Характеристическая функция эллиптического движения и уравнение $\frac{\delta V}{\delta h}=t$

Из предшествующих исследований мне известно, что функция $V_{1}$, определяемая уравнениями (510), (512), (514) $\left[{ }^{246}\right]$, действительно тождественно удовлетворяет уравнению в частных производных (523) [247]. Но чтобы установить заново это важное положение и чтобы в то же время подготовить переход к другим исследованиям, введем следующие сокращенные обозначения :
\[
\begin{array}{l}
e \cos \frac{u+u_{0}}{2}=\zeta, \\
e^{\prime} \cos \frac{u^{\prime}+u_{0}^{\prime}}{2}=\zeta^{\prime} .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
V_{1} & =\sqrt{a}\left(u-u_{0}+2 \zeta \sin \frac{u-u_{0}}{2}\right), \\
V_{1}^{\prime} & =\sqrt{a^{\prime}}\left(u^{\prime}-u_{0}^{\prime}+2 \zeta \sin \frac{u^{\prime}-u_{0}^{\prime}}{2}\right), \\
\frac{r+r_{0}}{2 a} & =1-\zeta \cos \frac{u-u_{0}}{2}, \\
\chi & =2 a \sin \frac{u-u_{0}}{2} \sqrt{1-\zeta^{2}} ;
\end{aligned}
\]

следовательно, рассматривая а как постоянную величину, имеем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\delta V_{1}}{\sqrt{a}}=\left(1+\zeta \cos \frac{u-u_{0}}{2}\right) \delta\left(u-u_{0}\right)+2 \delta \zeta \sin \frac{u-u_{0}}{2}, \\
\frac{\delta\left(r+r_{0}\right)}{a}=\zeta \sin \frac{u-u_{0}}{2} \delta\left(u-u_{0}\right)-2 \delta \zeta \cos \frac{u-u_{0}}{2}, \\
\frac{\delta \chi}{\chi}=\frac{1}{2} \operatorname{ctg} \frac{u-u_{0}}{2} \delta\left(u-u_{0}\right)-\frac{\zeta \delta \zeta}{1-\zeta^{2}}, \\
\zeta \frac{\delta \chi}{\chi}\left(\sin \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}-\frac{\delta\left(r+r_{0}\right)}{2 a} \cos \frac{u-u_{0}}{2}=\frac{\delta \zeta}{1-\zeta^{2}}\left\{\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}-\zeta^{2}\right\}, \\
\left(1-\zeta^{2}\right) \frac{\delta \chi}{\chi} \sin \left(u-u_{0}\right)-\zeta \sin \frac{u-u_{0}}{2} \frac{\delta\left(r-r_{0}\right)}{a}= \\
=\delta\left(u-u_{0}\right)\left\{\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}-\zeta^{2}\right\},
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\frac{\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}-\zeta^{2}}{\left(1-\zeta^{2}\right) \sin \frac{u-u_{0}}{2}} \frac{\delta V_{1}}{\sqrt{a}}= \\
=\left(1+\zeta \cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)\left\{2 \frac{\delta \chi}{\chi} \cos \frac{u-u_{0}}{2}-\frac{\zeta}{1-\zeta^{2}} \frac{\delta\left(r+r_{0}\right)}{a}\right\}+\frac{2 \zeta \delta \chi}{\chi}\left(\sin \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}- \\
-\frac{\delta\left(r+r_{0}\right)}{a} \cos \frac{u-u_{0}}{2}=\frac{2 \delta \chi}{\chi}\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}+\zeta\right)-\frac{\delta\left(r+r_{0}\right)}{a\left(1-\zeta^{2}\right)}\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}+\zeta\right),
\end{array}
\]

это дает :
\[
\begin{array}{l}
\delta V_{1}=\frac{\sqrt{a} \sin \frac{u-u_{0}}{2}}{\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta}\left\{\frac{2\left(1-\zeta^{2}\right) \delta \chi}{\chi}-\frac{1}{a} \delta\left(r+r_{0}\right)\right\}= \\
=\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}} \delta \chi-\sin \frac{u-u_{0}}{2} \delta\left(r+r_{0}\right)}{\sqrt{a}\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta\right)} .
\end{array}
\]

Мы знаем $\frac{\delta V_{1}}{\delta\left(r+r_{0}\right)}$ и $\frac{\delta V_{1}}{\delta \chi}$. Теперь
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V_{1}}{\delta r}=\frac{\delta V_{1}}{\delta\left(r+r_{0}\right)}+\frac{\delta V_{1}}{\delta \chi} \frac{\delta \chi}{\delta r}, \\
\frac{\delta V_{1}}{r \delta \theta}=\frac{\delta V_{1}}{\delta \chi} \frac{\delta \chi}{r \delta \theta},
\end{array}
\]

также
\[
\begin{array}{c}
\frac{\delta \chi}{\delta r}=\frac{r-r_{0} \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)}{\chi}, \\
\frac{\delta \chi}{r \delta \theta}=\frac{r_{0} \sin \left(\theta-\theta_{0}\right)}{\chi}, \\
\left(\frac{\delta \chi}{\delta r}\right)^{2}+\left(\frac{\delta \chi}{r \delta \theta}\right)^{2}=1 ;
\end{array}
\]

мы должны, следовательно, иметь :
\[
1-\zeta^{2}+\left(\sin \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}+\frac{r_{0} \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)-r}{a}=\left(\frac{2 a}{r}-1\right)\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta\right)^{2},
\]

откуда, используя (512), получим :
\[
\frac{r r_{0}}{a^{2}}=\left(\frac{\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta}{\cos \frac{\theta-\theta_{0}}{2}}\right)^{2},
\]

или
\[
\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta\right)^{2}=\frac{\left(r+r_{0}\right)^{2}-\chi^{2}}{4 a^{2}} ;
\]

и это последнее условие удовлетворяется при помощи (532), (533). (См. 10-й лист серий об эллиптическом движении, начатых в августе 1833.)

Стоит отметить, что, используя (532) и (533), мы имеем не только $\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta\right)^{2}=\frac{\left(r+r_{0}\right)^{2}-\chi^{2}}{4 a^{2}}$, но также и
\[
\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}=\left(2-\frac{r+r_{0}}{2}\right)^{2}-\frac{\chi^{2}}{4 a^{2}} .
\]

Следовательно,
\[
\zeta^{2}+\left(\cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}=2-\frac{r+r_{0}}{a}+\frac{\left(r_{0}+r\right)^{2}-\chi^{2}}{4 a^{2}},
\]

и, следовательно,
\[
1-\zeta^{2}+\left(\sin \frac{u-u_{0}}{2}\right)^{2}=\frac{r+r_{0}}{a}-\frac{\left(r+r_{0}\right)^{2}-\chi^{2}}{4 a^{2}} ;
\]

так что
\[
\left(\frac{\delta V_{1}}{\delta \chi} \pm \frac{\delta V_{1}}{\delta\left(r+r_{0}\right)}\right)^{2}=\frac{4\left(r+r_{0} \mp \chi\right)}{\left(r+r_{0}\right)^{2}-\chi^{2}}-\frac{1}{a}=\frac{4}{r+r_{0} \pm \chi}-\frac{1}{a},
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial V_{1}}{\delta \chi}+\frac{\delta V_{1}}{\delta\left(r+r_{0}\right)} & = \pm \sqrt{\frac{4}{r+r_{0}+\chi}-\frac{1}{a}} \\
\frac{\partial V_{1}}{\delta \chi}-\frac{\delta V_{1}}{\delta\left(r+r_{0}\right)} & = \pm \sqrt{\frac{4}{r+r_{0}-\chi}-\frac{1}{a}}, \\
\frac{\delta V_{1}}{\delta \chi} & = \pm \sqrt{\frac{1}{r+r_{0}+\chi}-\frac{1}{4 a}} \pm \sqrt{\frac{1}{r+r_{0}-\chi}-\frac{1}{4} a} \\
\delta V_{1} & \mp \pm \sqrt{\left.\delta^{\prime}\right)} .
\end{aligned}
\]

Когда мы берем верхний знак в этих двух последних уравнениях, то имеем :
\[
V_{1}=\int_{-\chi}^{\chi} \sqrt{\frac{1}{r+r_{0}+\chi}-\frac{1}{4 a}} d \chi
\]

выражение, которое я широко использовал в предыдущих исследованиях. В общем случае можно положить :
\[
V_{1}=\int_{-\chi}^{\chi} \pm \sqrt{\frac{1}{r+r_{0}+\chi}-\frac{1}{4 a}} d \chi .
\]

Если мы хотим рассматривать $a$ не как постоянную величину, то нужно только заменить в (540)
\[
\delta V_{1} \text { на } \sqrt{a} \delta\left(\frac{V_{1}}{\sqrt{a}}\right), \quad \delta \chi \text { на а } \delta\left(\frac{\chi}{a}\right) \text { и } \delta\left(r+r_{0}\right) \text { на } а \delta\left(\frac{r+r_{0}}{a}\right),
\]

и мы получим :
\[
\frac{\delta V_{1}}{\delta a}=\frac{1}{a}\left(\frac{V_{1}}{2}-\chi \frac{\delta V_{1}}{\delta \chi}-\left(r+r_{0}\right) \frac{\delta V_{1}}{\delta\left(r+r_{0}\right)}\right) .
\]

Это также следует из того, что $V_{1}$ является однородной функцией степени $1 / 2$ от $a, r+r_{0}, \chi$. Мы имеем, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta V_{1}}{\delta a} & =\frac{1}{\sqrt{a}}\left\{\frac{u-u_{0}}{2}+\zeta \sin \frac{u-u_{0}}{2}-\frac{2 \sin \frac{u-u_{0}}{2}}{\cos \frac{u-u_{0}}{2}-\zeta}\left(1-\zeta^{2}-1-\zeta \cos \frac{u-u_{0}}{2}\right)\right\}= \\
& =\frac{1}{\sqrt{a}}\left\{\frac{u-u_{0}}{2}-\zeta \sin \frac{u-u_{0}}{2}\right\}=\frac{1}{\sqrt{a}}\left\{\frac{u-u_{0}}{2}-e \cos \frac{u+u_{0}}{2} \sin \frac{u-u_{0}}{2}\right\}= \\
& =\frac{1}{2 \sqrt{a}}\left\{u-u_{0}-e\left(\sin u-\sin u_{0}\right)\right\}=\frac{n T}{2 \sqrt{a}} \frac{T}{2(1+m) a^{2}},
\end{aligned}
\]

где $T$ – эллиптическое время. Это последнее выражение показывает, что хотя мы должны в настоящем методе рассматривать полуоси $a, a^{\prime}$ как функции координат, их вариации тем не менее исчезают из вариации части $m V_{1}+m^{\prime} V_{1}^{\prime}$ функции $V$, поэтому
\[
m \frac{\delta V_{1}}{\delta a} \delta a+m^{\prime} \frac{\delta V_{1}^{\prime}}{\delta a^{\prime}} \delta a^{\prime}=\frac{T}{2}\left(\frac{m \delta a}{(1+m) a^{2}}+\frac{m^{\prime} \delta a^{\prime}}{\left(1+m^{\prime}\right) a^{2}}\right)=0,
\]

согласно (300) [248]. Мы можем, следовательно, при дифференцировании $m V_{1}+m V_{1}^{\prime}$ рассматривать $a$, $a^{\prime}$ как постоянные, и, следовательно, можно дифференцировать $V_{1}$ только по координатам $m$, $\mathrm{a} V_{1}^{\prime}$ только по координатам $m^{\prime}$.

Мы также видим, что если предположить $m^{\prime}=0$ и таким образом свести $V$ к $m V_{1}$ и, следовательно, к функции от $r+r_{0}, \chi, a, m$, которая может рассматриваться как функция $r+r_{0}, \chi, h, m$, то мы имеем :
\[
\frac{\delta V}{\delta h}=m \frac{\delta V_{1}}{\delta a} \frac{\delta a}{\delta h}=\frac{m T}{2(1+m) a^{2}}\left(\frac{\delta h}{\delta a}\right)^{-1}=T=t .
\]

Это будет чрезвычайно любопытная теорема, если мы сможем найти, что в общем случае $\frac{\delta V}{\delta h}=t$.

Таким образом, мы сможем завершить наше решение задачи о трех телах или о любой другой системе при помощи функции действия $V$ без использования какого-либо интегрирования, после того как эта функция однажды определена.

В то же время, не считая $m$ или $m^{\prime}$ исчезающе малыми, мы видим, что часть $\frac{\delta V}{\delta h}$, которая не является малой, а именно
\[
\begin{array}{c}
m \frac{\delta V_{1}}{\delta h}+m^{\prime} \frac{\delta V_{1}}{\delta h}, \text { или } m \frac{\delta V_{1}}{\delta a} \frac{\delta a}{\delta h}+m^{\prime} \frac{\delta V_{1}^{\prime}}{\delta a^{\prime}} \frac{\delta a^{\prime}}{\delta h}, \\
\frac{m T a^{-2}}{2(1+m)} \frac{\delta a}{\delta h}+\frac{m^{\prime} T a^{\prime-2}}{2\left(1+m^{\prime}\right)} \frac{\delta a^{\prime}}{\delta h},
\end{array}
\]

в действительности равна $T$ на основании (300).
(8 января 1834 г.) Тремя страницами далее я даю общее доказательство справедливости этой теоремы $t=\frac{\delta V}{\delta h}$. При помощи этой теоремы интегрирование дифференциальных уравнений движения любой системы тел (включая задачу вращения) сводится к нахождению вида функции $V$, дифференцированию ее по начальным координатам и $h$ и определению конечных координат как функций полученных таким образом частных производных и начальных координат. Полученные таким путем выражения для конечных координат не должны содержать $h$.