2 T d t,
\]

то мы прямо получаем принцип Гамильтона в форме Мопертюи (при интегрировании и варьировании имеет место равенство $T+V=E=$ const). \”Лучи», т. е. ортогональные траектории волновых поверхностей, являются также путями движения системы с энергией $E$ согласно известным уравнениям :
\[
p_{k}=\frac{\partial W}{\partial q_{k}} \text {, }
\]

из которых следует, что из каждой частной функции действия можно получить ряд путей движения системы, подобно тому как ток получается из своего потенциала скоростей *). (Импульсы $p_{k}$ образуют, попросту говоря, ковариантный вектор скорости, причем из формулы (8) следует, что этот вектор равен градиенту от функции действия.)

Хотя в предыдущих рассуждениях говорится о волновых поверхностях, скорости распространения и принципе Гюйгенса, по существу рассматривается аналогия не между механикой и волновой оптикой, а аналогия между механикой и геометіриеской оптикой. Дело в том, что понятие луча, с которым главным образом связывается механика, является в основном понятием геометрической оптики и только в геометрической оптике имеет строгий смысл. Принцип Ферма также может быть истолкован в рамках геометрической оптики с использованием понятия о показателе преломления. Кроме того, система $W$-поверхностей, рассматриваемых как волновые поверхности, значительно слабее связана с механическим движением, поскольку изображающая механическую систему точка распространяется по лучу не с волновой скоростью $l$, а со скоростью, пропорциональной (при постоянном значении $E$ ) $\frac{1}{u}$. Из формулы (3) сразу получается для этой скорости значение
\[
v=\frac{d s}{d t}=\sqrt{2 T}=\sqrt{2(E-V)} .
\]

Приведенное утверждение очевидно. Во-первых, из уравнений (8) следует, что скорость системы тем больше, чем больше grad $W$, т. е. больше там, где $W$-повсрхности сближаютея, или, что то же самое, џе мало затение $и$. Во-вторых, величина $W$ представляет собой, по определению, интеграл по времени от функции Лагранжа, вследствие чего эта величина шзменяется во время движения (за время $d t$ на ( $T-V) d t$ ), так что мы не можем все время сопоставлять точке, изображающей систему, одни и те же $W$-поверхности.

Вообще не имеется механических параллелей для таких важнейших понятий волновой теории, как амплитуда, длина волны, частота, т. е. вообще цля понятий, характеризующих форму волны; ничего нельзя сказать 0 самой волновой функции, лишь функции $W$ можно придать для волн смысл фазы, весьма, впрочем, условно из-за неопределенности формы волны.

Если рассматривать весь приведенный параллелизм понятий только как любопытный наглядный способ выражения, то отсутствие полной аналогии не приводит к каким-либо затруднениям и стремление к последовательному проведению этого параллелизма не имеет смысла. Аналогия сохранялась бы в данном случае лишь с геометрической, или, самое большее, с весьма упрощенной волновой оптикой. Не изменяет положения вещей и то обстоятельство, что в случае света геометрическая оптика представляет лишь весьма грубое приближение. При попытке последовательного построения оптики в $q$-пространстве следовало бы, таким образом, для сохранения параллелизма заботиться о том**), чтобы не очень отклониться от предельного случая гео-

метрической оптики, выбирая, например, длину волны настолько малой, чтобы она была много меньше всех размеров, определяющих передвижение системы. В этом случае подобная попытка не может привести к чему-либо новому; она лишь излишне усложняет приведенную аналогию.

Так можно было бы подумать с первого взгляда. Однако уже первая попытка построения полной волновой картины приводит к таким поразительным следствиям, что, наоборот, появляется другое подозрение. Ведь сейчас известно, что наша классическая механика неверна при мальх размерах и. большой кривизне траекторий; не является ли это обстоятельство вполне аналогичным известной неприменимости геометрической оптики, т. е. оптики с «бесконечно малой длиной волны», в случае «препятствий» или «отверстий», сравнимых по размерам с действительной конечной длиной волны. Быть может, наша классическая механика представляет полную аналогию с геометрической оптикой и подобно последней отказывается служить и не согласуется с действительным положением вещей при размерах и радиусе кривизны траекторий, приближающихся по величине к некоторой длине волны, которая теперь принимает в $q$-пространстве реальный смысл. Тогда целесообразно попытаться построить \”волновую механику»*) и первым шагом на этом пути является, конечно, волновое истолкование представлений Гамильтона.