Вместо того, чтобы исходить из лагранжиана и получать из него гамильтониан, можно исходить из гамильтониана. Вводятся динамические переменные $q_{n}$ и $p_{n}(n=1,2, \ldots, N)$ или, может быть, другие динамические переменные, между которыми существуют соотношения (15).

Переменные связаны известными слабыми равенствами типа $\Phi$-уравнений. С точки зрения этого метода не имеет смысла делать различие между $\Phi$ и $\chi$. По крайней мере одна из $\Phi$ должна принадлежать к первому классу, т. е. либо С. П. этой $\Phi$ со всеми другими равна нулю, либо не выполняются условия совместности. Будем считать $H$ линейной функцией от $\Phi$ первого класса с новыми переменными $v_{\alpha}$ в качестве коэффициентов и примем гамильтоновы уравнения движения (17) или (33). $v$ зависят произвольно от независимого пемеренного $\tau$. Предыдущая схема уравнений движения, выведенная из лагранжиана и, возможно, включающая $\chi$ наряду с $\Phi$, может рассматриваться как пример предлагаемой схемы в случае, если на $v$ наложены дополнительные условия, требующие, чтобы некоторые из $v$ были равны нулю. $\Phi_{\alpha}$, соответствующие этим $v_{\alpha}$, есть $\chi$ первого класса, введенные в предыдущей схеме.

Такие дополнительные условия и всякие другие, включающие $v$, не представляют ценности в релятивистской динамике и не могут быть введены в квантовую механику, поэтому мы ими в дальнейшем пользоваться не будем. Дополнительные условия, не включающие $v$, являются $\Phi$-уравнениями.

Докажем, что скобка Пуассона двух $\Phi$ первого класса сама принадлежит к $\Phi$ первого класса. $\left[\Phi_{a}, \Phi_{a^{\prime}}\right]$ равна нулю слабо и, следовательно, сильно равна линейной функции от $\Phi$, которые в настоящей схеме являются единственными величинами, слабо равными нулю. Мы должны, очевидно, показать, что С. П. для произвольного $\Phi$ слабо равна нулю.
Из тождества Пуассона следует:
\[
\left[\Phi,\left[\Phi_{\alpha}, \Phi_{\alpha^{\prime}}\right]\right] \equiv\left[\left[\Phi, \Phi_{\alpha}\right], \Phi_{\alpha^{\prime}}\right]-\left[\left[\Phi, \Phi_{a^{\prime}}\right], \Phi_{\alpha}\right] .
\]

Так как $\Phi_{\alpha}$ принадлежит к первому классу, то $\left[\Phi, \Phi_{\alpha}\right]$ равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для $\Phi_{a^{\prime}}$ первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой части равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется $A$ независимых $\Phi$ первого класса и $M$ независимых $\Phi$ любого класса. В фазовом пространстве ( $2 N$-мерное пространство переменных $q_{n}$ и $p_{n}$ ) имеется $(2 N-M)$-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все $\Phi$-уравнения. Назовем его ( $2 N-M)$-пространством. Состояние динамической: системы для некоторого $\tau$ задается точкой $p$ в $(2 N-M)$-пространстве, в: которой удовлетворяются все $Ф$-уравнения. Движение системы задается кривой в $(2 N-M)$-пространстве, выходящей из точки $p$. Так как $A$ и $v_{\alpha}$ произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом $A$-мерном объеме, окружающем точку $p$. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в $(2 N-M)$-мерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала $\tau, \delta \tau=\varepsilon_{1}$ все $v$, кроме $v_{a^{\prime}}$, равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала $\delta \tau=\varepsilon_{2}$, в котором от нуля отлично только $v_{a^{\prime \prime}}$, также равное единице. Тогда любая функция от $p$ и $q$ примет при замене $\tau$ на $\tau+\varepsilon$ вид
\[
g+\varepsilon_{1}\left[g, \Phi_{a^{\prime}}\right] .
\]

В конечной точке второго интервала, пренебрегая $\varepsilon_{1}^{2}$ и $\varepsilon_{2}^{2}$, но, беря члены порядка $\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}$, получим выражение для сдвига $g$ :
\[
g+\varepsilon_{1}\left[g, \Phi_{a^{\prime}}\right]+\varepsilon_{2}\left[g+\varepsilon_{1}\left[g, \Phi_{a^{\prime}}\right], \Phi_{a^{\prime \prime}}\right] .
\]

Меняя порядок движений, имеем
\[
g+\varepsilon_{2}\left[g, \Phi_{a^{\prime \prime}}\right]+\varepsilon_{1}\left[g+\varepsilon_{2}\left[g, \Phi_{a^{\prime \prime}}\right], \Phi_{a^{\prime}}\right] .
\]

Разность (44) и (45) приводится с помощью тождества Пуассона к виду
\[
\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}\left[g_{1}\left[\Phi_{a^{\prime}}, \Phi_{a^{n}}\right]\right] .
\]

Как было показано ранее, $\left[\Phi_{a^{\prime}}, \Phi_{a^{\prime \prime}}\right]$ принадлежит к $\Phi$ первого класса. Таким образом, формула (46) задает возможный сдвиг $g$, вытекающий из уравнений движения при некотором выборе $v$ и, следовательно, соответствующий движению в малой $A$-мерной окрестности начальной точки. Таким образом, имеем условие интегрируемости.

Дополнительные условия, наложенные на $v$, могут нарушить условие интегрируемости. Следовательно, условие интегрируемости не всегда выполняется для уравнений движения, выведенных из $L$. Интегрируя малые окрестности, получим систему $A$-мерных пространств, покрывающих $(2 N-M)$-мерное пространство, таким образом, что движение всегда происходит в одном из них. Назовем эти пространства $A$-пространствами. Қаждая кривая в $A$-пространстве представляет возможное решение уравнений движения. Каждая точка ( $2 N-M$ )-пространства принадлежит одному из $A$-пространств, содержащему все движения, имеющие эту точку исходной.

A-пространство можно было бы рассматривать как решение уравнения. Любая точка в $A$-пространстве задается $A$-координатами, зависящими от $q$ и $p$. Назовем их $t_{a}(a=1,2, \ldots, A)$. Они будут играть роль переменных. $A$-пространство можно описать, задавая $q$ и $p$ как функции от $t_{a}$. Если $g$ является функцией от $p$ и $q$, то имеем
\[
\dot{g}=\dot{t}_{a} \frac{\partial g}{\partial t_{a}} .
\]

Применяя (33) к $\dot{g}$ и $\dot{t}_{\alpha}$, имеем
\[
v_{a}\left[g, \Phi_{a}\right]=v_{a}\left[t_{a}, \Phi_{a}\right]\left(-\frac{\partial g}{\partial t_{a}}\right) .
\]

Так как уравнение выполняется для произвольного $v_{\alpha}$, то
\[
\left[g, \Phi_{a}\right]=\left[t_{a}, \Phi_{a}\right]\left(\frac{\partial g}{\partial t_{a}}\right) .
\]

Уравнения (48) можно рассматривать как уравнения движения, задающие $A$-пространство. В теории с однородными скоростями они чрезвычайно близки к обычным гамильтоновым уравнениям, к которым они сводятся при $A=1$ (единственное $t_{a}$ в этом случае рассматривается как время).
Чтобы перейти к лагранжиану, введем скорости $\dot{q}_{n}$ :
\[
\dot{q}_{n}=v_{a} \frac{\partial \Phi_{a}}{\partial p_{n}} .
\]
$L$ определяется тогда как
\[
L \equiv p_{n} \dot{q}_{n}-H \equiv p_{n} \dot{q}_{n}-v_{\alpha} \Phi_{a} .
\]

Это равенство задает $L$ как функцию от $q, \dot{q}, p$ и $v$, линейную относительно $\dot{q}$ и $v$. Варьируя независимо по $q, \dot{q}, p$ и $v$, получим:
\[
\begin{aligned}
\delta L=\dot{q}_{n} \delta p_{n}+p_{n} \delta \dot{q}_{n}-\Phi_{\alpha} \delta v_{a}-v_{\alpha}\left[\left(\frac{\partial \Phi_{a}}{\partial q_{n}}\right) \delta q_{n}\right. & \left.+\left(\frac{\partial \Phi_{a}}{\partial p_{n}}\right) \delta p_{n}\right]= \\
& =p_{n} \delta \dot{q}_{n}-v_{a}\left(\frac{\partial \Phi_{a}}{\partial q_{n}}\right) \delta q_{n} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $\delta L$ зависит только от $\delta p_{n}$ и $\delta v_{a}$ (ср. с (6)). Если (49) вместе с $\Phi$-уравнениями задает $\dot{q}$ как независимые функции от $p$ и $v$, причем $p$ и $v$ могут рассматриваться как функции от $q$ и $\dot{q}$, то можно показать с помощью (51), что $L$ сильно равен функции, зависящей только от $q$ и $\dot{q}$.

Эта функция должна обладать однородностью первого порядка относительно $\dot{q}$. Дифференцируя по $q$ или $\dot{q}$, имеем
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}=p_{n}, \quad \frac{\partial L}{\partial q_{n}}=-v_{a} \frac{\partial \Phi_{a}}{\partial q_{n}}=\dot{p}_{n},
\]
– обычные уравнения Лагранжа.

Если уравнение (49) вместе с $\Phi$-уравнениями не задает $\dot{q}$ как независимые функции от $p$ и $v$, то мы получим уравнения, связывающе $q$ и $\dot{q}$ :
\[
R_{j}(q, \dot{q})=0 \quad(j=1,2, \ldots, J) .
\]
$R$ – однородны относительно $\dot{q}$, причем мы пишем их так, чтобы однородность была первого порядка.
Рассуждая так же, как в п. 3, получим результат, аналогичный (9):
\[
L \equiv \dot{\mathfrak{L}}+\lambda_{j} R_{j},
\]

где $£$ зависит только от $q$ и $\dot{q}$ и является однородной функцией первого порядка относительно $\dot{q}$. Величины $\lambda_{j}$ зависят от $q, p$ и $v$. В случае, если $\lambda$ независимые переменные, мы получим (52).

Тогда мы имеем $L$, содержащий импульсы, подобные рассмотренным в предыдущем параграфе, и $\lambda_{j}$, соответствующие $q_{j}$ предыдущего параграфа. Равенства (53) выполняют роль дополнительных условий.