10 декабря 1745 г.

Я нашел эту проблему гораздо более трудной, чем это представлялось мне ранее, и встречал в ней почти всюду непреодолимые препятствия. Тем не менее, я собрал приложенные к сему статьи, из которых некоторые смогут послужить для более полного определения состояния данного вопроса, решение которого остается за Вами. Я прочитал также, Милостивый государь, Ваш превосходный труд о великом принципе покоя [243] и без лести имею честь уверить Вас, что ценю разработку этой темы неизмеримо больше, чем наиболее изящные решения частных проблем. В самом деле, я убежден, что повсюду природа действует согласно некоему принципу максимума или минимума, а обнаружение в каждом случае этого максимума или минимума и есть, по моему мнению, не только очень возвышенная, но также очень полезная для углубления нашего познания задача; мне кажется также, что именно в этом следует искать подлинные основы метафизики. Одновременно я считаю Ваш принцип более общим, чем Вы предполагаете, и убежден, что он имеет место в системе любых тел, находящихся в состоянии покоя, где каждая частица в определенном направлении подвергается действию движущей силы $P$; взяв в том же направлении элемент пространства $dz$, по которому указанная частица перемещается за бесконечно малое время $dt$, если она будет свободна от этой системы, я говорю, что $\int Pdz$ будет максимумом или минимумом, но признаю, что в этом случае данный принцип не может быть доказан геометрически, как Вы это сделали. В конце моего трактата об изопериметрах я вывел упругие кривые из принципа максимума или минимума, который мне сообщил господин Бернулли и который, как я теперь вижу, совершенно естественно вытекает из Вашего принципа. В том же месте я показал также, что в движениях природа постоянно соблюдает определенный максимум или минимум, и я определил при помощи этого принципа все кривые траектории, которые должны описать тела, притягиваемые к неподвижному центру или друг к другу.

Пусть масса такого тела будет $M$, скорость тела в какой-либо точке его орбиты $u$ и отрезок проходимого пути $ds$, тогда я говорю, что $\int$ Muds всегда будет максимумом; и если имеется много тел $M,M^{\prime },M^{\prime \prime }$ и т. д., которые притягивают друг друга по какому-либо закону при скоростях в данный момент времени $u,u^{\prime },u^{\prime \prime }$ и т. д. и пройденных за одно и то же время расстояниях, равных $ds,d{s}^{\prime },d{s}^{\prime \prime }$, то движение всех тел вместе будет таким, что $\int Muds+\int M^{\prime }{u}^{\prime }d{s}^{\prime }+{\int }^{\prime }{M}^{\prime \prime }{u}^{\prime \prime }d{s}^{\prime \prime }$ и т. д. будет максимумом. Правда, я не смогу доказать этот принцип строго, но, учитывая, что он всегда дает мне то же решение, что и обычные принципы механики, я совершенно убежден в его справедливости. Однако нам не хватает великой науки, которая основывается на общих принципах, наблюдаемых в природе, и мне кажется,

что именно в этом заключается подлинная метафизика в том смысле, что она содержит первые принципы физики и математики; метафизика Лейбница и Вольфа еще очень далека от такой науки.
24 мая 1746 г.
Милостивый государь,
Следует признаться, что я еще не вижу достаточно ясно, каким образом рассмотрение пройденного за данное время расстояния должно войти в определение количества действия; я хотел бы знать, бывают или нет такие случаи, когда пространство не пропорционально скорости? Из тех примеров, к которым Вы применяете это правило, я вижу, что это пространство всегда выражено самой скоростью таким образом, что количество действия, которое вызывает изменение движения, становится равным произведению массы на квадрат скорости; если бы это имело место всегда, я думаю, что дело стало бы более ясным, если принять во внимание, что вместо пространства можно всегда брать собственно скорость. Ведь если бы имелись случаи, когда это не разрешается (если бы изменение не происходило равномерным движением или пространство, пройденное в какое-то время, могло быть не пропорционально скорости), разве не уместно было бы их упомянуть? Или, во всяком случае, разве не одно и то же, сказать, что следует брать пространство, разделенное на время; мне кажется, что это более точно сказано, потому что одно только слово «время» без определения его количества может иногда оставить некоторую неуверенность при применении.

Прочитав заново главы 20 и 21 , я подумал, что скорость, которую нужно считать сообщенной нематериальным плоскостям, всегда равна разности или изменению скорости каждого тела. Это одно могло бы оказаться достаточным для применения этого правила, учитывая, что эта идея служит только для более четкого выражения самого изменения, происходящего в каждом теле: что же касается силы, которую потребуется приложить, чтобы произвести эти движения, я не вижу в ней необходимости при применении правила, потому что определение количества действия не имеет отношения ни к какой силе, и мне кажется, что можно освободить себя от обсуждения вопроса: сколько силы потребуется, чтобы сообщить данному телу некоторую степень скорости? Этот вопрос даже не имеет определенного смысла, если не принять во внимание время, за которое изменение должно произойти, так как самая маленькая сила способна произвести самую большую степень скорости, лишь бы хватило времени. По этой причине я считаю, что можно было бы совсем обойти рассуждение о силе, изложенное в главе 21. Так как установлено в главе 20 , что изменение тела $A$ состоит в изменении скорости $a-x$ и пространства $a-x$, а тела $B$ в изменении скорости $x-b$ и пространства $x-b$, все данные, нужные для применения правила, уже определены; отсюда можно уже сделать вывод, что количество действия будет: $A(a-x{)}^2+B(x-b{)}^2$, не учитывая никаких новых соображений, каким было бы соображение о какой-либо силе. Тем не менее, я не решился бы добавить эти размышления на полях книги из-за сомнения, которое у меня остается насчет количества действия по отношению к пространству, как я указывал вначале.
28 декабря 1746 г.
Милостивый государь,
Я убежден, что идея нематериальной плоскости, которую Вы воображаете, чтобы представить разницу между состояниями, в которых находятся тела до и после удара, очень правильна и, конечно, ею можно поль-

зоваться всегда, ничем не рискуя; однако я сильно сомневаюсь, можно ли осуществить ту же идею, предложив, например, такой вопрос. Пусть имеется плоскость $ABCD$ в состоянии покоя и на ней тело $M$ движется с данной скоростью $m$ в направлении $MN$ (рис. 1); спрашивается, что случится, когда плоскость испытает толчок данной силы $PQ$ ? В этом случае я говорю, что если предположить плоскость идеально гладкой, то движение тела $M$ окажется совершенно не нарушенным действием силы $PQ$ и плоскость $ABCD$ будет скользить под телом $M$, не нарушая его движения. Итак, чтобы тело $M$ участвовало в движении, сообщаемом плоскости, нужно приложить к нему равную ускоряющую силу. Но я хочу заметить, что это обстоятельство совершенно не касается тех целей, которые Вы имели в виду; имне кажется, что Вашу мысль можно было бы выразить следующим образом, позволяющим избежать этого сомнения : достоверно, что изменение движения тела остается тем же независимо от того, относится ли движение к абсолютному пространству в покое или к пространству, имеющему равномерное движение по прямой линии. Так, если тело $M$, отнесенное к абсолютному пространству и имеющее скорость $m$ в направлении $MN$, внезапно меняет скорость (вследствие какого-либо удара) и начинает двигаться со скоростью $m+\mu$ в том же направлении $MN$, то изменение его скорости будет $\mu$. Отнесем теперь то же тело $M$ с претерпеваемым им изменением к пространству $ABCD$, которое движется со скоростью $p$ в направлении $QP$; по отношению к этой двигающейся плоскости скорость тела до удара была равна $m-p$, а после удара $m+\mu -p$; изменение скорости будет таким же, как в предыдущем случае. Принимая это для рассматриваемого Вами случая, когда тела $A$ и $B$, отнесенные к абсолютному пространству, движутся со скоростями $a$ и $b$ до удара, а после удара их общая скорость будет $x$, можно сказать, что изменение, испытанное телом $A$, будет таким же, как если бы оно было перенесено на какую-либо подвижную плоскость. Перенесем его тогда на плоскость, которая движется со скоростью $a$ в том же направлении $AC$, ясно, что тело $A$ по отношению к этой плоскости будет иметь до удара скорость, равную нулю, а после удара скорость $x-a$ или $a-x$ в обратном направлении; так как это изменение будет таким же, как в случае с бесконечным пространством, то мы видим прежде всего, что изменение, которое происходит с телом $A$, оказывается таким же, как если бы после состояния покоя, в котором оно находилось, ему сообщили скорость, равную $(a-x)$. Если перенести тем же способом тело $B$ на плоскость, движущуюся со скоростью $b$ в направлении $CA$, то его скорость до удара будет также равна нулю, а после удара равна ( $x-b$ ) и, следовательно, вызванное ударом изменение, происшедшее с телом $B$, будет таким же, как если бы ему (находящемуся в покое) сообщили скорость, равную $(x-b)$. Итак, следуя Вашему принципу, Милостивый государь, действие, требуемое для того, чтобы вызвать эти изменения, будет равно $A(a-x{)}^2$ для тела $A$ и $B(x-b{)}^2$ для тела $B$, в полном соответствии с тем, что было найдено Вами.
26 июля 1747 г.
Имею честь подробно описать Вам мою попытку доказать, если это возможно, справедливость принципов механики для законов удара, предполагая, что эти принципы установлены опытом.

Пусть два тела $A$ и $B$ действительно сталкиваются между собой; вместо силы, с которой они действуют друг на друга, я предполагаю между ними пружину $xy$ или $ab$, которая напрягается по мере того, как происходит столкновение (рис. 2); пусть $A$ и $B$ — массы тел, а $a$ и $b$ — их скорости до удара, направленные обе от $O$ к $Z$; в какой-то момент, в течение которого продолжается удар, пусть будет определено в закрепленной точке $O$ :
$$\begin{array}{rl}\text{ расстояние }Oa& =x,\\ ,b_2& =y,\\ \text{ скорость }A& =v,\\ ,\text{»}B& =u,\\ \text{ элемент времени }& =dt.\end{array}$$

Тогда мы будем иметь:
$$dt=\frac{dx}{v}=\frac{dy}{u}$$

длина пружины $ab=y-x=z$ короче естественной длины, имеющей место в начале столкновения, обозначим ее $c$. Таким образом, укорочение пружины будет равно $c-z$, а сила $p$ пружины будет некоторой функцией $(c-z)$; она толкает тело $A$ назад, а тело $B$ вперед. По известным правилам, мы будем иметь:
$$pdt=-Adv=Bdu.$$

Но, так как я еще обязан сомневаться в справедливости этих правил, я выберу еще более общие выражения. Для этого пусть $V$ и $U$ — какие-то функции, подобные скоростям $v$ и $u$, и $P$ — какая-то функция $p$, которая будет, следовательно, функцией $(c-z)$, и вместо полученных формул я рассмотрю следующие:
$$Pdt=-AdV\text{ и }Pdt=+BdU,$$

которые, будучи более общими, заключают подлинные [предполагаемые?] формулы, которых не содержат обычные выражения. Эти две формулы дают сначала :
Рис. 2.
$$\begin{array}{c}AdV+BdU=0\\ \text{ и вследствие }dt=\frac{dx}{v}=\frac{dy}{u}\\ Pdx=-AvdV\text{ и }Pdy=+BudU;\end{array}$$

II
вычитая одну из другой, получаем:
$$AvdV+BudU=P(dy-dx)=Pdz.$$

Но $P$ есть функция ( $c-z$ ) или $z,\int Pdz$ будет функцией $v(c-z)$, которую примем равной $f/(c-z)$, и это третье уравнение дает
$$A\int vdV+B\int udU=f:(c-z).$$

IV

Теперь, зная из опыта, что в течение всякого удара общий центр тяжести обоих тел продолжает двигаться равномерно, можно сделать вывод, что $Av+Bu$ есть постоянная величина, тогда $Adv+Bdu=0$. Но уравнение I дает:
$$AdV+BdU=0,$$

откуда $\frac{dV}{dv}=\frac{dU}{du}$; следовательно, раз $V$ и $U$ суть функции, подобные $v$ и $u$, так что $\frac{dV}{dv}=\frac{dU}{du}$, то, как бы ни отличались $v$ и $u$, необходимо, чтобы $V$ и $U$ были пропорциональны самим скоростям $v$ и $u$. Поскольку речь идет только о пропорциональности, пусть $V=v$ и $U=u$. Тогда равномерное движение центра тяжести дает нам уже менее общие формулы $Pdt=-Adv$ и $Pdt=Bdu$, отличающиеся от обычных только тем, что $P$ означает здесь какую-либо функцию побудительной силы $p$, и отсюда еще не следует, что $P$ должно быть равно $p$.

Итак, рассмотрев до сих пор только одно известное условие столкновения, общее для тел упругих и неупругих, я перейду к рассмотрению других условий для тех и других тел. Для неупругих тел известно, что удар прекращается, как только углубление (enfoncements) или интервал ( $c-z$ ) становится наибольшим, т. е. когда $dz=0=dy-dx$. В этом случае уравнение III дает $AvdV+BudU=0$; тогда уравнение I, прибавленное к предыдущему, покажет нам, что $v=u$ или что тела после удара движутся общим движением. Кроме того, найдя $V=v$ и $U=u$, мы будем иметь $Adv+Bdu=0$ и отсюда $Av+Bu=\mathrm{const}=Aa+Bb$, и мы узнаем, что количество движения одно и то же до и после удара. Так как это обстоятельство полностью определяет удар неупругих тел, то нерешенным остается лишь вопрос, равна ли функция $P$ самой силе $p$ или нет.

Для упругих тел удар прекращается, как только интервал $z$ снова становится равен $c$; значит, выражение $f/(c-z)$ будет одинаковым до и после удара. Следовательно, из IV значение $A\int vdV+B\int udU$ будет также одинаковым до и после удара. Если установлено, что $V=v$ и $U=u$, то это и будет сумма живых сил $A{v}^2+B{u}^2$, которая будет одинаковой до и после удара. Следовательно, известные законы удара оставляют неопределенной формулу, заключающую правила механики; эти законы показывают лишь, что $Pdt=-Adv$ и $Pdt=Bdu$; остается еще. нерешенным, какой функцией силы $p$ должно быть $P$.

Однако другие эксперименты над падением тел и движением маятников показывают с очевидностью, что $P=p$, и тем самым дают возможность убедиться в справедливости общих законов движения. Но совершенно иным является вопрос, есть ли эта истина (которая не может быть подвергнута сомнению в этом мире) необходимая или случайная, или имел ли бог возможность создать такой мир, в котором действовали бы другие законы, например, что $Adv+p^{2}dt$ или что $AvdU=pdt$, или другие формулы, отличные от $Adv=pdt$. Гг. Лейбниц и Вольф утверждали это и рассматривали формулу $Adv=pdt$ только как истину, справедливую для этого мира или, может быть, только для нашей земли, считая, что на других небесных телах, может быть, имеют место другие формулы. Яже придерживаюсь совершенно иного мнения и полагаю, что доказал, что эта истина является такой же необходимой, как геометрические истины. Я это сделал в 1-м томе моей механики.
26 апреля 1748 г.
В настоящее время я работаю над заметкой о большом количестве механических кривых, которые я определяю прежде всего из принципов механики, а затем ищу выражения, значения которых становятся минимумом для этих же самых кривых,чтобы a poste iori выяснить в каждом случае формулы, представляющие то, что Вы называете количеством действия. Я считаю, что тем самым легче будет находить эти формулы a priori.

3 мая 1748 г.
Милостивый государь,
Имею честь послать Вам мою заметку о минимумах, которые имеют место для кривых, образованных действием каких-либо сил. Эти исследования стоили мне больших трудов, но я хорошо вознагражден тем, что вижу, как Ваши принципы, которые Вы употребляете для выражения количества действия, оказываются значительно более общими, чем я предполагал, что они применимы не только к разным видам сил, но также к силе упругости. Учитывая, что именно метафизика должна снабдить фундаментом Ваши принципы, я считаю, что развитие этой проблемы сможет значительно усовершенствовать нашу науку. Может быть, эта тема смогла бы выдвинуть какой-либо вопрос, достойный быть предложенным на премию Математического класса, хотя я и не вижу пока еще, как это можно сделать надлежащим образом. Тем не менее, так как срок подачи такого предложения приближается, я беру на себя смелость присовокупить к сему проект, который я представлял четыре года тому назад в Академию с той же целью. Из него тогда был выбран IV вопрос. Так как Парижская академия завладела третьим вопросом, для обсуждения остаются лишь I и II.
8 мая 1748 г.
Милостивый государь,
Правда, когда я составлял последнюю заметку о минимумах, у меня не было перед глазами Вашей превосходной заметки о законе покоя и я полагался исключительно па то, что мог вспомнить, и на кое-какие заметки, которые я сделал в …, моих противников, когда читал Вашу работу. Я и сейчас считаю, что мои формулы для минимумов находятся в полном согласии с Вашими принципами и что они даже непосредственно следуют из них. Если с первого взгляда кажется, что в них имеется какое-то различие, то это происходит оттого, что Вы применили Ваши принципы к поискам формы жидкой массы, все частицы которой влекомы к закрепленным точкам, в то время как я рассматривал гибкую нить, подверженную подобному же действию. Я абсолютно ясно вспоминаю, что если применить Ваши принципы к случаю обычной силы тяготения, то они сведутся к наибольшему опусканию общего центра тяжести; это опускание и составляет как раз содержание моих формул для этого случая.

Если Вы, Милостивый государь, согласитесь, что метод, при помощи которого находится цепная линия, предполагая опускание центра тяжести или, скорее, расстояние от этого центра до центра земли минимумом, соответствует Вашим принципам, тогда то же согласие должно необходимо обнаружиться во всех моих формулах потому, что они требуют только наиболее полного приближения всего тела к точкам, к которым оно влекомо. Итак, это свойство цепной линии так естественно вытекает из Ваших принципов, что с этой стороны я не жду никакого исключения.

Более того, я отлично помню место в Вашем сочинении, где предполагается, что жидкая масса притягивается ко многим неподвижным точкам. Пусть частичка $M$ притягивается к точкам $A,B,C,D$ и т. д. силами, которые являются как бы степенями расстояния $A{M}^a,B{M}^{\beta },C{M}^u,D{M}^{\delta }$ и т. д. (рис. 3), Тогда Вы показываете, что выражение
$$\frac{A{M}^{\alpha +1}}{\alpha +1}+\frac{B{M}^{\beta +1}}{\beta +1}+\frac{C{M}^{\gamma +1}}{\gamma +1}+\frac{D{M}^{\delta +1}}{\delta +1}+\text{ и т.д. }$$

будет минимумом.

Однако ясно, что это выражение есть не что иное, как
$$\int A{M}^{\alpha }dAM+\int B{M}^{\beta }dBM+\int C{M}^{\gamma }dCM+\int D{M}^{\delta }dDM+\text{ и т. д. }$$

Пусть расстояния $AM=v,BM=v^{\prime },DM=v^{\prime \prime }$ и т. д. и, чтобы случай был более общим, пусть силы будут любой функцией этих расстояний, т. е. сила $MA=V$, сила $MB=V^{\prime }$, сила $MC=V^{\prime \prime },MD=V^{\prime \prime \prime }$ и т. д. В этом случае, в силу Вашего правила, выражение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\int V^{\prime \prime \prime }d{v}^{\prime \prime \prime }$$

будет минимумом, где его дифференциал следует предположить равным нулю, чтобы найти форму жидкой массы, которая притягивается к этим точқам $A,B,C,D$ и т. д.; и в этом случае я считаю, что не ошибаюсь насчет содержания Вашей статьи. Одновременно это самое выражение и есть точно то, которое входит в мою формулу, когда я хочу определить фигуру гибкой нити, все элементы $Mm$ которой притягиваются теми же силами $V,V^{\prime }$, $V^{\prime \prime },V^{\prime \prime \prime }$ и т. д. к неподвижным точкам $A,B,C,D$ и т. д. Вся разница состоит только в том, что в случае, который рассматриваете Вы, выражение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\int V^{\prime \prime \prime }d{v}^{\prime \prime \prime }\text{ и т.д. }$$

должно быть минимумом, в то время как для гибкой нити, элементом которой является $Mm=ds$, формула
$$\int ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\int V^{\prime \prime \prime }d{v}^{\prime \prime \prime }\text{ и т.д. })$$

есть минимум. Итак, учитывая, что эти два случая значительно отличаются друг от друга и фигура гибкой нити очень далека от формы, которую должна принять жидкая масса, хотя бы подверженная тем же силам, можно сделать вывод, что не удивительно, что обе формулы не в точности одинаковы. Однако в них можно сразу заметить такое большое соответствие, что не может быть никакого сомнения, что и та и другая формулы основаны на одних и тех же принципах. Это есть та восхитительная гармония, о которой я имел честь говорить Вам, что она поразила меня. И я надеюсь, что после этих разъяснений Вы не встретите больше затруднений и согласитесь с теми выражениями, которые я употреблял в моем сочинении, чтобы отметить совершенное соответствие моих формул с Вашей теорией. Тем не менее, если Вы считаете уместным, я включу в свое сочинение только что изложенные соображения для того, чтобы все были убеждены в этом соответствии, которое мне кажется настолько совершенным, насколько это возможно для таких различных случаев. Я прошу Вас оказать мне честь Вашими указаниями по этому поводу.

Должен также отметить, что я считаю, что формулы минимума, которые я.дал, являются единственными, ведущими к кривым, которые я ищу. Хотя я мог бы дать еще другие формулы, значение которых тоже было бы наименьшим для этих кривых, однако уравнения, которые дают эти формулы в соответствии с моим методом, являются слишком общими и содержат также кривые, которые не имеют ничего общего с моей темой, в то время как мои формулы не содержат ничего, что не соответствовало бы проблемам, которые я имею в виду.

9 мая 1748 г.
Я льщу себя надеждой, что Вы не будете больше сомневаться ни в справедливости моей формулы минимума
$$\int ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\int V^{\prime \prime \prime }d{v}^{\prime \prime \prime }+\text{ и т.д. })$$

для формы совершенно гибкой нити, ни в соответствии этой формулы с выражением $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\int V^{\prime \prime \prime }d{v}^{\prime \prime \prime }+$ ит. д., которое Вы находите для формы жидкой массы, подверженной тем же силам; и я не сомневаюсь, что те же принципы, которые привели Вас к Вашей формуле, которую я не могу точно вспомнить, приводят и к моей при условии учета природы случая, который я трактую. Я только что обнаружил почти подобную формулу для совершенно отличного случая. Если подвижная точка $M$ (рис. 4) притягивается к закрепленным точкам $C,C^{\prime },C^{\prime \prime },C^{\prime \prime \prime }$ силами $V,V^{\prime }$, $V^{\prime \prime },V^{\prime \prime }$, которые являются некоторыми функциями расстояний, $CM=v$, $C^{\prime }M=v^{\prime },C^{\prime \prime }M=v^{\prime \prime },C^{\prime \prime \prime }M=v^{\prime \prime \prime }$, и если эта точка свободно описывает кривую $MN$, то я говорю, что для этой кривой значение выражения $\int dt(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime })$ будет минимумом, где $dt$ обозначает время, затрачиваемое подвижной точкой на прохождение пространства Mm. Это выражение находится в соответствии с тем, которое я давал ранее, $\int uds$, где через $u$ я обозначал скорость тела в $M$ и $ds$ — элемент пространства $Mm$, ибо раз $ds=udt$, это выражение переходит в $\int uidt$, а по законам механики значение ии выражается через $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+$ $+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$. Я представляю себе, что, внимательно рассматривая эти случаи и разные спотельно рассматривая эти случаи и разные сповходит в каждый из них, будет не так трудно найти принципы метафизики, которые приводят к этим формулам; и хотя мы не будем еще в состоянии достичь этой цели, по крайней мере можно будет, учитывая великолепную гармонию этих формул, сделать заключение, что они должны необходимо вытекать из одних и тех же принципов; на мой взгляд ни одна из этих формул не должна ни в какой мере нарушать справедливость других.
4 июня 1748 г.
Меня продолжает волновать один вопрос, связанный с моим сочинением о минимумах, имеющих место в кривых, образованных либо совершенно гибкими, либо упругими нитями, подвергающимися действию каких-либо сил. Я позволил себе высказать Вам все соображения, убеждающие меня в том, что мои формулы не противоречат данной Вами теории; однако я думаю, что последняя болезнь помешала Вам взвесить мои соображения. Осмелюсь ли умолять Вас, Милостивый государь, соблаговолить еще раз удостоить вниманием письма, которые я имел тогда смелость адресовать Вам в Потсдам. Я убежден в том, что Вы не найдете больше ни малейшего противоречия между Вашими принципами и моим формулами и что Вы признаете в них большое сходство, о котором я говорил. Правда, тогда я еще не видел, каким образом мои формулы могут быть выведены из Ваших принципов, несмотря на то, что я очень хорошо понял применение, которое Вы им дали для нахождения формы жидкой массы, подвергнутой действию

каких-либо сил. Но сейчас мне представляется, что те рассуждения, которыми Вы пользовались, должны привести к моим формулам, о которых я должен прежде всего сказать, что они рассматривают случай, совершенно отличный от того, который рассматривали Вы. Вот с этого я хотел бы начать свое рассуждение.

Пусть даны центры сил, расстояния которых от данной точки равны $v,v^{\prime }$, $v^{\prime \prime },v^{\prime \prime \prime }$ и т. д., а их движущие силы в этой точке $V,V^{\prime },V^{\prime \prime },V^{\prime \prime \prime }$ есть какие-то функции расстояний. Тогда при рассмотрении жидкой массы, подвергнутой действию этих сил, количество действия всех этих сил должно быть минимумом или его дифференциал равен нулю. Итак, Вы очень обоснованно показываете, что это количество действия выражается $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+$ $+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д. Теперь, рассматривая гибкую нить, подвергнутую действию этих же сил, для определения ее формы будет уже недостаточно учитывать только количество действия сил, которое окажется, как прежде, равным $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д. (потому что очевидно, что гибкая нить должна принять форму, значительно отличающуюся от той, которая подходит для жидкой массы), но это количество действия должно быть приложено к элементам нити, на которые это действие распространяется. Пусть $ds$ — элемент нити, а действие сил, приложенных к нему, будет равно $ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д.). Теперь мне кажется вполне естественным сказать, что в этом случае сумма всех действий сил, приложенных к элементам нити, должна быть минимумом, т. е. для формы нити формула $\int ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots )$ будет минимумом.

Более того, при рассмотрении движения брошенного тела, притягиваемого теми же силами, чтобы найти кривую, которую оно опишет, мне кажется также естественным утверждать, что для этой кривой сумма всех количеств действия сил, отнесенных к элементам времени, должна быть минимумом. Количество же действия этих сил в соответствии с Вашими принципами равно $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д.; следовательно, обозначая через $dt$ элемент времени в этих кривых, описанных брошенным телом, выражение $\int dt(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots )$ должно быть минимумом …

После этих многочисленных разъяснений мне остается только еще раз покорнейше просить Вас, Милостивый государь, прочитать их с некоторым вниманием, так как я уверен, что Вы вынесете более лестное суждение о моем сочинении, которое имело несчастье показаться Вам противоречащим Вашим принципам. Мне чрезвычайно важно, чтобы Вы переменили отношение к этому предмету, и поэтому я надеюсь на Вашу доброту, так чтобы мои повторные оправдания оказались ненужными.
Милостивый государь,
8 июня 1748 г.
Я Вам бесконечно обязан за объяснение, которое Вы соблаговолили мне дать о Вашем впечатлении по поводу количества действия и формул, значение которых есть максимум или минимум в кривых, произведенных силами. До этого объяснения я лишь очень смутно понимал, в чем могла состоять разница между Вашими идеями и выдвинутыми на эти темы мною, что значительно усиливало мое беспокойство. Но теперь, получив достаточные разъяснения, я откровенно признаюсь, что ошибочно давал название количества действия многим выражениям, сильно отличающимся друг от друга, не понимая, как я сумею обосновать это наименование. Исключив это, я теперь уверен более чем когда-либо, что формулы максимумов и минимумов, которые я нашел а posteriori, не наносят ни малейшего ущерба справедливости принципов, на которых Вы основали свои рассуждения. Чтобы яснее объяснить это, я рассмотрю несколько центров сил $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ и т. д. (рис. 5),

случае, значение которого есть действительно минимум, будет $\int dt(\int Vdv+$ $+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т.д.), где $dt$ означает элемент времени. Это последнее выражение находится в полном согласии с выражением $\int uds$ (где $ds$ означает элемент пространства и $u$ — скорость тела, так как $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+$ $+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д. выражает квадрат скорости $uu$, а $udt=ds$ ), которое Вы вывели непосредственно из Ваших принципов; невозможно, чтобы обнаружилось малейшее реальное противоречие между Вашими принципами и формулами, которые я вывел а posteriori ; может быть, только отдельные неудачно выбранные выражения, которыми я пользовался, могли Вам показаться противоречащими тем, которые употребляли Вы, и, таким образом, мне останется только изменить некоторые слова в моем труде, чтобы из него убрать все, что сможет показаться несовместимым с Вашей теорией.

Я Вас умоляю, Милостивый государь, удостоить некоторым вниманием то, что я позволяю себе смелость излагать Вам по этому поводу, и откровенно сказать мне, удовлетворяет ли это Вас. Ибо я был бы в отчаянии, если бы дал Вам повод с основанием заподозрить меня в том, что я хотел покривить душой и пустыми комплиментами заставить Вас поверить в то, что я принял Ваши идеи, в то время как я их действительно принял. Скорее, я был совершенно очарован тем, что выражение $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+$ $+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д., которое Вы именуете количеством действия, встретилось повсюду во всех моих исследованиях, и я подумал, что его нельзя переоценить. Но особенно я пришел в восторг, когда увидел, что действие упругости, которое было до тех пор для меня неразрешимым, следовало совершенно тем же законам, что и действие обычных сил, содержащееся в выражении $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д. Находясь в этом состоянии, я не могу Вам выразить, как я был огорчен, когда узнал, что Вы были недовольны моей работой; теперь же я тем более обрадован тем, что Вы оказали мне милость и высказались по этому поводу, потому что я надеюсь, что мое доказательство неизбежно убедит Вас в моей правоте. В настоящее время я работаю над другим трудом на ту же тему, в котором я покажу на еще большем числе различных случаев важность и распространенность Вашей формулы $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$ и т. д., и я льщу себя надеждой, что после этих разъяснений Вы будете совершенно довольны.
14 июня 1748 г.
Милостивый государь,
Я только что окончил мои исследования о принципе количества действия и беру на себя смелость послать их Вам со смиренной просьбой уделить им некоторое внимание. Я льщу себя надеждой, что Вы будете совершенно довольны и найдете в этих вычислениях Ваш замечательный принцип количества действия лучше всего утвержденным и претворенным таким образом, что в рассмотренном мною случае Вы заметите повсюду самое прекрасное соответствие с Вашими идеями. Ибо я должен признаться, что в моей предыдущей работе я еще недостаточно разобрался в этом вопросе, но теперь мне все кажется ясным и не вызывает более никаких сомнений. Работа, которую я имею честь представить Вам, содержит три раздела : первый рассматривает оценку количества действия каких-либо сил, где я показываю, что если точка притягивается ко многим закрепленным центрам $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ и т. д. силами $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ и т.д., которые являются некоторыми функциями расстояний $v;v^{\prime },v^{\prime \prime }$ и т. д. этой точки от центров, то количество действия этих сил на эту точку будет равно $\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+$ и т. д., что находится в совершенном согласии с тем способом, которым пользовались Вы для выражения количества действия в Вашем сочинении об общем законе покоя.

Во второй главе я утверждаю, что когда какое-либо тело (будет ли оно твердым или жидким, гибким или жестким или упругим) под действием этих сил находится в состоянии равновесия, то сумма всех действий, влияющих на все элементы тела и выраженных в соответствии с первой главой, будет минимумом. Этот единственный принцип дает мне форму какой-либо жидкой массы; кривую, которую образует нить, будь она гибкая или упругая. Итак, этот принцип не только находится в соответствии с Вашей теорией, но он также есть именно тот,’ который Вы выдвинули.

Третья глава рассматривает движение тела, притягиваемого этими же самыми силами, и я доказываю в ней, что это движение всегда будет иметь то свойство, что сумма всех количеств действия, которое тело испытывает в каждый момент, будет минимумом. Я тем более уверен, что Вы согласитесь также и с этим принципом, потому что он сводится к тому, из которого в трактате о максимумах и минимумах я вывел орбиты планет и других тел, притягиваемых какими-либо силами.

В соответствии с новыми сведениями, которые я приобрел, я внесу некоторые изменения в выражения из моей предыдущей работы на эту тему, которые могут показаться содержащими что-нибудь противоречащее Вашей теории и моим последним исследованиям.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 февраля 1758 г. [244]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В связи с тем, что математический раздел был почти закончен, когда мы получили Ваш замечательный мемуар, мы поместили его в начале раздела спекулятивной философии. Первая часть была прочитана перед публичной ассамблеей, а другая-на обычных собраниях. Удивительно, что Ваш принцип наименьшего действия может вызывать малейшее возражение после стольких разъяснений и осуществленных применений его. Но еще более удивительно, что Ваши завистники могли чего-то ожидать в этом смысле от Кёнига, который никогда не создал ничего стоящего. Нет сомнений в том, что Ваш принцип получит значительно большее распространение, чем то, которое он имел до сих пор. Я считаю, что следующий случай, который касается не просто минимума, а минимума миниморума, поразит многих противников.
3адача (рис. 6). Шар $M$ ударился с данной скоростью перпендикулярно о стержень $AB$, находящийся в покое. Найти движение шара и стержня после удара (предполагая и тот и другой неупругими).

Решение. Пусть $M$ — масса шара и $a$ — скорость, с которой он толкает стержень в перпендикулярном направлении $LC$. Пусть $x$ — скорость шара после удара и, следовательно, $M(a-x{)}^2$ будет действием, произведенным шаром.

Удар сообщит стержню движение, которое в первый момент будет иметь место вокруг какой-то неизвестной точки $V$, но окажется таким, что полное действие будет наименьшим. Надо, значит, определить не только скорость $x$, но также точку $V$ так, чтобы сумма действий, произведенных вместе в шаре и стержне, оказалась наименьшей.

С этой целью положим массу стержня равной $N$, его длину $AB=b$ и части $AC=c,BC=e$, таким образом; что $b=c+e$, и пусть неизвестное

расстояние $CV=v$. Теперь, так как тела твердые, то скорость точки $C$ после удара будет также равна $x$. Рассмотрим часть стрежня $Zz$, полагая: расстояние $VZ=z$. Масса этой части будет $\frac{Ndz}{b}$, скорость $\frac{xz}{v}$. Следовательно, произведенное в этом случае действие будет $\frac{Ndz}{b}\cdot \frac{xxzz}{vv}$, и его интеграл есть $\frac{Nxx{z}^3}{3bvv}+$ const, откуда мы выводим действие, произведенное во всем стержне:
$$\begin{array}{r}\frac{Nxx}{3bvv}[(v+c{)}^3-(v-e{)}^3]=\frac{Nxx}{3bvv}(3cvv+3evv+3ccv-3eev+c^3+e^3)=\\ =\frac{Nxx}{3vv}(3vv+3(c-e)v+cc-ce+ee),\end{array}$$

так как $b=c+e$. Отсюда общее действие есть
$$M(a-x{)}^2+Nxx(1+\frac{c-e}{v}+\frac{cc-ce+ee}{3vv}),$$

и нужно найти, при каких значениях $x$ и $v$ оно будет минимумом.
Будем считать сначала, что $x$ уже имеет точное значение и для определения значения $v$ дифференцирование дает:
$$-\frac{(c-e)dv}{vv}-\frac{2(cc-ce+ee)dv}{3v^3}=0\text{ или }v=\frac{2(cc-ce+ee)}{3(e-c)};$$

если подставить это значение, то полное действие
$$M(a-x{)}^2+\frac{N(c+e{)}^{2}xx}{4(cc-ce+ee)}$$

должно еще быть минимумом по отношению к $x$, что дает:
$$-2M(a-x)+\frac{Nbbx}{2(cc-ce+ee)}=0$$

или
$$x=\frac{4Ma(cc-ce+ee)}{4M(cc-ce+ee)+Nbb}.$$
1) Если бы шар ударил стержень посередине таким образом; что $c=e$ и $b=2c$, мы имели бы обычный случай, а именно: $v=CV=\mathrm{\infty }$ или стержень не повернулся бы, а $x=\frac{Ma}{M+N}$ было бы общей скоростью обоих тел.
2) Если бы щар ударил в конец $A$ таким образом, что $c=0$ и $e=b$, то $v=AV=\frac{2}{3}b$ и $x=\frac{4Ma}{4M+N}$.

Можно было бы представить себе случай, где пришлось бы определять три или более неизвестных, чтобы превратить полное действие в минимум, и результат всегда будет в согласии с тем, что мы находили обычным способом.