Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики «определить $3 n$ прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени», включающих, следовательно, $6 n$ начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, $n$ других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти $n$ масс через $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ и их $3 n$ прямоугольных координат через $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ и, следовательно, $3 n$ компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени – через $\ddot{x}_{1}, y_{1}, \ddot{z}_{1}, \ldots$ $\ldots, \ddot{x}_{n}, \ddot{y}_{n}, \ddot{z}_{n}$, он принимает лагранжеву постановку этой проблемы, именноформулу следующего вида :
\[
\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \delta y+\ddot{z} \delta z)=\delta U,
\]

в которой $U$ есть сумма произведений взятых попарно и перемноженных между собой масс на некоторую функцию их взаимного расстояния, так что первая производная этой функции выражает закон их взаимного притяжения, являясь отрицательной в случае отталкивания. Таким образом, для солнечной системы каждое произведение двух масс умножается на обратное значение их расстояния, и результаты должны быть сложены для того, чтобы образовать функцию $U$.

Мистер Гамильтон умножает далее эту формулу Лагранжа на элемент времени $d t$ и интегрирует от 0 до $t$, полагая, что время и его элемент не подлежат варьированию. Он обозначает начальные значения (или значения для времени $t=0$ ) координат $x, y, z$ и их первых производных $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ через $a, b, c$ и $\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}$ и, таким образом, получает из формулы Лагранжа (1) другую важную формулу :
\[
\sum m(\dot{x} \delta x-\dot{a} \delta a+\dot{y} \delta y-\dot{b} \delta b+\dot{z} \delta z-c \delta c)=\delta S .
\]
$S$ есть определенный интеграл [127]
\[
S=\int_{0}^{t}\left\{U+\sum \frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)\right\} d t .
\]

Если известные уравнения движения в форме
\[
m_{i} \ddot{x}_{i}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad m_{i} \ddot{y}_{i}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad m_{i} \ddot{z}_{i}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}}
\]

полностью интегрируемы, то они дадут $3 n$ координат $x, y, z$ и, следовательно, $S$ как функцию времени $t$, масс $m, \ldots, m_{n}$ и $6 n$ начальных констант $a, b, c$, $\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}$, так что по исключении $3 n$ начальных компонентов скорости $\dot{a}, \dot{b}, \dot{c}$ мы в общем получим отношение между $7 n+2$ величинами $S, t, m, x, y, z$, $a, b, c$, которые дадут $S$ как функцию времени, масс и конечных и начальных координат. Мы еще не знаем формы этой последней функции, но мы знаем ее вариацию (2), взятую в отношении $6 n$ координат ; вследствие независимости этих $6 n$ вариаций мы можем разделить выражение (2) на две группы, содержащие каждая $3 n$ уравнений, а именно:
\[
\frac{\partial S}{\partial x_{i}}=m_{i} \dot{x}_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial y_{i}}=m_{i} \dot{y}_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial z_{i}}=m_{i} \dot{z}_{i}
\]

И
\[
\frac{\partial S}{\partial a_{i}}=m_{i} \dot{a}_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial b_{i}}=m_{i} \dot{b}_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial c_{i}}=m_{i} \dot{c}_{i} .
\]

Члены, стоящие в этих равенствах слева, суть частные производные функции $S$, которую мистер Гамильтон назвал главной функцией движения притягивающихся или отталкивающихся систем. Он думает, что если математики изучат эту главную функцию $S$ и эти группы уравнений (5) и (6), они должны будут оценить их значение. Из группы (5) определяют $3 n$ промежуточных интегралов известных уравнений движения (4) в форме $3 n$ отношений между временем $t$, массами $m$, варьированными координатами $x, y, z$, варьированными составляющими скорости $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ и $3 n$ начальными константами $a, b, c$, в то время как группа (6) определяет $3 n$ конечных интегралов тех же известных дифференциальных уравнений, как. $3 n$ отношений с $6 n$ начальными и произвольными константами $a, b, c, \dot{a}, \dot{b}, \dot{c}$ между временем, массами и $3 n$ варьированными координатами. Эти $3 n$ промежуточных и $3 n$ конечных интегралов разрешают проблему динамики. Математики же находят семь промежуточных и ни одного конечного интеграла.

Решение профессором Гамильтоном этой замечательной проблемы содержит, действительно, одну неизвестную функцию, именно – главную функцию $S$, к изучению и отысканию которой сводится математическая динамика. Эта функция не может быть смешана с прекрасно известной функцией Лагранжа*) для простого и удобного выражения известных уравнений движения. Функция Лагранжа ставит, функция Гамильтона решает проблему. Одна годится для того, чтобы образовать дифференциальные уравнения

движения, другая может давать их интегралы. Разрабатывая продолжение этого нового пути и открывая форму этой новой функции, мистер Гамильтон замечает, что она должна удовлетворять следующему уравнению в частных производных первого порядка и второй степени (время теперь варьируется) :
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}\right\}=U,
\]

которое может быть строго преобразовано следующим образом при помощи уравнения (5) :
\[
\begin{aligned}
S= & S_{1}+\int_{0}^{t}\left\{U-\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\sum \frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\right.\right. \\
& \left.\left.+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial z}\right)^{2}\right]\right\} d t+\int_{0}^{t} \sum \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\partial S}{\partial x}-\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial y}-\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}-\frac{\partial S_{1}}{\partial z}\right)^{2}\right\} d t .
\end{aligned}
\]
$S_{1}$ – произвольная функция тех же величин $t, m, x, y, z, a, b, c$, предполагаемая только (подобно $S$ ) исчезающей в момент времени $t=0$. Если эта произвольная функция $S_{1}$ выбрана так, что она дает приближенное значение искомой функции $S$ (и всегда легко выбрать ее таким образом), то оба определенных интеграла в формуле (8) малы, но втөрой в общем меньше, чем первый; им можно пренебречь, переходя ко второму приближению, и в вычислении первого определенного интеграла можно употреблять следующую приближенную форму уравнений (6) :
\[
\frac{\partial S}{\partial a}=-m \dot{a}, \frac{\partial S}{\partial b}=-m \dot{b}, \frac{\partial S}{\partial c}=-m \dot{c} .
\]

Таким образом, первое приближение может быть успешно и неограниченно исправлено. И для практического улучшения метода ничего более, кажется, не требуется, кроме того, чтобы сделать этот процесс исправления более легким и скорым в его приложениях. Профессор Гамильтон написал две статьи об этом новом методе динамики, и одна из них уже печатается во второй части «Philosophical Transactions» в Лондоне за 1834 г. Метод не является в первом представлении таким простым по форме. Он употребляет сначала характеристическую функцию $V$, более тесно связанную с той оптической функцией, которую он открыл и обозначил той же буквой в своей «Теории систем лучей». И в динамике, и в оптике эта функция есть величина, называемая «действием» и рассматриваемая как зависящая (главным образом) от конечных и начальных координат. Но если эта функция действия применяется в динамике, она включает вспомогательную величину $H$, а именно известную постоянную часть в выражении половины живой силы системы; и много беспокойных исключений требуется впоследствии при применении этой функции, которые устраняются новой формой метода.

Мистер Гамильтон думает, однако, отметить кратко новые свойства этой постоянной $H$, которые подсказывают новый способ выражения дифференциалов и интегралов уравнений движения притягивающихся или отталкивающихся систем. Часто полезно выразить $3 n$ координат $x, y, z, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ как функции $3 n$ других отметок положения [128], которые могут быть обозначены так: $\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}$, и если $3 n$ новых переменных $\bar{\omega}_{1}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}$ будут введены и определены как
\[
\bar{\omega}_{i}=\sum m\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial \eta_{i}}+\dot{y} \frac{\partial y}{\partial \eta_{i}}+\dot{z}-\frac{\partial z}{\partial \eta_{i}}\right),
\]

то в общем возможно обратно выразить $6 n$ переменных $x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ как функции $6 n$ переменных $\eta$ и $\bar{\omega}$, т. е. возможно, следовательно, выразить $H$ как функцию
\[
H=\sum \frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-U
\]

в форме
\[
H=F\left(\bar{\omega}_{1}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right)-U\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{3 n}\right),
\]

в которой $F$ есть рациональная, целая и однородная фунқция второй степени относительно переменных $\bar{\omega}$; теперь мистер Гамильтон находит, что если величина $H$ выражена таким образом, как функция $6 n$ новых переменных $\eta, \bar{\omega}$, то ее вариация может быть определена в такой форме :
\[
\delta H=\Sigma(\dot{\eta} \delta \bar{\omega}-\dot{\omega} \delta \eta),
\]

где $\dot{\eta}, \dot{\bar{\omega}}$ обозначают первые производные новых переменных $\eta, \bar{\omega}$, взятые по времени. $3 n$ дифференциальных уравнения движения второго порядка (4), связывающие прямоугольные координаты и время для какой-либо притягивающейся или отталкивающейся системы, могут быть, следовательно, общим образом преобразованы в двойное число уравнений первого порядка между $6 n$ переменными и временем в форме
\[
\dot{\eta}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \bar{\omega}_{i}}, \quad \bar{\omega}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial \dot{\eta}_{i}}\left[{ }^{129}\right] .
\]

Проинтегрировать эту систему уравнений значит выделить из нее $6 n$ отношений между временем $t$ и $6 n$ переменными $\eta_{i}, \bar{\omega}_{i}$ и $6 n$ их начальными значениями, которые могут быть обозначены как $e_{i}, p_{i}$. Мистер Гамильтон решает проблему в этой более общей форме при помощи той же самой главной функции $S$, что и выше, рассматривая ее, однако, как зависящую теперь от новых отметок $\eta$ и $е$ конечных и начальных положений различных точек системы. Полагая в этом новом обозначении
\[
S=\int_{0}^{t} \sum\left(\bar{\omega} \frac{\partial H}{\partial \omega}-H\right) d t
\]

и рассматривая время как заданное, он находит формулу вариации :
\[
\delta S=\Sigma(\bar{\omega} \delta \eta-p \delta e)
\]

и, следовательно, $6 n$ отдельных уравнений
\[
\bar{\omega}_{i}=\frac{\partial S}{\partial \eta_{i}}, \quad p_{i}=-\frac{\partial S}{\partial e_{i}},
\]

которые суть формы искомых отношений. Профессор Гамильтон думает, что эти две формулы для вариаций (13) и (16), а именно :

и
\[
\delta H=\Sigma(\eta \delta \dot{\bar{\omega}}-\dot{\bar{\omega}} \delta \eta)
\]
\[
\delta S=\sum(\bar{\omega} \delta \eta-p \delta e)
\]

заслуживают внимания, как выражающие в сжатой и простой форме одна дифференциалы, а другая – интегралы уравнений движения притягивающейся или отталкивающейся системы. Они могут быть распространены

и на другие проблемы динамики, кроме этой главной задачи. Выражение $H$ всегда может быть легко найдено, и функция $S$ может быть определена с неопределенной точностью методом последовательных приближений в том смысле, как это разъяснено выше.

Эти свойства его главной функции рассматриваются более полно в его труде «Second Essay on a General Method in Dynamics», в котором он вводит различные формы некоторой функции элементов (Function of Elements), связанные с главной функцией и друг с другом, применяет их к вопросу о возмущениях и показывает, что для возмущений систем из трех или большего числа масс с некоторым законом притяжения или отталкивания и с одной преобладающей массой дифференциальные уравнения варьированных элементов всех малых масс могут быть выражены вместе так же просто, как и обычным путем, коэффициентами одной функции возмущения, которой является возмущенная часть полного выражения $H$, и могут быть строго интегрированы при помощи следствий его общего метода.