K нормальным координатам я прихожу путем интегрирования вариационной задачи, относящейся к $f\left(\frac{dx}{dt}\right)$ :
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Omega }}_1=\delta f\left(\frac{dx}{dt}\right)-\frac{d}{dt}{f}_{\delta }\left(\frac{dx}{dt}\right)& =0\text{ (тождественно в отношении }\delta x\text{ ), }\\ \frac{d}{dt}f\left(\frac{dx}{dt}\right)& =0\text{ (как следствие добавочного условия). }\end{array}\}$$

Вследствие предположенной однородности выражения $f(dx)$ эта система уравнений преобразуется в самое себя при подстановке $t=x\tau$; если, стало быть, на основании уравнений (9) выразить $\frac{de{x}_i}{dt}-$ как функцию ${\phi }_e^{(i)}\left(\frac{dx}{dt}\right)$ первой производной, то ${\phi }_e^{(i)}$ будет однородной функцией $\rho$-го порядка :
$${\phi }_e^{(i)}\left(\varkappa \frac{dx}{dt}\right)=\varkappa {\phi }_e^{(i)}\left(\frac{dx}{dt}\right).$$

Если при интегрировании уравнений (9) задать для $t=t_0$ начальные значения $x=(x{)}_0,\frac{dx}{dt}={\left(\frac{dx}{dt}\right)}_0$ и если положить
$$u_i=(t-t_0){\left(\frac{d{x}_i}{dt}\right)}_0,$$

где параметр $(t-t_0)$ в силу условия
$$f\left(\frac{dx}{dt}\right)=\mathrm{const}$$

будет пропорционален «длине экстремали», то разложение в ряд по степеням $(t-t_0$ ) на основании условия (10) дает :
$$x_i-{\left(x_i\right)}_0=u_i+\frac{1}{2}{\phi }_2^{(i)}(u)+\dots +\frac{1}{\varrho !}{\phi }_{\varrho }^{(i)}(u)+\dots$$

Это разложение можно рассматривать как формулу преобразования переменных $x_i=x_i(u)$, причем величины $u$ как раз и будут нормальными координатами Римана. Эти координаты преобразуют, следовательно, по формулам (11) и (12) экстремали, проходящие через точку $\left(x_0\right)$, в прямые. Любому преобразованию переменной $x=x(y)$ соответствует, далее, на основании соотношения (11) линейное преобразование $u=u(v)$ соответствующих нормальных координат, причем коэффициенты зависят только от произвольной ситемы значений $(x{)}_0$, а дифференциалы $du$, $\delta u$ преобразуются так же, как и сами функции $u$.

Если подставить (12) в выражение $f(x,dx)$, то оно переходит в $F(u,du)$ или же при разложении в ряд по степеням,
$$F(u,du)=F_0(u,du)+F_1(u,du)+\dots +F_{\varrho }(u,du)+\dots ,$$

где $F_{\ell }(u,du)$ обозначает однородную форму $\varrho$-го измерения относительно $u$. Вследствие линейности преобразования $u=u(v)$ на основании условия
$$F(u,du)=G(v,dv)$$

отдельные однородные составные части также преобразуются соответственным образом :
$$F_Q(u,du)=G_Q(v,dv).$$

Таким образом, если взять в качестве ( $x{)}_0$ какую-нибудь определенную, постоянную систему значений, то, как показывают уравнения (13) и (14), эквивалентность выражений $f(dx)$ и $g(dy)$ равнозначна с эквивалентностью соответствующих систем функций $F_e(u,du)$ по отношению к линейному преобразованию. Выражения $F_{\ell }(u,du)$ или соответствующие выражения $F_{\ell }(\delta u,du)$ представляют собою инварианты выражения $f(dx)$ в точке $x=(x{)}_0$,

а именно, они образуют полную систему основных функций для этой точки $x=(x{)}_0$. В самом деле, мы имеем
$$F_{\varrho }(\delta u,du)=\frac{1}{\varrho !}\sum \frac{\partial F_Q}{\partial \delta u^e}\delta u^e,\frac{\partial F_Q}{\partial \delta u^e}={\left(\frac{\partial F(du)}{\partial ue}\right)}_0;$$

эта последняя производная может быть при помощи (12) выражена через производные от $f(dx)$, взятые для $x=(x{)}_0$, совершенно так же, как аналогично образованная производная от $G(dv)$ выражается через производные от $g(dy)$. На основании равенства
$${\left(\frac{\partial e+\sigma F(du)}{\partial u^e\partial d{\overline{u}}^{\sigma }}\right)}_0=\frac{{\partial }^{+}+\sigma F_Q(\delta u,du)}{\partial \delta u^e\partial d{u}^{\sigma }}$$

любой инвариант выражения $f(dx)=F(du)$, взятый в точке $x=(x{)}_0$, делается проективным инвариантом выражения $F(\delta u,du)$, коль скоро мы подставим вместо высших дифференциалов величины $p,q,r,\dots$, коградиентные $dx,\delta x$. Но ведь на $(x{)}_0$ можно смотреть как на параметр; всякому инварианту в точке $x=(x{)}_0$ соответствует инвариант выражения $f(dx)$, если только $(x{)}_0$ опять заменить через $x$. Если $F_{\ell }(\delta u,du)$ становятся инвариантами ${\mathrm{\Psi }}_{\ell }(\delta x,dx)$, взятыми в точке $x=(x{)}_0$ (для $x=(x{)}_{0}du,\delta u$ переходят в $dx,\delta x$ ), то выражения ${\mathrm{\Psi }}_e$ сами образуют основные функции полной системы. Теперь нужно еще эту систему основных функций явно выразить через инварианты выражения $f(dx)$, а именно, через функции (8). Что это возможно, явствует из способа их получения посредством дифференцирования. Именно, для членов высшего порядка эти процессы переходят в простые полярпроцессы (Polarprozesse), и преобразование, аналогичное разложению в ряд КлебшаГордана [212], в связи с заключением по индукции относительно отбрасываемых членов доказывает высказанное утверждение. Если дело идет об инвариантах совместной системы, то к новым функциям (8) приходится прибавить ковариантные производные остальных дифференциальных выражений, как это показывает введение в эти выражения нормальных координат, относящихся к $f(dx)$.

Эквивалентность выражений $f(dx)$ и $g(dy)$, которая была сведена к формуле (14), таким образом, делается также равнозначащей с эквивалентностью выражений ${\mathrm{\Psi }}_e$ или также функций (8) по отношению к линейному преобразованию дифференциалов; при этом не требуется никаких особых условий интегрируемости, как это\» вытекает из возможности сведения к равенству (14). Этим теорема приведения доказана во всех своих частях. В частности, тождественное исчезновение ряда функций $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right],\left[{\mathrm{\Omega }}_3\right],\dots$ $\dots ,\left[{\mathrm{\Omega }}_e\right],\dots$ необходимо и достаточно для того, чтобы выражение $f(dx)$ можно было преобразовать в выражение с постоянными коэффициентами.

Наконец, если положить в основу вместо группы всех аналитических преобразований некоторую подгруппу, то и группа соответствующих линейных преобразований величин $u$ переходит в подгруппу проективной группы ; инварианты выражения $f(dx)$ становятся опять инвариантами функций (8) по отношению к линейному преобразованию, но теперь уже по отношению к этой подгруппе. Так можно путем гомогенизации свести случай неоднородных функций $f(dx)$ к аффинной группе; полная система может быть здесь выведена из функций (8), образованных для большего на единицу числа переменных.

Из теоремы приведения получается специальный случай квадратичных форм или вообще форм $p$-го измерения. Для этого нужно систему функций

оборвать на $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right]$ или вообще на $\left[{\mathrm{\Omega }}_p\right]$ и их ковариантных производных; при этом все дальнейшие основные функции становятся проективными инвариантами первых. Этим объясняется особое положение римановой формы кривизны $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right]$ среди квадратичных форм. Вопрос об эквивалентности квадратичных форм или соответственно форм $p$-го измерения сводится как раз к эквивалентности функций $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right]$ или соответственно $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right],\dots ,\left[{\mathrm{\Omega }}_p\right]$ и их ковариантных производных по отношению к линейным преобразованиям, а тождественное исчезновение $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right]$ или соответственно $\left[{\mathrm{\Omega }}_2\right],\dots ,\left[{\mathrm{\Omega }}_p\right]$ необходимо и достаточно для возможности преобразования в формы с постоянными коэффициентами; этим в отношении квадратичных форм высказывается один из наиболее известных результатов.

Более подробное изложение должно появиться вслед за этим в Math. Annalen.