Для вычисления постоянной энтропии и так называемой химической постоянной Планк и Нернст были вынуждены ввести квантовые положения в теорию газов. Как было разъяснено ранее, Планк принял за элемент фазового объема величину $\frac{1}{h^{3}} d x d y d z d p d q d r$ или $\frac{4 \pi}{h^{3}} m_{0}^{3 / 2} \sqrt{2 w} d w d x d y d z$.
Мы попытаемся теперь оправдать это предположение.
Каждый атом, двигающийся со скоростью $\beta c$, можно считать связанным с волновой группой, фазовая скорость которой равна $V=\frac{c}{\beta}$, частота равна

$\frac{1}{h} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ и групповая скорость равна $U=\beta c$. Состояние газа может быть. устойчивым лишь тогда, если соответствующие атомам волны образуют систему стоячих волн. Используя известный метод, предложенный Джинсом, мы получаем, что отнесенное к единице объема число волн, частота которых изменяется в интервале $v, v+d v *$ ), равно
\[
n_{
u} d v=\frac{4 \pi}{U V^{2}}
u^{2} d v=\frac{4 \pi}{c^{3}} \beta
u^{2} d
u .
\]

Если $w$ — кинетическая энергия атома и $v$ — соответствующая ему частота, то имеет место равенство
\[
h v=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=w+m_{0} c^{2}=m_{0} c^{2}(1+\alpha),
\]

где $\alpha=\frac{w}{m_{0} c^{2}}$.
Теперь легко получить, что величина $n_{v} d v$ определяется соотношением :-
\[
n_{v} d v=\frac{4 \pi}{h^{3}} m_{0} c(1-\alpha) \sqrt{\alpha(2+\alpha)} d w .
\]

Каждая фазовая волна может нести с собой один, два или более атомов, так что согласно каноническому закону число атомов с энергией $h v$ будет пропорционально величине
\[
\frac{4 \pi}{h^{3}} m_{0}^{2} c(1+\alpha) \sqrt{\alpha(2+\alpha)} d w d x d y d z \sum_{\mathrm{I}}^{\infty} e^{-\frac{n h v}{k T}} .
\]

Рассмотрим сначала материальный газ, атомы которого обладают относительно больной массой и относительно малыми скоростями. Мы в этом. случае можем пренебречь всеми членами разложения по $\alpha$, кроме первого, и можем, таким образом, положить, что $1+\alpha=1$. Число атомов с кинетической энергией $w$ будет с точностью до постоянного множителя равняться:
\[
\frac{4 \pi}{h^{3}} m_{0}^{3 / 2} \sqrt{2 w} d w d x d y d z e^{-\frac{w}{k T}} .
\]

Этот результат оправдывает метод Планка и приводит к обычной формезакона Максвелла.

В случае газа световых квантов величина $\alpha$ всегда велика, и мы должны брать все члены ряда. Вводя вследствие внутренней симметрии светового кванта множитель 2, находим, что плотность лучистой энергии пропорциональна
\[
\frac{8 \pi}{h^{3} c^{3}} w^{3} \sum_{1}^{\infty} e^{-\frac{n h v}{k T}} d w=\frac{8 \pi}{c^{2}} \frac{
u^{3}}{e^{\frac{h v}{k T}}-1} d v .
\]

Изложенный в журнале Journal de Physique (ноябрь 1922 г.) метод показывает, что коэффициент пропорциональности равен в данном случае единице, так что мы получили истинный закон излучения.