Қак известно, принцип виртуальных скоростей превращает любую проблему статики в вопрос чистой математики, ‘а с помощью принципа Д’Аламбера динамика в свою очередь сводится к статике. Отсюда следует, что ни один основной принцип равновесия или движения не может существенно отличаться от двух упомянутых нами выше принципов и что каков бы ни был этот принцип, его всегда можно рассматривать как более или менее непосредственный вывод из них.

Это не значит, что всякая новая теорема не заслуживает поэтому никакого внимания. Наоборот, всегда интересно и поучительно исследовать законы природы с новой точки зрения, придем ли мы при этом к более простому трактованию того или иного частного вопроса или достигнем лишь большей точности формулировок.

Великий геометр, столь блестяще обосновавший науку о движении на принципе виртуальных скоростей, не пренебрег возможностью улучшить и обобщить принцип Мопертюи, касающийся наименьшего действия, и, как известно, этот принцип зачастую с большой пользой применяется геометрами*).

Подлинный характер принципа виртуальных скоростей заключается в том, что он является, так сказать, общей формулой, решающей задачи статики, и что, следовательно, он может занять место всякого другого принципа, но он не носит на себе печати абсолютной очевидности, которая убеждает, при ознакомлении с его изложением.

С этой точки зрения основная теорема, которую я собираюсь изложить, должна, мне кажется, получить предпочтение ; сверх того, она обладает тем преимуществом, что одновременно охватывает общие законы равновесия и движения.

Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, и от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в силу которого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр, по-видимому, оценил это обратное

движение, представляя в качестве преимущества принципа наименьшего действия возможность охватить одновременно законы движения и законы равновесия, если этот принцип рассматривать в качестве принципа наибольшей или наименьшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях минимум имеет место при совершенно различных условиях.
Новый принцип заключается в следующем :
Движение системы материальных точек, связанных между собою произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно происходит с наименыиим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной.

Пусть $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}$ – массы точек, $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}$ – соответственно их положения, $b, b^{\prime}, b^{\prime \prime}$ – места, которые они заняли бы по истечении некоторого бесконечно малого промежутка времени под влиянием действующих на них сил и скорости, приобретенной ими к началу этого промежутка.

Приведенный выше принцип гласит, что положения $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$, которые эти точки займут, являются (из всех положений, допускаемых наложенными на них связями) такими, для которых сумма
\[
m \overline{b c^{2}}+m^{\prime} \overline{b^{\prime} c^{\prime 2}}+m^{\prime \prime} \overline{b^{\prime \prime} c^{\prime 2}}+\ldots
\]

является минимумом.
Равновесие является частным случаем общего закона; оно имеет место в том случае, когда точки не имеют скорости, и сумма
\[
m \cdot \overline{a b^{2}}+m^{\prime} \overline{a^{\prime} b^{2}}+\ldots
\]

является минимумом или, другими словами, когда сохранение системы в состоянии покоя является более близким к свободному движению, которое каждая точка стремится принять, из всех любых возможных перемещений. Обоснование принципа может быть легко проведено следующим образом:

Сила, действующая на точку $m$ в течение мгновения $d t$, очевидно, состоит из: 1) силы, которая, присоединяясь к эффекту приобретенной скорости, переместила бы точку из $a$ в $c, 2$ ) силы, которая (если допустить, что точка находится в покое в $c$ ) одновременно заставила бы ее переместиться из $c$ в $b$. Сказанное, очевидно, относится и к остальным точкам.

Согласно принципу Д’Аламбера*) точки $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ находились бы в равновесии, если бы в положениях $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$ они были под влиянием вторых из указанных выше сил, действующих по направлениям $c b, c^{\prime} b^{\prime}, \ldots$ и пропорциональных этим малым отрезкам. Следовательно, согласно

принципу виртуальных скоростей сумма виртуальных моментов этих сил должна быть равна нулю для всех перемещений, допускаемых связями, или же, точнее, эта сумма никогда не может стать положительной.

Пусть $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}, \ldots$ – положения, которые точки $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ могут занять без нарушения связей системы, и $\theta, \theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}, \ldots$ – углы, образуемые $c \gamma, c^{\prime} \gamma^{\prime}, c^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}, \ldots$ соответственно с $c b, c^{\prime} b^{\prime}, c^{\prime \prime} b^{\prime \prime}, \ldots$; тогда сумма
\[
\sum m \cdot c b \cdot c \gamma \cos \theta
\]

должна равняться нулю или быть отрицательной.
Но ясно, что мы имеем
\[
\overline{\gamma b^{2}}=\overline{c b^{2}}+\overline{c \gamma^{2}}-2 \overline{c b} \cdot \overline{c \gamma} \cos \theta
\]

следовательно,
\[
\sum m \overline{\gamma b^{2}}-\sum m \overline{c b^{2}}=\sum m \overline{c \gamma^{2}}-2 \sum m \overline{c b} \cdot \overline{c \gamma} \cos \theta
\]

и, стало быть, выражение
\[
\Sigma m \overline{\gamma b^{2}}-\Sigma m \overline{c b^{2}}
\]

всегда положительно, откуда следует, что $\Sigma m \overline{\gamma b^{2}}$ всегда больше суммы $\Sigma m \overline{c b^{2}}$, т. е. что $\Sigma m \overline{c b^{2}}$ всегда является минимумом, что и требовалось доказать $\left[{ }^{53}\right]$. Весьма примечательно, что когда свободные движения несовместимы с природой системы, то они изменяются совершенно так же, как геометры при своих исчислениях изменяют выводы, полученные ими непосредственно, применяя к ним метод наименьших квадратов, с тем чтобы сделать эти выводы совместимыми с необходимыми условиями, предписанными природой вопроса [54].

Настоящую аналогию можно было бы продолжить, но это выходит за пределы поставленной мною в данный момент задачи [55].