I

Мой дорогой и добрый друг!
Мое зрение служит причиной того, что я до сих пор не послал Вам статью 0 принципе наименьшего действия; вот она.
Я беру уравнение движения в форме
\[
\Sigma\left(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z-m \frac{d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z}{d t^{2}}\right)=0 .
\]

Допустим, что
\[
\Sigma(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)
\]

является полной вариацией некоторой функции $\Pi$, то есть что эта сумма равна $\delta \Pi$; мы будем иметь:
\[
\delta \Pi=\sum m\left(\frac{d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z}{d t^{2}}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
\begin{aligned}
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z & =d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)- \\
-(d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z) & =d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)- \\
-\delta \frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2} & =d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)-v \delta v d t^{2},
\end{aligned}
\]

где $v$ означает скорость движущейся материальной точки $m$. Таким образом, уравнение движения получает вид
\[
\delta \Pi+\Sigma m v \delta v=d \sum m\left(\frac{d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z}{d t^{2}}\right),
\]

или же
\[
\delta \Pi+\delta \Sigma \frac{m v^{2}}{2}=d \sum m\left(\frac{d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z}{d t^{2}}\right),
\]

или, наконец, если обозначить через $T$ живую силу системы*):
\[
\delta(\Pi+T)=d \sum m\left(\frac{d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z}{d t^{2}}\right) .
\]

Я умножаю последнее уравнение на $d t$ и интегрирую его в пределах, для которых $x, y, z$ имеют значения $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ и $x_{1}, y_{1}, z_{1}$; я имею:
$\delta \int(\Pi+T) d t=\Sigma^{\prime} m\left(\frac{d x_{1} \delta x_{1}+d y_{1} \delta y_{1}+d z_{1} \delta z_{1}}{d t}\right)-$
\[
-\sum m\left(\frac{d x_{0} \delta x_{0}+d y_{0} \delta y_{0}+d z_{0} \delta z_{0}}{d t}\right) .
\]

Поэтому, если вместе с Лагранжем ограничить общность вариаций, относя их к кривым, которые все начинаются в точках $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ и все оканчиваются в точках $x_{1}, y_{1}, z_{1}$, то мы будем иметь $\delta x_{0}=0, \delta y_{0}=0, \delta z_{0}=0$, $\delta x_{1}=0, \delta y_{1}=0, \delta z_{1}=0$, следовательно,
\[
\delta \int(\Pi+T) d t=0,
\]

а это означает, что $\int(\Pi+T) d t$ имеет минимум. Согласно Лагранжу имеет минимум $\int T d t$, но его анализ неточен.

Не знаю, достаточно ли ясно я выразился относительно $\delta x_{0}=0, \delta y_{0}=0, \ldots$ Вот в чем дело: координаты $x, y, z$ принадлежат кривой, которую описывает точка $m$, проходящая через точки $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ и $x_{1}, y_{1}, z_{1}$; координаты $x+\delta x$, $y+\delta y, z+\delta z$ принадлежат близкой кривой, которую Лагранж подчиняет условию проходить через те же точки, благодаря чему оказывается $\delta x_{0}=0$, $\delta y_{0}=0, \ldots$ Итак, именно $\int(\Pi+T) d t$, а не $\int T d t$, имеет минимум. (Автор высказывает здесь неудовольствие против той части анализа Лагранжа, где обратно, из условия $\delta \int T d t$, выводятся уравнения движения.)*) Что же нам сказать по этому поводу? Нужно обратить в минимум интеграл $\int(\Pi+T) d t$; мы будем иметь:
\[
\int(\delta \Pi+\delta T) d t=0 ;
\]

Ho
\[
\begin{aligned}
\delta T & =\sum m\left(\frac{d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z}{d t^{2}}\right)= \\
& =-\sum m\left(\frac{d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z}{d t^{2}}\right)+d \sum m\left(\frac{d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z}{d t}\right) .
\end{aligned}
\]

После подстановки получаем :
\[
\begin{array}{l}
\int\left[\delta \Pi-\sum m\left(\frac{d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z}{d t^{2}}\right)\right]= \\
=\sum m\left(\frac{d x_{0} \delta x_{0}+d y_{0} \delta y_{0}+d z_{0} \delta z_{0}}{d t^{2}}\right)-\sum m\left(\frac{d x_{1} \delta x_{1}+d y_{1} \delta y_{1}+d z_{1} \delta z_{1}}{d t}\right) .
\end{array}
\]

Так как члены, стоящие под знаком интеграла, должны исчезать независимо от тех, которые не находятся под знаком интеграла, мы будем иметь :
\[
\delta \Pi-\Sigma m\left(\frac{d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z}{d t^{2}}\right)=0,
\]

или
\[
\Sigma\left(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z-m \frac{d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z}{d t^{2}}\right)=0,
\]

а это и есть уравнение движения.
Вот, с точностью до некоторых ограничений, ограничений совершенно излишних, и которые я ввел, чтобы как можно меньше отклоняться от

Лагранжа, вот принцип наименьшего действия. Я его изложу иначе, а именно так: $1^{\circ}$. я буду пользоваться любыми координатами, $2^{\circ}$. (что существенно) условия минимума и максимума я заменю условиями интегрируемости. Вам, конечно, известно, что условия интегрируемости играют очень большую роль в механике, например в гидростатике и гидродинамике. Я утверждаю, что вся механика есть вопрос интегрируемости, это условие содержит в себе первое как частный случай; оно требует только, чтобы вариация была интегрируемой, тогда как условие максимума требует не только, чтобы эта вариация была интегрируемой, но и того, чтобы ее интеграл обращался в нуль.
Остроградский

II

Я сообщил некоторым из моих друзей нижеследующий результат, который заключает в себе всю механику, и я спешу поставить Вас в известность об этом результате, чтобы, в случае надобности, я мог опираться на Ваше свидетельство.

Сумма момента движуших сил, момента сил, которые заменяют связи сиатемы, и вариации живой силы, выраженных в любых координатах, является полной производной по времени.

Это – наиболее простой и наиболее общий результат, который может быть получен из динамических соображений. Условие полной производной свойственно не только гидростатике и гидродинамике; оно принадлежит всей науке о движении.
Навсегда Ваш друг
2 февраля 1853 г.
Остроградский