Все функции, которые фигурируют в дальнейшем, предполагаются аналитическими или, по крайней мере, непрерывными и конечными, а часто и непрерывно дифференцируемыми и однозначными в рассматриваемой области.
Под «группой преобразований», как известно, понимают такую систему преобразований, при которой каждому преобразованию соответствует обратное преобразование, принадлежащее той же системе, и преобразование, составленное из любых двух преобразований системы, принадлежит также данной системе. Группа называется конечной непрерывной группой, если ее преобразования все заключены в наиболее общем преобразовании, зависящем аналитически от $\rho$ существенных параметров $p$ (т. е. эти $p$ параметров не могут быть представлены как $\rho$ функций меньшего числа параметров).
В соответствии с этим под бесконечной непрерывной группой $\mathscr{S}_{\infty_{\ell}}$ понимают такую.группу, для которой наиболее общие преобразования зависят от $\rho$ существенных произвольных функций $p(x)$ и их производных или аналитически, или, по крайней мере, так, что эта зависимость выражается непрерывными функциями, допускающими конечное число непрерывных производных. Промежуточное положение занимает группа, зависящая от бесконечно большого числа параметров, но не от произвольных функций. Наконец, смешанной группой называют такую, которая зависит как от произвольных функций, так и от параметров*).
Пусть $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – независимые переменные, $u_{1}(x), \ldots, u_{\mu}(x)$ – их функции. Если подвергнуть $x$ и $и$ преобразованиям некоторой группы, то вследствие предполагаемой обратимости преобразований преобразованные величины опять будут содержать в точности $n$ независимых величин $y_{1}, \ldots, y_{n}$; остальные величины, зависящие от первых, мы обозначим через $v_{1}(y), \ldots$ $\ldots, v_{\mu}(y)$. В преобразованиях могут встречаться производные от $u$ по $x$, т. е. $\left.\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \ldots * *\right)$. Некоторая функция называется инвариантом группы, если существует соотношение
\[
P\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \ldots\right)=P\left(y, v, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}, \ldots\right) .
\]
В частности, интеграл $I$ является инвариантом группы, если имеет место соотношение
\[
\left.I=\int \ldots \int f\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \ldots\right) d x=\int \ldots \int f\left(y, v, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}, \ldots\right) d y^{* * *}\right),
\]
где интегрирование распространяется на любую действительную область $x$ и на соответствующую область $\left.y^{* * * *}\right)$.
С другой стороны, для некоторого любого, необязательно инвариантного, интеграла $I$ я получаю первую вариацию $\delta I$ и преобразую ее по правилам вариационного исчисления посредством интегрирования по частям. Если считать, что $\delta u$ исчезают на пределах вместе со всеми встречающимися производными (вообще же они произвольны), то получаем
\[
\delta I=\int \ldots \int \delta f d x=\int \ldots \int\left[\Sigma \psi_{i}\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right) \delta u_{i}\right] d x,
\]
где $\psi$ обозначают лагранжевы выражения, т.е. левые части уравнений Лагранжа для соответствующей вариационной задачи $\delta I=0$. Этому интегральному соотношению соответствует не содержащее интегралов тождество между $\delta и$ и его производными; это тождество получается путем приписывания членов, соответствующих значениям на границах. Как показывает интегрирование по частям, эти члены представляют собой интегралы от дивергенций, т. е. от выражений
\[
\operatorname{Div} A=\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots:+\frac{\partial A_{n}}{\partial x_{n}},
\]
причем в выражение $A$ линейно входят $\delta и$ и его производные. Таким путем получается
\[
\Sigma \psi_{i} \delta u_{i}=\delta f+\operatorname{Div} A .
\]
Если, в частности, $f$ содержит только первые производные от $u$, то в случае простого интеграла тождество (3) совпадает с уравнением, которое Гойн (Heun) назвал «лагранжевым центральным уравнением»:
\[
\sum \psi_{i} \delta u_{i}=\delta f-\frac{d}{d x}\left(\sum \frac{\partial f}{\partial u_{i}^{\prime}} \delta u_{i}\right) \quad\left(u_{i}^{\prime}=\frac{d u_{i}}{d x}\right),
\]
в то время как для $n$-кратного интеграла уравнение (3) переходит в следующее:
\[
\sum \psi_{i} \delta u_{i}=\delta f-\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\sum \frac{\partial f}{\partial \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{1}}} \delta u_{i}\right)-\ldots-\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(\sum \frac{\partial f}{\partial \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{n}}} \delta u_{i}\right) .
\]
Для простого интеграла и для $x$ производных от $u$ уравнение (3) принимает вид:
соответствующее тождество имеет место при $n$-кратном интеграле; в частности, $A$ содержит $\delta u$ до ( $x-1$ )-й проивводной. То обстоятельство, что посредством уравнений (4), (5), (6) фактически определяются лагранжевы выражения $\psi_{i}$, следует из того, что путем комбинирования правых частей могут быть исключены все высшие производные от $\delta u$, в то время как, с другой стороны, удовлетворяется соотношение (2), к которому однозначно приводит интегрирование по частям.
В дальнейшем речь будет идти о двух следующих теоремах:
I. Если интеграл I инвариантен по отношению к некоторой группе $\mathfrak{S}_{e}$, то е линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений обращаются в дивергенции и, обратно, из последнего условия вытекает инвариантность I по отношению к некоторой группе $\mathscr{E}_{0}$. Теорема сохраняет справедливость и в предельном случае бесконечно большого числа параметров.
II. Если интеграл I инвариантен по отношению $\kappa$ группе $\mathbb{E}_{\infty \varrho}$, в которой встречаются производные до $\sigma$-й производной, то имеют место $\rho$
тождественных соотношений между лагранжевыми выражениями и их производными до б-го порядка; здесь также возможно обращение*).
Для смешанных групп сохраняют силу обе теоремы; следовательно, имеются как зависимости, так и не зависимые от них соотношения дивергенции (Divergenzrelationen) [ $\left.{ }^{214}\right]$.
Если перейти от этих тождеств к соответствующей вариационной задаче, т.е. если положить $\psi=0^{* *}$ ), то теорема I для случая одномерного пространства, в котором дивергенция переходит в полный дифференциал, устанавливает существование $\varrho$ первых интегралов, между которыми во всяком случае могут существовать нелинейные зависимости***); в многомерном случае получаются уравнения дивергенции, которые теперь часто определяют как «теоремы сохранения»; теорема II говорит, что $\varrho$ уравнений из общего числа уравнений Лагранжа являются следствием остальных.
Простейший пример к теореме II – без обращения – представляет вейерштрассовское параметрическое представление; здесь интеграл при однородности первого порядка является, понятно, инвариантным, если заменить независимую переменную $x$ произвольной функцией $x$, которая оставляет функцию $u$ неизменной $\left[y=p(x), v_{i}(y)=u_{i}(x)\right]$. Таким образом, появляется одна произвольная функция, но без производных ; этому соответствует известная линейная зависимость между самими выражениями Лагранжа:
\[
\sum \psi_{i} \frac{d u_{i}}{d x}=0
\]
Другой пример дает «общая теория относительности» физиков; здесь идет речь о группе всех преобразований $x$ :
\[
y_{i}=p_{i}(x),
\]
тогда как $u$ (обозначаемые здесь через $g_{\mu_{
u}}$ и $q$ ) подвергаются преобразованиям, которые индуцируются первыми для коэффициентов квадратичной и линейной формы и содержат первые производные от произвольных функций $p(x)$. Этому соответствуют известные $n$ зависимостей между выражениями Лагранжа и их первыми производными****).
Если, в частности, специализировать группу, не допуская производных от $u(x)$ в преобразованиях и, кроме того, требуя, чтобы преобразуемые независимые величины зависели только от $x$, а не от $u$, то (как будет показано в § 5) из инвариантности интеграла $I$ следует относительная инвариантность $\left.\sum \psi_{i} \delta u_{i}{ }^{* * * * *}\right)$, а также дивергенций, фигурирующих в теореме I, коль скоро параметры подвергаются соответствующим преобразованиям. Отсюда следует еще, что и упомянутые выше первые интегралы допускают группу. Для теоремы II точно так,же получается относительная инвариантность левых частей зависимостей, составленных при помощи произвольных функций; как следствие этого получается еще одна функция, дивергенция которой тождественно исчезает и допускает группу, которая в теории относительности физиков осуществляет связь между этими зависимостями и законом энергии******). Теорема II дает, наконец, методом теории групп доказательство связанного с этим утверждения Гильберта об отпадении некоторых теорем, касающихся энергии, в «общей относительности». С этими добавочными замечаниями теорема I содержит все известные в механике теоремы о первых интегралах, в то время как теорема II может считаться наибольшим возможным обобщением с точки зрения теории групп «общей теории относительности».
