39. Упрощенные дифференциальные уравнения переменных элементов (S2) имеют ту же форму, как и уравнения (A), и могут быть проинтегрированы аналогичным способом.
Если мы примем для упрощения
\[
(\tau, k, v)=\int_{0}^{t}\left\{\Sigma\left(\tau \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}+k \frac{\delta H_{2}}{\delta k}+
u \frac{\delta H_{2}}{\delta v}\right)-H_{2}\right\} d t
\]
и символы ( $\mu, \omega, \lambda$ ) и т. д. интерпретируем подобным же образом, то сможем легко определить вариации следующих восьми комбинаций:
\[
\begin{array}{llll}
(\tau, k,
u), & (\mu, \omega, \lambda), & (\mu, k,
u), & (\tau, \omega, \lambda), \\
(\tau, \omega, v), & (\mu, k, \lambda), & (\tau, k, \lambda), & (\mu, \omega, v),
\end{array}
\]
а именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta(\tau, k, v)=\Sigma \cdot m\left(\tau \delta \mu-\tau_{0} \delta \mu_{0}+k \delta \omega-k_{0} \delta \omega_{0}+
u \delta \lambda-v_{0} \delta \lambda_{0}\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\mu, \omega, \lambda)=\Sigma \cdot m\left(\mu_{0} \delta \tau_{0}-\mu_{0} \delta \tau+\omega_{0} \delta k_{0}-\omega \delta k+\lambda_{0} \delta v_{0}-\lambda \delta v\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\mu, k,
u)=\Sigma \cdot m\left(\mu_{0} \delta \tau_{0}-\mu \delta \tau+k \delta \omega-k_{0} \delta \omega_{0}+
u \delta \lambda-v_{0} \delta \lambda_{0}\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\tau, \omega, \lambda)=\Sigma \cdot m\left(\tau \delta \mu-\tau_{0} \delta \mu_{0}+\omega_{0} \delta k_{0}-\omega \delta k+\lambda_{0} \delta
u-\lambda \delta
u\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\tau, \omega,
u)=\Sigma \cdot m\left(\tau \delta \mu-\tau_{0} \delta \mu_{0}+\omega_{0} \delta k_{0}-\omega \delta k+
u \delta \lambda-
u_{0} \delta \lambda_{0}\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\mu, k, \lambda)=\Sigma \cdot m\left(\mu_{0} \delta \tau_{0}-\mu \delta \tau+k \delta \omega-k_{0} \delta \omega_{0}+\lambda_{0} \delta v_{0}-\lambda \delta
u\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\tau, k, \lambda)=\Sigma \cdot m\left(\tau \delta \mu-\tau_{0} \delta \mu_{0}+k \delta \omega-k_{0} \delta \omega_{0}+\lambda_{0} \delta v_{0}-\lambda \delta v\right)-H_{2} \delta t, \\
\delta(\mu, \omega, \lambda)=\Sigma \cdot m\left(\mu_{0} \delta \tau_{0}-\mu \delta \tau+\omega_{0} \delta k_{0}-\omega \delta k+
u \delta \lambda-v_{0} \delta \lambda_{0}\right)-H_{2} \delta t,
\end{array}\right\}
\]
где $k_{0}, \lambda_{0}, \mu_{0}, v_{0}, \tau_{0}, \omega_{0}$ являются начальными значениями элементов $k, \lambda, \mu$, $v, \tau, \omega$. Если затем мы рассмотрим, например, первую из этих восьми комбинаций как функцию всех $3 n-3$ элементов $\mu_{i}, \omega_{i}, \lambda_{i}$ и их начальных значений $\mu_{0, i}, \omega_{0, i}, \lambda_{0, i}$, включающих вообще в явном виде также и время, то получим следующие выражения для $6 n-6$ строгих интегралов $6 n-6$ уравнений ( $\mathrm{S}^{2}$ ):
\[
\left.\begin{array}{ll}
m_{i} \tau_{i}=\frac{\delta}{\delta \mu_{i}}(\tau, k, v) ; \quad m_{i} \tau_{0, i}=-\frac{\delta}{\delta \mu_{0, i}}(\tau, k, v) ; \\
m_{i} k_{t}=\frac{\delta}{\delta \omega_{i}}(\tau, k, v) ; \quad m_{i} k_{0, i}=-\frac{\delta}{\delta \omega_{0, i}}(\tau, k, v) ; \\
m_{i} v_{i}=\frac{\delta}{\delta \lambda_{i}}(\tau, k, v) ; \quad m_{i} v_{0, i}=-\frac{\delta}{\delta \lambda_{0, i}}(\tau, k, v) .
\end{array}\right\}
\]
Подобным способом мы можем вывести формы тех же строгих интегралов из какой-либо одной из восьми комбинаций ( $\mathrm{Y}^{2}$ ). Определение всех переменных элементов было бы поэтому вполне завершено, если бы мы могли найти полные выражения для какой-либо одной из этих восьми комбинаций.
40. Первое приближенное выражение для какой-либо одной из них может быть найдено в виде, какой мы предположительно приняли для $H_{2}$, а именно в виде функции элементов и времени, которая может быть обозначена таким образом :
\[
H_{2}=H_{2}\left(t, k_{1}, \lambda_{1}, \mu_{1}, v_{1}, \tau_{1}, \omega_{1}, \ldots, k_{n-1}, \lambda_{n-1}, \mu_{n-1}, v_{n-1}, \tau_{n-1}, \omega_{n-1}\right) .
\]
В этой функции переменные элементы заменены их первоначальными значениями и использованы следующие приближенные интегралы уравнений ( $\left.\mathrm{S}^{2}\right)$ :
\[
\left.\begin{array}{ll}
\mu=\mu_{0}+\frac{1}{m} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau_{0}} d t, & \tau=\tau_{0}-\frac{1}{m} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta \mu_{0}} d t \\
\omega=\omega_{0}+\frac{1}{m} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{0}} d t, & k=k_{0}-\frac{1}{m} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta \omega_{0}} d t \\
\lambda=\lambda_{0}+\frac{1}{m} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta v_{0}} d t, & v=v_{0}-\frac{1}{m} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{0}} d t
\end{array}\right\}
\]
Если мы обозначим, например, первую из восьми комбинаций $\left(\mathrm{Y}^{2}\right)$ через $G$, так что.
\[
G=(\tau, k, v),
\]
то получим в качестве первого приближенного значения
\[
G_{1}=\int_{0}^{t}\left\{\Sigma\left(\tau_{0} \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau_{0}}+k_{0} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{0}}+
u_{0} \frac{\delta H_{2}}{\delta v_{0}}\right)-H_{2}\right\} d t .
\]
Выразив таким образом $G_{1}$ как функцию времени и первоначальных элементов, мы можем исключить начальные значения $\tau_{0}, k_{0}, v_{0}$ и ввести вместо них конечные значения $\mu, \omega, \lambda$ так, чтобы получить выражение для $G_{1}$ в виде, показанном в ( $\left.Z^{2}\right)$, а именно как функцию времени $t$ переменных элементов $\mu, \omega, \lambda$ и их начальных значений $\mu_{0}, \omega_{0}, \lambda_{0}$. Приближенное выражение, найденное таким образом, может быть уточнено тем путем, какой часто применялся в этом очерке для других подобных целей. Функция $G$ или комбинация $(\tau, k, v)$ должна строго удовлетворять согласно ( $\left.\mathrm{Y}^{2}\right),\left(\mathrm{A}^{3}\right)$ следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
\[
0=\frac{\delta G}{\delta t}+H_{2}\left(t, \frac{1}{m_{1}} \frac{\delta G}{\delta \omega_{1}}, \lambda_{1}, \mu_{1}, \frac{1}{m_{1}} \frac{\delta G}{\delta \lambda_{1}}, \frac{1}{m_{1}} \frac{\delta G}{\delta \mu_{1}}, \omega_{1}, \frac{1}{m_{2}} \frac{\delta G}{\delta \omega_{2}}, \ldots, \omega_{n-1}\right) .
\]
Каждая из других аналогичных функций или комбинаций ( $\mathrm{Y}^{2}$ )должна удовлетворять аналогичному уравнению. Если мы затем заменим $G$ на $G_{1}+G_{2}$ и пренебрежем квадратами и произведениями коэффициентов малой поправки $G_{2}$, причем $G_{1}$ является уже найденным первым приближением, то придем (во втором приближении согласно уже рассмотренным принципам) к следующему выражению этой поправки:
\[
G_{2}=-\int_{0}^{t}\left\{\frac{\delta G_{1}}{\delta t}+H_{2}\left(t, \frac{1}{m_{1}} \frac{\delta G_{1}}{\delta \omega_{1}}, \lambda_{1}, \mu_{1}, \frac{1}{m_{1}} \frac{\delta G_{1}}{\delta \lambda_{1}}, \frac{1}{m_{1}} \frac{\delta G_{1}}{\delta \mu_{1}}, \omega_{1}, \ldots\right)\right\},
\]
которая может непрерывно и неограниченно становиться точнее путем повторения того же процесса введения поправки. Таким образом, теоретически мы можем считать проблему решенной. Однако она остается для будущего обсуждения и, возможно, для действительного испытания, чтобы определить, какие из различных процессов последовательного и неограниченного приближения, выведенные в настоящем очерке, а также в предыдущем, как результаты одного общего метода и как следствия центральной идеи лучше всего применимы для численного приложения и для математического исследования явлений [125].
