Во введении к своей механике Генрих Герц говорит*), что принцип Гамильтона часто дает физически неверные результаты. В доказательство он приводит случай, в котором, как он сам замечает, путем простого рассуждения без расчетов можно обозреть как те движения, которые могут быть фактически совершены, так и движения, которые соответствуют принципу Гамильтона. Герц добавляет, что результат не меняется, если вместо принципа Гамильтона воспользоваться принципом наименьшего действия Мопертюи. Рассмотрим его пример. В этом примере дан шар, который по инерции катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости**). Согласно Герцу, здесь принципу Гамильтона будут соответствовать такие движения, которые при заданной постоянной живой силе в кратчайшее время достигают заданной цели; отсюда вытекает, что переход из любого начального положения в любое конечное положение был бы возможен без приложения какой бы то ни было силы. Это заключение, которое больше относится к принципу наименьшего действия, нежели к принципу Гамильтона, получается примерно так. Если произвольно выбрать начальное и конечное положения шара, то всегда возможны переходы из первого во второе путем чистого качения***). Из всех этих переходов, каждый из которых совершается при сохранении постоянной живой силы и при одной и той же живой силе, один, определенный, потребует наименьшего времени****). Он соответствует, по мнению Герца, принципу Гамильтона и принципу наименьшего действия. Этому результату Герц противопоставляет тот факт, что в действительности, несмотря на произвол выбора начальной скорости, естественный переход из одного положения в любое другое положение при отсутствии действия сил невозможен.
Только что высказанная, для Герца сама собой понятная истина получается и на самом деле путем простого рассуждения. Для этого мы только должны иметь в виду, что движение должно определяться начальным состоянием шара. Кроме начального положения в определении начального состояния участвуют также мгновенная ось вращения, которую мы проведем через центр, соответствующая угловая скорость и поступательная скорость.
Ось можно провести через центр в любом направлении, угловая скорость также может быть взята произвольно; но поступательная скорость тогда определяется по величине и направлению, ибо должно иметь место качение без скольжения по горизонтальной плоскости. Величина начальной угловой скорости здесь не важна. Но так как начальная ось вращения может быть выбрана дважды бесконечным числом способов, а каждый выбор оси ведет к одномерному многообразию положений шара, то из некоторого данного положения шар может попасть в трижды бесконечное число положений. Но всевозможные положения шара образуют многообразие пяти измерений, ибо положения центра образуют двухмерное многообразие, а шар может быть еще повернут вокруг центра трижды бесконечным числом способов. Отсюда и получается невозможность перехода из одного заданного положения в другое заданное положение без действия сил.
Попытка объяснить полученное противоречие тем, что в природе, строго говоря, не встречается качение, которое не было бы связано хотя бы с небольшим скольжением, не удовлетворяет и самого Герца.
Из предшествующего достаточно ясно, что здесь речь идет не о противоречии между обычной механикой и опытом, а скорее о взаимно противоречащих друг другу следствиях из различных способов рассуждения. Поэтому противоречие должно быть разрешено на основании теории.
Такое решение содержится в подробных рассуждениях книги Герца. Чтобы их понять, следует обратить внимание на уравнения связей, которые могут быть наложены на движущуюся систему. Герц допускает только уравнения связей, не содержащие времени; однако координаты точек системы могуть входить под знаком дифференциала. Уравнения связей мы возьмем в форме
\[
\left.\sum_{(v)}^{\prime}\left(\varphi_{i v} d x_{v}+\psi_{i v} d y_{v}+\chi_{i v} d z_{v}\right)=0(i=1,2, \ldots)^{*}\right),
\]
где величины, обозначенные буквами $\varphi, \psi, \chi$, суть функции координат
\[
x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, x_{3}, y_{3}, z_{3}, \ldots
\]
материальных точек. Необходимо отметить особенный случай, когда условия (1) в совокупности эквивалентны комплексу условий в форме
\[
d \Phi_{1}=0, \quad d \Phi_{2}=0, \ldots,
\]
т. е. эти условия «безусловно интегрируемы». В этом случае Герц называет систему голономной**). Его решение упомянутого ранее противоречия таково: установленный им основной закон механики годен вообще для голономных и неголономных систем; но из него получаются принцип Гамильтона и принцип наименьшего действия, только если ограничиться голономными системами. Шар, катящийся по плоскости, представляет собой в случае связи, устраняющей скольжение, неголономную систему.
Это решение могло бы нас удовлетворить, если бы ему не противостояло всеобщее убеждение, что принцип Гамильтона является лишь другой формой принципа Д’Аламбера и что последний применим всегда. Отклонение от обычных взглядов, к которому приводит теория Герца, не может быть объяснено также и тем фактом, что Герц положил в основу новый закон, ибо его основной закон в тех случаях, которые он рассматривает, эквивалентен
принципу Д’Аламбера*). Таким образом возникает чисто математический в своей основе вопрос: требует ли обычный вывод принципа Гамильтона из принципа Д’Аламбера ограничивающего условия? Решению этого вопроса и служит настоящая работа. Ответ заключается в том, что если принцип Д’Аламбера имеет всеобщее значение, то и принцип Гамильтона в его наиболее полной форме должен быть справедливым всегда. Но если избрать форму, принятую Герцем, то, действительно, появляется указанное им ограничение. В этой работе я изложу точнее, чем это сделано до сих пор, еще некоторые другие пункты: во-первых, само понятие варьирования движения, затем формы принципа наименьшего действия, отношение этого принципа к принципу Гамильтона и возможность охватить оба эти принципа одним, более общим, интегральным принципом. Равным образом будет показано, что и принцип наименьшего действия можно сформулировать так, чтобы он оставался в силе в том случае, когда в уравнения связей входит время.
О чем в обоих принципах идет речь, я сейчас, по крайней мере, упомяну, рассмотрев еще раз движение шара. Шар при своем действительном движении, являющемся чистым качением, занимает непрерывную последовательность положений. Применение названных принципов требует небольшого изменения движения. Чтобы осуществить последнее, мы прежде всего сдвинем немного каждое из пройденных шаром положений так, что возникнет вторая непрерывная последовательность положений; в то же время положения этой новой последовательности находятся в соответствии с положениями первой последовательности. Этим второе движение полностью еще не определено, ибо не указано, что в обоих движениях соответствующие положения проходятся одновременно; в принципе Гамильтона это требуется, тогда как принцип наименьшего действия устанавливает нечто другое. Но оба принципа следует здесь применять, считая, что упомянутые малые смещения шара получаются путем одного качения, в то время как Герц в противоречии с этим применил условие, что и второе, т. е. варьированное, движение само является качением без скольжения. Если правильно выполнить вариации, то получается качение шара, которое Герц охарактеризовал
как соответствующее действительному положению вещей. Теперь признают, что действительное движение, вообще говоря, разнородно с варьированным движением. Следовательно, если действительное движение и требует меньше времени, то тем не менее оно не выделяется из группы однородных с ним движений. Мы же издавна привыкли принцип наименьшего действия и принцип Гамильтона формулировать исключительно так, что вариация некоторого интеграла или интеграл, содержащий вариации, приравнивается нулю. При этом название принципа наименьшего действия уже не соответствует его содержанию.
