6. При образовании вариации (23) или частных производных (B) главной функции $S$ вариация времени была опущена. Однако производную $\frac{\delta S}{\delta t}$, соответствующую этой вариации, легко можно вычислить, поскольку очевидное уравнение
\[
\frac{d S}{d t}=\frac{\delta S}{\delta t}+\Sigma \frac{\delta S}{\delta \eta} \frac{d \eta}{d t}
\]

с помощью (20) и (A), (B) дает
\[
\frac{\delta S}{\delta t}=S^{\prime}-\Sigma \bar{\omega} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}}=-H .
\]

Также очевидно, что эта производная или величина — $H$ является постоянной, т. е. не меняющейся во время движения системы, так как дифференциальные уравнения движения (A) дают
\[
\frac{d H}{d t}=\Sigma\left(\frac{\delta H}{\delta \eta} \frac{d \eta}{d t}+\frac{\delta H}{\delta \tilde{\omega}} \frac{d \bar{\omega}}{d t}\right)=0 .
\]

Поэтому, если мы займемся уравнением (17) и отметим, что функция $F$ по необходимости является рациональной, целой и однородной второй степени по отношению к величинам $\bar{\omega}_{i}$, то увидим, что главная функция $S$ должна удовлетворять двум следующим уравнениям между ее частными производными первого порядка, которые представляют главное средство для раскрытия ее вида [102]:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta S}{\delta t}+F\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta S}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \frac{\delta S}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right)=U\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right), \\
\frac{\delta S}{\delta t}+F\left(\frac{\delta S}{\delta e_{1}}, \frac{\delta S}{\delta e_{2}}, \ldots, \frac{\delta S}{\delta e_{3 n}}, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}\right)=U\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}\right) .
\end{array}\right\}
\]

И наоборот, если известна форма $S$, то из нее можно вывести формы этих уравнений (С) путем исключения величин $e$ или $\eta$ из выражений ее частных производных. Таким образом, мы можем вернуться от главной функции $S$ к функциям $F$ и $U$ и, следовательно, к выражению $H$ и к уравнениям движения (A).

Аналогичные замечания относятся к функциям $Q$ и $V$, которые должны удовлетворять уравнениям в частных производных:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\delta Q}{\delta t}+F\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{3 n}, \frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{1}}, \frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{2}}, \ldots, \frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{3 n}}\right)= \\
=U\left(\frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{1}}, \frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{2}}, \ldots, \frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{3 n}}\right), \\
-\frac{\delta Q}{\delta t}+F\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{3 n},-\frac{\delta Q}{\delta p_{1}},-\frac{\delta Q}{\delta p_{2}}, \ldots,-\frac{\delta Q}{\delta p_{3 n}}\right)= \\
\left.=U\left(-\frac{\delta Q}{\delta p_{1}},-\frac{\delta Q}{\delta p_{2}}, \ldots,-\frac{\delta Q}{\delta p_{3 n}}\right)\right) \\
\text { и } \\
F\left(\frac{\delta V}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta V}{\delta \eta_{2}}, \ldots, \frac{\delta V}{\delta \eta_{3 n}}, \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right)=H+U\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right), \\
\left.F\left(\frac{\delta V}{\delta e_{1}}, \frac{\delta V}{\delta e_{2}}, \ldots, \frac{\delta V}{\delta e_{3 n}}, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{3 n}\right)=H+U\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, \eta_{3 n}\right) .\right\} \\
\end{array}
\]