K нормальным координатам я прихожу путем интегрирования вариационной задачи, относящейся к $f\left(\frac{d x}{d t}\right)$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Omega_{1}=\delta f\left(\frac{d x}{d t}\right)-\frac{d}{d t} f_{\delta}\left(\frac{d x}{d t}\right) & =0 \text { (тождественно в отношении } \delta x \text { ), } \\
\frac{d}{d t} f\left(\frac{d x}{d t}\right) & =0 \text { (как следствие добавочного условия). }
\end{array}\right\}
\]
Вследствие предположенной однородности выражения $f(d x)$ эта система уравнений преобразуется в самое себя при подстановке $t=x \tau$; если, стало быть, на основании уравнений (9) выразить $\frac{d e x_{i}}{d t}-$ как функцию $\varphi_{e}^{(i)}\left(\frac{d x}{d t}\right)$ первой производной, то $\varphi_{e}^{(i)}$ будет однородной функцией $\rho$-го порядка :
\[
\varphi_{e}^{(i)}\left(\varkappa \frac{d x}{d t}\right)=\varkappa \varphi_{e}^{(i)}\left(\frac{d x}{d t}\right) .
\]
Если при интегрировании уравнений (9) задать для $t=t_{0}$ начальные значения $x=(x)_{0}, \frac{d x}{d t}=\left(\frac{d x}{d t}\right)_{0}$ и если положить
\[
u_{i}=\left(t-t_{0}\right)\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)_{0},
\]
где параметр $\left(t-t_{0}\right)$ в силу условия
\[
f\left(\frac{d x}{d t}\right)=\mathrm{const}
\]
будет пропорционален «длине экстремали», то разложение в ряд по степеням $\left(t-t_{0}\right.$ ) на основании условия (10) дает :
\[
x_{i}-\left(x_{i}\right)_{0}=u_{i}+\frac{1}{2} \varphi_{2}^{(i)}(u)+\ldots+\frac{1}{\varrho !} \varphi_{\varrho}^{(i)}(u)+\ldots
\]
Это разложение можно рассматривать как формулу преобразования переменных $x_{i}=x_{i}(u)$, причем величины $u$ как раз и будут нормальными координатами Римана. Эти координаты преобразуют, следовательно, по формулам (11) и (12) экстремали, проходящие через точку $\left(x_{0}\right)$, в прямые. Любому преобразованию переменной $x=x(y)$ соответствует, далее, на основании соотношения (11) линейное преобразование $u=u(v)$ соответствующих нормальных координат, причем коэффициенты зависят только от произвольной ситемы значений $(x)_{0}$, а дифференциалы $d u$, $\delta u$ преобразуются так же, как и сами функции $u$.
Если подставить (12) в выражение $f(x, d x)$, то оно переходит в $F(u, d u)$ или же при разложении в ряд по степеням,
\[
F(u, d u)=F_{0}(u, d u)+F_{1}(u, d u)+\ldots+F_{\varrho}(u, d u)+\ldots,
\]
где $F_{\ell}(u, d u)$ обозначает однородную форму $\varrho$-го измерения относительно $u$. Вследствие линейности преобразования $u=u(v)$ на основании условия
\[
F(u, d u)=G(v, d v)
\]
отдельные однородные составные части также преобразуются соответственным образом :
\[
F_{Q}(u, d u)=G_{Q}(v, d v) .
\]
Таким образом, если взять в качестве ( $x)_{0}$ какую-нибудь определенную, постоянную систему значений, то, как показывают уравнения (13) и (14), эквивалентность выражений $f(d x)$ и $g(d y)$ равнозначна с эквивалентностью соответствующих систем функций $F_{e}(u, d u)$ по отношению к линейному преобразованию. Выражения $F_{\ell}(u, d u)$ или соответствующие выражения $F_{\ell}(\delta u, d u)$ представляют собою инварианты выражения $f(d x)$ в точке $x=(x)_{0}$,
а именно, они образуют полную систему основных функций для этой точки $x=(x)_{0}$. В самом деле, мы имеем
\[
F_{\varrho}(\delta u, d u)=\frac{1}{\varrho !} \sum \frac{\partial F_{Q}}{\partial \delta u^{e}} \delta u^{e}, \quad \frac{\partial F_{Q}}{\partial \delta u^{e}}=\left(\frac{\partial F(d u)}{\partial u e}\right)_{0} ;
\]
эта последняя производная может быть при помощи (12) выражена через производные от $f(d x)$, взятые для $x=(x)_{0}$, совершенно так же, как аналогично образованная производная от $G(d v)$ выражается через производные от $g(d y)$. На основании равенства
\[
\left(\frac{\partial e+\sigma F(d u)}{\partial u^{e} \partial d \bar{u}^{\sigma}}\right)_{0}=\frac{\partial^{+}+\sigma F_{Q}(\delta u, d u)}{\partial \delta u^{e} \partial d u^{\sigma}}
\]
любой инвариант выражения $f(d x)=F(d u)$, взятый в точке $x=(x)_{0}$, делается проективным инвариантом выражения $F(\delta u, d u)$, коль скоро мы подставим вместо высших дифференциалов величины $p, q, r, \ldots$, коградиентные $d x, \delta x$. Но ведь на $(x)_{0}$ можно смотреть как на параметр; всякому инварианту в точке $x=(x)_{0}$ соответствует инвариант выражения $f(d x)$, если только $(x)_{0}$ опять заменить через $x$. Если $F_{\ell}(\delta u, d u)$ становятся инвариантами $\Psi_{\ell}(\delta x, d x)$, взятыми в точке $x=(x)_{0}$ (для $x=(x)_{0} d u, \delta u$ переходят в $d x, \delta x$ ), то выражения $\Psi_{e}$ сами образуют основные функции полной системы. Теперь нужно еще эту систему основных функций явно выразить через инварианты выражения $f(d x)$, а именно, через функции (8). Что это возможно, явствует из способа их получения посредством дифференцирования. Именно, для членов высшего порядка эти процессы переходят в простые полярпроцессы (Polarprozesse), и преобразование, аналогичное разложению в ряд КлебшаГордана [212], в связи с заключением по индукции относительно отбрасываемых членов доказывает высказанное утверждение. Если дело идет об инвариантах совместной системы, то к новым функциям (8) приходится прибавить ковариантные производные остальных дифференциальных выражений, как это показывает введение в эти выражения нормальных координат, относящихся к $f(d x)$.
Эквивалентность выражений $f(d x)$ и $g(d y)$, которая была сведена к формуле (14), таким образом, делается также равнозначащей с эквивалентностью выражений $\Psi_{e}$ или также функций (8) по отношению к линейному преобразованию дифференциалов; при этом не требуется никаких особых условий интегрируемости, как это\” вытекает из возможности сведения к равенству (14). Этим теорема приведения доказана во всех своих частях. В частности, тождественное исчезновение ряда функций $\left[\Omega_{2}\right],\left[\Omega_{3}\right], \ldots$ $\ldots,\left[\Omega_{e}\right], \ldots$ необходимо и достаточно для того, чтобы выражение $f(d x)$ можно было преобразовать в выражение с постоянными коэффициентами.
Наконец, если положить в основу вместо группы всех аналитических преобразований некоторую подгруппу, то и группа соответствующих линейных преобразований величин $u$ переходит в подгруппу проективной группы ; инварианты выражения $f(d x)$ становятся опять инвариантами функций (8) по отношению к линейному преобразованию, но теперь уже по отношению к этой подгруппе. Так можно путем гомогенизации свести случай неоднородных функций $f(d x)$ к аффинной группе; полная система может быть здесь выведена из функций (8), образованных для большего на единицу числа переменных.
Из теоремы приведения получается специальный случай квадратичных форм или вообще форм $p$-го измерения. Для этого нужно систему функций
оборвать на $\left[\Omega_{2}\right]$ или вообще на $\left[\Omega_{p}\right]$ и их ковариантных производных; при этом все дальнейшие основные функции становятся проективными инвариантами первых. Этим объясняется особое положение римановой формы кривизны $\left[\Omega_{2}\right]$ среди квадратичных форм. Вопрос об эквивалентности квадратичных форм или соответственно форм $p$-го измерения сводится как раз к эквивалентности функций $\left[\Omega_{2}\right]$ или соответственно $\left[\Omega_{2}\right], \ldots,\left[\Omega_{p}\right]$ и их ковариантных производных по отношению к линейным преобразованиям, а тождественное исчезновение $\left[\Omega_{2}\right]$ или соответственно $\left[\Omega_{2}\right], \ldots,\left[\Omega_{p}\right]$ необходимо и достаточно для возможности преобразования в формы с постоянными коэффициентами; этим в отношении квадратичных форм высказывается один из наиболее известных результатов.
Более подробное изложение должно появиться вслед за этим в Math. Annalen.
