Пусть гравитационное поле, как обычно, описано тензором**) $g_{\mu
u}$ (или соответственно $g^{\mu
u}$ ), а материя (включая электромагнитное поле) — любым числом пространственно-временных функций $q_{e}$, инвариантный характер которых нам безразличен. Пусть, далее, $\mathbf{H}$ есть функция от
\[
g_{\mu
u}, \quad g_{\sigma}^{\mu
u}\left(=\frac{\partial g^{\mu
u}}{\partial x_{\sigma}}\right), \quad g_{\sigma \tau}^{\mu
u}\left(=\frac{\partial^{2} g^{\mu
u}}{\partial x_{\sigma} \partial x_{\tau}}\right), q_{e} \quad \text { и } \quad q_{(\varrho) \alpha}\left(=\frac{\partial q_{(o)}}{\partial x_{\alpha}}\right) .
\]

В таком случае вариационный принцип
\[
\delta\left\{\int \mathbf{H} d \tau\right\}=0
\]

дает столько дифференциальных уравнений, сколько имеется определенных функций $g_{\mu
u}$ и $q_{(e)}$, если только мы при этом установим, что $g^{\mu
u}$ и $q_{(e)}$ должны быть варьированы независимо друг от друга так, чтобы на границах интегрирования все $\delta q_{(\varrho)}, \delta g^{\mu
u}$ и $\frac{\partial \delta g^{\mu
u}}{\partial x_{\sigma}}$ обращалиеь в нуль.

Мы допустим теперь, что функция $\mathbf{H}$ по отношению ко всем $g_{\sigma \tau}^{\mu v}$ линейна и притом такова, что коэффициенты при $g_{\sigma \tau}^{\mu
u}$ зависят только от $g^{\mu
u}$. В таком случае вариационный принцип (1) можно заменить другим, более удобным для нас вариационным принципом. Интегрируя надлежащим образом по частям, получаем
\[
\int \mathbf{H} d \tau=\int \mathbf{H}^{*} d \tau+F,
\]

где $F$ есть интеграл, взятый по границе рассматриваемой области, а величина $\mathbf{H}^{*}$ зависит только от $\boldsymbol{g}^{\mu
u}, \boldsymbol{g}_{\sigma}^{u}, q_{(\varrho)}, q_{(\rho) a}$, но не зависит большє от $g_{\sigma \tau}^{\mu v}$.
Из (2) для интересующих нас вариаций получаем
\[
\delta\left\{\int \mathbf{H} d \tau\right\}=\delta\left\{\int \mathbf{H}^{*} d \tau\right\},
\]

поэтому мы вправе заменить наш вариационный принцип (1) следующим более удобным
\[
\delta\left\{\int \mathbf{H}^{*} d \tau\right\}=0 .
\]

Выполнив вариации по $g^{\mu
u}$ и $q_{(e)}$, получим следующие формулы*) в качестве уравнений поля тяготения и материи :
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_{a}}\left(\frac{\partial \mathbf{H}^{*}}{\partial g_{a}^{\mu
u}}\right)-\frac{\partial \mathbf{H}^{*}}{\partial g^{\mu
u}} & =0, \\
\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathbf{H}^{*}}{\partial q_{(\varrho) \alpha}}\right)-\frac{\partial \mathbf{H}^{*}}{\partial q_{(\varrho)}} & =0 .
\end{aligned}
\]