I

Мой дорогой и добрый друг!
Мое зрение служит причиной того, что я до сих пор не послал Вам статью 0 принципе наименьшего действия; вот она.
Я беру уравнение движения в форме
$$\mathrm{\Sigma }(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z-m\frac{d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z}{d{t}^2})=0.$$

Допустим, что
$$\mathrm{\Sigma }(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z)$$

является полной вариацией некоторой функции $\mathrm{\Pi }$, то есть что эта сумма равна $\delta \mathrm{\Pi }$; мы будем иметь:
$$\delta \mathrm{\Pi }=\sum m\left(\frac{d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z}{d{t}^2}\right).$$

С другой стороны,
$$\begin{array}{rl}{d}^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z& =d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)-\\ -(dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z)& =d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)-\\ -\delta \frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{2}& =d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)-v\delta vd{t}^2,\end{array}$$

где $v$ означает скорость движущейся материальной точки $m$. Таким образом, уравнение движения получает вид
$$\delta \mathrm{\Pi }+\mathrm{\Sigma }mv\delta v=d\sum m\left(\frac{dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{d{t}^2}\right),$$

или же
$$\delta \mathrm{\Pi }+\delta \mathrm{\Sigma }\frac{m{v}^2}{2}=d\sum m\left(\frac{dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{d{t}^2}\right),$$

или, наконец, если обозначить через $T$ живую силу системы*):
$$\delta (\mathrm{\Pi }+T)=d\sum m\left(\frac{dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{d{t}^2}\right).$$

Я умножаю последнее уравнение на $dt$ и интегрирую его в пределах, для которых $x,y,z$ имеют значения $x_0,y_0,z_0$ и $x_1,y_1,z_1$; я имею:
$\delta \int (\mathrm{\Pi }+T)dt={\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m\left(\frac{d{x}_1\delta x_1+d{y}_1\delta y_1+d{z}_1\delta z_1}{dt}\right)-$
$$-\sum m\left(\frac{d{x}_0\delta x_0+d{y}_0\delta y_0+d{z}_0\delta z_0}{dt}\right).$$

Поэтому, если вместе с Лагранжем ограничить общность вариаций, относя их к кривым, которые все начинаются в точках $x_0,y_0,z_0$ и все оканчиваются в точках $x_1,y_1,z_1$, то мы будем иметь $\delta x_0=0,\delta y_0=0,\delta z_0=0$, $\delta x_1=0,\delta y_1=0,\delta z_1=0$, следовательно,
$$\delta \int (\mathrm{\Pi }+T)dt=0,$$

а это означает, что $\int (\mathrm{\Pi }+T)dt$ имеет минимум. Согласно Лагранжу имеет минимум $\int Tdt$, но его анализ неточен.

Не знаю, достаточно ли ясно я выразился относительно $\delta x_0=0,\delta y_0=0,\dots$ Вот в чем дело: координаты $x,y,z$ принадлежат кривой, которую описывает точка $m$, проходящая через точки $x_0,y_0,z_0$ и $x_1,y_1,z_1$; координаты $x+\delta x$, $y+\delta y,z+\delta z$ принадлежат близкой кривой, которую Лагранж подчиняет условию проходить через те же точки, благодаря чему оказывается $\delta x_0=0$, $\delta y_0=0,\dots$ Итак, именно $\int (\mathrm{\Pi }+T)dt$, а не $\int Tdt$, имеет минимум. (Автор высказывает здесь неудовольствие против той части анализа Лагранжа, где обратно, из условия $\delta \int Tdt$, выводятся уравнения движения.)*) Что же нам сказать по этому поводу? Нужно обратить в минимум интеграл $\int (\mathrm{\Pi }+T)dt$; мы будем иметь:
$$\int (\delta \mathrm{\Pi }+\delta T)dt=0;$$

Ho
$$\begin{array}{rl}\delta T& =\sum m\left(\frac{dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z}{d{t}^2}\right)=\\ & =-\sum m\left(\frac{d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z}{d{t}^2}\right)+d\sum m\left(\frac{dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{dt}\right).\end{array}$$

После подстановки получаем :
$$\begin{array}{l}\int [\delta \mathrm{\Pi }-\sum m\left(\frac{d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z}{d{t}^2}\right)]=\\ =\sum m\left(\frac{d{x}_0\delta x_0+d{y}_0\delta y_0+d{z}_0\delta z_0}{d{t}^2}\right)-\sum m\left(\frac{d{x}_1\delta x_1+d{y}_1\delta y_1+d{z}_1\delta z_1}{dt}\right).\end{array}$$

Так как члены, стоящие под знаком интеграла, должны исчезать независимо от тех, которые не находятся под знаком интеграла, мы будем иметь :
$$\delta \mathrm{\Pi }-\mathrm{\Sigma }m\left(\frac{d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z}{d{t}^2}\right)=0,$$

или
$$\mathrm{\Sigma }(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z-m\frac{d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z}{d{t}^2})=0,$$

а это и есть уравнение движения.
Вот, с точностью до некоторых ограничений, ограничений совершенно излишних, и которые я ввел, чтобы как можно меньше отклоняться от

Лагранжа, вот принцип наименьшего действия. Я его изложу иначе, а именно так: $1^{\circ }$. я буду пользоваться любыми координатами, $2^{\circ }$. (что существенно) условия минимума и максимума я заменю условиями интегрируемости. Вам, конечно, известно, что условия интегрируемости играют очень большую роль в механике, например в гидростатике и гидродинамике. Я утверждаю, что вся механика есть вопрос интегрируемости, это условие содержит в себе первое как частный случай; оно требует только, чтобы вариация была интегрируемой, тогда как условие максимума требует не только, чтобы эта вариация была интегрируемой, но и того, чтобы ее интеграл обращался в нуль.
Остроградский

II

Я сообщил некоторым из моих друзей нижеследующий результат, который заключает в себе всю механику, и я спешу поставить Вас в известность об этом результате, чтобы, в случае надобности, я мог опираться на Ваше свидетельство.

Сумма момента движуших сил, момента сил, которые заменяют связи сиатемы, и вариации живой силы, выраженных в любых координатах, является полной производной по времени.

Это — наиболее простой и наиболее общий результат, который может быть получен из динамических соображений. Условие полной производной свойственно не только гидростатике и гидродинамике; оно принадлежит всей науке о движении.
Навсегда Ваш друг
2 февраля 1853 г.
Остроградский